Op> et /oc. cit

2. Practiea Geometrise composita a Leonardo Pisano de filiis B^nacci, anno «220. Distinct. 2» el o».

mettant de trouver le dernier des termes d'une progression arithmétique, la somme de ces termes, ou leur nombre, pourvu que Ton connaisse la raison de la progression et deux des trois autres quantités.

Ces ouvrages indiens exposent aussi les règles d'intérêt simple, et donnent les formules nécessaires pour trouver à volonté le capital, l'intérêt, le temps et le taux, pourvu que trois de ces quatre quantités soient connues.

Un autre auteur avait précédé aussi Léonard de Pise. C'était encore un Italien, Gérard de Crémone, né en 1114, mort en 1187. On a de lui un Traité d'Arithmétique intitulé Algorismiis magisfri Gernrdi in integriset minntis. Comme le titre l'indique, l'auteur s'y occupe des nombres entiers et des nombres fractionnaires *.

Ajoutons à la liste de ces conquêtes en Arithmétique, la règle de la divisibilité des nombres par neuf. Elle fut, dès lors, appliquée à la preuve des quatre opérations fondamentales, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Cette preuve était appelée la balance.

On la voit assez nettement indiquée dans le Traité d'Avicenne intitulé Expositio?i des 7*act?iesdu Calcul et de V Arithmétique. L'auteur y appelle radical d'un nombre l'excès de ce nombre sur le plus grand multiple de 9 qui y soit contenu. Il signale, en même temps, la méthode pour découvrir ce radical.

Quant aux diverses opérations à faire subir aux fractions à deux termes, elles étaient depuis longtemps connues. V Algèbre arithméiique de Diuphante, mort au commencement du v* siècle, en fournissait déjà une théorie assez claire et assez complète.

Presque aussitôt après la mort de son auteur, cet ouvrage fut commenté par la célèbre Hypathia, dont les œuvres ne nous sont point parvenues, puis par les géomètres du moyeu âge et de la Renaissance jusqu'à Viète.

\ . Dans la vaste Encyclopédie de Viocent de Beauvais sont égale nient exposc^es, tout au long et très clairement, avec la théorie des nombres, les diverses opérations dont ils sont susceptibles, jusqu'à Textraction des racines inclusivement.

A la fin du moyen âge, un mathématicien dont nous parlerons plus en détail à l'article suivant, Lucas de Burgo, moine franciscain, composa un Traité d'Arithmétique vi-aiment remarquable. Outre les règles ordinaires et celles de fausse position simple et double, il exposa longuement l'Arithmétique commerciale. Il enseigna, le premier, l'Art de tenir les livres en partie double, usage adopté ensuite dans le grand commerce et pour la comptabilité des caisses publiques dans divers États.

Exemples de problèmes arithmétiques tirés des écrits

du vénérable Bède.

Pour fixer davantage les idées sur le mouvement scientifique du moyen âge, au point de vue de l'Arithmétique, nous citerons ici quelques-uns des problèmes conservés dans les œuvres du vénérable Bède. Plusieurs sont curieux à divers titres.

Le vénérable Bède qui vivait au vii« siècle, était fort versé dans les Sciences exactes. Parmi celles-ci, il plaçait au premier rang les Mathématiques, considérées par lui comme le point de départ nécessaire et universel *.

Si vous faites disparaître les nombres, disait- il, tout périt. Sans la connaissance de leurs combinaisons diverses, la véritable Science devient impossible, et l'homme perd sa supériorité sur les êtres sans raison ^

i. Quatuor habet Physica divisiones : Arithmeticam, Geomelriara , Musicam et AstroDomiam. Ex his quatuor divisionibus naturaiis scientise, â^ithmetica procul dubio prima discenda est, quœ principium matrisque quodammodo ad cœteras obtinet portionem. Arithmetica enim cunctis prior est. Ex hac Deus cuncta constituit, boc est per numéros omnia elementa constituit et ordinavit. (De Computo dialogus.)

2. ToHe numerum in rébus et omnia pereunt. Adimc sssculo compu-

TTT-

Voici quelques-unes des questions posées dans un Traité dont le but était d'exercer les jeunes gens.

Proposition XVIII. — Deux hommes conduisaient des bœufs sur le chemin. Le premier dit au second : « Donnemoi deux de tes bœufs, et j'en aurai autant que tu en as. » L'autre répondit : « Et toi, donne-m'en deux des tiens : j'en aurai alors deux fois plus que tu en possèdes. » Combien chacun en avait-il * ?

