I -4- COS l COS a I -H -f- cos ( n — I ) I == I -f
t , cos (n — -j-J I
sin I -t- sin a < -*- -t- sin ( n — i ) t = tang — — — —
1 1 sin —
Si dans les mêmes équations on pose n I ss a x , ou / = , leurs seconds mem-
bres s’évanuiront. Enfin , si l’on pose n t ss ir , ou t ss — , on trouvera
i9-*-cos ^9 ^ cos ^ 9 -s- ~ ^ -♦-...•♦•cos ^ 9 ït^ =
1 9 -♦- sin ^9 -+- ^ -♦- sin^9-s--^ ^ -♦•... + sin ^ 9 ■+• ir^ = — — .
Soit maintenant s une longueur comptée sur une droite A B que renferme un certain plan O O* iy , que dans le meme plan on mène par le point O i .• une perpendiculaire M iV h la droite AB, i.° « autres droites qui comprennent entre elles des angles égaux dont chacun aura évidemment pour mesure le rapport
Le système de ces dernières droites offrira une espèce de rose îles vents ; et si l'on nomme 4 le plus petit des angles qu'elles forment avec la droite M N , 6 sera
compris entre les limites o , — - . Ajoutons que les diverses droites dont sera composée la rose des vents , formeront avec M N des angles respectivement égaux aux différents termes de la progression arithmétique
Cela posé , soient
do y d» y d\ y •••■» d w i
les projections orthogonales de la longueur s sur les droites dont il s’agit. En vertu du i ." théorème du § ia , a m sera le produit de s par le cosinus de l'angle aigu compris entre une de ces droites et ou en d’autres termes , par le sinus de
l’un des deux angles qui forme la même droite avec M JV perpendiculaire A B . On aura donc
( . mis \
et par suite
(d) a,,-*- a, ... -s- ss s | cos 4 ■+- cos ^4 ■+■ cos ^4
... cos
Soit d'ailleurs fi la moyenne arithmétique entre les projections a a , a, , a,., de
la longueur s , en sorte qu'on ait
On tirera de* formule i (8) et (9) , jointes à la seconde des équations (7)
par conséquent
cos
sm
Donc , puisque ô est compris entre les limites o , , on conclura de l'équation
(10) que la longueur s est renfermée entre les limites
» M tang — , n p sin — - ,
3 fl 2 fl
ou , si l'on fait pour abréger , (■i)
entre les limites
t tang a i sm a.
Concevons à présent que le nombre n croisse indéfiniment. L’arc a. = — — s'approchera indéfiniment de la limite zéro , et les rapports
tan g a.
sm s a
de la limite l ( vojcz le § i a ) . Donc , pour des valeurs infinies de n , les expressions (ia) deviendront égales entre elles et à ~ n/ji , et l’on pourra en dire autant de la longueur s . Ainsi se trouve démontrée la proposition suivante.
i.« Théorème. Si l'on nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents tracée dans un plan quelcontpie , et /t ta moyenne arithmétique entre les projections sur ces droites d’une longueur rectiligne s mesurée dans le même plan , celle longueur sera précisément équivalente à la limite vers laquelle converge le produit
pour des valeurs croissantes de n .
Si , en attribuant au nombre n une valeur considérable , on prend rtp pour valeur approchée de s , l’erreur commise sera représentée par la valeur numérique de la différence
et puisque la longueur s est renfermée entre les quantités (la) , nous pouvons conclure que l’erreur commise sera équivalente au produit de — * p par une quantité renfermée entre les limites
D’ailleurs
tang a,
sin a a
en vertu des formules (3t) du § i5 , les différences sin a. a* a*
etc.,
■ cos et
= A(‘ ~ j)“T 7TTâ(' - 5 -)- etc ’
la* 1 et*
etc...
seront développables en séries convergentes dont les termes alternativement positifs et négatifs offriront des valeurs numériques de plus en plus petites , lorsqu’on supposera
et par suite
n = ou > a ,
1S JT
Donc alor* , en vertu du troisième tlséotctne du § 6 , on aura
et
par conséquent
puis , en supposant par suite
sm « ^ <x* st* i a 6 — »4 't*
sin a a* ** r
cos a < — s
tang a ^ < ,* 1 iec« l
n = ou > 3 ,
a = ou < ? . sec a = ou < — = , 6 r'ï
et ayant égard aux conditions
on tirera des formules (t 5 ) , (16)
sin a l tane a 1
an* a «*
On peut donc énoncer la proposition suivante.
a.' Théorème, IjCS mêmes choses étant posées que dans le théorime premier , si l’on prend pour valeur approchée de s la quantité
-STM,.
i erreur commise ne surpassera pas le produit de. celte valeur approchée par — pourvu que le nombre entier n ne soit pas inférieur à 3 .
