Leihnitii opéra, Genovœ. Toin. V, p

dées aujourd'hui comme transcendantes, et dont il avait su mesurer les surfaces et mener les tangentes, des propositions d'un ordre fort élevé. C'est à tel point que BouUiau, astronome distingué du xvii® siècle, fervent admirateur de Copernic et géomètre de valeur, avouait n'y rien comprendre. Viète, lui-même, le croyait faux ; mais en cela il se trompait, car toutes les propositions en ont été démontrées vraies, ensuite, par le Calcul différentiel et le Calcul intégral.

Ce Traité est donc une preuve incontestable de l'extraordinaire génie de son immortel auteur.

On aurait tort, après cela, comme on le fait parfois, de reprocher aux ouvrages d'Archimède de manquer de clarté. Les vérités dont il s'occupe étant très difficiles, sont par elles-mêmes déjà fort obscures. De plus, il semble avoir pris à tâche de résoudre, ou, du moins, d'exposer par la Géométrie pure des théorèmes sur des courbes d'ordre supérieur.

Il n'est donc pas étonnant qu'on ait de la peine à le suivre ; mais on ne saurait trop le louer d'avoir traité ces questions ardues avec une telle rigueur et une telle exactitude, que les procédés modernes si puissants de l'Analyse infinitésimale aient pleinement confirmé ses résultats.

Ses sublimes intuitions lui permirent de parsemer ses ouvrages d'une foule de propositions remarquables, vrais traits de lumière. Elles concernent non seulement l'Algèbre ordinaire et la Trigonométrie, mais encore les Mathémathiques transcendantes, la Géométrie analytique et le Calcul infinitésimal.

Toutes ces diverses branches du savoir humain ont leur germe chez lui. Déjà même elles y acquièrent un magnifique épanouissement et une merveilleuse floraison.

Sans aucun doute, il a dû être familier avec des procédés analogues à ceux qui font la gloire et la force de la Science actuelle.

Nous l'avons déjà indiqué pour l'Algèbre et pour la Géométrie analytique; montrons-le, maintenant, quoique avec brièveté, pour le Calcul infinitésimal.

Voici la manière dont il prouve, à propos de la Quadra-

iure de la Parabole^ dont nous avons parlé plus haut, comment la série indéfinie

* + i+i+rt+2l6+ • • • ^^ale exactement \.

Il savait que dans cette progression par quotient, si Ton ajoute à un terme quelconque le tiers de sa valeur, on obtient le tiers du terme précédent.

Soient, par exemple les deux premiers termes, 1 + 7; si le second, j, est augmenté de^ , ou de^, on obtient ^ ou

5 de l'unité, premier terme de la progression.

Si donc au premier terme on ajoute le second ainsi modifié, on trouve 1 -f ^ = - .

Archimède tirait de ce principe la proposition suivante : La somme de tous les termes de la série 1 +j + ïë^"

augmentée du tiers du dernier terme égale r de l'unité.

Mais si l'on suppose infiniment grand le nombre des termes, le dernier d'entre eux sera nécessairement infiniment petit. Le tiers de celui-ci est donc une quantité négligeable, puisqu'elle est inférieure à toute quantité donnée.

On est donc en droit de poser cette règle : la somme des grandeurs, dont chacune est le quart de la précédente, est rigoureusement égale aux quatre tiers de la plus grande d'entre elles, quand leur nombre est infini.

L'illustre géomètre s'était déjà familiarisé avec cette considération de rinfini mathématique, quand il avait cherché le rapport approché de la circonférence au diamètre.

Il eut le premier, nous l'avons dit, la pensée d'envisager le cercle comme la limite vers laquelle tendent les deux polygones régulièrement inscrits et circonscrits, lorsque le nombre de leurs côtés se multiplie indéfiniment. Il comprit comment la différence entre ces diverses figures pouvant devenir moindre que toute quantité mesurable, les deux périmètres en arriveraient à se confondre, pratiquement et théoriquement, avec la circonférence même du cercle.

C'était déjà mettre en acte les infiniment petits.

