CHAPITRE TROISIÈME

LES ALGÉBRISTES DE l'aNTIQ'

Origine de t Algèbre et son caractère f

Nous avons eu déjà l'occasion, dans les p tes, de nous demander si les anciens avaien bre. Il convient maintenant d'étudier plus di question.

L'examen de leurs ouvrages peut seul noi la trancher. Or, dans ceux-ci l'exposé est toi et les démonstrations revêtent la forme è Certains auteurs, après avoir fait cette ren profité pour accuser les anciens d'avoir ign des abstractions mathématiques.

Ce reproche néanmoins paraît exagéré. L'Ë comme nous l'avons indiqué, avait de boni duit l'Analyse dans les spéculations sur Comment, d'ailleurs, sans une véritable A Algèbre déjà perfectionnée, l'esprit humai capable d'arriver aux merveilleux résultats i les écrits d'Archimède et d'Apollonius?

Le sentiment contraire est donc de beau bable.

Pour atténuer cette divergence d'opinion dire que leurs procédés analytiques tenaien nôtres, de la Géométrie; mais ils n'en co moins une Analyse profonde et une Algèbn

On en découvre les bases dans ces Livres des Éléments d'Euclide, appelés plus tard Arithmétiques. Ils ne contenaient pas seulement, comme ce nom le laisserait supposer, la théorie des rapports simplement numériques et des frictions ordinaires, mais aussi la doctrine des proportions entre grandeurs concrètes.

Les premières manifestations de l'Algèbre coïncident donc avec les premiers développements de la Géométrie. On voit par là que TAlgèbre consista, d'abord, à peu près uniquement, dans la connaissance des différentes transformations dont une proportion est susceptible.

Malgré l'étroitesse apparente de ces limites, elle n'en avait pas moins une grande puissance et une immense utilité.

Les proportions pouvant se mettre sous forme d'égalités et d'équations, devenaient, entre des mains habiles, un instrument très précieux.

Leurs transformations multipliées faisaient découvrir entre leurs termes et les données des problèmes, une foule de relations frappantes, curieuses et cachées, qu'on n'aurait jamais supposées, si on n'avait eu ce moyen de les mettre en lumière.

Par la connaissance de ces transformations nombreuses et fécondes, les anciens se savaient autorisés à remplacer, dans les égalités, certaines quantités par d'autres plus simples, ou parfois plus complexes, mais aisément décomposables et, par là même, très aptes à conduire au but. A une valeur ils en substituaient une autre, moyenne proportionnelle, troisième, ou même quatrième proportionnelle à plusieurs grandeurs données.

Lorsque, dans la suite de leurs opérations, ils se voyaient en présence de valeurs que nous désignerions maintenant

par le symbole \^âb, ou par --, ou par ^, ils reconnais-

saient très bien une moyenne proportionnelle aux grandeurs a et 6, ou une troisième proportionnelle aux mêmes grandeurs, ou, enfin, une quatrième proportionnelle aux trois grandeurs a, b, c.

En outre, la superposition des rapports ou des raisons, dont ils faisaient un si fréquent usage, car ils parlent souvent de raisons composées de deux ou trois autres combinées ensemble, les amenaient à des formes très compliquées.

Dans notre Algèbre moderne, elles se traduiraient en formules surchargées de signes additifs et soustractifs, de radicaux et d'exposants, de crochets et de parenthèses.

Avaient- ils une grandeur quelconque. A, par exemple, à

multiplier par une suite de rapports, -» -i ^. etc., ils s'y

prenaient de différentes façons, suivant les cas. Ils n'ignoraient point que le résultat serait le même, soit en multipliant cette quantité successivement par chaque rapport en particulier, soit en la multipliant par le produit de tous les antécédents, pour la diviser ensuite par le produit de tous les conséquents.

Ds en arrivaient donc à désigner ces opérations par des formules analogues à celles-ci :

OU encore,

Xbdf ceg

Mais ils savaient également que le produit de deux rapports, -,-,par exemple, s'obtient encore, soit 'en multi-

pliant l'antécédent de l'un directement par l'autre rapport, soit en multipliant le conséquent de l'un par l'autre rapport renversé.

Ainsi :

6 1 i1 Jl

c* e c ci*

Les expressions premières devenaient donc :

ou bien,

-'{rù

VANTS ET CURËTIENS

e marche identique, ils devenaient capables d'évanoyennes proportionnelles d'un degré quelconque, yant faire seulement de la Géométrie, les anciens donc aussi de l'Algèbre. De bonne heure même, grès y furent remarquables, ips d'EucJide, la connaissance des transformations ortions leur permettait déjà de traiter tous les proa second degré à une inconnue. Ils en ramenaient articuliers, soit à la construction d'une moyenne nnelle entre deux grandeurs données, soit à la Slon d'un rectangle dont on connaissait la surface :ée par un carré et le demi-périmètre, c'est-à-dire e de deux côtés inégaux, ou la surface et la diffés côtés.

