COI
ou , cc qui revient au même ,
Slll A COS A
sin a
r > cos a .
Cette dernière formule, n'étant point altérée quand on y remplace cl par — a , subsistera
certainement pour toutes les valeurs de a comprises entre les limites — - — , —, II
est d’ailleurs facile de s’assurer qu’elle s'étend h toutes les valeurs de a renfermées entre les limites — jt , ■+■ r .
Si maintenant on suppose que la valeur numérique de a diminue et s’approche indéfiniment de la limite zéro , on aura -
(75) liiu cos a = i .
Par suite la formule ( 74 ) donnera
lim
sin a
et de cette dernière combinée avec l’équation (7 5) on tirera encore
lim
sin a a cos a
ou , ce qui revient au même ,
lim
§ t 3 . Des expressions imaginaires et de leurs modules.
En analyse , on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par cllc-mémc , ou à laquelle on attribue une valeur diffère il te de celle qu’elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui , prises à la lettre et interprétées d'après les conventions généralement établies sont inexactes , ou n'ont pas de sens , mais desquelles on peut déduire des résultats exacts , en modifiant et altérant selon des règles fixes ou ces équations elles-mêmes ou les symboles qu’elles renferment. L’emploi des expressions ou équations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs et d’écrire sous une forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. C’est ce qu’on a déjà vu dans le § 4 aù b formule (40 fournit une valeur symbolique très-simple de l'inconnue x at.sujétie à vérifier les équations (39}. Parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de quelque importance en analyse , on doit surtout distinguer celles que l’on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment l'on peut être conduit à en faire usage.
D’après ce qu'on a vu dans le § précèdent , le sinus et le cosinus de l’arc .r y sont donnés en fonction des sinus et cosinus des arcs x et y par le moyen des formules
S cos (r -t-y) = cos x cos y — sin x siny.- , sin ( x s- y) — sin x cos y siny cos x .
Or , sans prendre la peine de retenir ces formules , on a un moyen fort simple de les retrouver à volonté. 11 suffit en effet d’avoir égard à la remarque suivante.
Supposons que l’on multiplie l’une pour l’autre les deux expressions symboliques
cos x •+■ d — 1 sin x cos y -+• d— 1 sin y ,
en opérant d’après les règles connues de la multiplication algébrique , comme si v — ■ était une quantité réelle dont le carré filt égal à *— 1 . Le produit obtenu se composera
de deux parties l’une toute réelle , l’autre ayant pour facteur t ; et la partie réelle
fournira la valeur de cos ( x s- y ) tandisque le coefficient de f— 1 fournira la valeur de sin (x -+-y). Pour constater cette remarque, on écrit la formule.
(a) cos (x -t-y) 1/ 1 sin {x-t-y) = (cosar •+■ ÿ~i siux) (cosy -t- v' — 1 siny).
( «Ol )
Les trois expressions que renferme l’équation précédente , savoir ,
cos x sin x , cos y y— i sin .y , cos ( jr +y) y~t sin (a: -*-y) ,
sont trois expressions symboliques qui ne peuvent s'interpréter d'après les conventions généralement établies , et ne représentent rien de réel. On les a nommées pour cette raison expressions imaginaires. L'équation (a) elle-même , prise à la lettre , se trouve inexacte et n'a pas de sens. Pour en tirer des résultats exacts, il faut, en premier lieu, développer son second membre par la multiplication algébrique , ce qui réduit cette équation à
(3) cos(x -*-y) -t- V — 1 sin(.r -t-y) = cos.rcos^y — sinxsin^ -t- (sin x cosy ■+■ siny cos.r) ✓ — , .
Il faut , en second lieu , dans l’équation (3) égaler la partie réelle du premier membre à la partie réelle du second , puis le coefficient de — ■ dans le premier membre au coefficient de V — ■ dans le second. On est ainsi ramené aux équations (i) , que l’on doit * considérer comme implicitement renfermées l'une et l'autre dans la formule (a).
En général on appelle expression imaginaire toute expression symbolique de la forme
a , h désignant deux quantités réelles , et l’on dit que deux expressions imaginaires
sont égales entre elles, lorsqu’il y a égalité de part et d autre l.” entre les parties réelles a et c , a.® entre les coefficients de ï , savoir b et d. L’égalité de deux expressions imaginaires s'indique , comme celle de deux quantités réelles par le signe = , et il en résulte ce qu'on appelle une équation imaginaire. Cela posé, toute équation imaginaire n’est que la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles, l’ar exemple , l’équation symbolique.
équivaut seule aux deux équations réelles
Lorsque dans l'expression imaginaire
le coefficient b de s’évanouit, le terme b est censé réduit & xèro , et l’expres-
sion elle-même à la quantité réelle a. En vertu de celte convention les expressions imaginaires comprennent , comme cas particuliers , les quantités réelles.
