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LES GÉOMÈTRES DANS L'aNTIQUITÉ 69

dentés par elles-mêmes. Aussi quelquefois ses raisonnements sont ils longs et diffus, par conséquent, compliqués • et difficiles à suivre. On retrouve, là, des signes du temps dans lequel il vivait, avec des tendances à la subtilité des sophistes grecs toujours pointilleux.

Il pèche aussi par une trop constante uniformité, source d'ennui et de fatigue. La succession des théorèmes, des corollaires, des propositions inverses des précédentes, est un peu trop monotone. La symétrie de la rédaction détruit la variété, et l'étude en est moins agréable.

Mais, comme par ailleurs, il rachète largement ces petites imperfections l Les théorèmes sont disposés avec un tel art, que les savants modernes ont trouvé peu de chose à chan* ger à Tordre suivant lequel il les avait placés.

Non, ce n'est pas sans motif que cet ouvrage a été universellement regardé comme un modèle. Pendant une vingtaine de siècles, on s'est contenté de le commenter. On Pa traduit dans toutes les langues, même en persan, en arabe, et en chinois. Jusqu'à nos jours, il a été pour toutes les Écoles le texte obligatoire. On croyait impossible de parvenir à s'en passer.

Môme à notre époque, il n'a pas été entièrement éclipsé. Il reste encore la base de tous les ouvrages similaires, à cause de son exactitude et de l'enchaînement méthodique de ses démonstrations.

Quand les progrès modernes le rendirent par trop incomplet et insuffisant, on y était encore tellement attaché qu'on voulut le corriger, et l'adapter aux nouvelles connaissances. Y renoncer purement, eût été plus sage. Sous le prétexte de l'améliorer, on le défigura. On en rompit l'unité, en y intercalant d'une façon maladroite des formules abstraites, auxquelles Euclide et les Grecs, ses contemporains, n'avaient jamais songé.

Ses remarquables théorèmes sur les rapports des grandeurs concrètes, furent remplacés par des considérations sur les proportions entre nombres commensurables, c'est-à-dire par la simple théorie des fractions ordinaires. Cette application de l'Arithmétique à la Géométrie ne fut là un pro-

grès, pas plus qu'ailleurs, comme nous l'avons déjà montré.

On peut, à ce sujet, faire une curieuse observation.

Pendant tout le moyen âge, l'enseignement scientifique des Écoles publiques et des grandes Universités, se réduisit à la Physique d'Aristote, à la Géométrie d'Euclide, et à l'Astronomie d'Hipparque et de Ptolémée. De tout cela, les siècles n'ont respecté que la Géométrie d'Euclide et les travaux d'Hipparque. La Physique d'Aristote et le système de Ptolémée unis ensemble, sont tombés presque en même temps, et leur effondrement a été absolu.

Les Éléments se divisaient en quinze livres, dont voici l'objet. Les quatre premiers contenaient les démonstrations relatives aux propriétés des figures planes ; les deux suivants, la théorie des proportions et des grandeurs ; les cinq derniers, les propositions concernant les figures à trois dimensions.

Les quatre livres intermédiaires étaient appelés arithmétiques. L'auteur y parlait des propriétés générales des nombres, des rapports numériques et des quantités incommensurables.

Dans le but de faciliter l'application de ses Éléments^ Euclide leur avait ajouté un appendice: c'étaient les Dannéesy suite de propositions aptes à servir de principes dans les démonstrations. Elles furent en honneur parmi les géomètres de l'antiquité. Ceux du moyen âge les citaient aussi. Newton lui-même en faisait grand cas; mais, après lui, on prit insensiblement l'habitude de s'en passer.

Le succès des Éléments fit un peu oublier les autres ouvrages dans lesquels Euclide avait relaté ses travaux personnels. Ils furent cependant très admirés par ses contemporains et ses premiers successeurs. Toutefois, mis au second plan, ils se perdirent, et nous devons à ce motif de ne les point posséder.

Les principaux étaient: quatre livres sur les Sections coniques; deux sur les Lieux à la surface (il y étudiait, croiton, les surfaces ou les courbes à double courbure;) et trois sur les Porismes. On ignore en quoi, au juste, ces derniers consistaient ; on sait seulement qu'ils avaient pour but de

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faciliter la solution des problèmes les plus ardus. Peut-être renfermaient-ils le germe des théories homographique et d'involution.

