II. nélliode des limites. Voir Appendice, II, n
(18) Voici des exemples élémentaires de limites qui ne contiennent que des nombres commensurables (n est entier) :
Quand n varie depuis m= — 3 jusqu'à n »3, y croit depuis | jusqu'à 1 ^ en passant par la valeur 1 pour n = 0; k. partir de n = 3, y décroît sans cesse et a pour limite 1, dont elle diffère d'une quantité inférieure à (2 : n); la valeur limite 1 est donc atteinte pour n = 0, mais le couple de valeurs (» = oo , ^ = 1) est inaccessible. La fonction z est égale à si « est pair, à (1 : n), si n est impair; est une valeur atteinte une infinité de fois par z, mais c'est aussi la limite de 2; ; le couple de valeurs (n = oo ,
2; =s 0) egt inaccessible. Enfin rexpressîon u est égale à 24-ft'S si n est pair, à S-f-^'^S si fi est impair; pour n croissant indéfiniment u oscille sans cesse d'une valeur voisine de 2 à une valeur voisine de 3, sans avoir de limite. La différence u — 2 peut devenir, mais non rester aussi petite qu'on le veut.
(91) *[A la ligne 3, lire : dont Tamplitude peut étre^uttf ou infinie]. Voir le troisième exemple donné plus haut (Notes compl., (1B)).
(514) Voir la réciproque et un corollaire. Appendice, n® 300.
(tft) La démonstration directe du n® 301 est préférable.
(t6) La démonstration donnée au n** 296 est faite dans l'esprit de la théorie de Lipschitz (Voir Appendice, ch. V, particulièrement le n^ 310).
(t§) Eudide a défini comme il suit (aux termes près) une proportion entre quatre grandeurs A, B, C, D [BlémefUs, V, déf. 5) : c A est à B (supposé de même espèce que A), comme G est à D (supposé de même espèce que G), si la n*'*"' partie de B est comprise m fois dans A et, de même, la 9i*^ partie de D, m fois dans G, m et n étant entiers; ou si, quel que ioit m, on a toujours simultanément A supérieur (ou inférieur), à m fois fois la n^^ partie de B et G supérieur (ou inférieur) à m fois fois la nf^^ partie de D » . G'est cette définition qui a permis aux Anciens d'éviter la considération directe des incommensurables.
(99) I. Énoncé : La limite d'une puissance indifiniment eraissanie iwsA quantité Jlxe, inférieure {eupérieure) à Funité est nulle (infinie).
II. On a, en effet, en groupant convenablement les termes, si n = 2^,
supérieur à
2 + 4 + 8+-+^ ou l+«-2
et, si k est supérieur à 2,
inférieur à
III. *[Â l'avant dernière ligne de la page 5, lire \ au lieu de {. Les quatre premières lignes de la page 6 doivent être corrigées comme il suit : De même, pour fi =9 oo , en posant La. «s Bkn — H», Lin = L41» — iLï»=etc., Lin^^^hen — |L3»=etc., ont des limites L', L", telles que | <^ LL < 1 i» ^ts ^ ^^'*< <^ '^1* ^^^^ ^^ démonstration, voirn« 301.
IY« Ce que nous disons ici sur tt était exact en 1877; en 1882, LiiNDBBCANN a démoutré que tt n'est racine d'aucune équation algébrique à cœfScients entiers, en s'appujant sur les principes qui ont servi à Hbrmite pour démontrer le théorème analogue pour e (n* 38, lY).
III. JLiinltc» des fonctions élémentaires. Nous supposons établis dans les Éléments les principes rappelés ici d'une manière sommaire. Voici la démonstration du premier de ces principes et une esquisse de la démonstration des autres.
Une fois ces principes établis, les règles du calcul algébrique s'étendent aux quantités incommensurables, en regardant ces quantités comme limites de quantités commensurables.
