CHAPITRE SECOND

La Notation numérique et la Numération,

De qui aTons-nous reçu le système actuel si régulier

et si parfait?

Pendant toute TAntiquité, nous l'avons vu dans la première Partie, les Romains, à Timitation des Grecs et des Hébreux, avaient représenté les nombres par des lettres de leur alphabet. Chacune d'elles avait une valeur absolue; aucune ne possédait une valeur relative ou de position.

Par les neuf premières étaient exprimées les unités; par les suivantes, les dizaines; par les neuf dernières les centaines. Pour les mille on recourait à divers stratagèmes, suivant les cas et les pays.

Au moyen âge seulement, furent introduits en Europe les chiffres indiens et la numération décimale.

Ce fut là un événement d'une grande importance pour

le développement de la Science des nombres. Nous avons

\ " constaté, en effet, combien avait été funeste aux Grecs et

aux Romains l'imperfection de leur système de numération

' écrite et parlée.

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On trouve dans l'Antiquité de profonds géomètres : les calculateurs furent beaucoup moins nombreux. Pour les opérations les plus simples ils venaient souvent se heurter à d'insurmontables difficultés, tant il leur était malaisé de combiner ensemble les valeurs particulières.

Malgré son génie et les améliorations apportées à la numération d'Archimède, Apollonius de Perga avait à peine réussi à ébaucher la théorie des opérations fondamentales de l'Arithmétique élémentaire.

Longtemps après lui, le Calcul resta fort compliqué. Jusqu'au ni« siècle après J.-C, on n'avait su extraire les racines carrées que par tâtonnements. Théon d'Alexandrie, à cette époque, en avait donné enfin la règle, mais en se basant sur des propositions géométriques contenues dans les livres d'Euclide, au lieu de s'appuyer sur des considérations d'ordre strictement mathématique.

Les travaux des Géomètres et des Mathématiciens étaient demeurés complètement étrangers, les uns aux autres, pendant les dix premiers siècles écoulés depuis les temps historiques. Alors seulement, à l'époque de Théon d'Alexandrie, on commença un peu à soupçonner entre les deux genres de recherches une relation possible.

Dix à douze siècles furent ensuite nécessaires, pour que cette conjecture se transformât en vérité acquise et suffisamment démontrée.

L'imperfection de la numération antique fut pour beaucoup dans cet immense retard.

On doit lui attribuer, d'abord, en très grande partie, cette tendance des Mathématiciens grecs à se vouer de préférence aux spéculations géométriques, à l'exclusion presque absolue de l'Arithmétique et du Calcul.

Cette imperfection du système les empêchait de concevoir comme possibles les formules générales. Ne venait-on pas se heurter, à chaque instant, aux obstacles toujours renaissants des nombres incommensurables ou irrationnels? Comment trouver, dès lors, des formules générales pour des quantités n'ayant d'autre commune mesure qu'une mesure infiniment petite?

On ne le pouvait, sans un système de numération s'étendant aux fractions de tout ordre, et permettant de pousser Tapproxiniation indéfiniment. Sans cet instrument indispensable, on devait renoncer à prétendre exprimer, d'une manière satisfaisante, le rapport de deux ou de plusieurs quantités de ce genre.

La numération décimale combla cette regrettable lacune, et rendit possible l'usage des formules générales dont remploi allait être si fécond.

L'Europe doit cette précieuse invention, non aux Romains ou aux Grecs, mais à un peuple de l'Orient peu connu autrefois, les Hindous.

Grâce à leur numération régulièrement constituée, ceux-ci, dès le vi« siècle de notre ère, étaient en possession d'une Arithmétique et d'une Algèbre bien supérieures à celles des Grecs.

Nous avons reçu d'eux, avec leur système de numération, les caractères numériques, appelés communément et à tort chiffres arabes, car en réalité ils sont indiens.

A Tépoque de leur introduction en Europe, personne ne doutait de cette origine indienne de nos chiffres vulgaires.

Les Arabes, eux-mêmes, le reconnaissent. Plusieurs de leurs Traités d'Arithmétique encore manuscrits sont intitulés : LArt de calculer selon les Indiens; Du Calcul mdien, etc.