Euclide avait également écrit un Traité sur la Musique (Introductio harmonica, sectio canonis;) un autre sur le Partage des polygones (Liber de Divisionibîis;) un sur la Sphère et plusieurs sur VOpttque, concernant les phénomènes de la vision et la théorie des miroirs.

Archimède.

Cinquante ans après ce législateur de la Géométrie, parut Archimède, le plus grand mathématicien de l'antiquité.

Par la détermination du rapport approché de la circonférence au diamètre, il combla une lacune des Éléments : il féconda les théorèmes si remarquables de son devancier sur les surfaces et les volumes des corps ronds ; en outre, il compléta son enseignement en lui donnant, grâce à son esprit inventif, un développement merveilleux.

Euclide avait bien décrit, il est vrai, les propriétés du cylindre et du cône, du cercle et de la sphère ; toutefois, il n'avait rien dit des théorèmes relatifs à leur étendue. On savait, seulement depuis Eudoxe, que le volume du cône est le tiers de celui du cylindre de même base et de môme hauteur.

A ce propos, Archimède fit d'importantes découvertes. Les livres dans lesquels il les consigna nous sont heureusement presque tous parvenus, môme dans le texte primitif, le texte grec. Ces ouvrages contiennent exclusivement ses travaux personnels; pour les propositions déjà connues, il ne s'occupe pas de les exposer, mais il renvoie aux auteurs précédents.

Le principal de ses écrits pour la Géométrie élémentaire, est spn Traité de la Sphère et du Cy/mrfrc. Il y examine avec beaucoup de sagacité les divers rapports deces figures entre elles.

Après avoir établi que le cercle est égal au triangle ayant pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, il démontre quelques autres propositions comme celles-ci, par exemple : la surface d'un cylindre est égale à celle d'un rectangle dont la base serait la circonférence et dont la hauteur serait la hauteur même du cylindre; la surface de la sphère est quadruple de celle d'un de ses grands cercles, etc.

Il en vient alors au rapport entre le cylindre et la sphère.

La surface de la sphère, dit-il, est égale à celle du cylindre ayant pour base un grand cercle et pour hauteur un diamètre. La surface totale de ce même cylindre, en y com-

prenant celle des bases, égale les ^ de celle de la sphère.

Quant au volume, il prouve que celui du cylindre dont la base est un grand cercle et la hauteur un diamètre de la sphère, vaut également trois fois la moitié du volume de cette sphère. Réciproquement le volume de la sphère est les deux tiers de celui du cylindre.

Il tirait de ces vérités des corollaires tels que ceux-ci : une sphère est le quadruple d*un cône dont la base est égale à un grand cercle et la hauteur à un rayon de cette sphère ; la surface d'une zone est égale à celle d'un cylindre de même hauteur, dont la base serait un grand cercle. Il en déduisait aussi d'autres propositions concernant les segments et les secteurs sphériques.

Ces rapports constituent encore, à l'heure présente, les plus beaux théorèmes de la Géométrie élémentaire.

Dans le but de perpétuer le souvenir de ces découvertes, dont il était justement fier, le grand géomètre voulut qu'on sculptât sur son tombeau un cylindre circonscrit à une sphère.

A la prise de Syracuse, Archimède, comme on le sait, fut tué violemment par un soldat qui ne le connaissait pas. Le vainqueur, Marcellus, dont l'armée tout entière avait été tenue en échec, pendant plus de trois ans, par la seule

Science de cet homme de génie, éprouva le plus vif regret de sa perte. Se conformant à son désir, il lui fit ériger un tombeau portant, sur une petite colonne, cette double figure géométrique.

Un siècle et demi plus tard, pendant sa questure en Sicile, Cicéron fut curieux de savoir si ce monument existait encore. Sous la domination romaine, les habitants de Syracuse avaient tellement négligé l'étude si chère à leur illustre concitoyen, qu'ils n'avaient pris aucun soin de son tombeau. Ils en ignoraient la place, affirmant même qu'il n'en restait aucun vestige.

