Théorème. Si , les deux séries

u „ , u, , u, , etc.

Vn , V, , v, , etc.

étant convergentes et ayant pour sommes respectives s , s' , chacune de ces deux séries reste convergente lorsqu’on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques , alors la série

(19) u 0 a>o, n 0 v, -t- u,v 0 , u 0 v, -s- u,v, u,v„ , etc ,

dont le terme général est

Uq -b U.V.-I -4- Un-, V, -4- U.V 0 ,

sera elle-même convergente et aura pour somme le produit ss ' , en sorte qu'on trouvera

(u„ 4- u, -+- u, etc ) (t>, 4 - v, - 4 - v, 4 - etc ) =

llpllp 4- (u 0 Vi 4- U, Va) -4- (il, V, 4 II, V, 4- II, V») 4- CtC

Démonstration. Soient s„, s'„ les sommes des n premiers termes des séries (i8) , et j"„ la somme des n premiers termes de la série (19). Représentons par m le plus grand

nombre entier compris dans " - , et supposons d’abord que les différents termes des

séries (18) soient tous positifs. On aura évidemment dans cette hypothèse

iipii, 4- («„ i>, •+■ n, v,) - 1 - (u«v,., 4 - u, v.., 4- 4- n,-» v, - 1 - u,, îl 0 )

ou

> ( «p 4- II, 4 - 4- «„ )(v 0 +l>, + ..... 4- V m ) ,

I,-fi s 1 ■

Concevons maintenant que l'on fasse croître n au-delà de toute limite. Le nombre m qui

ne peut être que — ou croîtra lui-même indéfiniment , et les deux sommes

1. , s m +, convergeront vers la limite s , tondisque s‘, et convergeront vers la li-

mite s'. Par suite les deux produits s.s', , s„ + , s' m+ , et la sonune s",, comprise entre ces deux produits , convergeront vers la limite ss' -, ce qui suffit pour établir le théorème énoncé. Il en résulte aussi que l’expression

(ai)