III

Causes du long retard apparie' au développement de l'Algèbre.

Si les géomètres de cette époque avaient enseigné dans un Traité spécial leur méthode à ce sujet, la Science algébrique eût définitivement été constituée. Elle porterait maintenant un nom grec, au lieu d'un nom arabe.

Mais ils ne travaillèrent qu'incidemment à son élaboralion. Ils en usaient seulement autant qu'elle leur était nécessaire. Ils n'ont pas songé à s'occuper d'elle pour ellemême, comme si elle eût été une Science à part, digne de leur attention.

Satisfaits de la beauté de leurs découvertes en Géométrie, ils cherchèrent principalement à en augmenter indéfi-

niment le nombre, et négligèrent de perfectionner l'instrument par lequel ils arrivaient à les faire.

Ce fut, chez eux, une lacune regrettable. Elle nuisit à leurs successeurs et à eux-mêmes.

Archimède nous donne certainement une grande preuve de son génie, lorsque, malgré l'imperfection de ses moyens d'action, il parvient à des résultats si surprenants; mais, s'il avait consenti à consacrer une partie de son temps à perfectionner la méthode elle-même, il eût sans doute rendu à la Science un service beaucoup plus signalé.

Les hommes médiocres venus après lui, n'étant pas de taille à créer des procédés logistiques, eussent, du moins, profité de celui qu'il leur aurait légué. Ils eussent apporté, eux aussi, leur pierre à l'édifice commun, en s'engageant, après lui, dans la voie qu'il aurait aplanie sous leurs pas.

Mais, prenant son essor comme l'aigle, il s'inquiétait peu des chemins propres au vulgaire : il planait trop haut pour en sentir la nécessité. Aussi ses successeurs furent-ils incapables de le suivre ; souvent même ils le perdirent de vue, tant son vol puissant l'élevait au-dessus d'eux.

Le mal fut donc que le développement de l'Algèbre, comme Science à part, se produisit, non à l'époque où la Géométrie, cultivée par Euclide, Archimède et Apollonius, était si florissante, mais à l'époque où, délaissée, elle cédait la place aux spéculations stériles des néo-pythagoriciens sur la vaine philosophie des nombres.

Si elle s'était constituée dans la période si glorieuse des anciens géomètres, on aurait eu, dès le principe, la véritable Algèbre ; l'Algèbre littérale ; la Science des grandeurs indéterminées ; la Science des raisonnements mathématiques considérés dans leurs plus fécondes généralités et dans leurs plus sublimes abstractions ; cette Algèbre que, dès son apparition définitive, Viète devait appeler speciosa^ et que Descartes, par un trait de génie, devait, du premier coup» faire monter si haut.

Mais, vu les circonstances dans lesquelles elle prît naissance, elle fut fatalement destinée à végéter.

Dès ses premiers essais, au lieu d'être littérale, elle fut

numérique, numerosa. Employant des chiffres, au lieu de lettres, elle fut condamnée au particularisme, et dut renoncer pour longtemps aux généralités.

Elle s'engagea dans cette voie étroite, et, pendant une quinzaine de siècles, elle s'y sentit resserrée. Les grandeurs furent représentées dans les équations par des nombres fixes ; le raisonnement perdit de son ampleur ; les résultats furent exprimés, non par des formules faisant connaître les relations entre les données du problème, mais pçu- des nombres ne présentant plus aucune trace des opérations effectuées et du chemin parcouru pour arriver au but.

Les mauvaises compagnies furent toujours funestes pour les individus. Il en est ainsi des Sciences, paraît-il.

Si l'Algèbre, [dès sa naissance, avait marché de pair avec la Géométrie si parfaite, presque dès l'origine, elle aurait tout de suite acquis un magnifique développement; mais elle s'appuya sur l'Arithmétique, Science inférieure et moins puissante : aussi pendant longtemps fut-elle réduite à se traîner.

La Géométrie fut si grande, à ses débuts, parce que, se séparant de l'Arithmétique, Science des particularités restreintes, elle s'attacha aux généralités, si riches en applications de toute espèce. L'Algèbre, par sa nature, plus abstraite encore que la Géométrie, et par conséquent ayant plus qu'elle encore à craindre l'influence des particularités inévitables avec les nombres fixes, ne sut pas éviter cet écueil.