§ i8. Relations qui existent entre le périmètre d’un polygone plan et les sommes des projections des éléments de ce périmètre sur diverses droites. Rectifications des courbes planes.
i.” Théorème. Un polygone étant tracé dans un plan quelconque , si l’on nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents construite dans le même plan , A la somme des projections absolues des divers côtés du polygone sur l'une de ces droites , Ai la moyenne arithmétique entre les valeurs de A correspondantes aux diverses droites , et S te périmètre du polygone, on aura sensiblement , pour des valeurs considérables de n ,
(i) S = —x Ai .
De plus , si le nombre entier n surpasse a , l’erreur que l'on commettra en prenant — x M pour valeur approchée de S sera inférieure au produit de celte valeur approchée par — .
Démonstration. Soient
ici longueurs des divers côtés du polygone , et des
les moyennes arithmétiques entre les projections de s , ou de s’ , ou de s " ,
sur les diverses droites dont se compose la rose des vents. On aura évidemment
et par suite
— n AJ = — x u -h —nu h — n u ' -t- ...»
D’autre part , si l’on prend pour valeurs approchées de
s, d, sT .....
Ici quantités
-ITM, -HH.
les erreurs commises , en vertu «les théorèmes i et a du § précédent, seront respectivement inférieures aux produits de ces quantités par ~ . Donc l'erreur commise sur la somme
sera inférieure au produit de par la somme
— i(i + - jt fi -t- — n h -+- — — jt M .
Cette erreur commise étant très-petite pour des valeurs considérables de n , on aura
sensiblement alors S = — sr M .
Corollaire i." Il est clair que la démonstration précédente est applicable non seulement h un polygone fermé , mais aussi h un polygone ouvert , c’est-à-dire, à une portion de polygone , et même à un système de polygones ou de portions de polygones quel que soit d’ailleurs le nombre de leurs côtés.
Corollaire a." Dans le cas particulier où l’on considère un polygone convexe et fermé, la somme A des projections des côtés du polygone sur une droite est évidemment double de ce qu’on pourrait appcller la projection du polygone , c’est-à-dire , double de la longueur 31 qui renferme tous les points de cette droite avec lesquels peuvent coïncider les projections de points pris au hasard sur le périmètre du polygone. Par suite la moyenne arithmétique M entre les diverses valeurs de A correspondantes aux diverses droites dont se compose la rose des vents sera double de la moyenne arithmétique 311 entre les diverses valeurs de 31 qui représenteront les projections du polygone sur ces diverses droites, ou, si l'on veut, les dimensions du polygone mesurées parallèlement à ces mêmes droites. On peut donc encore énoncer la proposition suivante.
a. e Théorème. Étant donné dans un plan quelconque un polygone convexe et fermé, si l'on nomme n le nombre, des droites dont se compose une rose des vents construite dans le même plan , M la moyenne arithmétique entre les projections du polygone sur ces diverses droites , et S le périmètre du po(ygone , on aura sensiblement , pour des valeurs considérables de n
(a) S = jt SOI .
De plus , si le nombre entier n surpasse i , l’erreur que ion commettra , et prenant ■k g Tl pour valeur approchée de S, sera inférieure au produit de celte valeur appro-
chée par ^ .
Concevons maintenant , que les polygones dont il est question dans les théorèmes i et 3 soient inscrits à dès courbes dounées. Si les côtés de ces polygones deviennent infiniment petits et le nombre de ces côtés iufiniment grand , le périmètre de chaque polygone aura pour limite la longueur ou le contour de la courbe circonscrite. Par suite on déduira immédiatement des théorèmes i et 3 ceux que nous allons énoncer.
3.* Théorème. Étant donné dans un plan un contour quelconque S , si ion nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents construite dans le même ptau , A la somme des profectitms absolues des diverses parties du contour sur une des droites , et M la moyenne arithmétique entre les valeurs de A correspondantes aux
diverses droites , on aura sensiblement , pour des valeurs considérables de n ,
De plus , si le nombre entier n surpasse 3 , f erreur que ion commettra en prénom — * M pour valeur approchée de S sera inférieure au produit de celle valeur approchée par ~ .