Proposition XXVII. — Aux deux extrémités d'un champ long de 150 pieds, se trouvaient un lièvre et un chien. Celui-ci, ayant aperçu le gibier, s'élança à sa poursuite. D'un seul bond il franchissait neuf pieds, tandis que le lièvre d'un saut en parcourait sept seulement. On demande combien de sauts avaient faits le chien et le lièvre quand celui-ci fut pris, et à quelle distance du point de départ la capture eut lieu - ?

Proposition XXXVII. — Celle-ci rappelle Tépitaphe que le mathématicien Diophante avait ordonné de graver sur son tombeau. — Un vieillard rencontre un enfant et lui dit : « Vis, mon enfant, autant que tu as vécu, encore autant et trois fois autant. Que le Seigneur t'accorde alors une de mes années de plus, et tu seras centenaire. » Quel est Tâge de l'enfant '?

tum et cuncta ignorant ii\ cnccà complectentur, nec diiTerri possint a cœteris aniraalibus, qui calculi ncsciunt raiioncm. (lie Arithmeiicis numétis y cap. i, De Numéris.)

(. Duo homines duccbani bovcs per viain, e quibus unus dixit allcri : Da mihi boves duos, et habebo lot boves quot et tu habes. At iJJe ait : l)a milii (inquit,) et tu boves duos, et habebo dupluin quam tu habes. — Dicat qui velit quot boves fuerunl quod unuscjuisque ha huit. (De Ariihmeticis proposUionibus ad acuendos juvenes, proposit. xviii.)

'2. De campo et cane an fuga leporis. Est campus qui habet in loQgitudine pedes centum quinquagiuta. lu uno capite stabal canis et in allero lepus : promovit namque canis ille post leporem currere. Ast ubi caaîs faciebat in uno saltu pedes novem, lepus Iransmiltebat septem. — Dicat qui velit quot pedes, quolve saltus, vel canis persequcndo, vel lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, confecerint. (Op. cit., prop. xxvii.)

3. De salHtati"ne cujvsdam senis ad puerum. Quidam senior salutavit pucrum, cui dixit : Vivas, ûli, vivas (inquit,) quantum vixisti, et aliud tantuni et ter tantum ; addatque tibi Deus unum de annis meis, et implcas annos centum. Solvat qui potest, quot annorum tune tcmpore ipsc puer erat. (Op. cit., propos, xxxvii.)

Proposition XXXIV. — Il s'agit de distribuer 90 mesures de froment à 90 personnes, de façon à donner trois mesures à chaque homme, deux à chaque femme, et une demi-mesure à chaque enfant. Combien y aurait-il, parmi ces quatrevingt-dix personnes, d'hommes, de femmes et d'enfants *?

Proposition XL. — - C'est un problème analogue. — Avec cent pièces d'or, un marchand veut acheter cent animaux de diverses espèces. Avec trois pièces d'or, il peut se procurer un cheval, avec une pièce un bœuf, ou trente- trois brebis. Combien aura-t-il de brebis, de bœufs et de chevaux^?

Proposition XLIV. — C'est la recherche de la somme de la progression arithmétique constituée par la suite des cent premiers nombres naturels. — Une éciielle se compose de cent degrés : sur le premier degré se trouve une colombe; sur le second, il y en a deux; sur le troisième, trois; sur le quatrième, quatre, etc. Le nombre augmente ainsi proportionnellement jusqu'au centième degré. Combien y a-t-il de colombes en tout^?

Ces propositions et autres semblables ne renferment pas évidemment d'insurmontables difficultés; mais elles étaient seulement pour exercer l'intelligence des jeunes gens, ad acuendos juvenes.

1. De quodam patrefamilias. Quidam paterfamilias habuit familias 90, et jussit eis dare de aononà raodios 90; sic quoque jussit ut viri acciperent modios teraos, et mulieres biaos, et infantes singula semodia. — Dicat qui potest quoi viri, quot mulieres, et quot infantes fuerunt. (Op. cit., prop. XXXIV.)

2. De animalibus emptis. Voluit aliquis emere aniraalia promiscua 100 de solidis 100, ita ut equus 3 solidis emeretur, bos vero in solidum i, et 33 oves in solido i. — Dicat qui valet, quot caballi, vel quot boves, quotve fuerunt oves. (Op. cit., prop. xl.)