D faut, sans aucun doute, attribuer ce regrettable état de choses à la période de décadence qui allait suivre la période glorieuse dont nous avons esquissé l'histoire.

Les hommes nouveaux et médiocres d'alors, non seulement n'héritèrent pas du génie de leurs prédécesseurs, mais ils n'eurent plus même le courage de lire les beaux ouvrages d'Archimède, d'Apollonius et d'IIipparque. Au lieu de marcher sur leurs traces, ils voulurent prendre une autre voie, et ils s'égarèrent.

Leurs devanciers avaient eu la véritable Algèbre, mais heureux des magnifiques découvertes qu'elle leur permettait de faire, ils n'avaient pas songé à la perfectionner. Les

successeurs pensèrent à construire Tédifice, mais ils le bâtirent sur des bases chancelantes, qu'ils assirent sur un terrain peu propre à les soutenir.

Aussi le prétendu progrès fut-il en majeure partie un fâcheux recul. Les beaux commencements de la Science algébrique, ébauchée par les grands géomètres, ne furent pas suivis d'un prompt épanouissement, mais d'une éclipse presque entière.

En résumé, les fondateurs de la Géométrie avaient clairement deviné que l'Arithmétique serait pour eux un obstacle plutôt qu'un secours; ils s'en passèrent, et la Géométrie prit tout d'un coup un merveilleux essor.

Au contraire, les fondateurs de l'Algèbre (en Occident, du moins, car nous ne parlons pas encore des Hindous,) ne comprirent pas cela. Ils établirent les spéculations algébriques sur des considérations arithmétiques. L'Algèbre en fut entravée dans sa marche. Il en fut ainsi tant qu'elle ne revint pas à la méthode primitive et au point de départ fixé par les géomètres anciens.

La profonde révolution opérée par Descartes, aurait donc pu s'effectuer, près de deux mille ans auparavant, presque sans rien changer aux méthodes des Grecs. Il suffisait de laisser éclore les germes déposés par eux.

Cette floraison scientifique paraissait devoir être une conséquence nécessaire de leurs travaux... elle fut retardée de vingt siècles !

Décadence de r Algèbre et de la Géométrie,

En effet, après les trois radieux génies qui, à cinquante ans d'intervalle, brillèrent d'un si vif éclat, et furent les vrais pères des Mathématiques, Euclide, Archimède et

Apollonius, on ne trouve, à Texception d'Hipparque, pendant une période de trois à quatre cents ans, aucun homme d'une valeur scientifique supérieure.

Il n'y avait déjà plus que des savants de second ou de troisième ordre.

Nommons, parmi eux, Nicoraède (né vers 130 avant J.-C.)- Il inventa la conchoïde qui porte son nom, et dont il se servait pour l'insertion de fleux moyennes proportionnelles entre deux grandeurs données.

Un quart de siècle avant J.-C, vivait Dionysidore. Il résolut par l'intersection de deux coniques un problème proposé jadis par Archimède, et consistant à diviser, par un plan parallèle à la base, un hémisphère en raison donnée à l'avance.

Au commencement de l'ère chrétienne, on rencontre Serénus. Il démontra contre beaucoup de géomètres, persuadés du contraire, que la section plane d'un cylindre ne diffère pas de l'ellipse provenant d'un cône et f;ue ces deux sections sont de même espèce, si elles sont faites dans certaines conditions.

Longtemps après, dans le iii* siècle de notre ère, parut Zénodore (né en 290.) Il composa un traité sur les Isopérimètres. Ayant prouvé que, parmi les figures à périmètre égal, celle dont la surface l'emporte sur les autres est celle dont les côtés sont égaux et les angles aussi, il en tira cette conséquence que, pour un périmètre donné, le cercle enveloppe la surface la plus étendue.

Ensuite, vinrent les hommes qui, incapables d'un travail vraiment personnel et original, furent impuissants à enrichir, par de nouvelles découvertes, le trésor des connaissances humaines. Ceux-là se contentèrent de nous transmettre les ouvrages des anciens, en les commentant, et y ajoutant des notes plus ou moins utiles.

La période des commentateurs et des annotateurs fut toujours une période de décadence. Alors, abondent les écrivains superficiels, et disparaissent les savants profonds. Les principaux parmi ceux-là furent Eutocius, Pappus et Proclus, dont nous aurons à parler plus loin.

