COS A
Lorsque des cinq quantités
deux sont données , on peut aisément à l’aide des formules (ai) , (la) déterminer les trois autres , pourvu que les quantités données ne soient pas les deux angles a , B . En effet , si l’on donne un des angles a , B , l’autre se déduira immédiatement de l'équation (ai). Donc alors l’angle a sera connu , et si l’on donne en outre une des trois longueurs a , b , c , la formule (aa) fournira les valeurs des deux autres.
On trouvera en particulier , si a est connu ,
si b est connu ,
b = a cot a , c zz a coséca,
a = b tang a , e = 6 séc a ,
et , si c est connu
a — c sin a. j b — c cos a .
Si l’on donnait deux des trois longueurs a , b , c , on déterminerait immédiatement l’angle a par l’une des trois équations
(16) siu a = — , cos u su — , tang a = - ,
puis on obtiendrait la troisième longueur en opérant comme dans la première hypothèse.
Deux droites tracées arbitrairement dans l'espace sont censées former entre elles les mêmes angles que formeraient deux autres droites parallèles aux premières et passant par un même point. Cela posé , étant données deux droites, situées ou non dans un même plan , qui comprennent entre elles l’angle aigu a , et une longueur c mesurée sur la première droite , si l'on projette orthogonalcuicnt cette longueur t .• sur la seconde droite , a.“ sur une troisième droite qui soit perpendiculaire h la seconde dans un plan mené par celle-ci parallèlement à la première, les deux projections sc réduiront évidemment aux deux côtés a , -b d'un triangle rectangle dans lequel l'iivpothénusc égale à c formerait avec le côté b l'angle a . Par suite on déduira de la seconde des équations (a4) jointe à la seconde des équations (a5) le théorème que je vais énoncer.
i Théorème. Une longueur c mesurée sur une droite est équivalente à sa projection sur tut axe quelconque multipliée par Ut sécante de l'angle aigu a. que cette droite forme avec l’axe. La projection elle-même équivaut à la longueur c multipliée par le cosinus de l’angle a. .
Considérons à présent , dans un cercle dont le rayon serait R et le diamètre
D = iR ,
l'arc compris entre deux rayons qui formeraient entre eux un angle double de l'angle aigu a. Cet arc sera représenté par a a, si R se réduit à l’unité, par a R* dans le
cas contraire ; et , si l’on nomme a la corde de ce même arc , ~ a sera le côté opposé à l'angle « dans le triangle rectangle qui aura pour bypothénuse l’un des rayons ci-dessus mentionnés. Cela posé , on tirera de la première des formules (a5),cn y remplaçant a par — a , et c par R ,
(37) a = R sin a , a — a R siu « = D sin a. ,
par conséquent • ,
rut «
D'ailleurs les deux portions de la circonférence situées de part et d'autre de la corde a seront évidemment des segments capables des angles a, it — a qui offrent le même sinus On peut donc énoncer la proposition suivante.
a.* Théorème. Dans un cercle quelconque le rapport qui existe entre la cordc d'un arc et le sinus de tout angle inscrit dont les côtés comprctuienl entre eux ce même arc , équivaut au diamètre.
Soient maintenant a , b , e les trois côtés d’un triangle quelconque , et a , B , y les angles opposés à ces côtés. Les quantités, a, 8, y, toutes trois positives et inférieures à ir seront liées entre elles par l’équation
De plus , si l’on nomme D le diamètre du cercle circonscrit au triangle, on aura, eu vertu du a.' théorème ,
a b sin a sin ti
sin y
Enfin, si, en prenant le côté c pour base du triangle, on nomme h sa hauteur, a, b deviendront les liypothénuses de deux triangles rectangles qui auront pour côté commun la hauteur h ; les angles opposés à ce côté commun étant respectivement l’angle 8 ou son supplément n — 6 et l’angle « ou son supplément x — a . Donc , en ayant égard aux formules
sin ( x — a ) se sin a , sin ( x — 8 ) = sin B
on trouvera , dans tous les cas ,
• (3o) h = Il sin 8 — 8 sin a.
Ajoutons que la base c du triangle donné sera évidemment égale à la somme des côtés non communs des triangles rectangles , si les deux angles et , B sont aigus , et à la différence des mêmes côtés , si l’un de ces angles , a , par exemple , devient obtus ; d’où il suit qu’on aura dans le premier cas
(3 1 ) c = a eos B ■+■ b cos « ,
et dans le second cas
ct= a cos B — ô cos (n — a).