Appliquant le même procédé à des cas beaucoup plus difficiles, il eut Tidée féconde de comparer les segments droits ou obliques de l'ellipsoïde ou de Thyperboloïde, à des segments sphériques déformés, suivant des lois qu'il pouvait déterminer sans trop d*etforts.

Pour le segment de paraboloïde, il tranchait la question avec plus de bonheur encore : il parvenait à assimiler ce segment à celui d'un prisme triangulaire.

Ainsi fut établie cette méthode appelée par les anciens, méthode d'exhatistion, vrai germe des Mathématiques transcendantes.

Si l'Algèbre eût été alors une Science indépendante des cas concrets, à la solution desquels Archimède, ou Apollonius dont nous allons parler, l'employaient constamment; si, à cette époque, elle eût trouvé un législateur; en d'autres termes, si ces esprits si pénétrants avaient songé à séparer la Science du raisonnement des objets sur lesquels ils raisonnaient; depuis deux mille ans, sans aucun doute, le Calcul intégral aurait été découvert.

Les inventeurs n'en eussent pas été Leibniz ou Newton, mais Archimède et Apollonius.

Les contemporains ont surtout apprécié le mécanicien dans Archimède. Ils ne tarissaient pas d'éloges au sujet des prodigieuses machines conçues et construites par lui, principalement de celles qu'il avait imaginées pour défendre la ville de Syracuse, assiégée par les Romains.

Meilleur connaisseur, Archimède estimait plus ses découvertes en Géométrie que ses inventions mécaniques. A cet égard encore, la postérité lui a donné raison.

Apollonius de Perga.

Cette période devait être vraiment glorieuse dans les fastes de la Géométrie.

Un demi-siècle après la mort d'Archimède, enseveli sous les ruines de Syracuse, Apollonius de Perga acquit à Alexandrie une renommée presque égale. Il compléta la théorie des coniques, et l'appliqua à la solution de problèmes d'une réelle difficulté.

A cause de la beauté de son Traité des Coniques, ses contemporains l'avaient appelé le grand Géomètre. La postérité a ratifié ce jugement.

Après lui, renonçant à s'adonner à des travaux personnels, ses successeurs, Grecs, Arabes, ou Persans, n'eurent pas d'autre ambition, pendant de longs siècles, que celle de le commenter. Ils désespéraient de mieux faire. Ils ne furent pas cependant eux-mêmes sans un certain mérite : il suffira de nommer Pappus, Hypathia, Sérénus et d'autres, dont nous parlerons dans un des chapitres suivants.

De ce Traité des Coniques, si apprécié des anciens, quatre livres seulement nous sont parvenus dans le texte grec. Nous devons les trois autres à un manuscrit arabe. Le huitième a été perdu, mais on a été assez heureux pour réussir à le reconstituer, d'après les indications de ses commentateurs.

Les quatre livres que nous possédons dans le texte original, sont consacrés aux éléments de la théorie.

Le premier contient la génération des trois sections coniques, leurs principales formes et leurs diverses propriétés. Il explique pourquoi elles ont reçu le nom d'ellipse, de parabole et d'hyperbole.

Tout cela était connu avant Apollonius, mais n'avait pas été exposé avec la même ampleur.

Les anciens n'envisageaient qu'une seule section dans chaque cône : la parabole dans le cône rectangle provenant de la révolution d'un triangle isocèle ; l'hyperbole dans le cône obtusangle, et l'ellipse dans le cône acutangle. Les sections étaient toujours supposées faites par un plan perpendiculaire à l'une des arêtes du cône.

Apollonius, au contraire, considéra tous les cônes, soit droits, soit obliques, comme susceptibles d'être coupés dans tous les sens imaginables. C'est cette innovation qui émerveilla tant ses contemporains.

Tout ce qui a rapport aux diamètres, aux axes des sections coniques et à leurs asymptotes rectilignes, se trouve dans le second livre.

Les asymptotes, y est-il dit, sont les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués. Il n'y a que deux asymptotes ; mais elles peuvent être construites d'une infinité de manières différentes, car il y a une infinité de tangentes» et le propre des tangentes terminées entre les asymptotes est d'être divisées en deux parties égales par le point de contact.

