CHAPITRE SECOND

LES OÉOMÈTRES DE l'aNTIQUITÉ

Notions générales.

Procédés et limites de la Géométrie élémentaire.

Pendant de longs siècles, nous venons de le voir, TArithmétique végéta ; mais il n'en fut pas de môme de la Géométrie. Dans le courant de cette même période, elle se constitua sur ses vraies bases, se développa magnifiquement, et^fut poussée à un degré de haute perfection.

Des hommes de génie la cultivèrent merveilleusement. Leurs découvertes, en cet ordre d'idées, s'étendirent bien au delà de la partie élémentaire : elles permirent d'établir une théorie assez complète des sections coniques et de poser les fondements de l'Analyse transcendante.

La Géométrie élémentaire, on le sait, s'occupe exclusivement des propriétés de la ligne droite et du cercle, des surfaces terminées par des lignes droites ou par des cercles, et, enfin, des solides limités par des surfaces planes ou circulaires.

Le cercle y est donc la seule courbe étudiée. Les motife de cette préférence s'expliquent aisément. Il est bien, en

effet, la courbe la plus simple, la plus facile, et, en outre, une des plus utiles pour les exigences quotidiennes de la vie et pour les progrès mêmes de la Science. Il fournit des moyens commodes pour mesurer les angles et pour mener les perpendiculaires.

La ligne droite et le cercle appellent tout naturellement remploi de la règle et du compas. Avec des instruments si primitifs et si débiles en apparence, on peut aller bien loin.

Assemblées deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc., les simples lignes droites donnent lieu à une foule de théorèmes intéressants sur les angles, les perpendiculaires, les obliques, les parallèles; puis, sur les triangles, les quadrilatères, et les polygones quelconques. Considérées sous le rapport de leur grandeur relative, elles conduisent à la théorie des lignes proportionnelles, des transversales et des figures semblables.

Très nombreuses également sont les propriétés de la ligne circulaire et ses relations avec la ligne droite.

Quant aux surfaces, on peut, sans trop de peine, évaluer celle du triangle ou du quadrilatère, et celles des polygones décomposables en triangles et rectangles.

Une difficulté spéciale se présente pour Taire du cercle, car elle est terminée par une ligne courbe. Cependant un simple coup d'œil sur les figures montre qu'elle se rapproche, de plus en plus, de celle des polygones inscrits et circonscrits, à mesure que le nombre de leurs côtés augmente. Elle en vient donc à différer, de moins en moins, du produit du périmètre par la moitié du rayon.

Pour légitimer ce passage du commensurable à l'incommensurable, les anciens recouraient à la réduction par l'absurde. Ce fut leur méthode d'exhaustion, méthode exacte et rigoureuse, mais un peu longue.

Les résultats étaient identiques à ceux de la méthode des infiniment petits, pour laquelle la circonférence est un polygone d'un nombre infini de côtés infinitésimaux, et le cercle une réunion de triangles élémentaires ayant leur sommet au centre du cercle et leur base sur la circonférence.

Ce procédé par exhaustion permit encore aux anciens.

dans la Géométrie à trois dimensions, de passer aussi de l'aire et du volume du parallélipipède, du prisme et de la pyramide, figures terminées par des surfaces planes, à Taire et au volume du cylindre, du cône droit et de la sphère, solides terminés par des surfaces courbes.

Il n'y a pas lieu de trop s'étonner que, portant avec de persévérants efforts leur attention de ce côté, les anciens aient découvert assez rapidement toute la Géométrie élémentaire. Celle-ci n'est-elle pas un enchaînement serré de déductions logiques découlant d'un très petit nombre de vérités premières ?

Pour atteindre ce but, il suffit de deux ou trois procédés extrêmement faciles, comme la superposition des figures, la mesure des angles par les arcs de cercle décrits du sommet comme centre; puis, la réduction à l'absurde et la méthode d'exhaustion pour les grandeurs incommensurables.

Sections coniques et Géométrie transcendante.