Or, en combinant la dernière formule avec l’équation
cos ( b — a) = — cos a,
on retrouve précisément la formule (3 1 ) , qui est ainsi démontrée , lors même qu’un des angles a , 73 cesse d’être aigu.
Lorsqu'on pose y = les formules ( 18 ) et (ag) se réduisent , comme on devait s’y
attendre, aux formules (ai) et (aa). Observons encore que la formule (3o) entraine évidemment l’égalité des rapports
sin « * sin ü '
et s’accorde ainsi avec la formule (ag).
Lorsque , dans uu triangle , on donne trois des six éléments
on peut aisément déterminer les trois autres , à l'aide des formules ( 28 ) , (ag) , ( 3 o), ( 3 t), pourvu que les éléments donnés ne soient pas les trois angles a, B, y . Dans cotte dernière hypothèse on ne pourrait évidemment déterminer que les rapports existants entre le* côtés. Mais , si l’on donne un côté a avec deux angles , après avoir calculé le troisième angle à l’aide de la formule ( 28 ) , ou connaîtra certainement a e ta, par conséquent
par le moyen de la formule (ag) de laquelle on tirera (33) b zz D sin /3 , c zz D sin y .
Si l’on donne deux côtés , b , c , avec l'angle 6 opposé à l’un d'eux , on connaîtra encore
puis on obtiendra successivement y , a et a par le moyen des formules (ag) et ( 28 ) , desquelles on tirera
(35) sin y == — , a zz x — (3 y) , a=i D sin a.
Si l'on donne deux côté* b et c avec l'angle compris », alors , pour déterminer a et 6 , on aura les formules (3o) et (3i), ou
a sin 8 = b tin »,
a coi 8 = c — 6 coi a , co* » 8 ■+■ sin * 8 = i i et l’on en conclura i.” en éUminaut a
(38) col 8 = cot a — i , a.* en éliminant 8
(39) a» = i» c* — ibe cos » .
avec la suivante
D'ailleurs , 8 étant connu , on pourra calculer y et a comme dans le cas précédent. Enfin, si l’on donne les trois côtés a, b, c, on déterminera l’angle » par le moyen de l’équation ( 39 ) de laquelle on tire
(4°) cos«= -j- »
puis D , 6 .et y par le moyen de la formule (3a) jointe à celles-ci
sin 8 =-jj , y = Jr — (a ■*- 6)
Lorsque dans la formule (3i) on substitue les valeurs de a ,,b , c tirées de la formule (ag) , savoir
a = D siu » , b = D sin 8 , c — D sin y ,
on en conclut
siu y = sin » cos 8 sin 8 cos » .
En combinant cette dernière avec la formule (a8) de laquelle on tire
sin y = sin ( jr — a — 8 ) = sin ( » ■+■ 8 ) ,
on trouvera
(4>) sin ( » ■+■ 8) = sin » cos 8 -t- sin 8 cos a .
La formule (4a) se trouve ainsi démontrée dans le cas où », 8 sont deux quantités positives propres à représenter deux angles d'un triangle quelconque, c'est-à-dire, deux
quantités positives , dont la somme ne surpasse pas le nombre r . Elle subsistera donc , si a et B sont deux angles aigus; et de plus, si, a, 6 étant deux angles aigus, on remplace dans l'équation (4a) a par * — a, la formule ainsi obtenue, savoir,
sin (jt— a-t-Æ) = sin ( s— «)cos B ■+■ siui0cos(îr — a) ou
(43)* siu (a — 1 8 ) = sin a cos Ë — sin B cos a
subsistera certainement dans le cas où s — x ■+■ B sera inférieur à n , c’est-à-dire dans le cas où l'on aura
D'ailleurs , en ayant égard aux équations
sin( — a)=— sina, cos( — a) = cosa; sin( — Æ)=-— sin£, cos( — B) = cos B , sin (-—a — B) —— sin(*-s-j0), sin( — * -4- /3) = — sin (a — B),
on reconnaîtra sans peine t.° que pour obtenir l'équation (43) il suffit de remplacer dans l’équation (4a) B par — B , a. 0 qu’on altère point les formules (4a) et (43) quand on y remplace simultanément a par — « et B par — B. Donc la formule (4a) subsiste pour toutes les valeurs positives ou négatives de a et de B renfermées entre les limites ir jt
Soient maintenant x , y deux arcs quelconques positifs ou négatifs. D’après ce qui a été dit plus baut , on aura
( 44) .r = mrt a, y = nn ■+■ B
m , n désignant deux quantités entières positives ou négatives , et a , B deux quantités comprises entre les limites — jr , w. Cela posé , pour passer de l’équation (4a) à la suivante
(45) sin ( .r ■+• B ) — sin x cos B sin B cos x , il suffira d’observer que l’on a
sin («iff-s- a-*-i8) = sin(a B), siu(m7T •+■ a) = sin a , cos(m* a) =: cos a ,
quand m est paire , et
tin (m* •+■ a ■+• 6)=— »in{« ■+• B) , ii«(m» -t- »}=:— lin* , cos'mn -»-*) = — cosa ,
quand m est impaire. Par la même raison, de la formule (45) on déduira immédiatement celle-ci
(46) *i» ( x -*-y ) ss sin x cos^ sin^- cos x .
