III

', ai: -

I évr ? Das di^èront3 genres da numération.

11 ne sera pas inutile, maintenant, de faire ici quelques remarques sur les divers genres de numération.

L'échelle décimale, du moins dans ses grandes lignes, a été adoptée presque universellement par tous les peuples (le l'Antiquité. On la retrouve chez tous ceux de race indo- {jfermanique, depuis les Indes jusqu'aux limites occidentales de TEurope.

D'après Aristote, elle est essentielle à Thomme, vu notre tendance naturelle à compter sur les doigts. Cette habitude permet de transformer aisément le travail mental en une sorte de travail mécanique, dont nous trouvons toujours l'instrument à notre portée *.

Si cette raison est juste, elle est applicable tout aussi bien, / et plus encore, soit à la numération binaire, puisque nous "'j' j avons deux mains ; soit à la numération duodécimale, dont nous avons aussi en nous les éléments fondamentaux.

Avecles dix doigts delà main, considérés comme signes d'unités, on ne peut, en effet, compter que jusqu'à dix. On ne saurait faire ensuite, pour les dizaines, les centaines ou les mille, ce qui a été fait pour les unités simples, car, seulement pour la première dizaine, les deux mains ont déjà

nie ^ toii-

le:-

\, Pour un motif analogue, les anciens avaient choisi, comme unités de mesures, des quantités prises parmi les dimensions du corps humain : doigt, pouce, palme, pied, coudée, pas, etc., etc.

été employées simultanément. Pour représenter de nouveaux nombres, elles devraient cesser de signifier les premiers.

Au contraire, si Ton se sert du pouce, doîgt toujours facilement mobile et opposable aux autres, pour indiquer successivement les douze phalanges des autres doigts, il sera aisé de montrer sur la main gauche les douze premières unités simples, et sur la main droite les douze premières douzaines. Chaque phalange de la main droite représentera des douzaines, et chaque phalange de la main gauche des unités.

Rien n'empêchera donc d'exprimer par ce moyen tous les nombres intermédiaires depuis i jusqu'à 1S6. Ce nombre, par exemple, serait signifié par la position du pouce droit sur la dernière phalange de la main droite, et du pouce gauche sur la dernière phalange de la main gauche.

Autant cette manière de compter est simple, facile et claire, autant est compliquée, confuse, et malaisée, celle où chacun des dix doigts est un symbole d'unités simples. Dans ce dernier cas, en effet, l'indicateur est nécessairement une des deux mains déjà employées ; tandis que, dans l'autre méthode, l'indicateur est le pouce qui peut commodément se promener devant chaque phalange.

Cette numération duodécimale a dû être, sans doute, auparavant en usage, puisque, même après l'introduction, faite depuis longtemps, du système décimal, il nous en reste encore des traces nombreuses. De là vient l'usage, fort commun, de compter diverses sortes d'objets par les puissances de douze; c'est-à-dire, par douzaines, d'abord ; puis, par grosses, ou douzaines de douzaines; par masses, ou douzaines de grosses.

Au système duodécimal se rattache la numération sexagésimale, usitée en Astronomie, pour la division des heures et des degrés en soixante minutes, des minutes en soixante secondes, des secondes en soixante tierces, etc.

Ce sont là des fragments des systèmes divers ayant survécu, depuis plusieurs siècles, à l'introduction en Europe de la numération décimale.

Trar-

On peut en dire autant des fractions un demi, un quart, un huitième, appartenant au système binaire ou quaternaire, et des fractions un tiers, un sixième, un douzième, appartenant à la numération duodécimale. Ces fractions furent longtemps employées à Texclusion des fractions décimales.

Aristote, en eifet, tout en affirmant la numération décimale naturelle à Thomme, à cause du nombre de ses doigts, avait songé seulement à la progression croissante, et nullement à la progression décroissante pour les quantités inférieures à Tunité.

Il avait bien considéré la dizaine comme le décuple de l'unité, la centaine comme le décuple de la dizaine, etc.; mais il ne s*était pas arrêté à la pensée que les unités simples sont, à leur tour, dizaines et centaines par rapport à leurs dixièmes et centièmes parties.

