II. Quand a varie seulement de à I, la progression

/x = (l — a) + x{l — fl?) + fl?"(l — a?) 4- x^{l — a?) H- etc.

est toujours convergente. Poar x=lf elle a une somme nulle; pour â? < 1, la somme des n premiers termes est 1 — â?", quantité, qui pour n = 00 , a pour limite Tunité. Le reste r» est égal à â?" — E(â;'*), ou simplement à c^f si X n*est pas égal à Tunité. Or x* = ^^' est constant et égal à er*, si Ton pose n\x = — a et si l'on fait varier â? et n simultanément; pour n croissant indéfiniment, x tend vers Tunité, sans jamais atteindre cette valeur. Le reste r» n'ayant pas zéro pour limite quand x varie en même temps que n, la série n'est pas équiconvergente. Ou observera que tn est compris entre r«,« = 0, valeur minimay correspondant à â; =B 1, et la limite supérieure r»M = 1| correspondant à x tendant indéfiniment vers Punité.

III. On a, pour toute valeur réelle finie de a?, (px = 2xer''* , si

(px={2xer'*—4xer*'*)+{4xer*^—exe-^'*)+('^xr'^*'-Sxir*'*)+eic.

En efiet, on trouve, pour la somme des n premiers termes, 2xer** — 2(n + l)a?e-<"+*>'*. Or, pour a? = 0, 2(» + l)iP(r<"+*^''=0; pour a? différent de zéro, cette expression peut s'écrire 2a?""*(ye'"y), si l'on pose y = (n + l)a?« ; pour « = X et, par suite, y = x , lim y«r-y = (201). La série 9a? est donc convergente et a pour somme 2û?r"'* . Mais elle n'est pas équiconvergente ; car le reste r» = 2 (» + 1) a?«"^"+**'", pour (n+ l)a? ^= a, est égal à 2aé~*", quantité qui n'a pas zéro pour limite, quand n croit indéfiniment.

Mt^. Squieonvergence et continuité des séries. Théorème I. Une série Ui9i -j- UtVi + UsVs -j- etc., est équiconvergente par rapport à la variable

qui entre dam 0tf 9f,vtf etc., ti «« +ut + %t + eU., eet une série àiiciument eonverçenie etsilee valeurs absolues ou les modules de Vi, 9s, ..., «. sont inférieurs à une constante M. Appelons U., Y. les valeurs absolnes, ou les modules de »,, t>,. On aura (Notes coMPLBMBNTAaBS (65), (67))

mod («.+tr.+. + iu+ir.+t + etc) ^ U.+tV.f * + t\+tV.+i + etc.

<M(U.4.» + U.« + etc.)

La dernière expression, pour n suffisamment grand, est, par hypothèse, aussi petite qu*on le veut, pour toute valeur de la variable, puisqu'elle en est indépendante; il en est donc de même de U«+iV«fi-|-U,+iV,+i4-etc., et mod (Um^tVn^t + Um^%Vn^% + etc.) a aussi pour limite zéro, de quelque manière que varie la variable en même temps que n, tant que Vs+t, y«+i, ..., y« restent inférieurs à M.

RaMARQUE. Le théorème subsiste même si la variable entre dans U\f th, etc., pourvu que la série Ui -(* Ut + Us -}- ^tc., soit équioonvergente, entre les limites considérées.

THâoRÂMB II. Une série équioonvergente dont les termes sont des fonctions continues est une fonction continue. Pour fixer les idées, considérons une série réelle; pour une série imaginaire, il suffirait de considérer les modules des accroissements au lieu de leurs valeurs absolues. Soient donc S {x) = S» {x) •+• R» {x) une série réelle équiconvergente de Xq à X, S. (x) la somme des n premiers termes, R» {x) le reste; x, x-^- £ix deux valeurs de la variable comprises entre Xo et X, ou bien dont Tune est égale à iVo ou à X. On aura S (a? + Aa?) — S (a?) = &. (a? + Aâ?) — S. (x) + R» (â? + A«) — R» (a?). Pour n suffisamment grand, on a, pour toute valeur de Xq à X, en valeur absolue, R. < ^ e, e étant aussi petit qu^on le veut; donc, on a aussi àz [R, (a? + ^^) -~ R» (^)] < f ^' Après avoir choisi n de manière que AR« (x) soit inférieur à | e, en valeur absolue, on peut prendre Aa; suffisamment petit pour que AS» (a?), accroissement de Su (a?), qui est continue comme somme de fonctions continues, soit, en valeur absolue, inférieur à | s. Donc enfin, au signe près, AS (x) est inférieur à 6, ou S (a?) est continue (84).