. en réalité, s'attaquer à des équations de la forme ~aà; X* — px-^q*^0\ x*^px — j':=0.

îction des figures auxquelles ces problèmes doneu, leur fournissait les moyens de résoudre ces 5 elles-mêmes.

est-il pas évident, pour peu que l'on considère les ions géométriques occasionnées par certaines queslit, par exemple, à trouver un rectangle dont la gale celle d'un carré donné, mais dont la somme érence des côtés soit une quantité déterminée; si tue la construction graphique, on arrive à une fis laquelle se présente une frappante image des concernant les racines des équations du second

inciens avaient voulu songer à ces racines, il leur I impossible de ne pas les y apercevoir. Mais, par tude constante de spéculer toujours sur les granicrètes et jamais sur les mesures, leur esprit était surs. Ils ne s'en occupaient point, n'en voyant ni ité, ni même l'utilité.

Prenons, par exemple, quelques-unes des propositions si remarquables d'Euclide sur les égalités entre des sommes de rectangles et de carrés. Comme il en prouve l'exactitude par la considération des figures et par le déplacement des parties, ce genre de démonstration réagissait sur la manière d'énoncer les théorèmes.

Euclide disait : Le carré construit sur une ligne divisée en deux parties inégales, contient le carré construit sur la plus grande partie, plus le carré construit sur la plus petite, plus deux fois le rectangle ayant ces deux parties pour côtés.

N'est-ce pas l'expression géométrique de l'équation

Il disait encore : Le rectangle ayant pour l'un de ses côtés une ligne droite divisée en deux parties inégales, et pour l'autre côté la différence de ces deux parties, équivaut à Texcès du carré construit avec la plus grande de ces parties sur le carré construit avec la seconde.

C'était encore l'expression géométrique de l'équation

(a^b){a — b) = a^—bK

Nous pourrions multiplier ces exemples, mais c'est inutile pour le but que nous nous proposons. Il aurait suffi d'un tout petit changement pour faire, de ces énoncés d'Euclide, les propositions qui, plus tard, devaient être ainsi formulées par les mathématiciens et les algébristes :

Le carré de la somme de deux nombres se compose du carré du premier, du carré du second et de deux fois le produit du premier par le second.

Et encore : Le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés.

Le second Livre des Éléments contient plusieurs autres théorèmes de ce genre. Il y en a aussi d'analogues dans le Livre sixième. Par exemple : Si quatre droites sont proportionnelles entre elles, le rectangle ayant pour côté les droites extrêmes égale celui dont les côtés sont les droites moyennes. Si les droites proportionnelles sont seulement au nombre de trois, le rectangle construit avec les droites extrêmes égale le carré ayant pour côté la droite moyenne.

Ce sont encore les expressions géométriques des équations :

ad=ibc; et ac=b^, tirées des proportions

a : b ::c: d; et a: b :: b : c.

Euclide n'ignorait pas que ses propositions auraient pu recevoir un énoncé différent. Elles seraient demeurées essentiellement les mêmes et toujours vraies, il le savait, si, au lieu des longueurs concrètes, il avait considéré leurs mesures en stades, en pieds, en palmes ou en doigts, etc.

Il n'aurait donc pas été embarrassé pour y faire, s'il avait voulu, les modifications introduites plus tard par les mathématiciens. Il n'y songea pas, n'en voyant pas la raison, comme nous l'avons déjà observé; mais l'Algèbre n'en était pas moins implicitement contenue dans ses spéculations. Ses successeurs n'eurent pas besoin de grands eflforts pour l'en dégager.

On peut réitérer ici à propos de l'Algèbre, la remarque exprimée plus haut à propos de l'Arithmétique : ce ne fut pas l'Algèbre qui aida la Géométrie, pas plus que l'Arithmétique ne l'avait aidée ; ce fut la Géométrie, au contraire, qui, par ses progrès, favorisa les développements de l'Algèbre, comme elle avait favorisé ceux de l'Arithmétique.

Donc, l'application de l'Algèbre à la Géométrie, inaugurée par Descartes, au xvii* siècle, avait été précédée, deux mille ans auparavant, par l'application de la Géométrie à FAlgèbre.

Des signes algébriques.

Les anciens géomètres ont fondé l'Algèbre : c'est incontestable. Dans leurs écrits, se trouvent en germe les deux

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parties de cette Science des abstractions mathématiques : la théorie des relations de dépendance entre les diverses données d'un problème, et les règles du calcul permettant de substituer les grandeurs, les unes aux autres, grâce aux diverses transformations dont leur expression est susceptible.