Chez les peuples primitifs, il existait encore quelques autres systèmes de numération employés simultanément, quoique établis sur des bases différentes. Tantôt Ton comptait par les multiples de cinq ; tantôt Ton procédait par ceux de quatre, de trois ou de sept.

Il y avait aussi un système de numération par vingt, à laquelle on peut ramener des expressions bizarres, usitées longtemps dans notre langue, et dont quelques autres persistent actuellement encore, comme, par exemple, quatrevingt, six-vingt, quinze-vingt, etc. Durant une grande partie du moyen âge, on les représentait par les symboles caractéristiques IV", VI", XV".

Cette Arithmétique vigésimale reposerait, non pas sur le nombre des doigts de nos mains, comme le système décimal, d'après Aristote ; mais sur le nombre total des doigts des mains et des pieds. Elle était en vigueur aussi chez plusieurs peuplades anciennes de l'Amérique, entre autres, chez les Atzèques *.

Notre numération parlée garde encore d'autres vestiges de ces divers systèmes primitifs. Dans l'énoncé des nom-

i, Humboldt, Vues des Cordillièrcs, lom. H.

è^6 SAVANTE ET- CHRJÈT.IENS .

f firescacdinauTc,; comme dans celui des noinl)res ordinaaix^

I }a plupart des langue» d^Europe présenteni de singiblijëi'«&

I anomoIieH.

Pourquoi, par exemple, dit-on, en français, onze, «touze» treize, au lieu de dix-un, dix-deux, dix-trois,, puisque I'ôb dît ensuite, dix-sept, dix-huit, dix-neuf ; puis, vingtr»», vingt-deux... ; trento-uni, trente deux, etc. ? Ces mfBttes bizarreries se remarquent en italiea, en espagnol, en anglais^ ^n: aMemand.

Nous avons las termes trente, quarante, cinquante» etc.» pourquoi n'avons-nous pas aussi, duante et octanie^ au.lieu de vittgt et de quatre-vingt ?

Les expressions soixante-dix, quatre-vingt-dix so»t encore plu&irré'gulières.

Si ces modifications curieuses ne proviennent pas de l'existence simultanée de plusieurs systèmes de numération à l'origine des temps historiques, elles nous montrent, du moins, chez les anciens peuples qui se sont servis gênéralement de l'échelle décimale, une lacune et une imperfection. Ils ne paraissent pas avoir saisi le véritable esprit du système, ni compris son importance ou son mécanisme.

S'ils en avaient eu vraiment une claire notion, ils Tau» raient appliquée aussi à leur numération écrite, restée longtemps plus irrégulière encore que leur numération parlée. Leur habitude d'attribuer aux lettres de leur alphabet, employées comme chilfres, une valeur toujours absolue, en brisait profondément l'unité S'ils leur avaient reconnu, en outre, une valeur de position^ le plus grand pas eût été fait.

Le priucipal, en l'espèce, n'était pas, en effet, la forme même des caractères choisis, mais la mauière d'en user, l'eu importait cette forme. En réalité, elle a complètement changé, depuis l'introduction des chiffres indiens en Europe, comme nous l'avons observé déjà ; mais la système décimaL n'a pas été atteint dans ses parties constitutives par ces inévitables variations.

L'essentiel était la valeur de position accordée aux chif-

LES CALCULATEURS AU MOYffN AGE 229

fpes, «t la prolongation de la progression aux sous-multi- ^es dëcimanx de l'^anité.

Wi Apollomus, ni Archimède, n'avaient imaginé l'emploi si simple et si fécond du zéro, clef de tout le système. Ils n'avaient pas songé davantage à donner à l'échelle iramëriqae ane extension illimitée dans les denx sens.

Y auralt^il eu quelque avantage & fonder la numératlooi sur une autre base que le Jiombre dix i ?

Toutes <efaosês donsidérées, la nnmération décimale estelle «la mmlLeure ?

