VI

et l'expression (11) vers la même limite que la suivante

Donc la limite de cette dernière, devant rester comprise entre les quantités Cl — e, Cl ■+■ t , quelque petit que l’on suppose le nombre r , coïncidera nécessairement avec la limite Cl de la valeur numérique du rapport

~ïi7 *

On peut donc énoncer le théorème suivant :

a.' Théorème. Si, / xnir lies valeurs croissantes de n , la valeur numérique du rapport

converge vers une limite fixe Cl, la série (i) sera convergente ou divergente suivant

que celte limite sera inférieure ou supérieure à Vunilé.

Lorsque, la série (i) étant convergente et composée de termes alternativement positifs et négatifs , la valeur numérique U m du terme général décroit sans cesse pour des valeurs croissantes de n , alors , la valeur du reste r„ pouvant être présentée sous la forme

r. = ( — > i )“ [(£/» — Um+i ) ( U m+ > — ü«+ 1) ■+■ ]

ou sous la suivante

r* — ( — i )*~' £ ( U„ — Um-t-i ) — — L -+ 3 ) •+■ 3 ,

selon que le premier terme u, est positif ou négatif, le reste r« change de signe quand on fait croitre n d’une unité. Par suite la somme s de la série est comprise entre

s. et s. + ,.

On peut donc énoncer la proposition suivante «

3. * Théorème. Lorsqu’une série convergente étant composée de termes altemalùement

positifs et négatfs, la valeur numérique de chaque terme est inférieure d celle du terme précédent, la somme de la série est comprise entre le premier terme et la somme des deux premiers , entre cette dernière somme et celle des trois premiers , etc.'

Si l’on multiplie par une constante a les differents termes de la série ( i ), ou obtiendra la suivante

(13) an, , au, , au»,

dans laquelle la somme des n premiers termes , savoir ,

a (u. -b u, ■+■ ..... u n ., ) = as, ,

convergera vers une limite fixe as si la somme des n premiers termes de la série (i) converge vers une limite fixe s , et ne convergera vers aucune limite dans le cas contraire. Cette remarque suffit pour établir le théorème suivant.

4. " Théorème. Si l’on multiplie les différents termes de la série ( 1 ) par une constante. a , la nouvelle série ainsi obtenue sera convergente ou divergente suivant que la série ( 1 ) sera elle-même convergente ou divergente , et l’on aura dans le premier cas

(14) au, -t- au, -+- au, -t- etc = a(« 0 -+- < 1 , + u,+ etc ).

Corollaire. Si, dans l’équation ( 1 4) on change a en — , on trouvera

», -t- U, - 4 - U, 4- etc.

Si , les séries

11 , , u, , u , , etc.

v, , v, , v , , etc.

*v„, sv, , iv, , etc.

etc

étant convergentes et ayant pour sommes respectives s, s’, s", on fait

s’« = I’, -t- v, s", =tv. w, -*•

alors , pour des valeurs croissantes de n, s, convergera vers la limite s , s'„ vers la limite s" , et par suite les sommes

r« , s. -4- s', -t- s“„ , etc.

des n premiers termes des séries qui auront pour termes généraux

u n -4- v, , k, •+• v n -4- Wj, , etc.

convergeront vers les limites

s s' , etc. ..... .

On peut donc encore énoncer ce théorème :

5. * Théorème. Lorsque plusieurs séries soûl convergentes , l'addition de leurs termes généraux fournil le terme général d une nouvelle série qui est elle-même convergente , et dont la somme résulte de l’addition des sommes des séries proposées.

On a , en vertu de ce théorème ,

r (ii, + u, -t- k , •+■ etc. ) ■+■ ( V,, ■+• t>, h- v t ) -t- etc.

( = («o ■+• r 0 ) -v- (u, + v ,) ■+■ (u, -a-r») etc ,

(ii„ - h u, etc.) -s- (i>„ -t- v, -4- i>> - 4 - etc.) ■+■ (»,■+ iv, -t- w t -t- etc.)

=z(u a -t- V O -s- »v 0 ) -l- (u, v, + w, ) + (n, -t- v, «>,) etc