ait
ou
puis , en faisant croître indéfiniment le nombre n ,
<o =r ùm = o ;
il suit du 3/ théorème du § précédent que les séries
(tt
, xU/t) elc
resteront convergentes si la variable x devient imaginaire , sans que son module se réduise à ± oe , c’est-à-dire pour toute valeur imaginaire et finie de x. Cela posé, après avoir démontré l’équation (a) dans le cas où la variable x est réelle , concevons qu’on étende cette équation au cas même où la variable x devient imaginaire et qu’on s’en serve alors pour fixer le sens de la notation A x , c’est-à-dire , pour définir une exponentielle imaginaire. En prenant
on réduira la formule (a) à la formule (■) , par laquelle se trouvera définie l’exponentielle imaginaire e* ; et comme, en remplaçant x par xl(A) dans l’équation (i), on fera coïncider son second membre avec celui de l’équation (a) , il est clair qu’on pourra fixer encore le sens des notations
à l’aide de la formule (i) jointe à la suivante
Observons maintenant que l’équation (i) du § 7 pouvant être étendue au cas où a et x deviennent des expressions imaginaires , ou en tirera , comme dans le § 7 ,
(fi) lim (i-s-*V" = i-t-x-+- •+■ =- ■*- etc
pourvu que , le nombre entier m venant à croître indéfiniment , rcxprei*ion imaginaire a s'approche indéfiniment de la limite zéro , mais de manière à vérifier la condition
On aura donc , sous cette condition
(8) Uni ( i -t- a )”> = e * ,
quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de x. Ainsi , en particulier, comme on vérifiera la condition (7} , en posant
la formule (8) donnera généralement
(9) e* zziim (. + ^-) .
Si dans la formule (9) on remplace x par y on obtiendra la formule semblable
et de cette dernière jointe à la fontnde (9) on tirera
(,oj c*.er=tin, j. h- £ (* -.T •
D’ailleurs , si l’on pose
on en conclura
par conséquent
Uni m 3.
= Uni (x +y - 5^ =
Uni ( \ a) m — c * * * .
Donc la formule (10) pourra être réduite à
e*.e> ss c* + r ,
Si dans cette dernière on remplace x et y par or 1 ( et y\(A), on trouvera, en ayant égard à l'équation (5)
Ainsi les formules (u) , (n) qui expriment une propriété fondamentale des exponentielles dont les exposants sont réels , s’étendent au cas même où les exposants deviennent imaginaires. Ajoutons que des ces formules on déduit immédiatement les suivantes
( 1 3 ) e*+>+*+ = r T . rr . e‘
(>4) ^r+ r +«+... Ar . A‘
quel que soit le nombre ni des variables x , y , s ; puis , en posant
,r t=y asm
c nlx sr ( e* )«•
EnGn , si dans les formules (sa) et (i a) on remplace x par x — y on en déduira immédiatement les deux suivantes
Ar '
Concevons à présent que , dans l'équation (9) , on écrive x y' — , au lieu de x. et que dans la formule ainsi obtenue , savoir ,
(19) e zV ~ ' = Uni ^r
on attribue à x une valeur réelle. Si l’on pose
'+m>) > 4 = arcUn 6 m
on aura (ai)
i -y- — /—i = r ( cos < i/ — i sin () , m *
= r m (cos m 1 -4- i sin ml).
De plus , comme en vertu de la seconde des formules (10) , 1 arc t aura pour limite zéro , l’équation (77) du § ta donnera
1 ml
ou , ce qui revient au même ,
lim ml — x T.
Enfin , puisque la première des équations (6) , (7) [§ 7 1 entraîne toujours la seconde et qu’on a évidemment
Um — . — = luit — = o , 3 m» 3 m
on trouvera encore
Donc on tirera de l’équation (io)
lim
= cos x -+- y' — 1 sin x ,
et la formule (19) donnera
(a$) e* — 1 = cos x }/ — 1 sin x .
Ainsi , toute expression imaginaire qui a l'unité pour module , et peut en conséquence s’écrire comme il suit
cos x ■+• v' — 1 sin x ,
x désignant un arc réel , se confond avec une exponentielle imaginaire et de la forme
Si l'on attribuait à x une valeur en partie réelle, en partie imaginaire, si par exemple on supposait
y , s désignant des quantités réelles, on tirerait de la formule (i i) jointe à la formule (i4) (a5) ‘ — e* (cos s y/ — ■ sin z) .
Si, dans cette dernière équation, on remplace / et i par y \(A) et il(/f) , on en conclura , eu égard à la formule ( 5 ),
(36) ‘ = A* | cos fs I (^)] -*- / — 1 sin [x 1(^)3 j .