^ctàins auteurs auraient préféré le système daodécimaL L ^avantage serait en oe que douze et ses midtîples, étant immédiatement divisibles par .2, 3, 4, t6, et 8, ont fplns ùe diviseurs que les multiples de dl'x^ divisibles seulement par 2 et par 5. Le diviseur cinq est d'un em^ploi jnoins iréqueiit, et son introduction entraîne tout de suite, dans le premier de ses sous-multiples, une û^action difficile à exécuter dans les mesures de langueur.

Les opérations seraient donc de beaucoup tplus faciles et plus. rapides. Les calculateurs y trouveraient assurément leur profit.

Pour écrire toutes les quantités selon oe système, aa aurait eu besoin, il est vrai, de quelques caractères de plus. U en aurait fallu deux autres, aet b, par .exemple, ajoutés à 4, 2, 3,4, 3, 6, 7, 8,9.

Le n&BÉx^B 4ix n'aurait pas été représenté par 10, mais par a; le nonibre onze, non par U, mais par i&. Le sym**

i, La base d'un système de numération est le nombvc d^imrtés de cha« que ordre nécessaire pour former une unité de Tordre immédiatement supérieur.

bole 10 aurait signifié douze ; le symbole 20, vingt-quatre, etc. L'expression 100 aurait désigné cent quarante-quatre, première puissance de la base duodécimale, comme dans le système actuel elle tient la place de cent, carré de la base dix.

Le système de numération, au lieu d'être constitué par la série 10^ 10». 10-. ^0^ 10*... ou 1. 10. 100. 1000. 10000... raurait été par celle-ci: i2o. 12>. 12^. 12\ 12*... ou 1. 12. 144. 1728. 20736...

Si, au contraire, la base du système eût été sept, il aurait suffi de six chiffres et du zéro pour écrire tous les nombres imaginables. La nomenclature eût compris, non pas des unités, des dizaines, des centaines, etc., mais des unités, des septaines, des septaines de septaines, etc. La série eût été 7^ 7^. 7^ V... c'est-à-dire 1. 7. 49. 343... Pour écrire un nombre, on aurait dû le diviser par la pensée en septaines, septaines de septaines, etc., et employer pour chacun de ces ordres un chiffre, comme nous le faisons pour les dizaines, les centaines, les mille, etc.

Enfin, dans le système binaire, le plus simple de tous évidemment, il aurait suffi d'un seul chiffre avec le zéro pour exprimer toutes les quantités jusqu'à l'infini. On au rait eu, alors, la série 2». 2*. 2*. 2^. 2*. 2\.. ou 1. 2. 4. 8. 10.32. 64. 128. 2.j6-.

Le nombre deux s'exprimerait par 10, quatre, par 100, huit, par 1.000; seize, par 10.000; trente-deux, par 100.000: soixante-quatre, par 1.000.000, etc.

Les nombres intermédiaires s'écriraient d'une façon analogue ; par exemple, trois serait représenté par 1 1 ; cinq, par 101 ; six, par 110; sept, par 111 ; neuf, par 1.001, etc.

Cette numération, si simple en soi, aurait l'immense inconvénient d'exiger une trop fréquente répétition des mêmes chiffres. S'il lui faut déjà sept caractères (1.000.000) pour représenter soixante-quatre, que serait-ce pour les grands nombres usités en Astronomie et dans quelques autres Sciences?

Leibniz, cependant, avait pour elle un certain attrait.

Il en faisait remarquer avec complaisance Tordre merveilleux et rharmonie profonde. Ne découvrait-elle pas, au premier coup d'œil, la série des carrés, des cubes et des autres puissances d'un rang quelconque, avec la suite des nombres triangulaires, pyramidaux, etc.? On aurait pu en dresser la liste, sans prendre la peine de les calculer.

Les opérations, simplifiées à ce point, devenaient d'une facilité extrême. La table de multiplication, dite de Pythagore, était désormais inutile ; par suite, on la supprimait. Elle ne conservait plus qu'un intérêt purement historique, comme les vieilles machines du passé, reléguées au musée des antiques pour la distraction des visiteurs.