Exemples (pour les théorèmes I et II). I"" La série de Weierstrass est équiconvergente et continue (315; voir la note). 2^ La série

, la?» , 1.3 a?» , 1.3.5 a?^ , , "^+2 3 +2716+270 7+^*^"

égald à arc sin x^ si x* est inférieur à Tonité (270, II), est absolument convergente pour x = l (Notes complémentaires (128)); elle est donc équiconyergente (théorème I) et continue (théorème II), pour les valeurs de â? de — 1 à -|- 1 ; par suite, pour x=ly elle représente | ir , comme nous rayions annoncé (n® 270, II).

3* Toute série obtenue en multipliant les termes d*une série absolument convergente, soit par des sinus et cosinus, comme dans le premier exemple, soit par des puissances de x supposé au plus égal à l'unité, comme dans le second, est équiconyergente.

Remarque. Les séries discontinues, comme fx (317, exemple II et les séries indiquées à la un du n^" 258), ne peuvent être équiconvergentes, puisque si elles étaient équiconvergentes, elles seraient continues.

La réciproque n*est pas vraie. Une série qui n'est pas équiconyergente, par exemple, (px de l'exemple III du n? 317, peut être continue.

S19. IfUégraiion et dérivation des séries. Théorème I. On peut inUgrer, terme à terme, comme un polynôme, une série réelle S[x)=zUi{x) + ««(a?) -H Uz{x) + etc., éguiconvergente pour les valeurs considérées, si les termes de cette série sont susceptibles d'intégration (108, 114). £a série intégrale est aussi éguiconvergente. Si S{x) est équiconyergente de Xo à X, elle est continue (318, II) et susceptible d'intégration (108, 114) de Xo àX. Il en est de même, par hypothèse, de la somme des n premiers termes S,, (a?), et, par suite, du reste rn{x) =^S{x) — S» (a?). On a ensuite (114)

fX% fW% fX% çX%

I S>{x)dx = V Ui{x)dx-\ \'\ Un{x)dx + R» ; R,, = l rn{x)dx,

^Xx ^Xt iœx ^Xi

Xi et â?s étant des yaleurs de x comprises dans l'intervalle {x^^ X). À

cause de l'équicon vergence de S(â;), rn[x) pour n suffisamment grand est

compris entre deux valeurs rnm, ^hm» aussi voisines de zéro qu'on le veut,

pour toute valeur de â?, de â?o à X. Donc R» sera compris entre

{x%'^Xi)rnm et (x% — a?0^nM, et, à fortiori, entre (X — Xo)rnm et

(X — â;o)rNH> quantités encore aussi petites que Ton veut. On peut donc

écrire, en série indéfinie,

$Xm fX% fX%

&[x)dx = 1 Ui {x)dx + \ Ut{x)dx + etc.

Xt ^Xt ^Xi

Comme Rn, pour toutes les valeurs de Xi et x% est toujours compris entre les deux quantités rn»(X — a?o), r«M(X — Xo) indépendantes de Xi et Xt et aussi petites qu'on le veut^ la série intégrale est équiconyergente.

Remarques I. La démonstration précédente ne s^applique pas au cas où Tune des limites est infinie. Mais le théorème subsiste, d*après la définition même de la convergence, si les intégrales du premier et du second membre sont finies et si, pour n := œ , lim R» = 0.

II. Le théorème subsiste encore dans le cas où la série donnée est imaginaire. La démonstration se fait en remplaçant la considération de R» par celle de son module (Voir, n» 254, III, 2»).

III. Suivant les cas, Ton peut, ou Ton ne peut pas intégrer les séries qui ne sont pas équiconvergentes (Voir ex. 2*).

Exemples. I« Séries équiconvergentes intégrées terme à terme. Voir no- 256, VU, 259, 267, 270.

2" Séries non équiconvergentes. La série fa (317, II) a pour intégrale la série Fa (317, I) pour toutes les valeurs de x, depuis jusqu'à 1. Cependant la série /â? n*est pas équiconvergente. Au contraire, en intégrant de zéro à â? la série (^x du n^ 317, III, on arrive à la relation absurde 1 —«-**= — er** (Darboux).

