I-(-3x -4- 6x»-4- IOX J -4- =Z ! -y
etc.
Ajoutons que l'équation (35) ou (36) peut encore s’écrire comme il”suit
(38) (i— x)-™ = i-4 x-t : -x* -4 — - ' x 5 -4- etc.
Si dans cette dernière on remplace x par — x , on obtiendra la suivante
, m m(m- 4 - 1 ) mlm t)(m -4- 3 ) ,
(3q) i+x -“ = i x H 1 -x* i x J -4- etc.
qui subsiste , comme la formule (38) , pour des valeurs numériques de x inférieures à l’unité. Enfin , si dans la formule (35) on remplace x par , celle qu’on obtiendra ,
savoir ,
(fo) (x-s-a)"” 1 = a~ m — — a -m -'x -4- a" m "*x‘— etc
subsistera pour des valeurs numériques de x inférieures à celles de a , et sera précisément ce que devient la formule ( 3 ) du § a , quand on y remplace m par — m.
§ 7. Développements des exponentielles e T , A 1 .
Si , dons la formule (6) du § a et la formule ( 38 ) du § 6 , on remplace x par a , elles donneront
(o 7^-3 -«te
( ih 1 I 1 h Il 1 ■+■ — ) -f- etc
i.a \ m/ i.a.3 \ ni / \ m /
(a) (1 — a} - ”* = 1 -t- mx s- ■
Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre m , et décroître indéfiniment la valeur numérique de <x , mais de manière que le produit
ma
converge vers une limite finie x, les divers termes du second mcudnc , dans chacune des formules (1) et (a) , s'approcheront sans cesse des différents termes de la série
qui restera convergente pour une valeur finie quelconque de la variable x . En effet le terme général de la série ( 3 ) sera
et , si l'on pose
le rapport
convergera , pour des valeurs croissantes de n, vers la limite 01 = 0. Donc la série ( 3 ) sera convergente pour toutes les valeurs finies de x comprises entre les limites
c'est-à-dire, pour une valeur finie quelconque de la variable x . Cela posé , eu admettant que l'on ait
(4) Uni ( ma ) =: x ,
on tirera des formules (■) et (a)
(5) /im ( i ss <t'm(t—> «)”*• = t-s-x-t-— — ■+• ; ■+■ etc
Il y a plus. Pour que la formule (4) entraîne la formule (5) , il n’est pas nécessaire que m , venant à croître indéfiniment , conserve toujours une valeur entière. Car , si l'on nomme fi une quantité positive , qui croisse indéfiniment tandisque a diminue , mais de manière que l’on ait
( 6 ) lim(ii*) = r,
et ni le nombre entier immédiatement inférieur à fi , alors, fi étant renfermé entre les deux nombres ni , m-t-i , le rapport ■— , compris entre i et i + — , aura pour limite l’unité. Donc la formule (6) entraînera les formules (4) > (5), et comme on aura d’ailleurs
(i-s-a^sCfi-r-a)"] “ , (i — «)- M = L(i — •)-"] ’
par conséquent
=lim (i -*-«)”• , /im(i — a) = lim ( i — »)*"*,
on trouvera encore
, , ... /■ , M Sr* -T 3
(7) hm ( i -t- a ) s=ltni(i — a) — i ■+■ x — - •+■
etc. ...»
La formule (6) sera vérifiée , si l’on suppose
puisque , dans cette hypothèse , on aura constamment txa, = ar . Alors la formule (7) donnera
JC X
W . lim (!-*-«)* =b'm(i— *) * = 1 -t- x -t — — ■+■ — - — ; etc.
puis , en réduisant x à l’unité , et nommant e la somme de la série (3) pour x — 1 , en sorte qu’on ait
on trouvera
On aura par suite
tim[\ -♦•«)“ = — a ) ‘rt,
C»»(i •+• a)*=Zû»(i — a) *=e r ;
et l’on tirera de la formule (ii) jointe à la formule (d)
jr*3
c* = i •+• x •+■ - •+• etc.
Le nombre e est celui qui sert de base au système des logarithmes qu'on appelle hyperboliques ou Népériens. L’équation (12) qui fournit le développement d'une exponentielle de la forme e x en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x , subsiste , quelle que soit la valeur finie attribuée à la variable x.
Si , a étant positif, on prend rsm , les formules (1) , (2) donneront
etc.
-+■ etc. ... .
et de ces dernières , comparées à l’équation (12) , on tirera
par conséquent
La formule (i 5 ) subsiste pour uae valeur positive quelconque de x.