Les expressions imaginaires peuvent être soumises aussi bien que les quantités réelles aux diverses opérations de l’algèbre. Si l’on effectue en particulier l’addition , la soustraction ou la multiplication d’une ou de plusieurs expressions imaginaires , en opérant d’après les règles établies pour les quantités réelles , on obtiendra pour résultat une nouvelle expression imaginaire qui sera ce qu’on appelle la somme , la différence ou le produit des expressions données. Par exemple , si l'on donne seulement deux expressions imaginaires a b / — i , c -b d é—i , on trouvera
(6) (a-t-bd— i ) (c d i/ i ) =ac — bd -s- {ad s-bc) V— i •
11 est bon de remarquer que le produit de deux ou plusieurs expressions imaginaires,
comme celui de deux ou plusieurs binômes réels restera le même , dans quelque ordre qu'on multiplie scs différents facteurs.
Diviser une première expression imaginaire par une seconde, c’est trouver une troisième expression imaginaire qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. Le résultat de cette opération est le quotient des deux expressions données. On se sert pour l’indiquer du signe ordinaire de la division. Ainsi , par exemple ,
a ■+■ b /ZTI c s- d |/7T,
représente le quotient des deux expressions imaginaires a-t-bd~i , c -t -dd— i .
Elever une expression imaginaire & la puissance du degré m, m désignant un nombre entier , c’est former le produit de m facteurs égaux à cette expression. On indique la puissance m m * de a-*- b d — i par la notation
On dit que , deux expressions imaginaires sont conjuguées l'une à l’autre , lorsque ces deux expressions ne diffèrent entre elles que par le signe du coefficient de V — i . La somme de deux semblables expressions est toujours réelle ainsi que leur produit. En effet , les deux expressions imaginaires conjuguées
donuent pour somme ta , et pour produit a*-r b*. La dernière partie de cette observation conduit & un théorème relatif aux nombres et dont voici l’énoncé.
i." Théorème. Si l’on multiplie Cun pour l’autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrés , le produit sera encore une somme de deux carrés. Démonstration. Soient
les deux nombres entiers dont il s’agit , a 1 , b x , c* , rf 1 désignant des carrés parfaits. On aura évidemment les deux équations
( a -+- b ]/ — i) (c -f- d ) = ac — bd ■+■ ( ad -4- ire) V— i ,
{a — b V — i ) (c — d |/~) — ac — bd — (ad -t- bc) ,
et , en multipliant celles-ci , membre à membre , on obtiendra la suivante
(8) (a' ■+■ b x ) (e* d 1 ) — ( ac — bdy •+■ {ad bcf.
Si l'on échange entre elles dans cette dernière les lettres a et b , on trouvera
(g) (a* -4- i>») (c* -+-£/>) = (ac ■+■ bd) x -t- ( ad—bey .
Il y a donc en général deux manières de décomposer en deux carrés le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés. Ainsi , par exemple , on tire des équations (8) et (g). .
On voit par ces considérations que l’emploi des expressions imaginaires peut être d’une grande utilité , non seulement dans l'algèbre ordinaire , mais encore dans la théorie des nombres.
Quelque fois on représente une expression imaginaire par une seule lettre. C'est un artifice qui augmente les ressources de l’analyse et dont nous ferons souvent usage.
Une propriété remarquable de toute expression imaginaire a b v'— i , c’est de pouvoir se mettre sous la forme
f ( cos 6 -4- s in S )
f désignant une quantité positive et S un arc réel. En effet , si l’on pose l’équation symbolique
(i°) a -b b /H7J = f (cos ô •+■ »/37 sin 6) ,
ou , ce qui revient au même , les deux équations réelles
(il) a = p cos 6 , b — p sin 0 ,
on tirera
o* 4» = (cos* 4 -+• sin* 6) = p‘ ,
(la) p — \a * b* ,
et , après avoir ainsi déterminé la valeur du nombre p , il ne restera , pour vérifier complètement les équations ( i o) , qu’à trouver un arc 6 dont le cosinus et le sinus soient respectivement
cos 6 —
sin 6 —
Or on tire des formules ( 1 3)
tang 6 =
sin 6 cos 6 '
D'ailleurs si l'on désigne généralement par la notation
arctang x
l’arc qui , ayant x pour tangente , offre la plus petite valeur numérique possible , et se trouve en conséquence renfermé entre les limites
JT
on vérifiera la formule ( 1 4 ) > en posant (a5) 6 s nx •+• arctang ,
n représentant une quantité entière positive ou négative. Enfin, comme tout arc renfermé entre les limites — , -+• — a un cosinus positif, on peut affirmer que l’arc 4
déterminé par la formule (i5) offrira un cosinus positif, si n est paire, c’est-à- dire, si l’on a
(l6) 4 = ± lkit arctaDg ^ ,
J étant un nombre entier quelconque , et un cosinus négatif , n » est impaire, c’està-dire , si l’on a
fl = ±(a* h- i) »r -4- arctang - .
Cela posé, de l’équation (> 4 ) présentée sous la forme
cos fl sin fl a ~ b ’
on déduira immédiatement la formule
cos fl sin fl i *
~a ~T~ ~ fl* ’
et par conséquent les équations (i 3 ) , pourvu que l’on détennine fl par la formule (16), quand a sera positif, et par la formule (17) quand a sera négatif. Dans l’une et l’autre hypothèse le nombre entier k pouvant recevoir une infinité de valeurs, on obtiendra aussi une infinité de valeurs de fl propres à vérifier les formules (1 1), ou, ce qui revient au même , les formules (10).