Théorème II. On peut dériver terme à terme, par rapport à x, comme un polynôme f une série S{x) = Ui{x)-{-Ut{x)-{'Uz{x) + eic.^ convergente de Xoà Xf si la série T{x) = u\ {x)+ u'^ (a?)4- u'^{x)+ etc. des dérivées des termes est équiconvergente. En effet, puisqu'on peut intégrer terme à terme une série équiconvergente (th. I), on a

( Tdx = i u[{x)dx + { If; (a?) eto + etc.

^Xq Jwo ^Xo

= [Ui (x) — Ui (â?o)] + [ut (x) — Ut {xo)] + etc. = s {x) — S («•)• On déduit de là, en dérivant (112),

T {x) = u[{x) + u'^{x) + etc. = 8'{x).

Exemples. Voir n^- 254, I, II, 256, VII, 259, 267.

Remarque. Si la série des dérivées n'est pas équiconvergente, tantôt on peut, tantôt on ne peut pas, dériver la série primitive, terme à terme. Ainsi la série

convergente de zéro à l'unité, étant dérivée terme à terme, donne 1 = (1 — i») + ^ (1 — a?) + a?' (1 "" ^) + ^^'j

relation inexacte, pour a? = 1 (317)* La dernière série n'est pas équiconvergente.

On peut prouyer, comme au n"* 317, que les deux séries suivantes :

a?«r-'" = (a?«r-'* — 2x*e'^*) + {2x*r'*'* — Sx^er^ ) + etc. ,

+ i{4xer^^ ^ 4a?»tf-»'*) — (6a?r^»'* 6a?««-«'«)] + etc.,

sont convergentes et continues pour toute valeur de â?, mais qu'elles ne sont pas équiconvergentes. Cependant, on obtient la seconde en dérivant la première terme à terme comme un polynôme.

980. Propriété générales des séries ascendantes et descendantes. I. On peut appeler, avec Lacroix, série ascendante (ou descendante)^ une série de la forme Ao + aiz + ai^* -f- etc. (ou ao + aiir^ -{- aisr* + etc.), ordonnée suivant les puissances croissantes (ou décroissantes) d'une variable 2; (synonyme allemand : Poienzreihe). On peut transformer une série descendante en une série ascendante, en posant z = {\ : Ç). Nous ne nous occuperons donc que de séries ascendantes. Comme exemple de pareilles séries, on peut citer les développements de d«, l(l-j-j?), (l-j-^p)»^ rencontrés antérieurement (n*** 255 et suivants).

II. Théorème I. Si Ao, AiR, AsR*, A3R', etc. sont inférieurs à une quantité M, Us séries suivantes, oâ mod ao = Ao, mod eii =» Ai, moda%=^ki, etc.,

fz =flo + «i«+ ai^*+ «52;' + etc., fiZ=t ai +I.2«i2; + 3a5«*+.etc,, /»£;= 1.2fl8 -[- 2.3^81^ +etc.,

fiZ = I.2.3tfs + etc., etc.,

sont atsolument convergentes et équiconvergentes pour les valeurs de z, dont le module est inférieur à^\ ce sont des fonctions continues dont chacune est la dérivée de' la précédente; les coefficients ao, ai, a%, etc. sont égaux respectivement à /D,/'0, |/"0, J/'"0, etc. 1« Soient ;-<Ret (r : R)=t. La série des modules des termes defz, pour z = re^*, savoir :

Ao + Aif + A,r» +A5r»+ etc. = Ao+A,R<+AsR»<«+A5RV+ etc., est inférieure à la progression

M(l + < + <• + <' + etc.), et^ par suite, est convergente. Il en est de même, à fortiori, pour toute

valeur r^ inférieare à r. La série fa est donc absolument convergente pour mod 2; = r, mod z <C^r, Elle est aussi équiconvergente. En effet, le reste de la série des modules pour mod z =^ r\ savoir :

p; = A^r'- + A.+,r'-+« + A.+tr'-+« + etc., .

est inférieur à

p» = A«r- + A.4.,f-+« + A,+,f+* + etc. ,

quand r' est inférieur à r. Or, puisque Ao + Aif + Air* + etc., est une série convergente, lim p. == 0, pour i» = x ; par suite, on a également lira pi == 0. Le module de (a««" + a«+i«"+* + etc.), ou du reste de la série /0, est, tout au plus, égal à p« quand mod ;? = r, à p. quand mod z s» T*\ donc il a aussi pour limite zéro, pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur ou égal à r; autrement dit, la série est équiconvergente (317).

