INTRODUCTION

I. Déilnltloo de Tanalyse iolliittésliiiale. (4) *[A la ligne 3, après w + f, il faut ajouter : (p = ayy]. Le second problème se résout plus simplement comme il suit : on a

s^ » x^ + y* + 2xy == (â^ — y)« +4fl?y = (4? — y)« 4-4p,

quantité la plus petite possible si â? = y.

(7) L*équation y = E(â;), en coordonnées rectangulaires, représente, pour ainsi dire, les marches d*un escalier, dont les contremarches sont égales aux marches. Autrement dit, de à 1 exclusiyemeitt| y = 0; de 1 à 2 exclusivement^ y = 1 ; de 2 à 3 exclusivement, y = 2^ ainsi de suite. L'équation y=X'—E(x) représente, de à 1 exclusi^^^^t, un segment de la droite y = af inclinée à 45"* sur Taxe des x; poJ^J^ valeurs plus grandes de Xf *des segments de droite égaux et parallèPc au précédent et menés par les points de Taxe des x ayant pour abscisses 1, 2, 3, etc.

L'expression y = ar*+fl? peut s'écrire y = y, + y,, si y, s=aj-i^ y^s=zx. En prenant un seul axe des x et une seule origine, un axe des yi et un axe des yt dans un sens directement opposé,la somme y=y^^^^

est représentée par la distanoe des points de même abscisse de la droite yi=3ii; et de Thyperbole yi=a^~~^ De même, si Ton fait yi^a^rS y, e=a fl? — E {x)f y = or* + « — E (ûî) est représentée par la distance des points de même abscisse des segments de droites jft^=^» — E(cBi) et de rbjperbole yi=orK Cette distance jouit de la propriété de devenir aussi petite qu'on le veut pour a entier et croissant indéfiniment; mais elle ne reste pas aussi petite qu*on le veut. (Comparez n^ 20).

(0) Les relations qui existent entre des variables peuvent être supposées connues et exprimées au moyen des signes matbématiques; alors, on dit que les variables sont des fonctions analytiques les unes des autres. On dit qu'elles en sont des fonctions concrètes, si ces relations sont inconnues. Ainsi Taire u d'un rectangle de base a et de hauteur y est une fonction concrète de â? et de y pour celui qui ne connaît pas la relation u=sxy; c'est une fonction analytique pour celui qui la connaît.

(I9-1I) La classification des fonctions n'appartient pas à l'analyse élémentaire. C'est, au contraire, le résultat des recherches les plus profondes des géomètres. Ainsi, par exemple, c'est en 1825 seulement qa'Abel a démontré qn'il existe des fonctions algébriques qui ne peuvent pas s'exprimer au moyen de radicaux, par exemple, les racines d'une équation générale du cinquième degré en x ety.

(14-15) Voir Appendice, I, 287-288. *[L'année de la naissance de Fermât est 1601, celle de la mort de Descartes, 1650].