III

§. i4* Des séries imaginaires.

Soient respectivement

Vn , etc,

(*) *V», SV,, sv,, ..... sv„, etc

deux séries réelles -, et posons

U» = v 0 -*• sv» , u, =v, s- %v, /ZT7 , u, = v, -s- ss-, ✓ ~ , etc. en sorte qu’on ait généralement

u, = v„ ■+• sv, \/' — i •

La suite des expressions imaginaires

(3) h» , u, , u, , , «, , etc.

formera ce qu'on appelle une série imaginaire. Soit

= v» -s- i>, -s- -+■ v,, (ss-» -s- sv, -t» •+■ y/ i

la somme des n premiers termes de cette série. Selon que, pour des valeurs croissantes de n, r„ convergera, ou non, vers une limite fixe s, on dira que la série (3) est convergente , et qu’elle a pour somme cette limite , ou bien qu’elle est divergente, et n’a pas de somme. Le premier cas aura évidemment lieu , si les deux sommes réelles

Vo -s- v, ■+■ v,.,

ss-»-»- sv, -t- -s- sv,.,

convergent elles-mêmes , pour des valeurs croissantes de n vers des limites fixes , et le second cas dans la supposition contraire. En d’autres termes, la série (3) sera toujours convergente en même temps que les séries réelles (i) et (a). Si ces dernières , ou l’une d’elles seulement , deviennent divergeutes , lu série (3) le sera pareillement.

(mi)

Si , dans le cas où la série est convergente , on pose

r„ sera ce qu’on appelle le reste de la série prolongée jusqu’au n m >. Dans tous les cas possibles , le ternie de la série qui correspond à l’indice n , savoir ,

I». SZVn-*- w. r'~

est ce qu'on nomme son terme général. Soit p* le module de ce terme , en sorte qu’on ait

( 6 ) t’n -t- se, (/ — i =s />„ ( cos â n •+■ ^ — i sin 6. ) ,

p « désignant une quantité positive et Ô„ un arc réel. Les séries (t), (»), (3) deviendront respectivement

p, cos 6 0 , p, cos 6 , ,

p, cos 6 , ,

etc

p, sin 60 , p, sin ô, ,

p > sin 6 , ,

etc

Ps ( cos ôo -t* 1 / — 1 sin 6 s) , p , ( cos 6 , ■+• /

“ sin 6 , ) ,

pi ( co& S, s — 1 »in 6 , ) , etc....;

et ,

comme la valeur numérique du sinus ou

du cosinus

d’un arc réel ne saurait sur-

passer l’unité , il est clair que , si les modules (*o) *>„, (, , />. , etc

Tonneront une série convergente , les séries ( 7 ) , ( 8 ) par conséquent la série (y) seront elles-mêmes convergentes. On peut donc énoncer ce théorème.

1 Théorème. Pour qu’une, série imaginaire soit convergente il suffit que les modules de ses différents termes forment une série réelle convergente .

On prouvera encore facilement que , pour étendre les théorèmes 1 , i, 4, 5, G, 7 du § 6 au cas où la série

Us , u, , Us, u n , etc

devient imaginaire , 11 suffit de substituer , dans ces théorèmes , les modules des termes à leurs valeurs numériques. Ainsi , en particulier , on établira sans peine la proposition

suivante.

a.* Théorème. Soit Cl la limite oit la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandisque n croit indéfiniment , la racine n mt du module p„ île u„; ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge , pour des valeurs croissantes de n , le rapport

La série (3) sera convergente , si l’on a Cl < i , et divergente , si l'on a Cl > i .

Démonstration. En effet, si l’on a Cl < i , la série (10) étant convergente , la série (3) le sera elle-même , en vertu du théorème i ; et si l’on a Cl > i , les plus grandes valeurs du module

(n) p » as ( i>„* vs’»* ) *

croîtront avec n au-de-là de toute limite ; ce qui ne peut arriver qu’autant que les plus grandes valeurs numériques des deux quantités

ou au moins de l’une d’entre elles croissent de même indéfiniment. Donc , si l’on a Cl > i , l’une au moins des séries (■) , (a) sera divergente , ce qui entraînera la divergcnce de la série (3).

Considérons à présent une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable x , savoir ,

(n) a,,, a, x , OiX' , etc.....