2® La série des modules des termes de/12;, pour z ^= re^\ savoir :

A, + 2A,r + SAjr» + etc. = A* + 2A,Rr + SAjRV + etc.,

est inférieure à la série

MR- ' (1 + 2/ + 3/« + 4/» + etc).

Celle-ci est convergente, car le rapport de deux termes consécutifs est [^ : (1 -{- n^')], quantité qui, pour n sufSsamment grand, devient et reste aussi voisine de t que Ton veut, et est alors inférieure à nne fraction q inférieure à l'unité (127 ou Notes complémentairbs, corollaires (127)). La série des modules des termes de fiZ est donc convergente pour mod 2; s= r. Il en est de même, à fortiori, pour toute valeur de z, dont le module r' est inférieur à r. Par conséquent, la série ftz est absolument convergente. On en déduit aisément, comme plus haut, qu'elle est aussi équiconvergente.

La même démonstration s'applique aux séries f^, f$Zf etc. 3** Les séries fz, ftZ, ftZ, etc., équiconvergentes pour toute valeur de z dont le module est au plus égal à r < R, sont continues pour ces valeurs (318, II); chacune est la dérivée de la précédente (319, th. Il), de sorte que fiZ = f% ftZ = f% etc. Si Ton y fait tendre z vers 0, on trouve, à la limite,

/D = ao, fO = ai, r0 = 1.2.a%; f"0 = 1.2.3.a„ etc. III. Cercle de convergence. La série des modules

Ao + Aif + Aif ' + A.»r» + etc.

d'une série ascendante jouit de Tune ou Tautre des propriétés suivantes :

1"* Elle est convergente pour toute valeur finie de r. C'est ce qui arrive pour le développement de «- (255). 2** Elle n'est convergente que pour r sss 0. Il en est ainsi pour la série

l + l.i2; + 1.2.îj;« + 1.3.3.2;» + eic.

où le module du terme général, savoir 1 .2.3... m. r", croît indéfiniment avec nj si r est difiërent de zéro (253, I). 3"" Elle est convergente pour une certaine valeur fi de r, divergente pour une autre r^y Pi et r« étant différents de zéro. Dans ce cas, la série est convergente aussi pour toutes les valeurs inférieures à fi, d'après le théorème précédent. Elle sera divergente pour toutes les valeurs supérieures à rt, car si elle était convergente pour une valeur supérieure à fs, d'après le même théorème, elle le serait pour la valeur rt. Si l'on fait varier r àe rt k ri, d'une manière continue, la série, qui ne peut être que convergente ou divergente (118), sera convergente pour une dernière valeur R ou divergente pour une première R. Ainsi la série des modules de la série logarithmique (258)9 savoir :

commence à devenir divergente pour f = 1. La série

■ ^ + etc.

est convergente encore pour r = 1 (128, Ex.); mais elle est divergente pourr> 1, car le rapport de deux termes successifs [r: (1 +»""*)*] i pour n suffisamment grand, devient et reste aussi voisin de r que l'on veut, et alors est supérieur à une quantité ç supérieure à l'unité (127, ou NoTBS GOMPuiMEMTAiRBS (127), Corollairc).

La valeur R qui sépare les valeurs pour lesqiielles la série des modules est convergente, de celles pour lesquelles elle est divergente, s'appelle rayon du cercle de convergence. Pour les valeurs de s^=s{c + yij correspondant aux points situés à l'intérieur de ce cercle, la série en a est convergente; pour les points extérieurs, elle n'est pas convergente. Sur la circonférence même, c'est-à-dire, pour z »=> R^<, la série en z peut être

convergente partout, c'est-à-dire pour toute valeur de (p, comme cela arrive pour la série (R = 1),

ou nulle parti comme c'est le cas pour la progression 1 + fi -h 2* -}- ^>-{-etc. (R:=l); ou enfin convergente seulement pour certaines valeurs de 9 (Série logarithmique, binôme).