Corollaire IC Ce théorème subsisterait encore, m l'on représentait par S le système d'une ou de plusieurs longueurs mesurées sur une ou plusieurs lignes droites ou courbes fermées ou non fermées.
Corollaire i. e La valeur approchée de S étant calculée à l’aide de la formule (■), l’erreur commise ne dépassera pas la neuvième partie de cette valeur , si l'on prend n zs 3 , la vingteinquième partie si l'on prend nez 5 , et la centième partie , si l’on prend n= 10 . Dans le premier et le second cas M sera la moyenne arithmétique entre les sommes des projections absolues des éléments de S sur trois ou cinq droites respectivement parallèles aux côtés d’un bexagone ou d’un décagone régulier.
Corollaire 3 -.* Si S représente le système de plusieurs courbes formées et tracées dans l’intérieur d’un cercle décrit avec le rayon R , si d'ailleurs on suppose que le système de ces courbes ne puisse être traversé par une droite en plus de 3 m points , on aura évidemment
et par suite
(3) M < a in . a R ;
puis , eu observant que la formule (a) devient rigoureusement exacte pour des valeurs infinies de n , on tirera de cette formule jointe à la condition (3}
4.* Théorème. Etant donnée dans un plan quelconque une courbe convexe et fermée, si l’on nommme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents construite dans le même plan , M la moyenne arithmétique entre les projections de la courbe sur ces diverses droites , et S le périmètre de la courbe , on aura sensiblement , pour des valeurs considérables de n ,
(a) S = , r an .
De plus , si le nombre entier n surpasse a , l'erreur que ton commettra en prenant st 2W pour valeur approchée de S sera inférieure au produit de celle valeur approchée par — .
Corollaire | y Une courbe convexe est, comme l’on sait, celle qu’une droite ne peut traverser en plus do deux points. Cela posé, concevons que S représente le périmètre d'une courbe fermée et convexe, tracée dans l’intérieur d’un cercle dont le rayon soit R . On tirera de la formule (4) , en y posant m = i .
Corollaire i. e Si S représente la circonférence d’un cercle décrit avec le rayon ft , la projection de S sur une droite quelconque , et par suite la quantité M elleinêmc se réduiront évidemment au diamètre a R . Donc alors la formule (a) donnera , comme on devait s’y attendre
§ ig. Sur les puissances fractionnaires , on irrationnelles , ou négatives d'une expression imaginaire ■ Résolution des équations binômes et de quelques équations trinômes.
Pour rendre plus clair ce que nous avons à dire sur les puissances fractionnaires, ou irrationnelles, ou négatives des expressions imaginaires, il sera utile de rappeler d’abord les définitions relatives aux puissances des nombres.
Elever A à la puissance du degré x ( x étant positif ) , c’est cherclier un autre nombre qui soit formé de A par la multiplication comme x est formé de l'unité par l’addition. Pour bien comprendre là définition précédente , il faut distinguer trois cas , suivant que x est entier , fractionnaire ou irrationnel.
Lorsque x désigne un nombre entier , ce nombre est la somme de plusieurs imités. La puissance de A du degré x doit donc alors être le produit d’autant de facteurs égaux à A qu'il y a d’unités dans x . Ainsi , par exemple , si l'on prend
on auru
Lorsque x représente une fraction — ( m et n étant deux nombres entiers),
il faut , pour obtenir cette fraction , ■ ." chercher uu nombre qui répété n fois reproduise l’unité ; 3.° répéter m fois le nombre dont il s'agit. 11 faudra donc alors , pour
obtenir la puissance de A du degré —, i.* chercher un nombre B tel que la
multiplication de n facteurs égaux à ce nombre reproduise A , 3.° former un produit de m facteurs égaux au nombre B . Quand on suppose en particulier m = i , la
puissance de A que l’on considère , se réduit h celle dont le degré est —, et sc
trouve déterminée par la seule condition que le nombre A soit équivalent au produit de n facteurs égaux à cette même puissance. Si , pour fixer les idées , ou suppose
X ss j , alors aux équations
correspondront les deux suivantes ,
Lorsque x est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus approchées. On prouve facilement que , dans la même hypothèse , les puissances de A marquées par les nombres rationnels dont il s'agit , s'approchent de plus en plus d’une certaine limite. Cette limite est la puissance de A du degré x .