Observons encore qu’eu vertu d» l’équation (la), la formule (7) sera réduite à
(16) fm»(i •)!* = lim(i — a) ^ = e T .
Donc l’équation (ü) entraînera toujours la formule (16),
Soit maintenant A une quantité positive quelconque. Désignons , à l’aide de la lettre caractéristique L , les logarithmes pris dans le système dont la base est A , et à l’aide de la lettre caractéristique 1 les logarithmes Népériens pris dans le système dont la base est e. Enfin soit
(■7) a = l^)=LT7) *
le logarithme Népérien de A. On aura
et par suite
A r = e’ x zz i + ar +
etc.
ou , ce qui revient au incme , (ao)
, ,, **fl(^)]* x 3 f l(/4)] 3
A r ss i -*■ x\(A) h — — -S- — L , - •+• etc
Cette dernière formule subsiste , cotmne l’équation (ta) , pou» «ne valeur finie quelconque de la variable x.
* Le logarithme x = L(y ) du nombre y , dans le système dont la base est A , n’est autre chose que l’exposant x de la puissance à laquelle il faut élever A pour obtenir y', c’est-à-dire , la valeur de y propre à vérifier l'équation
Cela posé , soient x' = L'(y) et b=L'(A) les logarithmes de y et de A , relativement à une nouvelle base A 1 distincte de A. On aura
et par suite x 1 s: fur
A=A' k , A x =A' tx ,
Donc le rapport entre les logarithmes x', x de y, dans deux systèmes différents, conserve la même valeur b , quel que soit y'. Si l’on pose en particulier / s«, on trouvera
Soient
§ 8. Des séries doubles ou multiples. Nombres de Bei'tioidU.
1 O) ' Uoy i y Uq f | j ^1)0) > I > » » 9
etc
des quantités quelconques rangées sur des lignes horizontales et verticales , de manière que chaque série horizontale ou verticale renferme une infinité de termes. Le système de ces quantités sera ce qu’on peut appeller une sérié double , et ces quantités ellesmêmes seront les différents termes de la série , qui aura pour terme général
Um y m ’
m , ni' désignant deux nombres entiers quelconques. Pareillement on peut imaginer une série triple dont le terme général
serait une fonction donnée des trois indices ou nombres entiers m , m' , m" , une série
quadruple et finalement une série multiple dont le terme général serait une fonction
de divers indices m. m ‘ , m" , m", chacun de ces indices pouvant recevoir successi-
vement les valeurs entières
Cela posé . nommons s„ la somme formée par l'addition d'un nombre fini ou même infini de termes de la série multiple , cette somme étant composée de manière qu'elle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inférieure à n , et que jamais elle ne comprenne un terme correspondant à des indices donnés sans renfermer en même temps tous les termes qu’on en déduit en remplaçant ces mêmes indices . ou quelques uns d’entre eux , par des indices moindres. Si , toutes les fois que les deux conditions précédentes sont remplies , la somme s, converge , pour des valeurs croissantes de n, vers une limite fixe * , la série multiple sera dite convergente , et la limite en question s'appellera la somme de la série. Dans le cas contraire la série multiple sera divergente , et n’aura plus de somme. Si , dans le premier cas , on pose
( t) * — Sm •+■ / n i
r„ sera le reste de la série multiple, et ce reste, qui représentera ce qu’on peut nommer la somme de tous les termes non compris dans s n , deviendra infiniment petit poui des valeurs infiniment grandes de n. Enfin , si l'on pose dans le même cas
etc. ,
et généralement
la série simple
Vu — f/l-ht ““ f/l f
sera elle-même une
série convergente qui aura pour somme s, pour terme général
et pour reste r„ .
Comme , d’après ce qu’on vient de dire , les termes non compris dans la somme s„ , se réduiront soit aux differents termes dans lesquels la somme des indices est au moins égale h n , soit à une partie de ces mêmes termes , on peut évidemment énoncer la proposition suivante.
i .** Théorème. Une série multiple sera convergente , si dans cette série les termes où la somme des indices devient au moins égale à n , étant ajoutés les uns aux autres en tel nombre et en tel ordre que. l’on voudra , fournissent une somme qui devienne infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de. n . 11 y a plus. Si tous les termes de la série multiple sont positifs , cette série ne pourra être convergente sans que la condition que nous venons d’cnoncer soit remplie, et, dans ce cas, on pourra évidemment , sans détruire la convergence de la série , changer les signes de tous scs termes ou de quelques uns d’entre eux. On peut donc encore énoncer cet autre théorème.
a.” Théorème. Une série multiple est toujours convergente, lorsque les valeurs numériques de ses différents termes forment une série convergente.