(SO) I. D^nUion de la somme A-f-|UL — v de plusieurs quaniitis incommensurables A, /ji, v. 1° Soient /, m^ n trois nombres commensurables croissants, L, M, N trois nombres commensurables décroissants, ayant respectivement A, p, v pour limites, de sorte que / < X < L, fn < jix <M, «<v<N, lim(L — = 0, lim (M — w)=»0, lim (N — ») = 0. L'expression s = l-^m — N, toujours croissante et toujours inférieure à la quantité finie et décroissante L -j- M — », a une limite unie 9 (26) ; S=i3L4-M — «a la même limite; car L + M — n — a est inférieure à(L + M-n)-(ï + w-N)=(L — Z)+(M — »)+(N — »)(n«293), quantité qui devient et reste aussi petite qu'on le veut. Les quantités intermédiaires entre s et S, de la forme (7 ou L) -4- {m ou M) — (N ou n), obtenues en remplaçant dans s ou S, un ou plusieurs des nombres l, m ou n par L, M ou N, ou inversement, ont aussi <r pour limite (24). 2<* Soient encore 2', m' ^ n' trois nombres commensurables croissants, L'^ M', N' trois nombres commensurables décroissants, ayant respectivement A, juL, y pour limites. On aura lim [(Z ou L) + {m ou M) — {n ou N)] =3 9-'. Je dis que <t' » <r. En effet, on a V -^-m' — N' < L + M — 91, et, en passant à la limite (25), 9' = 9 ou <r' < a. De môme, L' + M' — «' > Z + f» — N, et, à la limite, (r'=(7 ou v' > (t. Par suite, o"'™». 3^ La limite ddela somme des nombres commensurables qui ont respeetivement >l, ^,
— V pour Imites êst, par DÂpnonoN, la valeur de la somme A -f- /ix — v. On vient de voir que cette limite existe (1^), et est unique (2o).
II. La démonstration donnée au n^ 30 du théorème (A) : Lim {u+9 —w) =: lim u -f- lim v — lim w s'applique littéralement quand toutes les quantités considérées sont commensurables, et même quand elles sont incommensurables, si l'on recourt à la représentation géométrique de celles-ci. La démonstration analytique s'applique aussi dans le cas où u^ v, fp, lim u, lim v, lim Wj lim (tf -f" ^ — ^) ^^^^ toutes ou en partie incommensurables, pourvu que Ton interprète les raisonnements et les calculs d'après les définitions des n^" 293, 295 et celle que nous venons de donner pour la somme A -j- fJt — y-
(as) Les notations sont celles du n<> (30). Théorème B. I. l"" Im Sk une limite a; LM, M, Lm ont la même limite. 2« Vm', L'M', VW, Vm' ont une limite gp' = a. 3® Par déjlniiion, (t =* l^i. II. 1* Si lim « = U (ou « =» U + a, lim ce = 0), lim 9 =V (ou f> = V + /3, lim j3 = 0), on a «« — UV= aV + ^U + «p, lim (w) = UV= lim u . lim t?. 2» Extension facile au cas d'un produit de plusieurs facteurs égaux ou inégaux.
THÀ>RâMB (C). I. 1« [l : M), {L : w), (L : M), {l : m) ont une limite <7. 2f* Même théorème pour les lettres accentuées. 3<» Par déflnitioni o> s=s (A : ijl). II. On a
u U aV — (3U ,. tt U lim«
T7 = :^ » lim-= — = r: •
f V vY f> V lim ©
Théorbmb (D). L Soit A un nombre, commensurable ou non, limite de U'yVP et L'',L'f', l et V étant des nombres commensurables croissants, L, L' des nombres commensurables décroissants, p entier positif. 1* Le nombre l a une limite 7, le nombre L une limite 2. On ne peut avoir 2 différent de (t; car, d'après (B), A = lim /p = (lim /)? = <rP, A = liml/
= (lim L/ =» 2^ 2^ Lim V = lim L' = d. 3^ Par déJlnUion, <y = |^A .
II. Soient lim « = U, |/^« = t>, |^U = V. P V différent de zéro, positif par exemple, pour fixer les idées. 11 en sera de même de U =*Y'', de u
aussi peu différent de U qu'on le veut, puisque lim » = U, et de
10 = yu. On aura
tjp — Vp tt — u
t)P-« -|- t?p-«V -I 1- VP-» t^p-* + t?P-*V H h VP-*
et, à la limite, limt>-.V = 0, ou lim !/"« = l/" (lim «). 2<»SiV = 0,
X] =sOf u ou tP ajant pour limite zéro est compris, en valeur absolue, entre et un nombre commensurable If* aussi petit qu'on le veut; donc 9
est compris entre et l, et lim v^=sO, ou lim yu = |/ (lim u). (34) SaponeniUUes . I. Pour p entier positif et croissant ind^nimenty
lim |/ B = 1. 1<> Soit B plus grand que l'unité. Pour p croissant, |/ B,
qui est supérieur à Tunité, décroit sans cesse et a une limite a. Je dis
que a ne peut être supérieur à Tunité. Si Ton avaitj a = 1 + a, a étant
p positif, on aurait aussi j/B > 1 + a, B >(1 + a)p > 1 +i>a, ce qui est
impossible, puisque p et pot peuvent devenir aussi grands qu'on le veut.