Puis, les beaux ouvrages des anciens ne furent même plus lus. Cette négligence fut cause qu'il ne nous est parvenu des écrits d'Archimède, d'Apollonius et d'Hipparque que des exemplaires tronqués.

Les conquêtes des Romains et leurs guerres incessantes avaient été, en Occident, non moins funestes aux Sciences que ne devaient Têtre, pendant les premiers siècles du moyen âge, les invasions des Barbares.

Sous la domination romaine, après la prise de Syracuse, les Sciences tombèrent dans un si grand discrédit, en Sicile, qu'à peine un siècle après la mort d'Archimède, comme nous l'avons rapporté, l'emplacement de son tombeau était complètement ignoré de ses concitoyens.

Ceux-ci, pourtant, auraient dû garder avec soin des cendres si précieuses. Ils l'eussent fait, s'ils avaient cultivé, tant soit peu, la Science si chère à celui qui, si longtemps, avait arrêté sous leurs murs la flotte et les soldats de Marcellus. Mais il fallut tous les efforts de Cicéron pour retrouver le modeste monument caché sous les ronces et les broussailles.

Aux peuples vaincus Rome empruntait seulement ce qui était apte à fortifier son système politique, et à rendre ses armes plus redoutables.

Cicéron lui-même développe des réflexions de ce genre dans ses Tusciilanes, Il ne prend pas les Mathématiques plus au sérieux que la Musique et la Poésie.

Durant les siècles passés, dit-il, non sans un certain dédain, les Grecs nous surpassaient en toute sorte d'érudition; mais il ne leur fut pas difficile de nous vaincre, car nous ne leur disputions pas cette vaine gloire *...

Depuis très longtemps, ils avaient des poètes ; chez nous au contraire, les versificateurs n'étaient pas estimés, et nous ne les avons soufferts que très tard. Caton lui-mênie, dans un de ses discours, n'a-t-il pas reproché à un consul de son temps, comme une chose honteuse, d'avoir mené

1. Doctrina Grsecia nos et omni liitcrarum gcnere superabat; ia quo erat facile vincere non répugnantes... Tusculan,^ libr. I, $ I.

LES ALGÉBRISTES DE L'aNTIQUITÉ 113

avec lui des poètes dans la province où il commandait?...

Les Grecs aimaient la Musique. Un homme ne sachant pas jouer du luth était considéré par eux comme mal élevé; chez nos ancêtres, jamais une telle lacune ne fut regardée comme une preuve de mauvaise éducation.

Enfin, les Grecs faisaient un grand cas de la Géométrie; ils ont excellé dans cette Science et dans les Mathématiques; mais, chez nous, on a pensé qu'il serait bien suffisant de savoir compter et mesurer. Tout le reste pouvait être négligé comme inutile *.

Cicéron n'avait pas l'habitude de pratiquer Thumilité en

parlant de lui ou de sa patrie. Fût-il seul à nous révéler

rignorance des Romains et leur mépris pour les Sciences,

/ nous pourrions l'en croire sur parole. Mais l'Histoire im-

^ partiale est là aussi pour témoigner.

Ce qui nous a été conservé des écrits géométriques et scientifiques des Romains, nous montre bien que les fiers descendants de Romulus avaient, à ce sujet, des idées fort incomplètes.

Quoiqu'ils eussent borné leur ambition, sur ce point, à savoir compter et mesurer, ils se trompaient parfois étrangement, même en des choses élémentaires. Dans le partage des terrains et la détermination des limites, leurs jurisconsultes, pour évaluer la surface d'un triangle équilatéral, prenaient la moitié du carré construit sur un des côtés ^

C'était une grossière erreur. Il n'eût pas été bien difficile de trouver mieux.

i. Summam eruditioncm GrsBci sitam censebant ia Dervorum, vocumque caniibus... In Graîcia musici floruerunt : discebanique id omnes; nec, qui nesciebai salis cxcultus doclrina putabatur... la summo apud illos Geometria fuit : itaque nihil Haihemalicis illustrius. Ai nos, metiendi ratiocinandiquc utilitate, hujus arlis terminavimus modum. TuscuLy libr. l, § 2.

2. De Agrorum conditionibus et conslitutionibus limitum, p. 147.