Mais là ne s'arrêtèrent pas les grands génies de l'antiquité. De bonne heure, ils dépassèrent les bornes de la Géométrie élémentaire, et s'avancèrent fort au delà.

Leurs succès, en effet, ne furent pas moindres dans l'étude des sections coniques, si remarquables par leurs propriétés. Ces courbes sont comme la traduction graphique des aspects particuliers sous lesquels sont susceptibles de se présenter les équations du second degré entre deux variables. Elles constituent donc une transition naturelle entre la Géométrie élémentaire et la Géométrie transcendante.

L'objet de cette dernière s'étend à toutes les lignes courbes d'ordre supérieur, divisées en diverses classes d'après

leur forme. Il comprend également toutes les surfaces et tous les volumes dérivant de ces courbes.

Son but spécial est la rectification de ces lignes, la quadrature de ces surfaces et la cubature de ces solides.

Dès lors, elle réclame des secours plus efficaces. Elle doit appeler à son aide l'Analyse algébrique, et, très souvent môme, le Calcul infinitésimal.

Quant aux sections coniques, les moyens dont dispose la Géométrie pure suffisent pour en donner une théorie claire et complète.

Nous aurons à nous demander si les anciens sont parvenus à leurs surprenantes découvertes, sous ce rapport, en se servant d'une Analyse algébrique dont ils ne nous ont pas transmis le secret, ou bien en employant des considérations d'ordre simplement géométrique.

Le procédé analytique, dont l'usage est devenu universel chez les modernes, est plus général, plus rapide, et, en ce sens, plus facile ; mais aussi, il est obscur, précisément à cause de cette rapidité. Franchissant d'un bond toutes les vérités intermédiaires, par lesquelles, ce semble, on devrait nécessairement passer, il laisse dans l'ombre plusieurs propositions, parfois plus intéressantes, elles-mêmes, que le résultât final.

Au contraire, la méthode géométrique s'avance pas à pas, et non par sauts. Sa marche parait quelquefois bien lente aux esprits pénétrants et prompts ; mais la route est parcourue en plein Soleil. On sait toujours où l'on se trouve ; on est libre de s'arrêter à chaque instant, pour considérer le point de vue. Parvenu au terme, on se rend un compte exact des rapports multiples et curieux unissant le point de départ et le point d'arrivée.

Après ces considérations préliminaires, nous allons maintenant faire l'historique des découvertes géométriques dues aux anciens. Nous parlerons successivement de leurs progrès dans la Géométrie élémentaire, dans leur connaissance des sections coniques et dans la Géométrie transcendante. Nous terminerons par un aperçu sur leur Trigonométrie.

Les Législaêeurs de ta Géométrie élémentaire.

Depuis les temps historiques jusqu'à Euclide.

Sans aucun doute, certaines notions de Géométrie furent connues de tout temps. Ce sont naturellement les plus simples, comme celles de la perpendicularité et du parallélisme, l'égalité des triangles, quelques-unes des propriétés du cercle et de la sphère.

Le premier exemple d'un enseignement régulier de cette Science se rencontre dans l'École ionienne. Son fondateur, Thaïes de Milet, né en 640 avant J.-C, découvrit plusieurs théorèmes, entre autres, celui d'après lequel tous les angles inscrits dans une demi-circonférence sont des angles droits.

Il apprit aux Grecs ses contemporains, après l'avoir peutêtre appris, lui-môme, des Égyptiens, à mesurer la hauteur des monuments par la longueur de leur ombre. La loi de la similitude des figures ne lui était donc pas inconnue, et il savait que les triangles équiangles ont leurs côtés homologues proportionnels.

A Pythagore, né en 569, quelques années avant la mort de Thaïes, on attribue communément la théorie de rincommensurabilitéde la diagonale, par rapport au côté du carré; une ébauche de la doctrine des isopérimètres ; et le fameux théorème relatif à. l'égalité entre le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle et la somme des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit.

