II» -+- U„+, -S

etc *

e’est-à-dire les sommes des quantités

U* f W«-f IJ Uj,|Jj sssss

prises , à partir de la première, en tel nombre que l’on voudra , finissent par obtenir constamment des valeurs numériques inférieures à toute limite assignable. Réciproquement , lorsque ccs conditions sont remplies , la convergence de la série est assurée.

U résulte encore de ces principes que , si une série convergente est uniquement formée de tenues positifs , la convergence continuera de subsister , lorsqu’on changera les signes de tous ces termes ou de quelques uns d’entre eux. Car , en opérant ainsi , on ne pourra que diminuer la valeur numérique de la somme des termes qui suivront un terme quelconque.

Pour plus de commodité , nous désignons dorénavant par (10) U», U, , U» , etc

les valeurs numériques des différents termes de la série (i) , de sorte qu’on aura

«A — Du | ou u n — ”■ L- n

snivant que u„ sera positif ou négatif. Cela posé, il est clair que , si la série (10) est convergente , la série (i) sera convergente h plus forte raison. De plus il sera facile d’établir la proposition suivante.

i ." Théorème. Soit il la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandisque n croit indéfiniment , la racine n"* de la valeur numérique de »„ , c’est-à-dire V expression

JL «

L\ m = VÜn •

La série ( i ) sera convergente , si l'on a Cl < i , et divergente si l’on ai 1 > i .

Démonstration. En effet, soit U un nombre renfermé entre les limites i et Ci. On aura , dans la première hypothèse ,

Alors , si n vient à croître au-de-lù de toute limite , les plus grandes valeurs de

en s'approchant indéfiniment de fl , finiront par devenir inférieures à U , et en même temps les plus grandes valeurs numériques de u„ deviendront inférieures à U". Donc , dans la première hypothèse , les termes de la série

Mo J 1*1 > 11» > ••••• M* y Mfl+l y •••••

finiront par devenir ( abstraction faite des signes } inférieurs aux termes correspondants de la progression géométrique

et comme cette progression sera convergente , U étant < i , la série (i) sera elle-même convergente. Au contraire , dans la seconde hypothèse , on aura

Alors , si n vient à croitre au-delà de toute limite , les plus grandes valeurs de { ± n , en s’approchant indéfiniment de fi , finiront par devenir supérieures à U, et les plus grandes valeurs numériques de u„ supérieures à U" . Donc alors on trouvera dans la série

u„, u,, u, , u n , u„ +I , etc.

un nombre indéfini de termes supérieurs aux termes correspondants de la progression géométrique 1

i , V, U *, U- , U H +' , etc.

par conséquent un nombre indéfini de termes supérieurs à l'unité , U étant > i ; et la série (i) sera nécessairement divergente.

Si , pour des valeurs croissantes de n , la valeur numérique du rapport

c’est-à-dire la fraction

Un

converge vers une limite fixe fi, alors, en désignant par £ un nombre aussi petit que l’on voudra , on pourra donner au nombre m entier une valeur assez considérable pour que, n étant égul ou supérieur à m , chacun des rapports

t m+t Un. 4» Un

hot+i * Un - 1

et par suite la moyenne géométrique entre ces rapports * ou le quotient

(la)

* Lorsque n quantités positives a , a ' , a" , sont toutes supérieures à un nombre

donné g , et toutes inférieures à un autre nombre donné h , le produit « a' a 1 ' est

évidemment compris entre les limites g * , h" ; et par suite la racine n mt de ce pioduit

ou la moyenne géométrique entre les quantités u , tf , a", se trouve elle-même

comprise entre les deux nombres g , h .

restent compris entre les quantités

il — * , il < .

Si maintenant on fait croitre indéfiniment le nombre n sans changer la valeur de m , l’expression

convergera vers la limite