Dans le troisième livre, sont exposés un grand nombre de théorèmes fort remarquables, tendant plus ou moins à l'établissement de la théorie des foyers. La plupart de ces propositions étaient nouvelles.

Les découvertes personnelles d'Apollonius l'avaient mis à même de formuler des règles générales pour des questions difficiles, dont on n'avait pu, auparavant, examiner que des cas particuliers.

Les intersections des coniques, soit entre elles, soit avec le cercle et les sections opposées, forment l'objet du quatrième livre, dans lequel sont également touchées une foule de questions demeurées inconnues aux géomètres précédents.

La seconde partie du Traité comprenant les quatre derniers livres, contient des considérations d'un ordre encore plus élevé. Dans le cinquième, par exemple, sont envisagés les maximums et les minimums (par ces mots Apollonius entend les normales des coniques;) puis, viennent, dans le sixième, les conditions d'égalité et de similitude des sections

coniques ; enfin , les deux derniers livres indiquent les moyens de résoudre des problèmes difficiles.

Nous en citerons quelques exemples.

Étant donnée la somme des carrés de deux diamètres conjugués, pour le cas de l'hyperbole, ou la différence de leurs carrés, pour le cas de l'ellipse, trouver la grandeur de ces diamètres et leur position; ou bien, trouver dans une hyperbole, ou dans une ellipse, deux diamètres conjugués comprenant entre eux un certain angle, etc.

Ces questions dépendent toutes de la résolution d'équations du premier et du second degré. Apollonius ne pouvait arriver au résultat sans effectuer plusieurs combinaisons entre les équations qull avait à poser. Il est fâcheux que la perte de ce livre nous empêche de savoir comment il s'y était pris.

Il avait aussi composé d'autres ouvrages, en assez grand nombre ; mais, pour la plupart, ils ne nous ont pas été conservés.

Les principaux sont : De Sectione rationis, De Sectione spatiiy De Sectione deierminatâ. De Tactionibus^ De Inelinatianibus, De Locis planiSy De Cochleâ, De Perturbatis rationibus. Il avait également des traités sur des matières comme celles-ci : De la comparaison de licosaèdre et du dodécaèdre inscrits dans la même sphère^ des stations et des rétrogradations des planètes, etc. Le tout se divisait en une quinzaine de livres.

Comme Archimède, il employait des procédés d'une grande analogie avec les méthodes en usage de nos jours dans la Géométrie analytique et dans le Calcul infinitésimal.

Pour fixer le pied des normales menées à une conique par un point extérieur, il se servait, comme on le ferait aujourd'hui encore, de l'intersection de cette conique avec une hyperbole entre ses asymptotes.

De lui nous viennent les mots abscisses et ordonnées. Il appelle, en effet, appliquées ou ordonnées (ordinatim applicatà) les moitiés des cordes divisées en parties égales par

le diamètre *. Pendant longtemps, on le sait, avant et même après Descartes, ces deux mots, appliquées et ordonnées^ furent synonymes. En outre, il donne le nom à'abscisses aux segments du diamètre, déterminés à partir d'une de SÇ9 extrémités» par ces mêmes demi-cordes, c'est-à dire par I9S ordonnées K

De plus, la considération de l'infini en Géométrie ne Tétonne ou ne l'arrête pas plus qu'elle n'avait étonné ou arrêté Archimède. Il savait apprécier et transformer en quantités saisissables les grandeurs paraissant échapper à toute mesure.

Par exemple, il n'était pas embarrassé pour évaluer un rectangle dont l'un des côtés devient infini, au moment où l'autre devient nul.

Des considérations analogues lui sont familières, à propos des asymptotes et de l'hyperbole. Ces lignes prolongées indéfiniment, dit-il, s'approchent de plus en plus, au point de n'être séparées que par un intervalle inférieur à toute quantité donnée.

La méthode des limites ne lui est pas davantage inconnue. Il montre bien qu'en un certain sens la parabole est la limite de l'hyperbole, comme elle est aussi celle de l'ellipse.