Donc fl = lim jJ^B = 1. 2* Soit B inférieur à 1, égal à (1 : B'), B' > 1.
Alors, lim J/^B = lim (/'(l : B') = lim (1 : ï^B')=(l : 1)=1. 3« Corollaire. Si X décroit indéfiniment, B' a pour limite l'unité; car a est com-
pris entre (1 :p), [!:(? + 1)], p croissant indéfiniment, B' entre i/ B,
yB qui ont l'unité pour limite.
II. Pour fixer les idées, soit B>I. I<^ B' a une limite a; B'' une limite 2. On a cr = 2, car B*--* = (B*- : B') a pour limite (2 : j); or, si L — l tend vers 0, d'après I, 3% lim B*--' = 1 ; donc (2 : <j) == 1. 2« B", B'^ ont la même limite a. 3"^ Par définition, or = B^.
III. Première partie du thâorémb (E). B"* a pour limite B^'"**; car B« — B«»»«=B""«(B''-"»» — 1); quantité dont le second facteur a pour limite zéro. Corollaire. B' est fonction continue de x (84).
Logarithmes. I. B' fonction continue de x, prend toutes les valeurs de
à CD , si B est supérieur à l'unité, de oo à 0, si B est inférieur à Tunité, quand x vlarie de — oo à -|^ oo (29, 1, et 92). Donc tout nombre P a un logarithme dans le sj&tème de base B, savoir, l'exposant p qui vérifie l'égalité B'* =3 P. Si B est plus grand que l'unité, P et Log P croissent simultanément; LogP décroit quand P croit, si B est plus petit que l'unité. II. Seconde partie du théorème (E). 1*» Lim Log (1 + a?) = 0, si lim j? = 0. En effet, soit x compris entre — eet-J-e, 1 — e = B"*,
1 4- e s= B^, en supposant, pour fixer les idées, B plus grand que l'unité, et, par suite, a et ^ positifs. Si e décroît et a pour limite zéro, 1 — e=B~«, variant dans le même sens, ot décroît aussi et a une limite y, qui est nulle. Car, si y était différent de zéro, on aurait l = lim(l — e) = limB'^ = B~y, ce qui est absurde. De même, lim P = 0. Mais 1 + a; = B''»«^*+'> étant compris entre 1 — e = B-*« et 1 + e = B^,
liOg (1 + x) est compris entre — a et (3 ; donc Log (l-^-x) a zéro pour limite y comme ot. et |3. 2" LimLog u=^ Loglmti. Car, évidemment
Log» — Loglimt* = Log(l+^)i si Ton pose l-j-â^^'Ci^ : lim») et â? a pour limite zéro.
Rbmarqub. Le théorème (F) se démontre aisément par la géométrie.
(S5) Application. Soit tt* = y. On aura Logy = 9Log«=:ir; ys=B*'; limy = B""«'; lim n? = (lim 9) (lim Log ») «= lim 9 Log (lim «) = Log (lim uf^\ Donc lim y = B'^« (•'»•)""•' = (lim «)"«•.
(SS) L ♦[Ligne 2, lire v, = |(1 — i)]. IH. De la relation
^ — ^ — — .^— I— ^ ^ ^ Il I ■ — 1 1 1 ■ ■ 1 ^ •• • j ' " I
on déduit, en faisant croître n indéfiniment,
= limA+i+-î--^ — y—i — ^
Y. Le logarithme P' d^un nombre P, dans le sens attaché primitiven^ent à ce mot par Néper, est au fond, déâni par la relation
p : 10^ = ii<i\ de sorte que, si P = 0, P' = + 00 ; si P = 10% P' = Oî
si P = 00 , P' = — « (J. W. L, Glaisher).
(41 -4S) Les fonctions transcendantes ^, là? sont donc les limites des
fonctions algébriques f 1 -] — j > w {yx — 1), pour m = » .