Cicéron le chercha avec persévérance, et finit par le trouver sous les buissons et les ronces qui l'avaient entièrement recouvert. Ayant fait déblayer le terrain, il put lire un fragment d'épitaphe à demi effacée. La sphère et le cylindre étaient demeurés comme témoins irrécusables. Cicéron donna des ordres pour la restauration de ce modeste mausolée; mais il en fit payer le prix à Archimède luimême, et un peu trop cher, ce semble.

Racontant ce fait dans ses Ttisculanes, il se flatte d'avoir rendu à celui qu'il appelle dédaigneusement un homme obscur, Awmî'fcw homtmculum, la gloire dont sans lui, pensait-il, Archimède eût pour toujours été privé *.

Orateur et philosophe, Cicéron professait un certain mépris pour les mathématiciens et les géomètres. Cependant, au point de vue du génie, cet Archimède qu'il s'imaginait orgueilleusement avoir ressuscité, lui était sans nul doute supérieur.

Nous le constaterons plus encore, quand nous verrons ses étonnantes découvertes dans le domaine de la Géométrie transcendante. Cicéron n'eût-il pas restauré son tombeau, ce nom n'en serait pas moins venu jusqu'à nous, entouré de l'auréole d'une gloire immortelle.

i. Tusculanarum disputationurrit libr. V, cap. 23. Humilem homuncu- Ittm a pulvere et radio excitabo, Archîmcdem. Gujus ego Quaestor ignoraium ab Sjracusanis, scpium undique et vestitum vepribus et dumctis, iodagayi sepulcram, etc..

Les Fondateurs de la Géométrie transcendante.

Nombreux et importants théorèmes découverts par les disciples

de Platon.

Plus philosophe que Cicéron, Platon surnommé le divin, n'avait pas pour les Mathématiques et pour la Géométrie le môme souverain mépris.

Il paraît avoir été le premier à considérer les sections coniques. On ne nous a conservé de lui, sur ce sujet, aucun ouvrage spécial, mais il dirigea de ce côté les spéculations de ses disciples.

De la fondation de TÉcole platonicienne, il est bon de. le remarquer, datent les grands progrès de la Géométrie.

On lui doit Tintroduction féconde de la méthode analytique dans la Science des grandeurs. Cette précieuse méthode consiste à envisager la question comme résolue, et à partir de l'inconnu, supposé trouvé, pour remonter au connu par une suite de déductions logiques. Elle est le contraire de la méthode synthétique par laquelle, allant du connu à Tinconnu, on démontre les propositions successives au moyen de celles déjà prouvées auparavant.

Si la synthèse sert admirablement à mettre en lumière l'enchaînement des vérités acquises, l'analyse est, de son côté, un très puissant instrument pour s'ouvrir une voie à travers des régions encore inexplorées. L'une est pour l'exposition et la démonstration ; l'autre, pour l'invention et les découvertes.

L'École platonicienne a donc un droit réel à notre recon-

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naissance. De plus, outre plusieurs théorèmes d'un ordre très élevé et germes de la Géométrie transcendante, elle nous a valu la doctrine des lieux géométriques. Pour les tracer, les anciens suivaient le mouvement de plusieurs points, fixés à des appareils mobiles d'après certaines lois définies.

Ils furent amenés par divers motifs à fonder cette théorie ; mais ils l'appliquèrent surtout d'une manière très habile, il faut l'avouer, aux deux problèmes, désormais célèbres, de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.

Ces savantes méthodes firent de la Géométrie une science nouvelle. Elle s'étendait par elles au delà des limites des simples Éléments; aussi, dès lors, les disciples de Platon commencèrent-ils à l'appeler transcendante.

Développant et perfectionnant ces procédés, ils abordèrent de front l'immense sujet des sections coniques, et en découvrirent les principales propriétés.

Les questions de ce genre furent étudiées avec tant d'ardeur, et la théorie en fut avancée à tel point par Ménechme, un des premiers disciples de Platon, que les sections coniques furent dans l'antiquité connues sous le nom de courbes de Ménechme.

Peu après, vers 350 avant J.-C., Aristée composa sur ces matières un important ouvrage, très estimé des anciens, mais qui malheureusement ne nous est point parvenu.

Euclide, comme nous l'avons déjà dit, avait écrit également plusieurs livres sur les Coniques (Conicorum libri) et un Traité des lieux à la surface (Locorum ad super ficiem.) Dans ce dernier, il examinait les courbes à double courbure et les surfaces engendrées par les sections coniques tournant autour de leur axe.