Si les différents termes de la série proposée étaient les uns positifs , les autres négatifs , il pourrait arriver que la série fût convergente , et que les termes dans lesquels la somme des indices serait au moins égale à n , étant ajoutés les uns aux autres dans un certain ordre , ne donnassent pas toujours une somme infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n. cette remarque est applicable même aux séries simples. Ainsi, en particulier , si l’on considère la série simple
-, etc.... ,
oïi aura
et , comme les valeurs numériques des différence»
etc.
\ n i il - 4 - a /
sci'Oftt tontes renfermées entre les limites
qui deviennent infiniment petites pour des valeurs infiniment grandes de n , on peut affirmer que la somme s„ convergera pour des valeurs croissantes de n vers une limite fixe s , et que la série (6) sera convergente. Mais si , au lieu d’ajouter les uns aux autres les termes
j -’C y etc. .....
pris dons l'ordre où ils se trouvent , on venait ù intervertir cet ordre en choisissant parmi eu* des termes affectés du même signe , par exemple , les suivants
♦■an 3n
la valeur numérique de la somme de ces derniers termes , savoir ,
nu- a n u- 4
surpasserait évidemment le produit
n SS
et cesserait d’être infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n.
Lorsqu’une série multiple est uniquement composée de termes positifs, alors, pour que la condition énoncée dans le premier théorème soit remplir , et par suite pour qu'on soit assuré de la convergence de la série , il suffit évidemment qu’en adoptant , pour former la somme désignée par s , , uu des différents modes qui peuvent satisfaire aux conditions précédemment indiquées, on obtienne une valeur de s n qui converge vers une limite fixe s , tandisque n croit indéfiniment. De cette remarque , jointe au théorème a , on déduit immédiatement la proposition suivante.
3.* Théorème. Nommons s n la somme formée par Caddilion d'un nombre fini ou même infini de termes d'une série multiple , celte somme étant composée de manière quelle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inférieure à n , et que jamais elle ne reirferme un terme correspondant d des indices donnés , sans renfermer en même temps tous les termes qu'on en déduit en remplaçant ces mêmes indices par des indices moindres. Si , dans un cas particulier où ces deux conditions soient remplies , la somme s* et celle qu’on obtient en substituant aux différents termes qui la composent leurs valeurs numériques , convergent l’une et l'autre vers des limites fixes , il en sera de même dans tous les cas , et la série proposée sera convergente.
Scholie. 11 est important d’observer que les deux sommes dont il s’agit ici convergeront vers des limites fixes , si la série (5) et celle en laquelle la série {5) se transforme lorsqu'aux sommes de termes désignées par v „ , v , , r, , on substitue les
sommes des valeurs numériques de ces mêmes termes, sont l’une et l’autre convergentes.
Considérons, pour fixer les idées, une série double, par exemple, la série (i). Si cette série est convergente, alors, en prenant pour s n la somme des termes dans lesquels les indices offrent uue somme inférieure à n , on trouvera
( I û) V H — Ho, n “S- U i , + ..... -a , , -S* , 0 ,
et la série (5) , réduite à
(ri) Ho , or m 0 , i, + h, , o , Uqj% + u,,, + Ho, o , etc. .....
sera une série simple convergente , dont 1* somme s ne différera pas de celle de la série double. Si, dans le même cas, on preud pour s. la somme des termes où le premier indice est inférieur an, on trouvera
(ia) v, s u, , © u- ii n j i + Moj * s* etc. ...».)
par conséquent chacune des séries horizontales comprises dans le tableau n.° i sera convergente , et les sommes de ces séries- convergentes , savoir ,
(i3) u 0) , -t- u 0 , ■ ■+■ uo,» ■+• etc., ».,o **• «in ■+■ Mi)» *+• etc., «>, 0 «»,• -♦-«»)»•+■ etc., ...
formeront elles-mêmes une nouvelle série convergente dont la somme sera encore s. Enfin, si l’on prend pour s n 1a somme des tenues de la série double où le second indice est inférieur in, on trouvera
(i4) 'f* — “•>» ».i« ■+• «»>. ■+• etc ;
]iar conséquent chacune des séries verticales comprises daus le tableau n." i sera convergente , et les sommes de ces séries convergentes , savoir
<i5) il*,. u,,» -t- uj,« •+■ etc., •*- n,„ -s- etc. -a- «,,, -s- etc., ...
formeront à leur tour une nouvelle série convergente dont la somme sera encore s. Ajoutons que du théorème 3 et du scholie placé à la suite de ce théorème ou déduira immédiatement la proposition suivante :
4 .* Théorème. Si des trois séries simples { 11 ), (i3) , (i5) l'une est convergente, et ilemeure convergente , landisque l'on remplace les quantités « 0 , o , », ,„ , etc.
par leurs valeurs numériques , les deux autres seront pareillement convergentes , et la série ( 1 ) sera une série double convergente, dont la somme ne différera pas de celles des trois séries simples dont il s’agit.