Les formules (a6) , (37) fournissent immédiatement les valeurs des exponentielles
correspondantes à une valeur imaginaire quelconque de la variable x.
Lorsque dans la formule (34) on remplace x par — x , on obtient la suivante
(37) e~ z *~' = cos x — i/~, sin x , de laquelle on tire, en la combinant avec la formule W).
/ ûv iy~i — / — tl/ 1 — xv~ t
(28) a cos a* = c e v , a sin T/ - * == e * — e ,
ou , ce qui revient au meme ,
x\/— 1 — xü —1 xV— i — xV— 1
(au) cos x = , sin x = .
Ces dernières formules subsistent , comme les équations (* 4 ) et (27) pour une valeur réelle quelconque de la variable jr. En les étendant au cas meme où x devient imaginaire , on pourra s’en servir , pour fixer dans ce dernier cas le sens des notations
cos x , siu x .
Si, à l'aide de l’équation (i) on développe, suivant les puissances entières et positives , le premier membre de la formule (a4) > on trouvera
(3o) cos x ■+■ 1 / — i sin x = i -f xj/ — i —
par conséquent
etc.,
sm r x r •
— etc.
Les formules (3 1 } qu’on peut aussi déduire des équations { 39 ) subsistent pour des valeurs finies quelconques , réelles ou imaginaires de la variable x.
De la formule ( 34 ) jointe aux formules ( 30 ) , ( 33 ) , (a5) , ( 36 ) du § 1 3 * il ré-
sulte que , si a , b désignant deux quantités réelles quelconques , on pose
(3a) p = A» , £ = arctang - ,
on aura , pour des valeurs positives de a , non seulement
mais encore
a +■ b i/ 1 = pe 3
k désignant un nombre entier quelconque , et pour des valeurs négatives de a , seulement
mais encore
bi/—=zpe^-'
non
En résumé l’on aura
* Pag. 107, lign. 11 lisez
a b\f-^~i 1 — p {. cos £ -fVITï sin £) [cos (1 l + i) r ± /Zj sin(aA-*-i)x].
(ia3)
la valeur de 6 devant . être déterminée par b première ou b seconde des deux formules
9 = % ± 1 K JT,
suivant que b quantité réelle a sera positive ou négative. On peut donc énoncer b proposition suivante
i." Théorème. Toute expression imaginaire
est te produit d'un module réel
f = Vu * +
par une exponentielle imaginaire de la forme
et dans laquelle 9 désigne un arc réel déterminé par l' une des équations (38) , (3g).
A l’aide du t." théorème joint aux formules (t3), (t5), ( 17 ) il sera très-facile d’effectuer b multiplication , la division ou l’élévation à des puissances entières d'une ou de plusieurs expressions imaginaires dont les modules ne se réduiraient pas à l'unité. Car si l'on pose
etc...
p , p' , p’* ... étant (les quantités positives , et Ô , 6' , Ô" , ... des arcs réels , on trouvera (4o) (as- b i/“) («’-*- b' t b- ,/—)... = P g’ e' V r "• y V - ' ,
, , , rndy ~
(a by 1 — »)"* = p" 1 e .
11 est aisé de s’assurer que la formule (34) s’accorde asec la formule (33), et la formule (36) avec la formule (35) attendu qu’on a généralement
(43) e * ^ 1 — cos a4s±r'-5i sin ikr. — i ,
( 44 ) e~ v ** = cos(iA -t-i) jt ± i/~ sin (art -»-i)jr = — t. •
Il y a plus. Si l désigne un arc réel, on ne pourra évidemment satisfaire à l’équation imaginaire
ou , ce qui revient au même , aux deux équations réelles
(46) cos t sa i , tin < = o qu’cn posant
(47) l = *a*jr,
et attribuant au nombre k une valeur entière. Pareillement on ne pourra satisfaire à l’équation imaginaire
ou , ce qui revient au même , aux deux équations icelles
(49) cos ( = — i , sin t — o qu'en posant
(50) t = ± (tk -t- i) x .
§ 16. Relations qui existent entre les sinus ou cosinus îles multiples d’un arc et les puissances entières des sinus et cosinus du même arc.
Si , dans la formule (i5) du § précédent, on remplace x par x v— , , elle donnera
ou , ce qui revient au même ,
cos m x ■+■ r ~ sin w = ( cos x ■+■ s'IT, sin a- )"
= cos jr -r-m cos .r sutxy '~ — (m},cos"'-»arsin*x — (rn), cos * } jr siu 3 .rV— ’i -r- etc...