D’après les définitions qui précedeift , la première puissance d'un nombre n’est autre chose que ee nombre lui-même. Sa seconde puissance , ou son carré , et sa troisième puissance , ou son cube sont les produits de deux ou trois facteurs égaux à ce même nombre. Quant à la puissance du degré zéro , elle sera la limite vers laquelle converge la puissance du degré x , tandisque le nombre x décroît indéfiniment. II est aisé de faire voir que cette limite se réduit à l’unité , d’où il résulte qu’on a en général
Ajoutons que si l’on désigne par x , y , z , des nombres quelconques , on établira facilement les formules
(3) A' Ai A‘ = A*+r+*+-~ ,
(4) (A x )r = A x r ;= iAyy i
et que , si dans l’équation (a) on pose x -*-y — s , on eu tirera, pour des valeurs de x inférieures à s,
La formule (5), étendue au cas où x devient supérieur ù s , par exemple au cas où s s’évanouit , sert alors ù définir les puissances négatives de A. C’est donc uniquement comme définition d’une puissance négative du degré — x que l’on pose l’cquation
En partant de cette dernière formule , on prouvera sans peine que le» équation» (a) ,
(3) , (4) , (5) subsistent lors même que les nombres x , y, s s , ou quelques uns
d’entre eux se changent en des quantités négatives.
Dans l'élévation du nombre A à la puissance dont le degré est x , le nombre A s’appelle racine, et la quantité x qui marque le degré de la puissance se nomme exposant. Extraire du nombre A la racine du degré x , c’est chercher un nouveau nombre B qui , élevé à la puissance du degré x , reproduise A -, ce nouveau
nombre sera évidemment la puissance de A du degré ~ , puisqu’en vertu de la
formule (4) on aura
Soit maintenant a •+* b /— l une expression imaginaire quelconque , a , b désignant deux quantités réelles. En généralisant les notions que nous venons de rappeler , on obtiendra les définitions suivantes relatives aux puissances fractionnaires ou négatives de a -s- b .
Extraire la racine n"' de l’expression imaginaire a s- b , , ou , en d’autres ter-
mes , éléver cette expression à la puissance du degré
désignant un nombre en-
tier quelconque ) , c’est former une nouvelle expression imaginaire dont la puissance n’"' reproduise a -s- b \f~, . Ce problème admettant plusieurs solutions comme on le verra tout-à-l’hcurc , il en résulte que l’expression imaginaire a -s- b V—i a plusieurs racines du degré n .
Pour éléver l’expression imaginaire a ■+■ b i/~ à la puissance fractionnaire du
degré — , il faut , en supposant la fraction — réduite h sa plus simple expression ,
i.® extraire la racine n m ' de l’expression donnée-, a.° élever cette racine ^ la puissance entière du degré m .
Enfin élever l’expression imaginaire a s- b 7 à la puissance négative du degré — m ou — ~ ou — —■ , c’est diviser l’unité par la puissance du degré m , ou
— , ou — .
En vertu des définitions précédentes, extraire la racine n"‘ de l’expression imaginaire a b /HT , c’est déterminer les valeurs imaginaires de x qui vérifient l’équation binôme
que l’on peut aussi présenter sous la forme
pourvu que , les valeurs de p et £ étant
(9) f = /âT “» , £ = arctang ~ ,
et k désignant un nombre entier quelconque , l’on prenne
( 10 ) 9 = J * a k ir , ai la quantité a est positive , et
si la quantité a est négative. Or il est clair qu’on vérifiera l'équation
(la)
en prenant (. 3 )
et l’équation
en prenant
« X* f — ï ±a * iri^T
= ft* e ,
JC 1 ± (2 A; -+• 1 ) * /—i
I 1/37 *(JLL^/37
Il y a plus. On peut aisément s’assurer que toutes les racines de l’équation (8) sont comprises dans la formule ( 1 3) lorsque a est positif, et dans la formule (i5) lorsque a e*t négatif. Effectivement représentons par
une quelconque des valeurs de x propres il vérifier l’équation (8) , r étant un module positif , et t un arc réel. En vertu du troisième théorème du § 1 3 , on aura
et , comme l'équation (8) donnera
on en conclura , i.*, si a est positif,
nty/— e 6ÿZT, 9ft %/=i
P*û* en multipliant de part et d’autre par l’exponentielle e
par conséquent ( voyei les formules 45 , 47 , 48 et 5o du § i5 )
a.* si a est négatif
ntvf— Be J^ se (|:±»)|CF
par conséquent
nt — (JT =fc »r) = ± a A n- , / = i ± ,
Si l’on suppose en particulier
on trouvera
et l’équation (7) ou (8), réduite à
jura pour racines les diverses valeurs de x , que l'on peut déduire de la formule
en prenant pour k des nombres entiers. J’ajoute que , pour obtenir toutes les racines de l’équation {16) , il suffira d’employer les valeurs entières de k comprises entre les
limites o,— . En effet, considérons une valeur de k située hors de ces mêmes lia
mites ; et soit alors h le nombre entier le plus voisin du rapport — . La différence entre les deux nombres h , ~ sera tout au plus = ~ > de sorte qu’on aura
— étant une fraction égale ou inférieure à — , et par suite k' un nombre entier
inférieur ou tout au plus égal à ^ • Or , comme on tirera successivement de la formule (18)
a k ît , a k' sr
a k n , if s
il en résulte que, sans altérer les valeurs de x fournies par la formule (ij) , on peut y remplacer le nombre entier k , lorsqu’il est situé hors des limites o, ^ par un autre nombre entier compris entre les mêmes limites.