Pour exprimer que s représente la somme de la série ( 1 ) supposée convergente, nous écrirons simplement
J = Ho, o 14 1 , O
CtC. ...
-•-i/o,, -f- «o,, etc. ...
-h u,,, -4- »,,» -4- etc. ...
-f* itiyi *4- //*,» *4- etc. ...
Soit maintenant z une fonction de deux variables x, y . Pour que cette fonction soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x , y , c’est-à-dire , en d’autres termes , pour que z puisse être considéré comme équivalent à la somme d’une semblable série , il ne suffira pas , comme on pourrait le croire au premier abord , que z soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x , et le coefficient de chacune de ces puissances en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de y , en sorte qu’on ait
(1;) s =».-«- u,x ■+■ «.a-» etc.
et par suite
«„ = a„,. a 0 ,,y a<,, x y etc ..... ,
. u, = a,, o ■+■ a,,, y ct„ % y* etc ,
u» = a»,. •+- a„,y -t- a % ,*y* etc ,
! s = a Bjù ■+■ a„,y a<,,*y* ... («.,0 a,-,, y -+■ tt,,,y‘ •+• .-) x
■+■ (a,,„ a t) ,y a*,, y 1 etc
Mais , eu vertu du théorème 4 > 1 scia effectivement développable ai une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x , y , je veux dire, que s sera la somme de la série double
jl y y &0 y S y* y •*••• y
*•9 o*, t*tyi*yy *•>•*?*> CtC ,
a,,,x>, a„ 1 x\>-, a>,% x*y‘ , etc ,
etc ,
si le second nombre de la formule (19) conserve une valeur finie et déterminée , lorsqu'on y remplace les variables x , y et les coefficients
a. , e , &o , 1 1 a, .«»ï n, , o , a, ji, a, j u % , 0 , n» ,, , 1 î etc. .....
par leurs valeurs numériques.
Pour éclaircir ce qu’on vient de dire par des exemples, concevons d’abord que l’on veuille développer , suivant les puissances entières et positives de x , y , le produit
Alors , pour des valeurs de x , y propres à remplir les deux conditions
(ai) x»<i , y*<l ,
on aura
(aa)
1 — xi — y 1 — y 1 — y i — y
33 1 - 4 - v - 4 - r» -4- eW.
etc. .
et par suite
(*4) [ = (i-*-y -t-y* ■*■ . w ) -bx(t-*-y -*-y , -t- ...) -t-x^n-y-t-y*-*- ...)-*-ctc. ...
Or comme la formule (i4) continuera de subsister quand on y remplacera les variables x , y par leurs valeurs numériques , on peut affirmer que , si les conditions (ai) sont remplies , le produit
sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x , y , en sorte qu’on aura
= i •+■ y y* •+■ etc.
-t- x ■+• -t- xy» etc.
-*-x* x*y x'y* etc.
etc
qu’ alors aussi chacune des lignes horizontales ou verticales comprises dans le second membre de la formule (a5) offrira une série simple convergente , et qu’il en sera encore de même de la série simple
(a6) 1 , x •» -y, x 1 -t- xy y» , x» ■+■ x*y -4- xy» -*-y» , etc ,
ce qu’on peut aisément vérifier en écrivant les divers termes de cette dernière comme il suit
etc.
, Considérons en second lieu la fonction
Si l'on suppose remplies les deux conditions
on aura
►“ ; r ■+* y r~, -+• etc.
— - — = i ■+■ y y x ■+■ y* -t- etc ,
( , J. " } , = i+V+3/‘+ 4 ^» + etc
' - - r; = i -t- 3 y -t- 6 *-» 1 oy* -+- etc
etc
et par suite
(3 1 ) '■ = i -*-y -y/ 1 •+■ .. x(i iy 3y* ..)-♦■ x*(i -t-3,y -♦* Gy»-*- ...) -*• etc. ...
Toutefois on ne saurait conclure de la formule (3i) qu'on ait toujours , quand les conditions (a8) sont remplies
= i -+- y -+- y % v* -► etc. ...
