I 4 - V, 4- U,.»V, 4- 4- II» U

convergera , dans l’hypothèse dont il s'agit , vers la limite zéro.

Supposons à présent que, les différents termes des séries (18) conseivaut les mêmes valeurs numériques , tous ces termes , ou quelques uns d’entre eux viennent k changer de signe ; ce changement ne pourra que diminuer la valeur numérique du second membre de la formule (ai). Donc cette valeur numérique, ou celle de la différence

Sh* n “ S n

convergera encore , pour des valeurs croissantes de n , vers la limite téro , et s" H vers la limite ss' du produit s„s' H . Donc alors la série (19) sera encore convergente et aura pour somme le produit ss'.

Lorsque, les termes de la série (1) renfermant une certaine variable x, cette série est convergente et ses dilférents termes fonctions continues de x dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à cette variable; la somme s. des n premiers termes, le reste r, et la somme s de la série sont encore trois fonctions de la variable x , dont la première est évidemment continue par rapport à x dans le voisinage de la valeur particulière dont il s’agit. Cclà posé, considérons les accroissements que reçoivent ces trois fonctions , lorsqu’on fait croître x d'une quantité infiniment petite. L’accroissement de s„ sera , pour toutes les valeurs possibles de n , une quantité infiniment petite , et celui de r. deviendra insensible en même temps que r„ si l’on attribue à n une valeur très-considérable. Par suite l’accroissement de la fonction s ne pourra être qu’une quantité infiniment petite. De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante.

7.' Théorème. Lorsque les différents termes de la série (1) sont des fonctions d’une variable x, continues par rapport a cette variable dans le voisinage d une valeur particulière pour laquelle la série est convergente ; la somme s de la série est aussi , dans le voisinage de celte valeur particulière , fonction continue de x .

Considérons à présent une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de x , c’est-à-dire , une série de la forme

(23) a», a,x , a»x», etc ;

et soit a> la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, pour des valeurs croissantes de n , la racine n" 1 ' de la valeur numérique de a. ou l’expression

(i a,)" . Comme la limite ou la plus grande des limites de

sera

(* «„x" )" ± eux ;

il est clair que la série (22) sera convergente quand la valeur numérique du produit eux sera inférieure à l'unité , c’est-à-dire, quand la valeur numérique de x sera inférieure

à — , et divergente quand la valeur numérique de x deviendra supérieure à — . Ajoutons que cd sera précisément la limite de la valeur numérique du rapport a " + ' , si pour

des valeurs croissantes de n cette valeur numérique converge effectivement vers une limite fixe. On peut donc énoncer ce théorème :

8.* Théorème. Si ai désigne la limite ou la plus grande des limites de C expression

( ± a, ) * , ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge , tandisque n croit indéfiniment , la valeur numérique du rapport

la série (a») sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors de ces limites.

Si la série (aa) est convergente pour des valeurs numériques de x inférieures à un

nombre donné c, ce nombre sera nécessairement inférieur ou tout au plus égal à — ;

et la série (aa) continuera d’être convergente quand on remplacera chaque terme par sa valeur numérique. Celà posé , on déduit immédiatement du théorème 6 la proposition suivante : ,

g.' Théorème. Si deux séries ordonnées suivant les puissances entières et positives de x , savoir

sont convergentes pour des valeurs numériques de x inférieures à un nombre donné c , la série

(*5) a 0 b 0 , (a 0 b, a- a,b„) x , {a 0 b, -h a, b, ■+■ a,b„ )x‘, etc.

sera elle-même convergente entre les limites

et Ion aura, pour des valeurs de x renfermées entre ces limites ,

= a 0 b n [a„b, -t-a,b,)x ■+■ (a 0 b,s- a, b, a l b v )x'-t- etc.

Corollaire » / r Si deux ou plusieurs fonctions de x représentées par , ... sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives

de x pour des valeurs de x comprises entre les limites — c , c , le produit yz ..... sera , pour les mêmes valeurs de x , développable en une semblable série.