Si dans cette dernière on remplace y par — y , elle donnera
(47) sin(x— y)= sinx cos^ — sin.y cosx.
Enfin , si dans les formules (46) et (4?) ° n remplace x par ^ — x , on en tirera
(48) co*(x— y)= cosxeos y sin x siny ,
(4g) cos(.r ) = cosxcosj' — sin x sing-.
Les formules (47) r (48), (Jy) subsistent, comme la formule (46), pour des valeurs quelconques positives ou négatives des arcs r et /.
Les formules (',6) , (4g) pouvant s'écrire comme il suit
sin (x -h y) = {tang .r ■+■ tangy) cos x cosy'
cos(x -*-y) = (i— tang x tang y) cos x cos y
on en conclut , en divisant la première par la seconde
tang»(x -t-y) =
tangx -s- tang y i — tang x tangy
puis, en remplaçant y par — y,
tang ( x —y) =
tangx — tnngy i •+■ tang x tang/-
De plus , si dans les formules (46) > (49)» (5°) on pose y — x , elles donneront
sin il = a sin x co sx,
cos a x = cos * x — sin * x = a cos* x — t ss i — a sin * x ,
a tang x
tanga* = 2
1 — tang * x
On tire encore des formules (46), (47) j (48) , (49)
I sin (x-s-^-f-sin (x — y) = a sin x cos y, sin(x •*-?) — sin(x— y) = asin ^ cos x, cos(x -*-y) -+- cos(x -*-y) — acosxcos^ , cos(x— y)— cos(x = asin xsinj' \
puis , en posant
ou , ce qui revient au inéine ,
on en conclut
sinp — sin o tang— (p — n) cos a — cos»
(56) -f- — = ' , — — «s tang -j (p—q). tang {-(p-s-ÿ),
sin p •+• sin q tang — [p cos q cos p
Kn combinant la première des équations (56) avec la formule (ag) , on trouvera
tang -j [B — y ) sin 6 — sin y b — c
tang-^(d -*-7) sin d sin y b C
etc...
Or, de 'cette dernière jointe à l’équation (a 8 ) , on déduira les suivantes
tang
x cot - ,
* et
srn a = a »in - cos — a a
co* et = a cos» — — - t s i — a sin» — .
a l’aide desquelles ou peut dans un triangle déterminer immédiatement les angles B et y, quand on connaît l'angle et et les côtés qui le comprennent.
Les formules (5a) et (53) donnent ,
En combinant la formule (6o) avec l'équation ( 39 ) , on trouve
( 61 ) a» = (6 •+• c)» —a bc cos* — = {b — c> •+• a bc sin» —
puis , en observant que dans un triangle quelconque l'on a
et qu'en conséquence
sin — , cos —
doivent être positifs , on tire des formules ( 61 ) et (5g)
bc
et 1 /(a-*-ô — c)(a— b -s-r )\*
,m a “ â ( bl / »
sm « '
Chacune des formules (6a), (63), (64) peut être substituée arec avantage à la formule (4o) , quand il s’agit de déterminer les angles d’un triangle dont on connaît les trois côtés a , b . c. Si d'ailleurs on nomme h la hauteur du triangle , le côté c étant
pris pour hase, la surface — ch sera, en vertu de la formule (3o) , égale k
— b e sin a , a
et , en vertu de la formule (64) , à
s représentant le demi-penmetre — .
Tant que l’arc a reste positif et inférieur à it , alors «os ~ et sin ~ étant néces-
sairement positifs , on tire de la formule (6o) (65) cos
A l'aide de ces dernières équations réunies à la formule cos it — — i , on déterminera sans peine les sinus et cosinus des arcs représentés par le troisième , le quatrième ..... termes de la progression géométrique
ijr,
En y joignant les
sinus et cosinus
des arcs n
et ai, on
trouvera
^ cos 3 7T r= i