■+• x a xy -s- 3 xy * 4 etc. ...
x* -r-3x*.y -t- &x*y % -s- iox*,y 3 + etc. ... x 3 4 x 3 ,/ ■+• loi 1 / -t- ao x i y 3 -t- etc. ...
et qu’en conséquence la série simple
i , x y , x 1 a xy y* , x 3 3 x»y -t- 3 xy » y 3 , etc
c'est-à-dire la progression géométrique
", X-+-.T, (•*■•*-/■)*> (x-+..y) 3 , etc
soit alors nécessairement convergente. Car il est visible que cette progression sera divergente , lorsque les variables x , y étant négatives recevront des valeurs numériques inférieures à l’unité , mais dont la somme surpassera l'unité , par exemple lorsqu’on supposera
et par suite
Alors cependant les conditions (ï 8) seront remplies. Mais, si, la valeur numérique de .y étant inférieure à l’unité , la valeur numérique de x ne surpasse pas la plus petite des deux quantités
la formule (3i) continuera de subsister, tandisqu’on y remplacera les variables x,y par leurs valeurs numériques , et entraînera l'équation (3a).
Concevons à présent que , pour des valeurs numériques de x inférieures à c , la fonction y de x puisse être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, et que, pour des valeurs numériques de y inférieures à c', la fonction z de y puisse être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de .y, de sorte qu’on ait, entre les limites x = — c , x=c,
(33) y =r <i„ -t- a, x ■+■ a,x‘ ■+■ etc ,
et , entre les limites y = — c' , y ~c‘ ,
(34) s =b,-t- b, y -s- b,y * etc
Les quantités y* , y* , etc. ... pourront elles-mêmes, pour des valeurs numériques de x inférieures h c , être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives de x , b l'aide des formules
Î y‘ = ay ■+■ ia„a,x -+• [za 0 a, -t- n,*) x* ■+■ etc ,
y 1 —aj 3a 0 'a,x ■+■ (3efa'u, -t- 3a 0 Oi*)x* etc. ..., etc
( voyez le § 6 , 9/ théorème , corollaire 1 ) , et l'on aura par suite
(36) s zz b„ -t- b, [a, a,x -4- <z»x» ■+■ ...) -t- b > ( a,, 1 za a a,x -t- ...) etc
Toutefois on ne devra point conclure de la formule (36) que s soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de ,r, et que l’on ait
(37 ) ï = b 0 ■+■ a„b , »è, •+• ... [a, b, -t- ia,a,lt, ■+• ,..) x ( a%b , ...)x* etc.
pour toutes les valeurs numériques de x qui, étant inférieures à c, fournissent des valeurs numériques de y inférieures à c'. Mais, en vertu du tbéorcmc a , la formule {37) deviendra, pour une valeur donuée de x , une conséquence nécessaire de la formule (36) ,
si les séries comprises daus les seconds membres des formules (33) , (34) restent convergentes quand on réduit chaque terme & sa valeur numérique apres avoir substitué dans la première série la valeur donnée de x , et dans la seconde série une valeur de y égale à la somme des valeurs numériques des termes de la première série. Or c’est ce qui arrivera nécessairement , si l'on attribue à x une valeur numérique inférieure à c , et pour laquelle la somme des valeurs numériques des ternies de la première série soit inférieure à c'. On peut donc énoncer la proposition suivante :
5.* Théorème. Supposons que , pour des valeurs numériques de x inférieures à c , y soit développable en une première série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x , et que , pour des valeurs numériques de y inférieures à c' , z soit développable en une seconde série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de y . z sera développable en une nouvelle série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable x , pour toute valeur de cette variable choisie entre les limites — c , -s- c de telle manière que la somme de valeurs numériques des termes de la première série soit inférieure à c ' .
Supposons , pour fixer les idées ,
et
On tirera de l’équation (38 ) , pour une valeur quelconque de la variable x ,
— etc.
et de la formule (3g) , pour une valeur numérique de. r inférieure à l’unité , (40 : = 1 -s- y y ■* -t- y 1 etc
On aura donc
, (x jr* & \ (x x» x*
(4a) s=t -t- ( -t- TT—? = h — — r — ... ) -i- eu.
par conséquent
- (t~t - ••) "•) elc - -
pour toutes les râleurs de x qui rendront jr* < i , c’cst-k-dirc pour toute râleur positive de x , et pour toute valeur négative comprise entre les limites' o, — t,a5o ... , le nombre i,î5o ... étant la racine positive unique de l’équation
■+■ etc. ... ss 1