Le théorème peut maintenant s'énoncer comme il suit : A VifUérieur de leur cercle de eanvergence, les séries A, A^, f^, etc. sont absolument convergentes, équiconvergentes et continues; chacune est la dérif>ée de la précé' dente et ses coefficients sont ceux que donnerait le développement de Tabler.

IV. Théorème II. Si la série /« = a© + ^«^ + ^«^* + ^»^' + ^te. est convergente pour une valeur Z = IU?< appartenant au cercle de convergence, on a lim/(f «?') =/(IU?*), r étant une valeur inférieure à R, qui a Rpour limite (Abel). Posons (r : R) =» t. On a

V^/CRtf^O'-ZC^^^O^^^iZa— 0+atZ«(l— <») + a,Z»(l--<«) + etc.,

que nous écrirons, en abrégé,

en posant a^ = 1 — t^, Up = a^. Soient ensuite

^«+1 == 1*11+4» ^mr\.% = l^n+l + *^+«> •••> ^f^P = •'•i+l + •'• + ifci+î»> 2«4.p = «i,+i«i,+ 4 + «h+îVm+i -+....+ a«4^««4^.

On aura, en exprimant tf»+i, tfn+fy •••» f*«-fp au moyen des sommes (r {tratuformation d'Atel),

^n+i» = aiH-iff«4-i -^- af^-l(o■||+t — ^«+1) + ••• + ûCh+i» {f^n^p ^- o"»^^^i)

+ •'• + ''n+p^l (ftiufp^l — «n+p) + a^+pCTi^.^.

Appelons c^ celle des sommes 9 dont le module est le plus grand, et observons que an^i, an+i, ..., (Xn+p forment une suite de quantités croissantes de manière que les différences («n+i — «•+«)> {«n+i — «•+»)> etc., sont négatives. On aura

mod In+p < («ii+t — «n+O mod <T«+i-f- (««+3 — ««4-t) mod <r^% +

* " 4" (''«4-i» — ^"+/»-«) ™^^ ^•+p- * + *"+p ^^ ^•+pî mod 2,4-p < mod <tm [(a,^t — a,+i) -( [- (a„+^ — a„4.^i) -|- a«+^] ;

mod 2,4-^ ^ mod <;» [27.n^p — «a+i 1 ou mod <tm [1 + if*+* — 2i*+P] ;

mod ^n+p K, ^ niod <ru •

Si j? croît indéâniment, (ru qui est Tune des sommes ^n^-ii ff«»4.t| etc., finies même pour p=sço ^ puisque la série est convergente, a un module fini; pour n croissant indéfiniment, lim Vt^^i = 0, lim Cn+i = 0, ... ; il en est donc de même de ^m (123). Par suite, on a, pour h suffisamment grand,

s étant aussi petit qu*on le veut. Une fois n choisi de manière qu'il en soit ainsi, en prenant r suffisamment voisin de R, ou t de l'unité, ou ai, ai, ..., an de zéro^ on aura -aussi

mod («iWi + ct%Ui + ... + (XnUn) < ï e.

Donc, à fortiori (Notes coMPLÂMENTAmBS (65)),

mod A/< mod {(XiUi -}-... + a«tt«) + mod {xn^iUn^i + etc.)

est inférieur à e; autrement dit, lim Z^=3 0, et la série /(re^') a pour limite /(Rtf?»*), si celle-ci est convergente.

Applications I. La série 1 — î + | — ï + etc. est convergente (129); elle est donc la limite de a? — ^ip' + ia?' — |a?* + etc., ou (257) de 1(1 +x) lorsque x tend vers l'unité ; par conséquent, elle a pour somme 1(1 -}- 1) = 12, théorème trouvé autrement (257).

II. La série convergente (Notes complémentaires (128, Ex. tl)) pour m > 0,

^"î^ 172 rxâ '^^^'^

est la limite de la série (263, II)

(1 — a?)'" = l — yâ?-! — iy-^ — ^a?* — etc.,

quand x tend vers l'unité. Donc elle a pour somme (1 r- 1)" = 0, résultat connu (263, III).

Sti. Multiplication des séries. I. Soient

U = «0 + Wi + «*« + «3 + etc., V = t?o + t^i + *î + etc., deux séries convergentes ; ensuite

7Vo == UoVof n?i =sUoi)i + UiVo, Wt = t^oi^t + «*i*i + «*ti?o, etc. ,

La série

W «= wo + Wi + Wf + n>i + etc.,

est dite obtenue en multipliant les séries U, Y, terme à terme, comme deux polynômes.