Plusieurs refusent cette dernière gloire au fondateur de

'^Ifc-

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l'École italique ; on ne voit pas cependant par quel motif plausible, puisque toute l'antiquité la lui a décernée. Aurait-il emprunté cet important théorème aux Égyptiens, chez lesquels il avait passé vingt-sept ans environ, à Memphis et à Thèbes, recevant les leçons des savants et des prêtres?... Le fait est possible, mais il n'est pas démontré.

Quoi qu'il en soit de l'origine, il n'a pu connaître cette vérité, sans avoir étudié en même temps et révélé à ses disciples les relations existant entre les surfaces des parallélogrammes et celles des triangles. Un seul pas restait à faire pour évaluer le volume des parallélipipèdes ; assurément cette partie de la route a dû être parcourue de bonne heure.

Au milieu du v® siècle avant notre ère, Hippocrate de Chios écrivit un Traité de Géométrie, 11 s'était rendu célèbre par la quadrature de ses lunules. C'étaient des figures planes en forme de croissant terminé par des arcs de cercle se coupant à ses extrémités. L'un de ces arcs de cercle était décrit sur Thypoténuse et l'autre sur l'un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle. Hippocrate avait établi que par la combinaison de ces arcs de cercle, on obtenait des espaces curvilignes égaux à la surface de ce même triangle.

Ce premier succès lui avait fait espérer de trouver la quadrature du cercle lui-même. Ses efforts furent vains, la chose étant impossible, comme on l'a démontré ensuite ; mais il resta convaincu de sa possibilité, et tâcha de la prouver par des raisons très spécieuses.

Il s'était aussi occupé du problème de la duplication du cube ; il fut le premier à le ramener à l'insertion de deux moj'ennes proportionnelles entre deux grandeurs.

Ce problème fut l'objet des elTorts persévérants de plusieurs générations de géomètres. Archytas, élève de Philolaùs, le résolut, vers le iv« siècle, au moyen du cylindre. Le divin Platon y travailla, lui aussi. Des solutions pluâ ou moins ingénieuses en furent données par ses disciples.

Celle d'Eudoxe de Cnide nous est restée inconnue, quoi-

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que les anciens l'aient trouvée excellente. Ménechme, presque à la même époque, y réussit de deux façons diflférentes, mais toujours par l'intersection des coniques qu'il avait étudiées spécialement, et dont il avait poussé l'étude asse« loin : rinterse(^on de deux paraboles, ou celle d'une parabole et d'une hyperbole.

Le problème étant du troisième degré ne pouvait être traité par la règle et le compas.

Ces solutions diverses, quoique déjà nombreuses, ne suffisaient pas sans doute. Nous voyons, en effet, deux ou trois cents ans plus tard, un siècle avant J.-C, Philon de Byzance en. proposer une nouvelle; puis, Nicomède, quelques années avant notre ère, en essaya une autre, au moyen de la conchoïde qu'il avait inventée, et qui porte son nom.

L'ouvrage d'Hippocrate de Chios sur la Géométrie élémentaire ne nous est point parvenu, mais celui de Zénodore, composé à peu près à la même époque, a eu la bonne fortune d'échapper au naufrage du temps.

Nous sommes redevables de sa possession à Théon d'Alexandrie qui, près de huit cents ans plus tard, dans le courant du iv» siècle de notre ère, eut la pensée de l'insérer dans son Commentaire sur la Syntaxe mathématique (tAlmageste) de Ptolémée.

Dans cet écrit, le plus ancien de tous ceux que nous ayons sur les vérités géométriques, Zénodore s'attache à montrer que des périmètres égaux ne renferment pâs des surfaces égales.

Eudoxe de Cnide, dont nous avons déjà parlé à propos du problème de la duplication du cube et de l'insertion de deux moyennes proportionnelles entre deux grandeurs données, fit avancer beaucoup, non seulement la Géométrie plane, mais encore celle à trois dimensions.