On ne saurait trop admirer cette profondeur de conception, cette sûreté de vue et cette facilité extrême de rattacher les cas particuliers aux lois générales. Elles mettent Apollonius, comme Archimède, au rang des premiers génies dont le monde a le droit d'être fier.

Le siècle illustré par ces deux grands hommes, fut certainement le plus glorieux de tous, pour l'ancienne Géométrie.

\, Traité des Comqi€$j livr. I, proposit. 7, H, et pasHm.

2. Rectam qusB ex diametro abscindilur inler ordinatim applicatam et Tcrticem sectionis (le sommet de la courbe.) Traité des Coniques, livr. I, prop. 11.

L Inventeur de la Trigonométrie.

Occasion de la découverte.

Cette branche du savoir humain, si utile pour l'Astronomie et la Navigation, pour la Géodésie et la plupart des Sciences exactes, fut cultivée avec succès par un des plus célèbres astronomes des temps anciens et modernes.

Nous voulons parler d'Hipparque. Né en Bythinie, vers Tan 150 avant Jésus-Christ, il passa une partie de son existence à Alexandrie et à Rhodes, où il fît ses plus célèbres observations.

Ses principaux travaux eurent pour objet l'Astronomie. Il fut vraiment le créateur de cette Science, même de l'Astronomie mathématique. On l'en a appelé le père, non sans motif.

Par lui fut vérifiée l'obliquité de l'écliptique, dét^iminée déjà par Eratosthènes, un siècle auparavant. Il fixa la longueur de Tannée, mais en se trompant toutefois de six minutes en plus. Il reconnut l'inégalité du mouvement du Soleil, après avoir remarqué que l'intervalle entre l'équlnoxe de printemps et celui d'automne, surpasse, de sept jours environ, l'intervalle entre l'équinoxe d'automne et celui de printemps.

C'était découvrir l'excentricité de l'orbite terrestre ; il en exprima géométriquement la loi, et dressa les premières tables du Soleil.

De cette excentricité procédait l'inégalité des jours. En s'accumulant, ces inégalités constituent ce que les moder-

nés ont désigné sous le nom adéquation du temps. Elle fut étudiée par Hipparque avec un soin spécial.

Puis, son attention se porta vers notre satellite. Il fonda la théorie de la Lune, précisa l'inclinaison de son orbite sur Técliptique, le mouvement des nœuds et de l'apogée, l'équation du centre, et entrevit le phénomène de l'évection.

Il partit de là pour établir la théorie des parallaxes, connaissance si importante pour l'évaluation des distances qui séparent les astres.

Alors, se présenta à lui l'idée heureuse de ramener toutes les observations à celles qui seraient faites par un observateur placé au centre de la Terre. Il s'était aperçu que la Lune paraît à divers points du ciel, suivant la position occupée à la surface du globe par celui qui la considère.

Enfin, il entreprit la rédaction de son grand catalogue d'étoiles, resté le modèle des travaux de ce genre.

Comparant ses recherches à ce sujet avec celles de ses devanciers, il fut conduit à découvrir une vérité capitale, la précession des équinoxes^ dont l'explication devait rester inconnue jusqu'à Newton.

Toute la voûte céleste semble, en effet, se déplacer par un mouvement commun et très lent autour du pôle de récliptique. Cela provient, comme on Ta su ensuite, d'une sorte de balancement oblique de l'axe terrestre. Ce balancement est semblable à celui d'une toupie, tournant et s'avançant penchée sur elle-même. L'axe terrestre décrit ainsi un cône de 47 degrés d'ouverture; mais pour achever cette révolution, il ne lui faut pas moins de 25.765 ans.

Ce phénomène mystérieux, alors, fit, du moins, sentir à Hipparque la nécessité de transformer les coordonnées équatoriales des astres en leurs coordonnées écliptiques ; mais il ne pouvait y parvenir sans perfectionner en même temps la Science du Calcul,

Le point équinoxial, origine des longitudes célestes n'étant pas fixe, les astronomes sont obligés de faire glisser, en quelque sorte, d'année en année, les divisions géométriques des cartes uranographiques. Le canevas dont ils se

servent pour déterminer la position réciproque des étoiles change, parce que le ciel paraît tourner, tout d'une pièce, autour d'un axe qui n'est pas celui de la Terre, ni celui du mouvement diurne.