IT. THéoRâBfifi de Caucht (complété par Martens). On peut multiplier terme à terme, comme deux polynômes^ deux séries convergentes, dont Vune au moins est absolument convergente. Soient U = t^o + «i + 1^ + etc., une série convergente, Y = Vo + f i + t^s + etc., une série absolument convergente. Posons

Uo = «0, U4 = fio + Uu Ut = Wo + ffi + th, etc.; U s= Uo + n «== Ui 4- ^1 =* Ut + fi, etc. ;

Désignons par p la moitié de n, quand n est pair, l'a moitié de n — 1, quand n est impair. On a identiquement

UY = t>oU + t?iUH 1-v.U + IUU

= Vo (U. + f«) + r>i (U«, + r^O H h «* (Uo + n) + R,U

= (t?oU» + t?iU«i 4- • •• + ^«Uo) + Vorn + f ir,-i H 1- VnTo + R«U.

Le premier terme du second membre est égal à Wn. On peut donc écrire

W. = UY-(A, + B^ + R.U), si Ton pose

Kp = t^o^'i» + Vir^^i -j- . . . + VfTn^p, Bp =» Vpj^irn-^p^i -f- •• . -j- v^^^.

Appelons r% celle des quantités n, f«.i, ... r«.;, dont le module est le plus grand; rii celle des quantités roy^i» ...^«.^,.1 dont le module est aussi le plus grand. On aura

mod kp ^ mod ru (mod Vq + mod «! + •••+ mod fp), mod B;, ^ mod ri (mod f^+i + mod Vp^% + . . . -j- mod t?p).

Puisque la série i?o + t^i + i^s + ^^c* ^^ absolument convergente, la série mod i?o + mod Vt -|- oiod Vt + etc. a une somme finie Y'; pour ft = 00 , on a donc

lim (mod Vq + mod ç i + • • • + mod Vp) = Y', lim (mod Vp^i -{- mod Vp^t -}-•••-{- mod t?») = 0,

d'après 123, II. La série U étant convergente, rk est finie ainsi que son module, mais r«, r«.i, ..., rp, pour n^s^ x , ont pour limite zéro, ainsi que ru* Donc enfin lim mod A;, =1 0, lim mod Bp =s 0, pour n = 00 • Par

conséquent, comme lim R» <= aussi, la dernière égalité en W» donne lim W» == UV, ou W = UV (Démonstration de Jensbn).

III. Thborbmb i>*Abel. Si la série W oitenm en multipliant deux séries convergentes U, Y, terme à terme, comme des polynômes, est eonver' ffentej elle est égale au produit de ces deua séries. Si t est inférieur à l'unité, les séries

/^ ™ «0 -|- uit + u%t^ + etc., 9< «a: f + f>it + Vtt* + etc.,

sont absolument convergentes (320, II); d'après le théorème précédent, on peut les multiplier, terme à terme, comme des polynômes. On trouve ainsi

ftX9t = tVo + Wit + îDtt^ + Wit* + etc.

D'après le théorème II du numéro précédent, quand t tend vers l'unité ftf (ft tendent vers les limites finies U, V et le second membre vers W. Donc UV = W.

lY. Exemples, l"" En multipliant les séries

«• = l+j+^ + etc., ex = l+y-|- — + etc., terme à terme, on trouve

- 1 +-Ï- +-Y^2- + -ï^2^ + etc.,

c'est-à-dire la série igale à e^^. On peut déduire de là une théorie des exponentielles imaginaires, mais elle est moins simple que celle des n"* 67 et suivants. 2« On peut déduire d'autres exemples de multiplication des séries des résultats trouvés au n® 256, IV, par une autre méthode.

39S. Thborbmb d'Abel sur la coNVBRaBNCB des séries. I. Si /'(m multiplie par des nombres positifs ai, ix%, as, etc., égaux ou décroissants, les termes (positifs ou négatifs) d'une série convergente réelle, f*i + i*i + Uz'\-etc., on obtiendra une nouvelle série convergente aiUi + a%u% + oi^Uz + ^^* Oe théorème, comme le remarque Duhambl, est loin d'être évident, parce que les multiplicateurs peuvent porter très inégalement sur les termes positifs ou négatifs, dont les sommes sont séparément supposées infinies, sans quoi il n'y aurait aucune difficulté. En effet, si la série primitive est absolument convergente, le théorème est démon-

tré| mâine pour des multiplicateurs quelconques compris entre deux limites données (122). Posons

ffn-f i = Un^ly ^H+i = Wit+I + tJn+1, ^n^i = Un^l + Un^t -|- f»i^-S, CtC.