Mais pourquoi gardèrent-ils l'habitude fâcheuse de noter leurs formules en langage ordinaire? Pourquoi n'inventèrent-ils pas ces signes abrévîatifs qui, pour beaucoup de gens, semblent être maintenant un élément essentiel de r Algèbre?

L'Algèbre, cette Science des généralisations, et, pour cela, nommée par Newton V Arithmétique universelle, pourraitelle se passer des x^ des y, ou des z, et de ces symboles cabalistiques imaginés depuis longtemps, tels que-f-et —, ou \J eX :=y OVL <i eX > ^ ^i tant d'autres plus bizarres encore?

Oui, sans doute.

Les caractères de ce genre sont très utiles, on ne saurait en disconvenir. Ils facilitent extrêmement la lecture des équations. Ils permettent de suivre, sans peine, toute la série des transformations nombreuses, subies par les diverses valeurs, dans le cours des opérations, parfois bien longues et bien compliquées.

Par eux sont évitées la plupart des erreurs engendrées par des confusions toujours regrettables ; ils font naître la clarté désirable et contribuent puissamment au progrès.

Mais, enfin, ils ne sont cependant pour le mathématicien qu'une manière particulière de s'exprimer. Ils constituent une langue, non une doctrine. Or, le langage scientifique, tout parfait qu'on le suppose, n'est pas la Science elle-même. Il n'en forme qu'un appendice, ou, si Ton veut, un complément.

Les anciens géomètres étaient vraiment algébristes, quoiqu'ils n'aient jamais eu l'idée d'inventer des signes spéciaux.

Ils indiquaient, en langage ordinaire ou purement géométrique, les opérations à effectuer sur les valeurs, au lieu

de le faire avec des signes abréviatifs. L'énoncé était plus embrouillé, plus diffus et quelquefois incompréhensible à cause de sa longueur; mais il n'en était pas moins exact. Ils appelaient, par exemple, moyenne proportionnelle entre des longueurs A et B, ou quatrième proportionnelle entre les grandeurs A, B, C, ce que nous appellerions, nous, la racine carrée de leur produit, VÂTb, ou le produit d'une

de ces quantités par le quotient des deux autres, C -r,

La racine cubique des produits de A par B, ^O, était pour eux la première des deux moyennes proportionnelles insérées entre les deux facteurs A et B ; la racine n»*"« du même produit ^ÂTb, était la première des n-1 moyennes proportionnelles insérées entre ces deux mêmes grandeurs- L'Algèbre est pourtant dans leurs ouvrages, plus qu'elle n'y paraît. Elle ne s'y montre qu'à un œil exercé, parce qu'ils n'avaient pas inventé les symboles employés par nous, pour exprimer les relations. De plus, ils ont caché leur méthode à ce sujet, parce que, n'ayant pas de signes abréviatifs, ils hésitaient à exposer ce qui, en langage ordinaire, eût exigé des phrases d'une longueur démesurée. Dans ce cas, ils pouvaient craindre, avec raison, de n'être pas compris.

. On rencontre, par exemple, dans Archimède, des propositions dont la démonstration n'occupe pas moins d'une trentaine de pages. Comm^ tous les anciens, il apportait un soin méticuleux à la rédaction de ses énoncés, au risque de les allonger indéfiniment, et de les rendre obscurs.

L'emploi des signes abréviatifs dont, parfois, chacun tient lieu d'une phrase entière, eût raccourci de beaucoup ces exposés ; la lecture en eût été moins fatigante, et les preuves plus claires.

Peut-être l'invention des signes abréviatifs répugnait-elle au génie grec, toujours un peu prolixe ; peut-être aussi chaque géomètre avait-il les siens pour son usage particulier, mais aucun n'a-t-il réussi à imposer aux autres sa propre notation.

Ils avaient, pour imaginer ces signes, à surmonter un

obêtacle qui, pour nous-mêmes, ne s'est pas présenté. Ils ne pouvaient pas, en effet, employer dans ce but, les lettres de leur alphabet, dont chacune avait déjà une valeur individuelle bien déterminée. Ces lettres étaient des chiffres ; s'ils s'en étaient servis, leur Algèbre, littérale en apparence, aurait été numérique en réalité.

Quel qu'en ait été le motif, il n'y eut donc pas chez eux de signes conventionnels. Cette absence les mettait dans l'impossibilité de faire connaître leur méthode analytique, môme dans le cas où ils l'eussent voulu. Il était trop difficile de la traduire en langage ordinaire.

Pour cette cause, les procédés algébriques, au moyen desquels ils arrivaient à transformer, si merveilleusement, les relations et les rapports existant entre les grandeurs, ne se produisirent pas au grand jour.

Aussi les lecteurs superficiels ne les ont-ils pas aperçus dans leurs ouvrages, mais les hommes du métier n'ont pas été embarrassés pour les y deviner.