Voici quelques-uns des principaux théorèmes connus avant Archimède : Dans la parabole la sous-tangente est double de l'abscisse. Les diamètres sont en nombre infini; mais, dans la parabole, ils sont tous parallèles; au contraire, dans l'hyperbole et dans l'ellipse, ils sont conjugués deux à deux.

La somme des rayons vecteurs menés des foyers à un

point de la courbe est constante dans l'ellipse ; dans Thy perbole, c'est leur différence qui ne varie pas.

Ils connaissaient les propriétés des foyers par rapport aux tangentes.

Ils nommèrent asymptotes les lignes droites dont peuvent s'approcher indéfiniment, sans les atteindre jamais, les deux branches de l'hyperbole. Ces asymptotes étaient les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués.

Plusieurs propriétés des asymptotes leur étaient connues, par exemple : la division en deux parties égales par le point de contact d'une tangente menée à l'hyperbole et terminée aux asymptotes; l'égalité des portions d'une sécante comprises entre les asymptotes et l'hyperbole ; la constance de la valeur du parallélogramme compris entre les deux asymptotes et leurs parallèles menées d'un point de l'hyperbole et terminées à leur point de rencontre avec l'autre asymptote.

D'autres propositions analogues leur étaient familières : c'étaient celles des rapports entre les tangentes et les sécantes de l'ellipse, ou entre les segments des cordes d'une ellipse, etc.

Génie et magnifiques travaux d'Archimède.

Archimède, auquel la Géométrie élémentaire doit tant, ne fut pas moins heureux dans l'étude des sections coniques.

Ses principaux ouvrages en cette matière sont : Des Co^ noïdes et des Sphéroïdes, Des Hélices, De la Quadrature de la Parabole, Des Corps portés sur un fluide^ De l'Équilibre des Plans. Dans ce dernier, qui paraîtrait appartenir plus direc-

tement à la Physique, il touche aussi à la Géométrie, car à propos d'Hydrostatique et de Pesanteur, il revient à tout moment aux conoïdes.

Ses méditations continuelles et profondes sur la mesui*e des grandeurs curvilignes, le mirent à même de reculer tellement le domaine de cette partie des Mathématiques, qu'on peut le regarder comme le créateur de cette Science spéciale. A lui revient l'honneur d'avoir posé les fondements sans lesquels il eût été impossible aux savants, venus plus tard, d'élever la Géométrie si haut.

Ses travaux en ce genre ont toujours excité l'admiration ; mais ils ont semblé plus étonnants encore aux modernes qu'ils ne l'étaient à ses contemporains, depuis que l'invention du Calcul différentiel et du Calcul intégral a permis de donner une confirmation éclatante à ses sublimes intuitions.

Pour Archimède, les sphéroïdes appartiennent aussi à la Géométrie des coniques, car par sphéroïdes il entend les corps engendrés par une ellipse tournant autour d'un de ses axes. Il réserve le nom de conoïdes aux corps produits par la révolution d'une hyperbole ou d'une parabole.

Voici quelques-unes des propositions dont la démonstration se trouve dans le Traité des Conoïdes et des Sphéroïdes :

La surface d'une ellipse est égale à celle d'un cercle dont le rayon serait une moyenne proportionnelle entre les demiaxes de cette ellipse; ou, la surface d'une ellipse est au cercle décrit sur le grand axe, comme le petit axe est au grand; ou encore, la surface d'une ellipse est à un cercle quelconque comme le rectangle ayant pour côté les deux axes est au carré construit sur le diamètre de ce cercle ; et, enfin, les surfaces de deux ellipses sont entre elles comme celles des rectangles construits avec les axes de ces ellipses.

Des sphéroïdes, il passe ensuite aux conoïdes mêmes.

La section d'un conoïde parabolique faite par un plan parallèle à l'axe, détermine, dit-il, une parabole égale à la parabole génératrice. Il en est de même des sections pareilles faites à un conoïde hyperbolique ou à un sphéroïde; elles produisent des hyperboles ou des ellipses semblables à l'hyperbole ou à l'ellipse primitives.