On aura, en appelant a» la plus petite, o-m la plus grande des quantités

Par suite, ou

2n^p > flri»flu+, ;

On trouve de même.

Pour n suffisamment grand, ^n+i, 9n+i, ..., <arn4p et, par suite, 9m, ^h sont aussi petits qu'on le veut, puisque la série i^i -^ flft -t- ^^* ^^ ^^* vergente (123, II). Il en est donc de même de 9»a»4.i, <r^(Xn+i et des quantités intermédiaires 2»4.i, 2»4.t, ..., 2n+p, quel que soit p. Il en résulte, d'apriê h caractère général de contergence (303), que Zi4^, pour 2^=3 00, a une limite finie; il en est donc de même de «lai+Vtai + -«-+i*«aii + 2«4-p, c'est-à-dire que la série «lai + Vta» + etc. est convergente.

Remarque. Le théorème d'Abel subsiste encore : 1** Si les nombres ai, at, «8, etc., sont égaux ou croissants, mais inférieurs à une quantité finie M. 2<» Si la série i»i -|- tfi + «s + etc. est indéterminée, mais telle que les sommes 9»4.i, ^n+t, <ri»+s, etc. soient finies, pourvu que a«+4, pour n =s 00 , ait zéro pour limite.

II {Extension aux sériée imaginaires). Si Von multiplie les termes d'une série convergente réelle ou imaginaire, Ui + u% + Ui + etc., par des quantités réelles ou imaginaires ai, at, as, etc., on obtiendra une nouvelle série convergente «iWi + ««**• + «s**» + ^^^ pourvu que

A = mod at + mod (ai — aj) + mod (at — a») + mod (a» — a^ + etc.

soit un$ série convergente (Jordan, Cours t analyse, I, pp. 114-115). On trouve, ett eflPét (Notes complébcbntairbs, (65)),

mod 2»4^ ^mod ff»4-i mod (a»4.i — ««+<) + •• •

+ mod 9n+p^i mod (a»4^.i — ctn^) + mod a»-f|, mod «n+p,

et, à fortiori f en remplaçant les modules de tous les 9 considérés par le plus grand d'entre eux, mod vu»

mod -Sn-^p ^

mod (Tu [mod (a„+i — a»+t) + ... + mod («n+p-i — «i^+p) + mod «n+ji]. On a ensuite

^iwfp = «1 — («4 — «j) — (as — as) — •• • — (oi^^p^i — ft<»4^)9 mod a«4^^mod ai + mod («« — «î) + ••• -H mod («m-ji^i — «^Mi»)* Par conséquent, en ajoutant aux deux membres de cette relation

mod (cun^i — a«4-«) -♦-... + mod (««4^.1 — ctnj^i on trouve

mod («n+i — ai»+t) + ' •• -|- mod {xn^p^i — a»+p) + mod a»+p = mod «4+ mod («4 — «0+ •• • + niod (a» — oLn^\) +

2 [mod (a»+i — a,^j) + •■ . + mod («n+p-i — «•+/»)] < 2A.

Par suite, mod 2»+^ < 2ÀA mod (th, X étant un facteur positif au plus égal à Tunité. La série ifi + <^ -f- «s + etc., étant convergente, fSm^i^ 9»4-s, ..., 9n^.pf et, par suite, an pour n suffisamment grand, ont des modules aussi petits que Ton veut; il en est donc de même, quel que soit jP, de mod 2»4^, de la partie réelle et du coefficient de j/ — 1 de la partie imaginaire de Z^^, cette partie réelle et ce coefficient étant pris en valeur absolue; donc, d'après le caractère général de convergence, la partie réelle et la partie imaginaire de ^n^ ont des limites finies et UiCK.i'^u%a%'\'e\G. est convergente.

Rbmarqub. Le théorème d*Âbel est le seul dont la démonstration repose sur le caractère général de convergence (303*310).