Pour étendre les théorèmes 8,9, 10 du § 6 au cas où les coefficients a, , a, , a, , ... étant imaginaires , la variable x est elle-même imaginaire ou de la forme.

( 1 3} x = r (cos ( a- sin <) ,

r désignant une quantité positive et t un arc réel , il suffira évidemment de substituer , dans ces théorèmes , les modules de x , de a„ , de a„ + , , etc à leurs valeurs nu-

mériques. Ainsi , en particulier , on déduira immédiatement du 2/ théorème la proposition suivante.

3.' Théorème. Si , p. étant le module de a n , <0 désigne la limite ou la plus grande

des limites de (p m ) n , ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge , tandisque n croit indéfiniment le rapport

la série (ra) restera convergente , tant que le modale r de x sera inférieur à — , et

deviendra divergente lorsqu'on aura r > — .

L’une des séries imaginaires les plus simples est celle qu'on obtient en supposant que dans la progression géométrique

(■4) i , x , x* x” , etc

la variable x soit imaginaire et déterminée par l'équation (i3). Si l’on nomme s M la somme des n premiers termes de cette progression, on trouvera, comme dans le § 6,

D'ailleurs le module de .r" étant la puissance du module r de x , ce module et par suite celui du rapport

deviendront infiniment petits ou infiniment grands , pour des valeurs infiniment grandes de n , suivant que l’on aura r< i ou r >i . Donc , si l’on a r < i , s„ s'approchera indéfiniment , pour des valeurs croissantes de n , de la limite s déterminée par l’équation

et la progressiou ( 1 4 ) étant convergente offrira pour somme

en sorte qu'on aura

Mais, si le module r de x devient supérieur fi l'unité, la série ( 1 4) sera divergente et n’aura plus de somme. Il résulte effectivement du théorème 3 que la série ( 1 4) sera convergente quand on aura r < i , et divergente quand on aura /• > i .

Si l’on posait

( i -) x s : ( cos ( -t- ~i siu t ' ,

z désignant une quantité positive ou négative, et t un arc réel, le module de x ne serait autre chose que la valeur numérique de s , et l’équation (16) donnerait, pour des valeurs numériques de s inférieures à l’unité

(18) i -*• z ( cos t -y ÿ — i sin t ) -y s» ( cos a t -y \f , sinat)-i- =-

i — z cos/— zsmtÿ — i

Comme on a d'ailleurs

( i — s cos t — i sin f / ~ ) ( i — s cos < -t- s sin t ) = (l — s cos t )» + (s sin 0» = t —a s cos t -y s»,

et par suite

I i — c cos t -*-c sin t/ ,

i — z cos t — : sin t \/—i

la formule (18) pourra s’écrire comme il suit

i — a ; con-t- 1*

i •+• : cos t -t- 5» cos al -y ... -t-(isin t-y s 1 sin a 1 y ...) i— scosl s sin t

i — as cos t •+• s» i — as cos f-+-s»

et comprendra les deux équations réelles

(ao)

i -t- s cos t -y s*cos a l -y etc. =

i — :c ost i — as cos( -s- 1* ’

s sin t s* sin a l -y etc. = -

z sin t i — as cosf -*-s»

qui subsisteront , ainsi qu elle , pour des valeurs de s comprises entre les limites

En appliquant le 3/ théorème aux deux séries

(aa)

», MX , — —

, — — , -r * etc..

" J etc. ...a

qui, pour du valeurs réelles de x renfermées entre les limites — 1 , -+■ I , représentent

les développements des fonctions 1 ( s ar ) ., (i •+■ x) , et supposant ju réel, on prouverait encore que pour des valeurs de x imaginaires et déterminées par l'équation (17) ces deux séries sont convergentes comme la série (>4) , tant que s demeure comprise entre les limites (ai).

Quant il la série

JT 1

qui , pour des valeurs réelles de x représente le développement de e r , on la trouvera convergente pour toute valeur imaginaire , mais finie de la variable x.

§ 1 5 . Des exponentielles imaginaires.

Développements des fonctions cos x , sin x .

Désignons à l’ordinaire par e la base des logarithmes Népériens , et par A un nombre quelconque. Si la variable x est réelle , les deux fonctions

seront toujours développables , par les formules (13) et (30) du § 7 en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives de x, en sorte qu'on aura

e» = 1 x •+■ — -4- etc.

- eu-

D’autre part , corne eu posant

ou en conclut