i—i sin 6') (cos fl

sin fl”) ... ,

cos 6 4- /

— 1 sin fl

cos 6/ 4- »/

— i sin V ’

■»{fl 4- ii \J — 1 )** — p m

(cos d 4- V

' — 1 sin fl )« ,

puis

on en conclura , en ayant égard aux

formules

(a” 4- ir'V

1 — P P p n ••••• £cos (ô

HT sin (fl 4 - d

' 4 - fl-

a -s- ii p r .

a-t-iiV— 1 p

' — 1 sin ( fl —

(a -s- ii v '' — 1 ) m = p m [cos m

sin mi] .

( uo)

De ces dernières équations on déduit immédiatement la proposition suivante.

3.* Théorème. Le produit , le quotient et les diverses puissances entières d’une ou de plusieurs expressions imaginaires ont pour modules le produit, le quotient et les diverses puissances de leurs modules.

On peut encore démontrer facilement cet autre théorème.

4-' Théorème. La somme de deux expressions imaginaires offre , ainsi que leur différence , un module compris entre la somme et la différence de leurs modules. Démonstration. En effet soient

a -t- b d — 1 = p ( cos 6 d — t sin 6) , a' s- b' d — 1 ~(f‘ cos 6' •*- d —1 sin 6 ')

deux expressions imaginaires qui aient pour' modules p et p' la somme et la différence de ces deux expressions , savoir ,

(p cos 6 -s- p' cos S') -s- (^sin 6 -u p sin 6’) d—i ,

et

( p cos 6 — p 1 cos V) -H {p sinô — p’ sin 6’) d — 1 auront pour modules deux quantités positives dont les carrés seront respectivement (33) (^cos5-*-f'cosé)* {/> sinS p'sin fl 1 )* = p‘-t~ 2 p p’cos (6— 6 1 ) -t- p''

et

(34) (/scosfi — p'cosé’)» •+• {p siné — p' sin 6"p =: p' — 1 p p'eos (6—6’) ■+■ p’’ .

D’ailleurs cos (6 — 9) étant renfermés entre les limites — 1 , -v 1 , chacune des quantités (33) , (34) sera comprise entre les limites

P' -t- 2 pp' -t- p '» = (p ■+■ p”p ,

et sa raime carrée entre la somme p-*- p' et la valeur numérique de la différence p p ' ,

ce qui suffit pour la démonstration du théorème 4-

Corollaire. La somme de plusieurs expressions imaginaires offre un module inférieur à la somme de leurs modules.