La pensée de Leibniz n'était pas, toutefois, de faire accepter en pratique la numération binaire, malgré ses avantages. Il ne gardait aucune illusion sur ses incontestables inconvénients, et sur la difficulté, non moins réelle, de changer un système depuis longtemps en usage. Ce n'eût pas été le seul cas dans lequel on eût dû renoncer à des améliorations désirées, à cause de la difficulté de modifier des habitudes depuis longtemps reçues.

Des réflexions précédentes il résulte, d'abord, cette conclusion : De même que les anciens peuples ont eu simultanément différents svstèmes de numération, dont il nous est resté plusieurs fragments, malgré l'adoption du système décimal; ainsi, il nous serait peut-être fort utile, vu leurs avantages respectifs, de posséder plusieurs systèmes de numération à base diverse, pourles appliquer suivant les cas.

En effet, d'un côté, le système décimal n'est imposé ni par l'essence des choses ou des nombres, ni par l'essence du langage. L'impossibilité pour toute langue humaine de donner un nom particulier à chaque nombre, implique seulement la nécessité de trouver un système, dans lequel les nombres soient réunis en série régulière, divisée en groupes, dont chacun puisse à volonté être pris pour unité d'un ordre spécial. Le centre de la série doit être partout où le besoin l'exige, et la limite nulle part.

Mais, d un autre côté, il peut y avoir des raisons de faire ces groupes de deux, de trois, de cinq, de sept, de douze, au lieu de dix, suivant les cas. L'unité du système y perdra sans doute ; mais ce défaut sera peut-être compensé par des avantages dignes d'être aclietés à ce prix.

Il y a cependant des motifs bien convaincants, pour se prononcer en faveur de l'adoption unique du système décimal. Tout, alors, se range sous une seule loi, simple et féconde, depuis les nombres infiniment grands, jusqu'aux infiniment petits.

Les fractions décimales ont, sur les fractions à deux termes, le grand avantage de paraître comme une continuation naturelle des nombres entiers, dont elles ne sont séparées que par une virgule. Toutes les opérations, dont elles sont susceptibles d'être l'objet, se réduisent à des opérations absolument semblables à celles des nombres entiers. La méthode y gagne en unité, en promptitude et en facilité.

D'après certains auteurs, plusieurs siècles se seraient écoulés depuis l'introduction du système décimal en Europe, jusqu'à son application aux fractions. L'honneur de cette découverte reviendrait à Régiomontçinus (Jean Mul- 1er,) familier de Matthias Corvin, roi de Hongrie, et du pape Sixte IV. Il Taurait faite au commencement du xvi* siècle *.

Si cela était exact, les nations occidentales, tout en reconnaissant avoir reçu des Orientaux l'idée première du système, auraient cependant la gloire de l'avoir complété magnifiquement, en l'étendant bien au delà des limites fixées par ceux à qui Tinvention en est attribuée. Elles en auraient tiré des conséquences ignorées des Indiens.

Par cette ai)plication heureuse du système à l'évaluation des parties inférieures à l'unité, apparut davantage le prin-

1 . On trouve cependant les décimales dans un ouvrage bien antérieur, le traité De Alyori^mo de Jean de Séville (Joannes Hispalcnsis,) né vers 1150. C'était un ancien rabbin juif, converti au cathoiicii^me. Son livre fournit des exemples de calcul de racines carrées avec parties décimales.

cipe directif, d'après lequel, dans la série indéfinie des quantités divisées en groupes réguliers, on est libre de choisir pour unité fondamentale celle de tel ou tel groupe, suivant le besoin des cas, manifesté par la grandeur ou la petitesse des objets successivement examinés.

L'extension du système, illimitée de part et d'autre, et son aptitude à présenter, comme centre de la série, tel ou tel point arbitraire, font de lui, suivant une expression remarquablement juste et frappante « une chaîne dont il suffit de saisir un anneau pour l'enlever tout entière. »

Ainsi furent renversées les barrières par lesquelles longtemps l'essor de l'esprit humain avait été entravé ; ainsi furent rendus possibles les immenses développements, dans les temps modernes, de ces Sciences admirables, dont aucune ne saurait se passer du Calcul ; ainsi fut mise à la portée de tous, même de la masse du peuple, la Science des nombres, dont auparavant les esprits les plus élevés atteignaient à peine les premiers éléments*

Ces avantages inappréciables se rencontreraient, peutêtre, dans tout autre système, binaire, tétractique, septénaire, duodécimal, etc., pourvu qu'il fût basé sur le principe d'ordre et de position]; mais y seraient-ils au même degré ?