Il montre quelle serait la figure, si la section était faite selon un plan oblique à Taxe. Soit pour les conoïdes paraboliques et hyperboliques, soit pour les sphéroïdes allongés, la figure serait une ellipse; il donne les moyens d'en évaluer le grand et le petit axe.

Puis, viennent une foule de propositions curieuses et remarquables sur les segments des conoïdes et des sphéroïdes. En les énonçant et en les démontrant, l'auteur témoigne toujours d'une grande science et d'une profonde sagacité.

Il est merveilleux de voir avec quelle habileté consommée Archimède vient à bout des problèmes les plus rebelles, par la seule application de son système de Téquivalence des figures.

Transformant les segments de conoïdes hyperboliques ou de sphéroïdes, en parties de cônes, il substitue à ceux-ci des cylindres à bases elliptiques parallèles de même volume, puis des cylindres à bases circulaires. La surface du cercle étant égale à celle d'un triangle rectangle ayant pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, les cylindres à bases circulaires deviennent tout naturellement des prismes à bases triangulaires, et, enfin, par une opération des plus faciles, se métamorphosent en simples parallélipipèdes rectangles.

Ainsi les segments de sphéroïdes ou de conoïdes hyperboliques et paraboliques, au moyen d'une série de changements légitimes, sont assimilés à des figures d'une extrême simplicité.

Son génie brille d'un éclat aussi vif dans son Traité de r Équilibre des Plans, lorsque, après avoir établi la théorie du levier et fixé le centre de gravité du triangle, du parallélogramme et du trapèze, il recherche le centre de gravité d'un segment parabolique à une ou deux bases.

On ne saurait jamais assez admirer avec quel art prodigieux Archimède répond à des questions aussi compliquées, et pour lesquelles les ressources de la Géométrie analytique des modernes ne sont pas de trop.

La même observation s'applique à son Traité sur la Quadrature de la Parabole.

LKS G&OMiTRBS BAIHI. t'jklITIûniTÉ 79

Le premier, il eut la gloire de surmonter les obstacles s'opposant à la mesure exacte des surfaces curvilignes. Dinostrate, frère de Ménechme et disciple de Platon, avait bien essayé, un siècle. auparavant, de résoudre le problème de la quadrature du cercle, déjà abordé par Hippocrate de Chios. U avait inventé, dans ce but, la quadratrice qui porte son nom. Nous ne la décrirons pas ici, elle est assez connue ; mais il n'avait qu'un procédé mécanique pour tracer cette quadratrice, rangée par les modernes parmi les courbes transcendantes.

Il lui était impossible de la construire rigoureusement. Un procédé mécanique et graphique, quelque parfait et délicat qu'on le suppose, n'est jamais susceptible d'atteindre la précision mathématique. La difficulté subsistait donc à peu près tout entière, soit pour le cercle, soit à plus forte raison pour les sections coniques.

Avant Archinaède on ne rencontre pas d'exemple de la quadrature absolue et rigoureuse d'un espace compris entre une corde et une courbe de ce genre. Il démontra, par une méthode ingénieuse, que la surface d'un segment parabolique, égale les deux tiers de celle d'un parallélogramme ayant pour bases la corde du segment et une parallèle à cette base tangente à la courbe, et d(înt les deux autres côtés sont des parallèles à l'axe menées des extrémités de la corde •

Ce résultat fut d'abord obtenu par des moyens mécaniques, basés sur les conditions d'équilibre de diverses figures, triangles, trapèzes et segments paraboliques, suspendus aux deux extrémités d'un levier à bras égaux.

Cette méthode ne laisse pas d'être singulière et semble trop indirecte. Le génie d'Archimède sut pourtant en tirer parti. U s'en servit avantageusement pour résoudre ce difficile problème. Toutefois, son esprit n'était pas entièrement satisfait ; il tâcha d'arriver au but par une voie purement géométrique, plus régulière et meilleure, à son avis.

Le succès répondit à son attente.

Le principe sur lequel il basa son raisonnement est celai-ci : Lorsque dans un segment de parabole est inscrit un

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triangle ayant pour base celle du segment, et pour sommet le point de contact d'une tangente parallèle à cette même base, ce triangle contient huit fois un autre triangle inscrit de la même façon dans un des deux segments secondaires restant entre le premier triangle et la parabole.

