CHAPITRE V. Fonctions d'une variable imaginaire
I. VonclUai» hyper INilMineai. 59. D^/ffitlftons. Chx»^(er4-e~'), Shx = 1 (c* — 6^»), Thx = (Shx : Chx) ; Chi Séchx =» Shx Cosëdix = Th « Coth x = \.
••. Propriitéê, i<» Ch ( - a:) = Ch ar, Sh (~ r) — — Sh «, Th (— «) = — Thx. Ensuite ChOc=a4, ShO=sO, ThOaO; Ch oo «a oo, Sh 00 =s 00, Th 00 = I . Pour x croissant de Œ i oo, Ch x croit de 1 i od, Sh X de i 00, Th X de à 1 . 2* On a ensuite : Ch'x— Sh'x« i . 3« Puis
Ch(x-^y) = ChxChy + ShxShy; Sh(x H-y)»ShxChy -¥ SfayChx; Th(x + y)«(Thx H-Thy) : (I H-ThxThy).
et. interprétation géométrique. Dans le cercle X* -h Y* =» 1 , X, Y, (Y : X) sont respectivement <^gaux & cos x, sin x, tang x, x désignant le sedeitr circulaire ayant pour base l'arc 2x ; dans l'hyperbole X* — Y* = I, X, Y, (Y : X) sont respectivement égaux à Ch x, Sh x, Th X, X désignant le secteur hyperbolique dont les points extrêmes de la base ont pour coordonnées (X, Y), (X, — Y) (S7).
•9. Résolution des équations X = Ch x, Y = Sh x, Z = Thx, par
rapport d x Des deux premières, on tire X •+■ Y == e*, x = I (X -*• Y).
Si X est donné, Y« = X* — 1 , Y =» dz |/X« — 1, et, par suite, x =
' l(Xd:j/X«-l) = i:l(X-^(/X« — 1), (-h ou —suivant que Y = Shx
est positif ou négatif). Si Y est donné, X« = Y* 4- 1 , X « -h j/Y^TI ,
^/ (tout cosinus hyperbolique X est positif); x=s 1 (Y -f- ^Y* + i). Enfin,
de Z = Th X, on tire
eni Z(e'-*.c-) = e'-e-', e*'(i~Z)c=l ^ Z, x^\\/ j^^-
II. Exi^onenllelles parement imagliialres. 69. Conventions et conséquences immédiates. Par définition, en posant • = (/ — 1 . e*' « cos X -4- i si 11 X, de sorte que c'^' = 1 , e''' = — 1, rf'^' •= if
be de
Dp-
«"•* = cosx — tsinx. On déduit des valeurs de e*', e~'', les formules suivantes, attribuées à Eulbb :
C08 X = - (c^ -♦- e"'^), sin x = ^•.(c'* — c*')'
On a encore, k étant entier,
^<+*.iirt c=3 cos (x -*- 2Ar7r) -♦- » sin (x -*- 2*7:) == ces x -4- » sin x = e**.
64. Sfultiplication des exponentielles purement imaginaires. On trouve
e*^. ey* = (cos x -♦- t sin x) (cos y -♦- 1 sin y) = (cos x cos y — sin x sin y) -»- i (sin X cosy -*- sin y cos x) = cos {jc -\- y) -t- 1 sin (x -*- y) = 6*'"*^.
La multiplication, et, par suite, la division ei Téiévation aux puissances des exponentielles imaginaires se font comme pour les exponentielles réelles. En particulier, m étant entier positif,
(e**)** esa (cos X -♦- t slu x)* = C""* = COS mx -f- 1 sin iwx,
formule de Moivrb, d*où l'on lire la valeur de cos mx, sin mx, au moyen de cosx, sin x; puis celle de cos"*x, sin"*x, au moyen des cosinus ou sinus des multiples de x, savoir mx, (m — i) x, (m — â) x, etc. (Schaar, €. D. n^ 65, 66 ; Leféburb, Trigonométrie y c. UI). m. Exponentielles composées; imnginiilres quelconques.
65. Argument et module d*une expression imaginaire a + 6t. Posons a =as p cos 9, J = p sin cp, de sorte que a -^ bi = pc^', p* «= o* -t- i*,
tang (p es (i : a). La valeur positive de |/a' + b^ est le module de a h- &t, une des valeurs de 9, en est Vargument, Les autres valeurs de cp en diffèrent d'un nombre entier de fois Stt. Si l'on pose p = e^*, ou 4^ = Ip, a H- fttVs^t.eî".