Sur cette question, il s'est élevé des doutes, comme nous l'avons exposé dans les pages précédentes. Pourtant, il faut en convenir, si le système décimal, sous certains points, est inférieur à ses rivaux, sous d'autres rapports il leur est préférable, car il n'en présente pas les réels inconvénients. S'il n'est pas absolument parfait, il est néanmoins un des plus merveilleux instruuients donnés à l'esprit humain, pour les recherches scientifiques et pour la découverte de la vérité.

Dix et ses multiples, sans doute, ne sont immédiatement divisibles que par deux et par cinq. Ce dernier intrcduit, tout de suite, un fractionnement difficile à réaliser

avec précision dans les mesures de longueur. Toutefois, ces obstacles ne sont pas insurmontables.

L'absence du diviseur trois n'entraîne pas de bien graves conséquences. L'emploi des fractions périodiques auxquelles on arrive alors aussitôt, donne de ce cas une solution très satisfaisante. Dès que leur forme se présente, ou peut, sans être obligé de prolonger les calculs, en arriver, tout d'un coup, à un degré d'approximation illimité.

Si le système duodécimal était réellement préférable, il aurait, du moins, été adopté, à défaut de la masse, par certaines classes de savants, toujours en quête de nouveaux artifices do calcul et de méthodes perfectionnées ou plus rapides. Les hommes du métier n'auraient pas hésité à se familiariser avec lui, s'ils avaient espéré en retirer une utilité réelle. Aucun d'eux ne l'a fait.

Les astronomes eux-mêmes, malgré la conservation delà division du temps et des heures, du cercle et des degrés en parties sexagésimales et duodécimales, font leurs calculs décimalement, et traduisent ensuite en expression usuelle les résultats de leurs opérations.

L'adoption de ce système exigerait la création d'une nomenclature nouvelle. A la rigueur, cela n'est pas audessus des forces humaines, nonobstant des habitudes invétérées. La Chimie est sortie victorieuse d'une épreuve de ce genre. Mais ici, l'affaire se compliquerait d'une difficulté de plus.

La valeur des unités des divers ordres, ou groupes, ne pourrait être saisie de prime abord, comme l'est, dans la numération décimale, celle des dizaines, des centaines, des mille, des millions, etc. Au lieu de la progression si facile à se rappeler 1, 10, 100, 1000, 10.000... on aurait celle-ci : 1, 12, 144, 1728, 20.736...

Une bien longue habitude serait nécessaire pour apprécier exactement, et comme par intuition, la valeur précise des diverses puissances de douze, à mesure que le besoin s'en ferait sentir, et ce serait à chaque instant.

Dans l'expression 3542, par exemple, nous avons, tout de suite, une juste idée de la valeur totale représentée par

les trois mille, les cinq centaines, les quatre dizaines, et les deux unités simples. Cette même expression, dans le système duodécimal, équivaudrait à trois fois 1728, plus cinq fois 144, plus quatre fois 12, plus deux unités.

L'esprit n'apprécie point intuitivement la somme de ces divers produits, chacun assez complexe en soi. 11 en résulterait une difficulté considérable, même pour la lecture et l'écriture des nombres. L'avantage d'avoir à sa disposition quelques diviseurs de plus, serait bien amoindri, et disparaîtrait presque complètement, devant la nécessité de garder toujours présente à la mémoire la valeur des divers multiples et des diverses puissances de douze.

Mais si les difficultés sont déjà si considérables pour la simple lecture dis nombres pris séparément, elles croîtront au delà de toute mesure, quand il s'agira de la combinaison des nombres entre eux, telle qu'elle s'impose dans les opérations les plus élémentaires de l'Arithmétique, comme la multiplication et la division. Que ne faudrait-il pas dire de l'extraction des racines et des autres règles plus compliquées?