Les étoiles conservent bien entre elles leur situation réciproque, et les constellations ne varient pas sensiblement de forme, mais les cartes ou les globes, dessinés pour une époque, cessent bientôt d'être exacts.

En vingt siècles, la précession des équinoxes a fait varier les longitudes astrales de plus de 30°, car le point vernal, leur origine, se déplace de 50' par an, dans un sens rétrograde, Téquinoxe arrivant toujours un peu trop tôt.

Les effets de la précession, tout à fait simples sur les coordonnées écliptiques, puisque la sphère des étoiles semble tourner lentement en sens direct autour de Taxe de Técliptique même, sont bien autrement compliqués sur les coordonnées équatoriales.

Pour les premières, ils se résument en une simple augmentation de longitude par la marche en avant des étoiles dans une direction parallèle au plan de Técliptique. Néanmoins la distance des étoiles au pôle de l'écliptique reste toujours la même.

Au contraire, pour les secondes, non seulement il se produit, peu à peu, une augmentation de longitude, mais on constate aussi une variation dans la distance des étoiles au pôle équatorial. Toutes les étoiles situées près du parallèle du 23* degré par rapport à l'écliptique, défilent successivement devant le pôle de l'équateur, et, pour nous, deviennent polaires, les unes après les autres, dans la série des siècles.

L'étoile polaire est, en ce moment, celle qui est située à l'extrémité de la queue de la Petite Ourse : elle est de seconde grandeur. Au temps d'Hipparque, aucune étoile un peu brillante n'indiquait la place du pôle.

Notons encore, à l'actif du grand astronome, l'invention de l'ingénieux procédé pour évaluer les longitudes terrestres par l'observation des éclipses de Lune qu'il savait calculer à l'avance. Précédemment on avait remarqué,

d'une façon grossière cependant, que les éclipses n'arrivaient pas aux mêmes heures dans les pays un peu distants les uns des autres, en Grèce, par exemple, en Egypte, en Syrie, etc.

Hipparque trouva les formules permettant de déterminer à quelle heure exacte Téclipse devait se produire dans les régions diverses où elle était visible. De l'heure de l'observation, on déduisait ensuite immédiatement la longitude du lieu.

Hipparque avait donc perfectionné, en même temps, la Géographie et l'Astronomie. Il avait fondé celle-ci sur ses véritables bases, l'observation et le calcul.

Ses travaux incessants et les difficultés considérables des nombreux problèmes à résoudre, amenèrent cet homme extraordinaire à créer une nouvelle Science d'une extrême importance et d'une application journalière, en Astronomie, en Géodésie, pour la Navigation et pour Tétude de la Nature : ce fut la Trigonométrie.

Dans son Commentaire du poème d'Aratus, sur les Phénomènes (une œuvre de jeunesse pourtant,) il aborda divers problèmes astronomiques, du ressort de la Trigonométrie, et dont la solution exige une connaissance claire de la théorie complète. Grâce aux formules dont il était déjà possesseur, il arriva à transformer les coordonnées équatoriales en coordonnées écliptiques et réciproquement.

Puis, il composa en douze livres, un Traité sur la Construction des Tables des Cordes sans lesquelles les calculs trigonométriques sont impossibles. Cet ouvrage devint le modèle de nos Tables des Sinus. A ce propos, il exposa longuement et démontra les formules de la Trigonométrie reciiligne et.sphériqiie.

Dans son Traité Des levers et des couchers des Étoiles, il s'occupe de la résolution des triangles sphériques.

Perfectionnement de la Trigonométrie.

Ainsi cette Science était fondée, et, dès le début, elle était constituée dans ses parties essentielles. Il ne lui manquait plus que certains perfectionnements.

A cette œuvre travaillèrent surtout deux hommes dans l'antiquité : Menélaûs et Ptolémée.