3. De scald ûum centum yradibus. Est scala una babens gradus 100; in primo gradu sedebat columba 1, in secundo 2, in tertio 3, in quarto 4, in quinto 5, sic in omni gradu usque ad centesimum. — Dicat qui potest quot columboB in totura fuerunt? (Op. cit., prop. xliv.)

L'ouvrage De Arithmeticis propositionibits ad acuendos juvenes, n*est peut-ôlre pas de BMe; plusieurs auteurs l'attribuent à son élève Alcuin. Cette opinion n'est pas, cependant, absolument incontestable. Mais, quoi qu'il en soit de la controverse, ce recueil a été certainement composé vers le viii» siècle. Cela suffit pour lui accorder, à juste titre, la valeur historique que nous lui reconnaissons ici.

Plus loin, nous aurons occasion [de parler des calculs astronomiques de Bède, et nous verrons que, sous ce rapport, ses connaissances étaient réellement étendues.

Récréations mathématiques des moines au moyen &ge.

Jusque dans leurs délassemeiits les moines portaient l'étude de l'Arithmétique. Il est curieux de retrouver, dans leurs œuvres, plusieurs de ces récréations mathématiques, que l'on croit généralement appartenir à une époque moins reculée.

Nous en citerons quelques-unes empruntées aux ingénieux problèmes fournis par le jeu des traversées en bateau, rendues plus ou moins difficiles par le concours de circonstances particulières.

Proposition XIX. —Un homme arrivé sur le bord d'un fleuve, devait transporter sur la rive opposée un loup, une chèvre et un paquet de choux. Mais le bateau, mis à sa disposition, était trop petit, et ne pouvait contenir, en mêiiie temps, que le batelier et Tun des trois objets. Il fallait cependant les passer de manière à ne point laisser seuls sur une rive, la chèvre et les choux, ou le loup et la chèvre, de crainte que le loup ne mangeât la chèvre, ou la chèvre ne mangeât les choux. Comment s'y prendre pour se tirer d'un aussi mauvais pas *?

Bèdo en donne la solution en ces termes : il faut d'abord passer la chèvre et laisser sur la rive le loup et le

i . De lupo et raprâ et fnsciculo cnuli. Homo quidam debebat ultra fluviunj transirc lupum et fasciculum cauli et capram, et non potuit aliam navem invenire nisi qua» duos tantum ex ipsis ferre valebat. Prœceplura itaque ci fueral ut omnia hocc ullra omnino ilLTsa transiret. Dicat qui pot est quomodo ces illopsos ultra transiret. (De Arithmeticis proposition nibus ad acuendos juvenes, prop. x(x.)

paquet de choux. Puis, on revient; on passe le loup; mais, quand celui-ci est débarqué sur l'autre rive, on ramène la chèvre : sans cela, elle serait mangée pendant l'absence du gardien. On la dépose de nouveau sur la première rive ; on prend les choux et on les porte sur la rive où le loup se trouve déjà. Puis, on revient pour reprendre la chèvre et la passer de nouveau. Ainsi le loup ne sera jamais seul avec la chèvre, ni la chèvre avec les choux. Tout danger sera donc évité ^

Voici un autre cas, plus compliqué encore. Des auteurs plus récents, en le donnant, l'ont appelé La Traversée des trois ménages.

Proposition XVIII. — Trois hommes, accompagnant chacun sa propre sœur, se rencontrent au bord d'un fleuvequ'il s*agit de passer. Le bateau, dont ils sont obligés de se servir, ne peut porter plus de deux personnes à la fois, et aucun d'eux ne consent, par bienséance, à laisser sa soeur en compagnie de Tun des deux autres, s'il n'est lui-même présçnt. On demande comment doit s^effectuer la traversée, pour que cette règle de convenance soit constamment observée *.

Le problème n'est pas des plus faciles à résoudre : il est même de nature à exercer assez longuement la sagacité des chercheurs. Pour s'en convaincre, il suffit d'essayer- soimême, avant d'avoir lu la solution.

C'est un cas de stratégie savante. Elle demande du sa-

1. De lupo et caprd solufio. Simili namque teuore ducerem prius /;&pram et dimitterem foris lupum et caulum; tuac deinde Yenircm, lupumque ultra transirem, lupoque foris misso, rursusque caprain navi receptarn ultra reducerem, capramque foras missam caulum transvehercm ultra; alque iterum remigasscm, capramque assumplam ultra duilssen. Sicquc facicote facta erit remigatio salubris absque voraginc laocralioBis. (Op. et/., solutio propositioDum.)