Si l’on réduit le nombre k i.° à sa limite inférieure , c’est-à-dire à zéro-, a." en supposant que n soit pair , à la limite supérieure , on obtiendra les seules racines réelles que puisse admettre l’équation (16) , savoir :
(19) x = 1 , et x = — 1 ,
la seconde disparaissant toujours , lorsque n est impair , les autres racines conespondantes aux valeurs
du nombre * , si n est impair , et aux valeurs
du même nombre k , si n est pair , seront imaginaires et conjuguées deux & deux. Donc l’équation (i 6) offrira , si n est impair , une racine réelle et n — i racines imaginaires -, si n est pair , deux racines réelles et n — a racines imaginaires. Le nombre total des racines distinctes sera dans tous les cas égal au degré n de l’équation (16).
En combinant la fonnule
a k it __
■r se c ~ cos ± v— i sm ,
avec les formules {67), (71) du § u, et posant successivement
n = 3 , n = 4 > etc
on trouvera , pour les racines imaginaires de l’équation î' = 1 ,
pour les racines imaginaires de l'équation x* = 1 ,
etc
Si l’on suppose dans l’équation (7)
a ss — > 1 , 6 = 0,
on trouvera encore
et l'équation (7) ou (8) réduite à
(ao) x" = — 1 ,
aura pour racines les diverses valeurs de x que l’on peut déduire de la formule
en prenant pour il des nombres entiers. De plus , comme la différence entre le rapport
et le nombre entier h le plus voisin de ce rapport sera évidemment une fraction de numérateur impair , inférieure ou tout au plus égale à , par conséquent une fraction de la forme
al'-M a n
a k' -+- 1 étaut un nombre impair égal ou inférieur à n , comme d'ailleurs la formule
iis- 1 , a k' -4- 1
an an
entraînera les suivantes
■a Ar -4- 1 , il' + 1
jr = a n n ± n ,
' ÎT l '—i
il est clair qu’on obtiendra toutes les racines distinctes de l’équation (ao) , en attribuant successivement au nombre k toutes les valeurs entières comprises entre les limites
o, . Au reste k ne peut atteindre la seconde de ces limites et devenir égal k
— , qu'autant que n est impair , et c'est alors seulement que l'équation (ao)
admet une racine réelle , savoir ,
(ai) x = — i .
Les autres racines correspondantes aux valeurs
du nombre A si n est impair , et aux valeurs
du même nombre k si n est pair , seront évidemment toutes imaginaires et conjuguées deux à deux. Donc l’équation (ao) offrira , si n est impair , une racine réelle et n — i racines imaginaires , si n est pair , n racines imaginaires. Le nombre des racines \ distinctes sera donc toujours égal au degré n de cette même équation.
En combinant la formule
n ( a k ■+■ i ) if . . ( a Jt 1 1 *
x — e ~ cos — ± y — i su — ,
avec les formules [67) , (71) du § ta , et posant successivement
n = a, n = 3 , n = 4 1 «te
on trouvera pour les racines imaginaires de l’équation x* = — 1
x = e = ± vZTi ,
pour les racines imaginaires de l’équation , x 5 = — - 1
pour les racines imaginaires de l’équation xs s= — 1
ou plus simplement