0o aura donc
j eta» m* = eoi* x — (m>, cos"-» x sin* x -t- (m ) 4 cor 1 "-* x »in< x -+- etc... sinmx ss m ce»'""' x *in x — - {m) s cos"-* x sin 1 x etc
ou , ce qui revient au même ,
cos mx = [i — (m), tang» x -t- (m) 4 tang* x — etc...] cos” x , sin mx ss [m tang x — (m)j tang 1 x etc ». ] cos*" x ,
puis on en conclura
m tang x — (01)3 tang 5 x -t- etc
t <1 f I LE fîi X* m — v - - - — — - — -
0 1 — (m), tang» x -t- (m) t tang* x — etc.
Si pour fixer les idées on pose successivement m = a , in s 3 , m = 4 > e,c> I** f° r ~ mules (1) et ( 3 ) donneront
cos u = cos* x — sin» x , sin a x = a sin x cos x , a tang x
8 1 — tang* x 7
cos 3 x = cos 1 x — 3 cos x sin» x ,
sin 3 x = 3 cos» x sin x — sin 5 x ,
3 tang x — tang 5 x
tang 3 x = 2 — 2
1 — 3 tang » x
cos 4 x = cos * x — 6 cos* x sin» x -t- sin* x , sin 4 x = 4 cos 5 x *•» * — 4 cos *■ *in 5 x ,
, 4 * — tang * * )
tang 4 x = -i — V- 5 5 — >
1 — O tang* x -1- tang*x
eje
Les formules (1) dont les seconds membres entraînent toujours, un nombre fini de termes , peuvent servir & déterminer cos m x et sinmx en fonction de sin x et de cosx.
On peut aussi exprimer les puissances de sinx et de cos x en fonction des sinus et cosinus des arcs multiples de x. En effet on tire des formules (18) du § précédent
1 a" cos" x = c ut ^~ r ' -+- m J' m *) T,r -' sin" x = e "*V- m
— (m — 3)ri/ , — mxt/— t
m e v ' ¥ -ne v
puis on en conclut i. D en supposant m impair
cos* x = ^ ) cos mx ■+• (/n) cos (ni — 2) x -f- (m) cos x
sin" x = 1 sinmx — msin(m — i)x -+- ± (/n)^^ sin x V ;
2, 0 en supposant m pair
cos" x = — — ï cos m x ■+■ m cos (m — a)x-i- -t- (m) cos i x ■+■ — (m) (
sm™ x = — - — ) cosmx— mcos (m~a)x-t- q? ( m ) cos i x ± — (m)
2 rn ~ t S m J e
Si , pour fixer les idées on pose successivement m — 2 , m — 3 , m = 4 , etc on
tirera des formules (11) et (u)
COS 1 X = — ( cos 2 X 1 ) ,
sin 1 x = — ( — cos a x 1 ) , a
COS , X = -7(cOs3X-+-3 cos X ) ,
1 1 x = j ( sin 3 x — 3 sin x ) ,
CO|4x=^-(COï4x-»-4 c O***'^-3)>
*in * x = J ( co* 4 x — 4 cos a x 3 ) , etc.
§ 17 . Sommation des sinus ou cosinus d’une suite d'arcs représentée par les différents termes d'une progression arithmétique.
Considérons une suite d'arcs en progression arithmétique ou de la forme ( 1 ) i , ô -b t , 6 -b *t , 6 *4- (» — 1 ) t ,
9 , t désignant deux quantités réelles et n un nombre entier quelconque. On aura
cos 6 -b cos (é -t - t) cos (S ■+■ a t) ■+■ cos [< + («— 1 ) t]
■b j sin S -b sin ( 6 -b t ) ■+■ sin ( 6 -b 1 1 ) -b ■+• sin [ S (n — 1 ) t ] j \/~i
p-bt)^ ^ e {à-bit)\Tr, + ^ e [«+(n— i )0v^> .
D’autre part , si dans la formule (i5) du § 1 4 > savoir
on pose on trouvera
ryrr -;ir~
ou , ce qui revient au même ,
ty~ aiyrr (n
,-Ory- e (— i>rr7 e -4«yrr
a tin — y'—i
On aura donc par suite
• --I -4- ni) — sin (ji — ^ t ^ cos^Æ — — cos^Æ— * -4- n/ )
isin— asm—
et la formule (a) fournira les deux équations réelles
sinf9 » tinftf— ^■t')
cos 9 cos (9 -«-/) •+■ cos(9 -t-at)-+-..-*-cos[9 -*-(n— i )t]= — - ; — ' ,
• asin—
cos(9— )— ços(9—
sin 9 sin (9 -s* f) ■+■ sin(9-»-a») sin[9 (n — i ) f] :
Si dans les équations (5) l’arc 9 se réduit à zéro , elles donneront