•6. Représentation géométrique. On dit que le point qui a pour coordonnées rectangulaires a, b, polaires p et 9, représente a + 6t;=pe?'. Ex. : — a — 61; a, — a; W, — bi; c^" : le module de e?' est l'unité.
•7. Exponentielle composée. Par définition, e'+y' = e' . e^*. Par suite (65), toute imaginaire peut se mettre sous la forme 6''*'^'. Ensuite, e'^ y*. c^+3r'< « c». ey'. e" . e»" === e*. e*'. ey*. «y" = e*-^'' . e^y +y'>' = c<''»-*'>+<i^+y'>* : les exponentielles composées se comportent donc comme les autres.
•ft. Périodicité des fonctions hyperboliques et des exponentielles. On a e.+i*ir< ^ g, , gtATr* = e* ; Ch (x -^ 2711) = Ch X i Sh (x -^ aTi") = Sh x . Ch (x -*- Tri) = — Cb x, Sh (x -*- m) = — Sh x, Th (x -^ ni) == Th x ; ce que l'on exprime en disant que e*, Ch x, Sh x ont pour période ârrt; Th x, m.
••. Logarithmes imaginaires (Schaah, G. D., n* 69). On appelle logarithme analytique d'une expression u^=»a ^ 6i=e'+3'*=c^»+"^, et on représente par l((Z)), Texposant x -«- yt + â^Tri de la puissance de e égale k cette expression. Toute expression u a donc une infinité de logarithmes, différents entre eux d'un certain nombre de fois 27^. Ex. 1« Soit a =v c' ss e^ikni un^ quantité positive a. On a l((a)) = ar -4- SAtti == le* •+* 2A7rt == Imod. a -^ 2Am. 2* Soit a = — e* = e»+^ = c«-*<«*+*)w« une quantité négative. On a l((a)) «= x h- (2* h- 1) Trt =3 Imod. a + (2A: -h 1) tti, valeurs toutes imaginaires. 5"* l((t)) «= l((ci*'+***'J) == jTTi -♦- 2fc7rt. Une des valeurs de [l((t)) : i] est donc J tt.
70 Propriété fondamentale. Soit t; = «•+*', ic = e"+3r'*. Si, *. ^', A" sont des nombres entiers quelconques, 1((I7)) = x -f- yt -i- 2 kni^ \{{w)) = X' -^ y'i ^ 2*'7ri, l((»j) -4- !((»)) = (x -*- x') -*- (y -^ y') • -i- 2k" tti = 1 ((e'+f'+'^y+*'))) s= 1((UM7)). Les propriétés de ces logarithmes sont donc les mêmes que celles des logarithmes ordinaires.
71. Fonctions circulaires et hyperboliques d'une variable imaginaire z = X -^ yi. Par définition^
cos z = ^ (e« H- c— 0> 8<n ^ = ti («•' — «"*')» ^H * = s.*" z : cos z Ch ;c s= i («• + C-), Shz=^(e* — e-), Th « = Sh jj : Ch«.
Ces fonctions ont les mémos propriétés pour z imaginaire que pour z réel. On peut exprimer z au moyen de cos z, sin z, tang 2, etc. On a
cos zi <= Chz, Ch zt es cos z ; sin zi «= t Sh z, Shzt = t sin z ;
tang zi = i Thz, Thzi = 1 tang z.
Par suite de ces relations, il suflit déconsidérer Tune ou Tautre de ces deux sortes de fonctions quand z est imaginaire. Le plus souvent, on suppose que dans cos z, sin z, tang z, z est réel, ou de la forme x + yi; que, dans Ch «, Sh z, Th z, z est réel.
IV. Lioillcs des roncllons élémentiilres. 7%. Préliminaires. En posant lim (X +iY)= lim X + t lim Y, les principes généraux relatifs aux limites et aux infiniment petits s^ctcndent aux Fonctions d'une variable imaginaire, sans aucune peine, sauf dans les cas suivants.
73. Limite rff F = (c* — i)'* z pour z = 0. F a pour valeur : C cos y — 1-4- ie' si n y (c* cosy — i -+- tV sin y) (x — t'y)
■ :- = -— ss r -I- S',