Chacun de ces deux triangles secondaires est, lui-même, octuple d'un triangle inscrit dans les segments tertiaires, et ainsi de suite, indéfiniment.

En d'autres termes, chaque triangle inscrit est quadruple de la somme des deux triangles inscrits d'ordre inférieur.

Plus le nombre de ces triangles inscrits dans les fragments successifs du segment augmente, plus leur somme totale se rapproche de la surface du segment parabolique. Elle peut s'en rapprocher au point d'en différer aussi peu que l'on veut.

Cette surface égale donc celle du premier triangle inscrit, plus le quart de ce même triangle, plus le quart du quart, etc.

Elle équivaut donc aux quatre tiers de ce triangle, c'està-dire aux deux tiers du parallélogramme dont ce triangle est la moitié.

Archimède fut le premier, d'ailleurs, à prouver que la série

* ' 4"f"Ï6'^6i^"' * • égales* . Il y parvint par un moyen très ingénieux, nous révélant, une fois de plus, les merveilleuses ressources de son génie fécond. Nous en parlerons quand nous dirons comment le grand géomètre a posé les fondements de l'Analyse infinitésimale.

Dans son Livre des Corps portés sur U7i fluide, on le voit appliquer les principes d'Hydrostatique découverts par lui, à l'équilibre d'un segment sphérique et d'un segment de conoïde parabolique.

Pour ce dernier cas, il enseigne que le centré de gravité est situé sur Taxe du segment, et au tiers de sa longueur à partir de sa base. Il montre ensuite dans quelles circons-

tances le segment, en partie immergé, restera vertical ou s'inclinera sur la surface du fluide.

Ces questions difficiles, envisagées successivement sous divers aspects, sont toujours traitées par lui avec une surprenante sagacité.

Malgré son génie, dont il fournit tant de preuves, on aurait peine à croire que ces problèmes eussent été résolus et que ces théories si complexes eussent été formulées par Archimède, s'il n'avait eu à son usage une Algèbre déjà très perfectionnée, et dont le secret ne nous a pas été transmis.

Sans le secours du Calcul algébrique, il est extrêmement difficile et presque impossible de suivre ses raisonnements et de comprendre l'énoncé de ses théorèmes. Que serait-ce pour les découvrir et pour les démontrer?

Si, privé des moyens de l'Analyse algébrique, Archimède avait été capable d'opérer de pareils tours de force, il serait incontestablement, môme parmi les hommes de génie, un être extraordinaire et incomparablement supérieur, un vrai prodige dans l'humanité.

Qu'on en juge par cet exemple, choisi entre une foule d'autres :

Lorsque l'axe d'un segment droit de conoïde parabolique surpasse trois fois la moitié du demi-paramètre, mais est trop petit pour que la raison de l'axe au demi-paramètre soit comme 1 5 est à 4 * ; si la raison de la pesanteur du segment à celle du fluide dépasse la raison de l'excès du carré de Taxe (hauteur du segment) sur le carré de l'excès de Taxe sur trois fois la moitié du demi-paramètre — au carré de l'axe; c'est-à-dire si l'on a

\ . On exprimerait ces conditions en langage algébrique par A > ^ p,

et - < -j ; OU si Ton supposait, par exemple, p égal à 4, /i serait plus

grand que 6 et plus petit que 15. Par le paramètre d'une parabole, Archimède entend le quadruple de la distance du foyer au sommet.

alors, si on abandonna ce segment dans le fluide, en im mergeant entièrement sa base et en inclinant son axe, il ne se retournera pas de manière à donner à son axe une direction verticale, mais de façon à lui faire déterminer avec la surface du fluide un angle dont la tangente serait la raison de la racine carrée du produit de la moitié du demi-paramètre sur l'excès sur le demi-paramètre du produit des deux tiers de Taxe par l'excès de l'unité sur la racine carrée de l'excès de l'unité sur la raison de la pesanteur du segment à la pesanteur du fluide — à l'excès sur le demi-paramètre du produit des deux tiers de l'axe par l'excès de l'unité sur la racine carrée de l'excès de l'unité sur la raison de la pesanteur du segment à la pesanteur du fluide.

Nous sommes, certes, très loin de prétendre que cette phrase, interminable et si embrouillée, soit des plus claires et des plus élégantes; elle serait même, nous en convenons, presque absolument incompréhensible sans la formule cijointe, indiquant la tangente dont il est question ici.