(44) *[ Dernière ligne, lisez L' = log 1/8, L"=logV/12]. On a évidemment, à cause des égalités du n® 301, Ex. II, III, L'=>41og2 + log2 = log|/8, L" = ^ log3 + log2 = logl/12.
lY. Mélhode Influitésiiiiale. (47). La définition générale de Cauchy permet d'assigner l'ordre d'un infiniment petit comme y zsszxlx^ j^ ea ^ (2 "(- sin âr'), ce qui est impossible avec la définition élémentaire donnée au commencement de ce n"". Pour x = 0, y (n*" 201, Semarqui)
et z sont nuls. L'expression (y : âT) a pour limite l'infini ou zéro, selon que r est supérieur ou inférieur à Funité. Le premier point est évident; pour établir le second, soit r = l — s; alors {x\x : x^^') =^ a'l{w^) : 9 =^tlt :Sf si t = X*. Donc, si s est positif, quand â? et ^ tendent vers zéro, la limite de {x\x : x^''), d'après le n*" 201, est nulle. L'expression a? (2 + sin xr^) ; «••] =z a?*-^ (2 + sin ar*) a aussi pour limite 00 ou 0,
soiyant que r est supérieur ou inférieur à Tuiiité. Dans le sens de Cauchj, y eiz sont donc du premier ordre.
(4») Voir Appbnmcb, chapitre III, n^ 291, U, III. 292, Xn, XIII, la définition des if^ninuiU petits (nuls) d'Ëuler, et des pseudo-i^finimefU petits de Poisson.
(69-64) *[N* 53, ligne 2, au Ueu de a, lire aj Voir Appendice, chapitre VI, n~ 311-312, le vrai sens de la démonstration.
(54) *[Ligne 6, au lieu de SOrtr = 0, lire lim SOr^r = 0].
(65) *[Efracez les mots : même si lim Sa« =? oo , lim Sat = — oo , quand lim SOr = K].
(66) Sur la méthode des infiniment petits nuls et sur celle des pseudo-infiniment petits, voir Appbndicb, ch. III, n» 291, II-III, 292, XIII.
(67) Voir, pour la recherche de Taire de Tellipse et de la parabole, la plupart des ouvrages sur les sections coniques; pour celle de Thyperbole, le n"* 131, où nous avons indiqué explicitement tous les théorèmes sur lesquels on doit s*appujer pour établir rigoureusement le résultat auquel on arrive.
(6§) Sur les tangentes aux coniques, voir les ouvrages relatifs à ces courbes, par exemple, le livre VIII du Traité de fféométrie de RoucHé
et DB COMBEROUSSB.
V. tonetloD» d'une Tarlablc iinaf Inaire. (60-6t) Pour une exposition plus détaillée de la théorie des fonctions hyperboliques, voir notre opuscule : Précis de la théorie des Jonctiom hyperboliques (Paris, Gauthier- Villars, 1884). Si Ton pose Th^ x = tang { 6, on trouve aisément la valeur de ^, de ^', en fonction de 0, puis Châ? =» 1 : cos d, Shâ; =3 tang 0, Thâ; = sin 9. Ces relations remarquables permettent d'éliminer, si Ton veut, les fonctions hyperboliques des calculs en les remplaçant par des fonctions circulaires.
(60) La propriété 2® aurait du être mise la première. On l'obtient aisément au moyen des relations ^ = Châ? + Sha?, e~' = Cha? — Slu?, par multiplication. Des formules
Sha? = ^— — , Cha? = -f |/ 1 + Sh«a?, Thaî==Y-r-
^Is
on déduit immédiatement que, pour x positif et croissant de à oo , les fonctions Slu;, Ch^r, Thâ; croissent respectivement de à oo , de 1 à
ûo , deO à 1. On arrive à la même conclusion en faisant varier de à { n, dans les formules données ci-dessus.
(•1) La démonstration peut se faire en s'appujant sur les n** 57 et 131, du directement, comme il suit. L'équation de rhjperbole peut s'écrire X=:Ch^ Y = Sh(, puisque (60,2»), Ch«< — Sh«/== 1. Considérons le secteur a ayant pour sommet l'origine des coordonnées^ poizr base Tare d'hjperbole dont les points extrêmes sont (X, Y), (X, — Y), correspondants aux valeurs extrêmes t, — ^ de la yariable. Posons i = nii et soient A, 1, 2, 3, ... N les points de Tare d'hyperbole ayant respec* tivement pour coordonnées :
- ChO, ShO; Ch3, ShJ; Ch2a, Sh23; Ch33, ShSJ; ...;
ChnS = Cht, Shnd = Sh^.
L'aire du secteur w sera la limite du double du polygone 0A1234...Ny quand d décroit indéfiniment. Or Taire du triangle ayant pour sommets et deux points k et k — 1, est, d'après une formule connue,
i [Shhd Chd — l)(î — 8h{k — l)(î Chl(î] = { Shd.
Par suite, l'aire du double du polygone 0A12 ... N est nShd =3 nd (Shd :S) = t {Shi :d)etx = flim(Sh3 : d). Or (43),
ShJ ,. e^ — r-^ . tf«J-l 1 , , lim-5. = lim-^5 lna-—.^^=l.l.