* En général de la formule
dans laquelle a, B, y, a, b , c, représentent des quantités quelconques, on tire
et par suite
le double signe ± devant être réduit au signe -4- , quand la fraction — est positive , et au Signe — dans le cas contraire.
En résumé , si l'on pose
( * 8) p = Y a* ■+■ 6* f = arctang — ,
et , si l’on désigne par k un nombre entier quelconque , on aura , dans le cas où a sera positif
(• 9 ) a-t-bd — i =r^[cos(£± a Air) d — i sin (£±a Ait)] ,
par conséquent
(io) a-t- b v' — i = /> ( cos v/ — i sin f) (cosaAjr±y'— i sin ik n),
et dans le cas où a deviendra négatif
(xi) a-t-b /ZTJ = p Jcos[SC±(aA i)ir] -f- \/ — t sin [£±(aA i)rr] | ,
par conséquent
(as) a-t-b d — i = p (cos£ -+• <J — i sinlf)[ces(aA-4>i) ir / — i sin (a A 1)»] .
Comme on a d'ailleurs
(a 3 ) cos a kn ± |/ — i sin a A >r= i
(a 4 ) cos( a À i)*±i/‘ i sm(a A-t- 1) 7r = — r ,
les formules (ao) , (aa) donneront , si a est positif
(a 5 ) a-t-b = p(cos£-t-^ , sin£) ,
et si a est négatif
(a6) a-t-b y — i = — p(co&%-t-/— i sin£).
Au reste il est facile de voir que la formule (19) coïncide arec l'équation (a 5 ) , et la formule (ai) avec l’équation (a6).
Lorsque l’expression imaginaire a-t-b\ I — 1 se trouve rcmenée h la forme
p ( cos 6 -t- sin $ ) ,
la quantité positive p est ce qu’on appelle le module de cette expression imaginaire. Comme des quantités a , b supposées connues on ne déduit pour le module p qu'une valeur unique déterminée par la formule (la) , on peut évidemment énoncer la proposition suivante.
(to8)
a.* Théorème. L'égalité de deux expressions imaginaires entraîne toujours l’égalité de leurs modules.
Il suit encore de la formule (la) que deux expression* imaginaires conjuguées a -b b v/~ , a — b S—t
ont pour module commun la racine carrée de leur produit.
Lorsque , b étant nul , l’expression imaginaire a -s- b 'J —■ i se réduit à la quantité réelle a, la formule (la) donne simplement
Ainsi le module d’une quantité réelle a se réduit à sa valeur numérique |/ô>.
Toute expression imaginaire , qui a zéro pour module , se réduit elle-même à zéro , et réciproquement comme le sinus et le cosinus d'un arc ne deviennent jamais nul en même temps , il en résulte qu'une expression imaginaire ne peut se réduire à zéro qu’autant que son module s’évanouit.
Observons en6n que les définitions données dans le § 3 des variables infiniment petites et infiniment grandes , des fonctions continues ou discontinues , explicites ou implicites,
entières ou fractionnaires , etc doivent être étendues au cas même où les variables
et les fonctions dont il s’agit deviennent imaginaires.
Toute expression imaginaire dont le module se réduit à l'unité , étant de la forme
cos x ■+> v' — i sin x ,
on effectuera sans peine la multiplication , la division ou l’élévation ù des puissances entières d’une ou plusieurs expressions imaginaires qui auraient l’unité pour module. En effet de la formule (a) on déduit immédiatement la suivante
( cos x ■+• ]/ — i sinx) (cos y •+■ /— ■ siny ) (cos z -t- j/— ( sin z) ,
= cos ( x -t- y z •<* ) -+- /— i sin ( x y -b s -b )
quelque soit le nombre m des variables x, y, z, ... De plus on tirera de la formule (a) , en y remplaçant x par x — y
[cos x — y) -t- i/ — i sin (x —y')] (cos y -+• s/ZTl siny) = cos x sin x , ou , ce qui revient au même ,
cos x i/ — t sin x
CO* y •+• siny
= co* (x — y) -b sin (x — y) ,
et de U formule ( 17 ) , en posant
( 19 ) ( co.-r-v/n sinx)” = cos mai 4- linmr. •
Cela posé il deviendra facile d’effectuer la multiplication , la division ou l’élévation à des puissances entières d'une ou de plusieurs expressions imaginaires dont les modules ne se réduiraient pns h l’unité. Car , si l'on pose
n -t- ii |i — 1 = f ( cos 6 4- »/ — i sin fl ) , a'-t- b' v — 1 = p '( cos 6' 4- y/~i sin 6' ) ,
«" -*-Zi V — 1 = f"(cosé'’-*-/^r7shi 6 ") ,
etc
p , f ' , p" étant des quantités positives , et 9,6', 6" des arcs réels , on aura
évidemment
(<* + bi/— ) (a‘ + b' yrri) (a" + b"
= p p'p" (d 4 - / — 1 sin 6) ( cos 6'