2. De tribus fratribus singulas sorores habentibus. Très i^itur frAlres eraot qui singulas sorores habebaut el flumen transire debeitant. Emlque unicuique illorum concupiscentia in sororcm proximi sui; qui Tcaieotcs ad fluvium non invencrunt uisi parvam naviculam in qua non potcraoi amplius nisi duo ex illis transire. Dicat qui potcst qualiter fluvium transicrunt, ut ne una quidem earum ex ipsis maculala sit. ^û;\ cit.^ prop. xviii.)

24i SAVANTS ET CHRÉTIENS

voir-faire et du coup d'œil. On ne peut réussir à tout conduire à bonne fin, sans trouver, au moment voulu, de ces combinaisons ingénieuses qui échappent quelquefois aux plus habiles.

Les anciens en avaient formulé la solution dans les quatre vers latins suivants :

It dui-lex mulUrj redit ima, vehitque manenfem;

It'^ue una, iitnntnr tniic duo puppe viri.

Par vadU, rcieunt bini; mulierque sororem

Advthit : ad propriam sive mari lus abit.

Nous donnons en note la solution de Bède. Sauf quelques légères variantes n'altérant en rien le résultat, elle est conforme à la précédente *.

On trouve dans le mOme ouvrage De Arithmeticis propo sitionibvs ad acuefidos juvenes, plusieurs problèmes de ce genre, et divers procédés curieux pour deviner un nombre pensé secrètement par une autre personne.

Ils témoignent, chez leurs inventeurs, d'une réelle habileté dans l'art des combinaisons, et ils ont exigé des connaissances assez étendues sur la Théorie de la génération des nombres.

Sans doute, les méthodes modernes sont de beaucoup plus régulières, plus savantes et, dès lors, plus parfaites. Les premières, cependant, avaient aussi leur mérite. Plu-

i. De sororibiis solutio. Primo omajum ego et soror mca ÎDlroisscmus in navim et Iransfrctasscmus uilra, traosfretatoque fluvio dimisisscm sororem de navi et reduxisscm navim ad ripam. Tune vero introisscnt sorores duorum virorum, iUorum videlicet qui ad litlus rcmanserant ; iUis ilaque feminis navi egressis, soror mea quœ prima transieral^ intraret ad me, navimque rcducerct; illa egrediente foras, duo in navi fratres intrassenl, ultraqac vcnisscnt. Tudc unus ex illis una cum sorore sua navim ingressus, ad nos Iransfretasset; ego et illc qui navigaverat, sorore mea rémanente foris, ullra venissemus; nosque ad littora veclos, una ex illis duabus quff;lihcl muHeribus, ultra navim reduceret, soror œque mea secum recepla, pariter ad nos ultra venissent; et ille cujus soror ultra remanserat navim ingressus, eam secum ultra reduceret. Tali igitur sicque sollicitante studio, facta est navigalio, nullo fuscante inquinationis coutagio. [Op. cit., solutio prop. xvni.)

LES CALCULATEURS AU MOYEN At^E 245

sieurs de nos contemporains seraient encore embarrassés par les problèmes qu'elles ont servi à résoudre.

On ne s'étonnera donc pas de voir des moines austères employer une partie de leur temps à de pareils amusements.

^ D'abord, il n'est pas défendu, même aux moines, de se

délasser un peu. Les forces humaines ont des limites, et

t l'arc toujours tendu finit par se briser. Ensuite, les récréa-

tions mathématiques de ce genre, tout en reposant Tesprit, avaient aussi pour effet de l'assouplir, et d*en aiguiser la pointe, suivant l'expression de cette époque (ad acuendos

) juveues,) Elles le disposaient ainsi aux études sérieuses,

1 en développant en lui la faculté du raisonnement.

\ Selon un mot de Leibniz, les exercices d'adresse ou de

hasard fournissent souvent l'occasion d'acquisitions précieuses dans le domaine des Sciences utiles. De toutes les combinaisons, bizarres parfois, auxquelles ils donnent lieu, se dégagent assez souvent des principes cachés, qu'on aurait cherchés ailleurs longtemps et vainement peut-être.

Dans les jeux de l'enfance, ajoute le même auteur, se rencontrent certains détails propres à arrêter les plus grands mathématiciens, s'ils voulaient en découvrir la raison dernière, et en formuler la règle avec précision.