On rencontre les mêmes témoignages dans les écrivain.s chrétiens du xiii" siècle. On peut citer, entre autres, le moine grec Planude, auteur d'un Traité d'Arithmétique selon cette méthode; le Pisan Leonardo Fibonacci, auquel on a parfois attribué l'honneur de les avoir fait connaître le premier en Occident *; le moine anglais Sacro- Bosco, mathématicien et poète.

1. Lfber AObaci compositw a Leonardo PisafiOt in anno 1202. Caput i. De Cognitione norem figurarum Yndorum et quatiler cum eu omnis numerus scribatur.

Ce dernier nous a transmis le sentiment de sou époque à cet égard, dans les vers suivants extraits de son poème consacré à l'exposé de la Science des nombres :

Uœc Algorythmufy ars ^prœsens^ diciiur in qua TaHbus Indorum ftuimur bii quinque /Igrurts ^

Toutefois, nos chiffres actuels sont loin d'être absolument identiques à ceux des Indiens. Le temps change bien des choses.

Avant rinvention de Timprimerie, récriture variait avec les siècles, non seulement chez les divers peuples, mais encore au sein d'une même nation. Les symboles arithmétiques ont subi des vicissitudes analogues. Pour s'en convaincre, il suffit de jeter un coup d'œil sur des manuscrits de diverses époques.

La forme des chiffres a été profondément altérée. Il y a eu même des substitutions. Notre zéro actuel, par exemple, est le cinq des Arabes; notre neuf et notre huit ont remplacé respectivement le sept et le quatre des Hindous.

En outre, quelques-uns d'entre eux ressemblent plus à l'ancienne écriture minuscule et cursive de l'Occident qu'aux chiffres primitifs des Indiens. Ils pourraient donc bien être, dans leur configuration, d'origine latine. C'est l'opinion de plusieurs savants *. La forme actuelle date à peine du xvi« siècle.

1. n serait curieux do rechercher à quelle époque on a commencé à appeler chiffres arabes des chiffres qui, en réaJité, sont indiens, d*aprôs le témoignage des Arabes eux-mêmes. Ceux-ci, pour écrire les nombres, se servireat longtemps de caractères moins commodes encore que ceux des Grecs. (Cf. Theophanes, Chranieon et Abul-Pharajii, HUt, compend. dynast.).

2. Ce sentiment fut soutenu, il y a plus de six cents ans déjà, par Fibonacci lui-même, dont l'autorité a, dans l'espèce, un poids to :t particulier. Son Liber Abbaci renferme sur ce point une dissertation, dont la plupart des auteurs modernes qui ont tniilé cette question intéressante, paraissent ne pas avoir eu connaissance. Léonard cite plusieurs ouvrages latins du xi^ siècle, dans lesquels se trouvent déjà les chiffres dits arabes. Il montre combien leur configuration se rapproche des lettres grecques minuscules, usitées dans les manuscrits des siècles précédents. Il en tire

Il n'y a là rien d'étonnant; mais ces remarques ne diminuent en rien la gloire des Hindous. Leur mérite n'est pas d'avoir donné aux chiffres tels ou tels linéaments; cela est accidentel, en somme. Mais ils ont su les grouper; ils en ont diminué le nombre, en leur attribuant, outre leur valeur absolue, une valeur de position grâce à linvention du zéro. Ils en ont fait ainsi la base d'une numération régulière et facile.

C'est un grand service rendu à la Science. On l'apprécie davantage, en considérant les longs et pénibles calculs nécessités par les exigences croissantes de l'Astronomie et de l'Analyse, dans les temps modernes. Sans cette innovation, aurait-on pu mener à bonne fin ces gigantesques opérations?

Époque de l'introduction des chifiEres indiens et de la numération décimale en Europe.

Une question se place ici tout naturellement. A quelle époque les chiffres indiens et la numération décimale ontils été introduits en Europe?

On ne le sait pas au juste.

Dans la première moitié du xiii« siècle, ils étaient déjà d'un usage courant. Nous en voyons la théorie nettement exposée dans une vaste Encyclopédie, publiée en 1250, par le dominicain Vincent de Beauvais. Il y explique comment les neuf chiffres signifient successivement, et grâce au zéro, les dizaines, les centaines, les mille, etc., suivant leur position respective K

celte coQclusioQ que ces chiiTrcs ne sont, par leur origine, ni arabes, ni indiens, mais grecs probablement.