En supposant y — z = ... , on obtient cet autre corollaire :

Corollaire i .' Si une fonction de x représentée par y est développable en une série convergente de la forme

pour des valeurs de x comprises entre les limitas — c , -t- c , le carré , le cube de y , et ses diverses puissances seront, pour les mêmes valeurs de x , développable en de semblables séries, de sorte qu’on aura

y 1 = a 0 * -t- T.a„a,x -t- -t- a, 1 ) x* •+■ etc ,

y 3 = a„ 3 -t- -t- etc. ... ,

etc

io.' Théorème. Lorsque deux séries convergentes , ordonnées suivant les puissances entières et positives de x , conservent des sommes égales pour toutes les valeurs numériques de' x qui ne surpassent pas un nombre donné, ces deux séries sont nécessairement identiques.

En effet, admettons que , pour des valeurs numériques de x inférieures à c , on ait constamment

flo + a.r + o,x* ■+■ = b„ -4- L,x ■+■ i>»x* ■+■ ,

on en conclura , en supposant x = o ,

a e s bo ,

et par conséquent

puis , en posant de nouveau x = o ,

et ainsi de suite.

Concevons maintenant que dans la formule (5) on attribue à la variable x un accroissement g . , dont la valeur numérique soit très-petite et inférieure i> celle de i — x. Cette formule donnera

A — *4- et;

et , comme on aura

on trouvera encore

1 i -4- (x-4- a) -t-(x* -t- a «x -t- «>) h- [x"' 1 ■+• (n — i Jgx" -1 -t- (n — i ), a* x" î -4- .. -4- a""‘]

=(, x*— („),a-x ...-g») (— + + T __ TJ

puis , en multipliant successivement la somme

par les differents termes du polynôme

( i — x") — nax" - ' — - (n ), a*x" - * — .... — a“ , et ayant égard aux formules (i4) et (a6) , on tirera de l’équation (18) i-4-x-f-x* -4- ... -4-x"*'

-4- etc.

i — x" / i — x" /tx""'\ / >— x" nx"”' (n),x* ’\

= 4- I ; T la -4- I , -î — — — : la* -4- etc. ...

D’ailleurs , en vertu du io. r théorème , les coefficients des puissances semblables de a devront être les mêmes dans les deux membres de l’équation ( 29 ). On aura donc encore

( 3 oW

x* nx" - '

1 x* nx" - ' (n),x’ , *

etc.

et généralement

« £ nar— ' (n) w „x—

( 1 — JT )"» (l — X)“ (l— ■ x) m ~ l — I — x

D’autre part il est facile de s'assurer que la série

(3a) i , (ni -s- • )».». ar* , (n— , etc. .....

qui a pour terme général

(33) (|S iJm.iJf 1 * ,

reste convergente par toute valeur numérique de x inférieure à l'unité. Car, pour déduire la série (3a) de la série (aa) , il suffit de poser

a„ = (m -t- n — i )„, = ( ra + n — i )„,

et l’on trouve alors

<r„ + , m -f-n ni — i

Or , si l'on fait croître indéfiniment le nombre n , sans changer la valeur de m , la valeur précédente du rapport — convergera vers la limite tu = i . On aura donc aussi

— = t , et la scrie (3a) , en vertu du théorème 8 , sera convergente pour les valeurs eu

de x reufermées entre des limites x sz — t , x = -*• i . Donc , pour de semblables valeurs de x, l’expression (33) et celle qu’on en déduit en remplaçant n par n — m i , savoir ,

deviendront infiniment petites en même temps que ■— . Par conséquent , si , la valeur

numérique de x étant inférieure à l’unité , on fait croître indéfiniment le nombre n , les quantités

x», nx*-', («)»x"-*, ..... (»)„.,r"‘" + '

dont les premières sont ce que devient la dernière quand on attribue successivement à ai

les valeurs particulières t , a , 3 , convergeront toutes vers la limite zéro , et l’on

tirera de la formule (3i)