Donc enfin, x = t et X =» Ch^ == Ghâ;, Y = Sh^ = Shâ;.
(65) La somme (pe^^ + Re^^ de deux imaginaires composées a un module [/[{p coscp + R cos$)' + (p sinç + R sin4>)*] ou encore [/[p^ + R* + 2Rp cos(cp — ^)], quantité égale ou supérieure à di (R — p), inférieure ou égale à R + p. On déduit de là, de proche en proche, que le module de la somme de plusieurs quantités est tout au plus égal à la somme des modules de ces quantités.
(67) Le module «'+'' du produit de deux imaginaires est égal au produit des modules e'f e*' des facteurs. De proche en proche, on établit ensuite la même propriété pour le produit de plusieurs facteurs.
(11) *[Ligne 3. Lire : sinij = -^(tf'' — r^')]. Ce n« aurait dû être transporté après le n" 67.
(76) ^[Dernière ligne. Au lieu de lim r, lire ; lim l,]
YI. Propriété* dlTerse» de» fonctions. (76) La démonstration du théorème : Toute fonction ¥x eêt la somme d'une fonction pake
et i'nnê fcnetion impaire implique, bien entendu, que le signe fonctionnel F soit défini de manière qu'en changeant iP en — x, dans F ( — x), cette dernière expression redevienne identique à Fx,
L'interprétation géométrique de la fin de ce numéro s'applique évidemment à des fonctions paires ou impaires réelles.
(79) Notations meilleures, n* 146, 4<^ {Arg au lieu de Sect).
(SO) *[Demière ligne, lire ordonnée, au lieu de abscisse].
Vn. Contlnaité des fonclions (§4) '*'[Ligne 2, lire : Si fx étant finie et réelle]. Soient
Gomme ^x est nulle pour x différent de zéro et est égale à Tunité pour â? = 0, on a (p (0, 0) = 0, ç (0, y) = 0, ç {x, 0) = 0, et ç {x, y) = sin|4 arctang{y : â?)|.On trouve A,;î=(p(a?,0) — 9(0,0)=0, A,;î=9(0,y) — 9 (0, 0) = 0. Donc, pour â? = 0, y = 0, la fonction z est continue considérée comme fonction de x seul, ou de y seul. Mais A^ = 9 {x, y) — 9 (0, 0) = sin |4 arc tang {y : x)\ n'a pas pour limite 0, si Ton fait tendre simultanément xeiy vers 0, d'une manière quelconque; par exemple, si l'on fait y = kx^ A^ = sin |4arc tang ^j, quantité qui n*a pas zéro pour limite, si k est convenablement choisi. Une fonction peut donc élre continue par rapport à chacune des variables^ variant isolément, sans Vitre par rapport à toutes les variables variant simultanément (Comparez n* 210).
(•t) *[Ligne 14, lire/Xp an lieu de/X]. La réciproque n'est pas vraie : il existe des fonctions discontinues qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires (Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, dans les Annales de rÉeole normale supérieure, 1875, 2* série, t. IV, pp. 109 et suiv.)
(•S) Synonymes, Fonction uniformément continue =» fonction également continue = fonction équicontinue (Qilbbrt) »= gUichmâuig stetige Function (en allemand).
Remarques. I. La fonction fx est équicontinue même pour Xc et X, si la dérivée fx est continue pour les valeurs de x voisines de Xo, X« et comprises entre x^eiX. En effet, dans ce cas, on a, d'après le n"" 106 ou 206,/(ir,+*) — Aa =*A^o + 6*),/(X -- ») -/X— -A/'(X-fi^A),
quantités en valeur absolue inférieures à iM, M étant une constante plus grande que toute valeur àef'x entre Xn et X.
IL De même, si pour toutes les valeurs de x, depuis x^ jusqu*à X, et de y, depuis y^ jusqu'à Y, on a (211) A/ (a?, y) = A^/^(â?+9Aa?,y+0Ay) -\-LyfJix + 6Aa?, y + 0Ay), les dérivées partielles /i, /J restant toujours inférieures à M, quantité ânie, Yosdllaiion /« {x, y) — /m {Xj y) de /{x^y) dans Tinter valle {x, x-\' Ax; y^y-^ iiy) est inférieure à la somme des valeurs absolues de MAâ?, MAy et cette fonction peut être dite équicofUinue. Nous désignons par fu^fmt la valeur maxima et la valeur minima, ou, plus généralement, la limite supérieure et la limite inférieure de/ (204, II).