1. Invontic suât novom iigurœ talcs : t, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. QuoBlibet

Us furent alors, presque en même temps, répandus en Italie par Léonard de Pise; en Angleterre, par le moine Sacro-Bosco; en Grèce, par le moine Planude; en Espagne, par Alphonse X, roi de Castille et de Léon, au moyen de ses tables astronomiques. Les astronomes, obligés de calculer les grands nombres, furent les premiers à en sentir les avantages.

Pendant longtemps toutefois, les chiffres romains furent employés simultanément. On faisait un singulier et bizarre mélange de ces caractères divers; ainsi, par exemple, on représentait onze, douze, treize, etc., par X^ X*, X^

Cette habitude, longtemps persistante, nous fait comprendre comment on est en droit de reporter l'introduction des chitTres indiens, en Europe, à une époque bien plus reculée. Ils y furent connus bien avant de rentrer dans Tusage commun.

On peut, sans crainte d'erreur, remonter jusqu'au début du XI® siècle, et probablement jusqu'au x«. On les trouve, en effet, dans un manuscrit de Gui d'Arezzo, moine bénédictin, né en 990; dans un ouvrage de Bernelin, disciple de Gerbert, De Abaco et de Numéris; dans les écrits mathématiques de Gerbert lui-même, dont les principaux sont Régula de Abaco Compuii, le Libellus de Numerurum divisione, dans ceux de saint Odon, abbé de Cluny, à la fin du ix« siècle (il naquit en 879,) Régula Domni Odonis super Abacum] etc.

Quant aux Arabes, ils n'ont pas connu les chiffres indiens avant le ix« siècle, car sous le calife Walid, comme nous

ÎQ primo loco posila significat unitatem, vel unitaies; in sccuDdo, denarium yel denarios; in tertio, ccotcoarium ycI centeDarios; in quarto, millenarium vel millenarios; et, ut brcvius loquar, quaelibct figura posita in secundo loco, significat decies magis quam si esset in primo, et decics magis in tertio quam in secundo, et sic in infinitum.

Inventa est enim décima figura talis, scilicet 0. Nihilqiie représentât, sed facit aliam figuram decuplum significarc. (Spéculum doctrinale^ libr. XVI.)

Le Spéculum doctrinale est Ja seconde partie du grand ouvrage de Vincent de Beauvais, appelé Spéculum ma jus et Bibliotheca mundi. Il se divise en Spéculum naturale, Spéculum doctrinale et Spéculum historiale.

l'avons vu plus haut, les registres des trésors publics, tenus par les chrétiens, étaient rédigés en caractères grecs.

Mais il faut, ce semble, reculer à une époque bien plus récente, riRtrodnetion des chiffres indiess parmi eux.

Dans le courant du xi* siècle, en efTet, un de leurs prin cipaux mathématiciens, qui enseignait à Bagdad, vers 1010, Al-Karkhi, les ignorait absolument, car dans son Traité d'Arithmétique, il emploie toujours des lettres pour exprimer les nombres.

Si, en cela, les Arabes ont précédé les nations de l'Occident, c'est donc de bien peu *. Le plus grand des savants arabes, Avicenne, au xn* siècle, dut aller apprendre l'Arithmétique, chez un marchand d'huile. Les Universités n'étaient donc pas encore nombreuses; et la Science n'était pas fort répandue *.

En outre, plusieurs érudits ont pensé que les Arabes avaient reçu ces caractères numériques des Grecs, comme ils en ont reçu tant d'autres notions utiles '.

Mais la numération décimale et les chiffres paraissent avoir été connus, en Europe, bien auparavant, et longtemps avant l'invasion des Arabes.

Au v« siècle, Boëce s'en servait déjà. Il avait, sous le nom d'apices, des caractères symboliques correspondant à nos neuf chiffres. Pour effectuer une opération quelconque, il les disposait sur un tableau (abacus) divisé par des lignes horizontales et verticales.

Dans les cases ainsi formées, il inscrivait les chiffres de manière à ce que les unités de mîme ordre, unités simples, dizaines, centaines, etc., fussent dans la même, colonne. Les neuf chiffres, outre leur valeur absolue, prenaient donc aussi une valeur de position de dix en dix

i. Theyphanes, Chronicon. Paris, 1653, in-folio, p. 314. Âbul-Pharajii, li!sl. comicui. dyna^t.^ p. 127.