Le premier, géomètre d'Alexandrie, lui aussi, vivait deux siècles environ après Hipparque, car il naquit vers l'an 80 après J.-C. Il est l'auteur d'un ouvrage en six livres sur le Calcul des Cordes, et d'un autre, non moins important, intitulé les Sphériques, sur les deux Trigonométries.

Ptolémée n'eut pas le génie d'Hipparque; mais il sut tirer parti des observations de son devancier. Il le copia parfois trop servilement, lui empruntant ses procédés et jusqu'à ses calculs pour éviter la peine d'en faire d'autres. On a des raisons de penser qu'il n'a jamais observé lui-même. Il est donc plutôt un compilateur qu'un homme consignant par écrit ses travaux personnels.

Né un demi-siècle après Menélaûs, et deux siècles et demi après Hipparque, il passa, lui aussi, une grande partie de son existence à Alexandrie.

Dans son Almageste^ après l'exposition de son système du monde et une intéressante description, très détaillée, de tous les instruments astronomiques employés de son temps, il inséra un Traité complet de Trigonométrie rectiligne et sphérique.

Les formules pour évaluer la corde de la somme de deux arcs, ou la corde de leurs différences, étaient connues et d'un usage fréquent. On s'en servait pour la construction de la Table des Cordes.

On savait réduire tous les triangles rectilignes, soit rec-»

tangles, soit obliques. Pour ceux-ci toutefois on procédait par une voie indirecte, et Ton se croyait obligé de les décomposer en triangles rectangles.

La Trigonométrie sphérique était, elle aussi, fort avancée. Les Grecs de cette époque possédaient, à ce sujet, des formules analogues à celles dont se sert la Science actuelle; seulement elles étaient plus compliquées, et conduisaient moins rapidement au but. Les opérations étaient même parfois bien longues. Elles le furent jusqu'à Tinvention moderne des logarithmes.

Alors, déjà, la circonférence avait été divisée en 360 degrés; le degré, en soixante minutes; et la minute, en soixante secondes.

En résumé, Hipparque fut l'inventeur de la Trigonométrie, et Ptolémée y apporta quelques perfectionnements utiles.

La Trigonométrie sphéroldique.

Quant à la résolution des triangles traces sur un ellipsoïde de révolution, comme Test, par exemple, le globe terrestre à cause de l'aplatissement des pôles et du renflement Oquatorial, elle est évidemment beaucoup plus difficile que celle des triangles sphériques.

Les problèmes de ce genre sont d'une haute importance; de l'exactitude avec laquelle ils sont traités, dépend la détermination plus ou moins rigoureuse des arcs do méridien. Cependant en cela Terreur commise, dans Tespèce, ne saurait être bien forte. L'influence de l'aplatissement polaire sur les calculs géodésiques est renfermée entre des limites assez étroites, car le globe terrestre peut être envisagé comme sensiblement sphérique.

Les anciens ne prétendaient pas encore à une telle pré-

98 SAVANTS ET CHRËTrsNS

cisîon. Leurs instruments imparfaits étaient cause de bien d'autres écarts beaucoup plus regrettables. Aussi ns por tèrent-ils pas leurs investigations de ce côté.

Les principes de la Trigonométrie sphêroidique, concernant la résolution des triangles formés par deux méridiens elliptiques et un arc de moindre dimension, ne devaient être définitivement arrêtés, que dans ces derniers temps, à la fin du xvNi" siècle, par Legendre et Oriani, après les savants travaux de Dionis du Séjour, à ce sujet.

Mais à Ptolémée, ou peut-ftre à Ménélaiis, revient une autre gloire, celle d'avoir posé les fondements de la Théorie des Transversales. On leur doit la découverte de ce théorème important qui en fut comme la base et le point de départ : tonte droite menée dans le plan d'un triangle, détermine sur les côtés six segments jouissant de cette propriété remarquable que, si l'on prend trois d'entre eux n'ayant pas d'extrémité commune, et si l'on en fait le produit, on obtient exactement aussi le produit des trois autres côtés.