Seule cette formule est capable de nous faire saisir la pensée d'Archimède.

Dans cette formule, p est le demi-paramètre, h la hauteur du segment ou l'axe ; P' et P sont les pesanteurs respectives du segment et du fluide.

Pour mieux fixer les idées, citons encore un autre exemple, présentant quelque analogie avec le précédent, mais en différant toutefois, en ce qu'il détermine l'angle d'inclinaison, non par sa tangente, mais par les deux côtés d'un triangle rectangle dont cet angle ferait partie ; Tangle serait opposé au premier de ces côtés.

L'énoncé commence par l'exposé des mêmes conditions. Lorsque l'axe d'un segment droit de conoïde parabolique est plus grand que trois fois la moitié du demi-paramètre et se trouve pourtant trop petit pour que la raison

de l'axe au demi-paramètre soit comme celle de 15 à 4 . C'est-à-dire, si Ton a encore : *

si la raison de la pesanteur du segment à celle du fluide est inférieure à la raison du carré de l'excès de Taxe sur trois fois la moitié du demi-paramètre, — au carré de l'axe ;

alors, si on abandonne ce segment dans le fluide, de sorte que la base ne touche pas le fluide, l'axe ne se placera point dans une direction verticale, mais fera avec la surface du fluide l'angle qui, dans un triangle rectangle, dont nous déterminons les deux côtés ci-après, serait opposé au premier de ces côtés.

Celui-ci serait la racine carrée du produit du demi-paramètre par l'excès sur le demi-paramètre du produit des deux tiers de l'axe par l'excès de l'unité sur la racine carrée de la raison de la pesanteur du segment à la pesanteur du fluide; soit, plus clairement, en langage algébrique :

sf.

L'autre côté serait l'excès sur le demi- paramètre du produit des deux tiers de l'axe par l'excès de l'unité sur la racine carrée de la raison de la pesanteur du segment à la pesanteur du fluide, soit :

Nous avons coupé en diverses parties ce long énoncé, suite de plusieurs phrases superposées les unes aux autres. Après chaque division, nous avons intercalé la formule algébrique, pour en faciliter l'intelligence. Le lecteur, nous en sommes sûr, conviendra que cette précaution n'était pas inutile.

Cette absence de formules et de signes abréviatifs force Archimède à employer des phrases d'une étendue démesurée, pour présenter, d'une manière nécessairement obscure, ce qui serait si nettement, et avec tant de concision, exprimé

par la langue algébrique. Aussi est-il parfois très fatigant de suivre ses raisonnements.

Cela n'enlève rien à la sublimité et à la puissance de son incomparable génie. Il fut un homme vraiment extraordinaire, surtout s'il est arrivé (est-ce admissible?) à des résultats si surprenants par le seul emploi de procédés si peu perfectionnés.

On a tout lieu de croire, cependant, qu'il avait à sa disposition une Algèbre dans laquelle il était très versé. Elle lui servait à découvrir analytiquement les propositions; puis, il les exprimait en langage ordinaire, dans la crainte de n'être pas compris. Très probablement, ce n'est donc pas de la manière dont il présente ses théorèmes qu'il les a trouvés.

Plusieurs choses confondent le lecteur assez courageux pour étudier les ouvrages d'Archimède, et assez instruit pour en pénétrer le sens.

Ce sont, comme nous Pavons déjà insinué, d'innombrables exemples d'une merveilleuse sagacité et d'une habileté sans pareille pour tourner les difficultés, même les plus irréductibles en apparence. Rien ne l'étonné et rien ne l'arrête.

Aussi Leibniz, qui s'entendait à ces matières, a pu écrire de lui cette phrase caractéristique : Qui Archimedem iritelligity recentiorum summorum virorum inventa parcius mirabitur * ; celui qui est en état de comprendre Archimède admirera beaucoup moins les inventions des hommes éminents dans les temps modernes.

Comment en serait-il autrement ? Après vingt siècles de travaux et de perfectionnements apportés par les nouvelles générations à cette Science qu'il posséda à un si haut degré, les esprits les plus profonds rencontrent encore des difficultés réelles dans son Traité des Hélices.

Il y établit sur les propriétés des spirales, courbes regar-