Les obstacles s'accumuleraient bientôt à tel point, qu'ils seraient absolument insurmontables à la plupart des intelligences.

La Science des nombres, la simple Arithmétique, deviendrait bientôt le partage exclusif des esprits transcendants, ou des calculateurs de profession. Encore ceux-ci n'arriveraient-ils pas, sans beaucoup de peine et sans un travail opiniâtre, à se rendre maîtres de la métbode.

C'est là, incontestablement, un immense défaut, propre à détruire complètement tous les autres avantages.

Ces remarques s'appliquent évidemment à la numération binaire, septénaire et tétractique.

Il n'y a donc pas de raison bien pressante d'abandonner le système décimal, universellement adopté depuis des siècles.

Les Opérations arithmétiques.

Divers Traités composés au moyen &ge.

Apollonius avait à peine ébauché la théorie des opérations fondamentales. Les Chrétiens du moyen âge, après l'introduction de la numération décimale, furent plus heureux. On vit alors les traités de ce genre se multiplier et se compléter peu à peu.

Un des principaux, du moins parmi ceux qui nous ont été conservés à peu près intégralement, est celui de Léonard de Pise, appelé aussi Fibonacci (Filius Bonnacci.) Il avait longtemps voyagé en Orient. A son retour, vers 1202^ il fit paraître son ouvrage Liber Abbaci.

Il y montre une conception très claire de la conformité entre les résultats obtenus par la Géométrie et par les procédés numériques. Il est impossible, dit-il, d'exposer convenablement l'Arithmétique, sans recourir à la Géométrie. Ces deux branches du savoir humain ne doivent pas être séparées, car elles se soutiennent mutuellement. Quia Arithmetica et Geometria scientiœ sunt connexx et suffragatoriâs sibi ad invicem, non potest de numéro plena tradi doctrina^ nisi inserantur geometrica quœdam, vel ad Geometriam spectantia *.

Aussi, ajoute-t-il, les constructions géométriques ont souvent servi à manifester l'exactitude des règles du Calcul. Juxta modum numeri operantur, gui modus est sumptus

1. Liber Abbaci cmpositus a L^onardo filio Bonacci Pisano, prologus.

ex mtiltis probationibus et demonstrationibns qux figuris geomeiricis fiunt *.

Il était redevable de cette importante découverte, non pas aux Grecs qui ne s'en étaient pas doutés, ou, du moins, n'y avaient fait aucune allusion, mais plutôt aux Indiens chez lesquels la concordance des deux méthodes paraît avoir été connue dans l'antiquité.

Dans son Abbacus, après avoir exposé, au premier cliapitre, le système de la numération avec une netteté remarquable, il développe, dans les sept chapitres suivants, la théorie de la multiplication, de la division, de l'addition et de la soustraction des nombres entiers et des nombres fractionnaires.

Il parle ensuite de la règle de société, de la conversion des monnaies et des lettres de change; de l'extraction des racines carrées et cubiques; des proportions géométriques. Toutes ces doctrines sont encore expliquées dans son livre assez volumineux intitulé : Pratique de la Géométrie^.

Dans ces deux ouvrages se trouvent également traitées beaucoup de questions d'Algèbre, jusqu'à la résolution des équations du second degré.

La théorie des opérations de l'Arithmétique y est mieux présentée que dans les écrits des auteurs précédents.

L'union féconde de l'Algèbre et de la Géométrie avec l'Arithmétique avait permis à Fibonacci de trouver la somme de la série des nombres naturels et des carrés. Il publia sa méthode à ce sujet dans son Traité Des nombres carrés.

Les Hindous avaient su, avant lui, évaluer la somme des progressions par différence et des séries constituées par la suite des nombres naturels, des carrés et des cubes des nombres entiers, depuis l'unité jusqu'à un nombre quelconque.

Dans le Traité d'Arithmétique de Bràhma-Gupta, géomètre indien du vii« siècle, et dans celui d'Aryabhata, mort un demi-siècle avant, se trouvent les formules per-