D'après Archimède, il aurait découvert qu'une pyramide est le tiers d'un prisme, et le cône le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur.

Un nom digne aussi d'être mentionné est celui de- Conon de Samos. Aucun de ses ouvrages malheureusement ne

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nous a été conservé ; mais il fut, dit-on, le maître d'Archimède. Ce serait assez pour sa gloire d'avoir formé un tel disciple.

Celui-ci professait pour lui une véritable estime. 11 le témoigne d'une manière non équivoque dans la préface de son Traité de la Sphère et du Cylindre et dans celle du Traité des Hélices, Ce dernier livre, si profond et si beau, est dû, sans doute, à la proposition, faite par Conon aux géomètres, de trouver la théorie de la spirale.

De nombreux ouvrages sur la Géométrie élémentaire furent écrits vers la môme époque, ou dans les siècles précédents ; mais, éclipsés par celui d'Euclide venu après, ils furent négligés, et, par suite, se perdirent. C'étaient ceux de Théon ou Léon ; de Theudius de Magnésie ; d'Hermotime de Colophon ; de Thœtète ; d'Eudoxe; de Théophrâste, dont le Traité des Caractères devait plus tard servir de modèle à notre La Bruyère ; d'Eudème, disciple d'Aristote, etc.

La plupart de ces ouvrages existaient encore dans les premiers siècles de l'ère chrétienne. Pappus et Proclus dans leurs commentaires nous en ont conservé le titre et quelques fragments.

EooUde.

Il nous faut maintenant parler de celui qui, par son mérite supérieur, les fit tous oublier.

Eaclide, né en 315 et mort en 255 avant J.-C, forma le lien entre l'École de Platon dans laquelle il étudia, et celle d'Alexandrie où il fut appelé par Ptolémée Philadelphe.

Ce prince ne dédaignait pas de venir lui-même assister à son cours, et il se fit un point d'honneur d'occuper parmi

ses disciples un des rangs les plus distingués. Parfois, cependant, il lui en coûtait beaucoup.

Fatigué, un jour, de Tattention soutenue qu'il avait dû prêter aux doctes leçons de son maître, il lui demanda si on ne pourrait pas le conduire à la connaissance de la Science par un chemin plus court et plus facile. — Non, répondit Euclide, il n'y a pas ici de roule spéciale pour les rois.

Un courtisan se fût bien gardé de formuler un pareil verdict; mais Euclide était géomètre, et il n'ignorait pas sa propre valeur. Cette réponse pourtant, en la supposant authentique, laisse beaucoup à désirer.

Si parfaite que fût la méthode euclidienne, elle pouvait encore, être perfectionnée, et, dès lors, rendue plus commode. Elle imposait à Tintelligence certains efforts qu'elle aurait pu lui épargner. Un peu plus de simplicité dans les démonstrations, un peu moins de redondance dans les pensées et de prolixité dans le style, aurait soulagé la mémoire ; l'esprit en eût été plus dispos, et le succès mieux assuré.

Ce Traité de Géométrie n'en fut pas moins, durant deux mille ans, considéré comme un modèle ; il fut pendant cette longue période de siècles le manuel obligé de tous les étudiants.

Sous le titre modeste d'Éléments de Géométrie^ Euclide avait d'abord rangé, dans un ordre méthodique et souvent admirable, les diverses propositions distribuées, un peu au hasard des circonstances, dans les écrits de ses devanciers. Il en avait corrigé les démonstrations, et aplani les difficultés.

Il avait, en outre, ajouté, de son propre chef, plusieurs J:héorèmes d'une grande importance.

Toutefois, son principal mérite est d'avoir perfectionné la méthode, en s'efforçant de rendre l'enchaînement des propositions déplus en plus serré, et l'argumentation de plus en plus précise et rigoureuse.

Sous ce rapport, il poussa ses scrupules peut être trop loin. Il eut, comme tant d'autres* les défauts de ses qualités. II voulut tout prouver, même les choses les plus évi-