Tiraboschi, Storia delta leU. Ualiana

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(leur, et eut une large part à leur renaissance en Europe.

Comme beaucoup d'autres avant lui, il se crut obligé de donner une nouvelle traduction d'Euclide.Maisil composa, de son propre fonds, plusieurs ouvrages étendus et d'une réelle valeur.

Quelques-uns sont écrits en italien. Voici les titres des principaux d'entre eux : Summa de Arithmetica; Geometria ; Proportioni e proportionalità ; De divina propurtione ; Libellus in très partiales tractattis divisus quorumcumque corporum regularium ; etc.

Dans la Summa de Arithmetica^ il expose les règles de fausse position simple et double ; il développe également diverses propositions importantes d'Algèbre qu'il appelle Arte maggiore. De là vint la dénomination aparté magna^ ou ars magna, donnée à l'Algèbre par Cardan et plusieurs autres auteurs.

On le voit, dans ses nombreux ouvrages de Géométrie, mener de front les considérations théoriques et les applications pratiques des principes posés. Il dit de son œuvre sur la division en moyenne et extrême raison, qu'elle est a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria.

Son enthousiasme sur les propriétés de cette division semblerait parfois exagéré ; il en détaille treize applications, et l'appelle divine.

Les uns après les autres, tous les polygones et polyèdres réguliers, ou régulièrement irréguliers, deviennent l'objet de ses études, et il en donne la figure en perspective.

Souvent il requiert le secours de l'Algèbre, et s'en sert pour la solution d'un grand nombre de questions d'ordre géométrique.

Dans beaucoup de cas aussi, il emploie la formule de Léonard de Pise sur la mesure de l'aire d'un triangle en fonction de ses trois côtés.

Som7Jieil de la Géomélrle transcendante.

Pendant presque tout le moyen âge, la Géométrie supérieure parut comme assoupie.

On attribue généralement à Pappus la connaissance d'un principe souvent cité sous le nom de Guldin, parce que celui-ci en donna le premier la démonstration au xvi® siècle seulement. Il consiste dans l'usage des centres de gravité, pour l'évaluation des figures décrites par des rotations complètes ou incomplètes.

Le passage dans lequel Pappus énonce cette proposition Qst extrêmement obscur. Il y manque des mots et des lignes même. On a donc grand'peine à trouver la suite des idées.

Les traducteurs ont toujours été obligés de l'accompagner de commentaires plus ou moins bienveillants, afin de Téclaircir. Plusieurs, oubliant qu'ils parlaient alors au nom d'un ancien, ont mis sur ses lèvres, ou sous sa plume, des expressions appartenant au langage scientifique des siècles postérieurs.

Du reste, si Pappus a réellement découvert ce théorème, il n'a pas entrepris de le prouver. Cette lacune est singulière ou significative. Maintes fois, en effet, l'occasion de la combler se présentait naturellement, quand il exposait la théorie des surfaces ou des volumes engendrés par des lignes ou des surfaces tournantes.

Le Père Guldin lui-même, tout en conservant la gloire d'en avoir donné le premier la démonstration, ne la présenta pas cependant d'une façon complète, car elle exige l'emploi dis infiniment petits.

Papi us avait également essayé la quadrature des surfaces courbi s, même des surfaces hélicoïd-es, comme celle

de la spirale sphérique et de la vis à filet carré. On voit ses théories à ce sujet dans le quatorzième livre de ses Collections mathématiques où il a étudié les spirales d'Archimède, la quadratice de Dinostrate et la conchoïde de Nicomède.

Les Sections coniques furent aussi Tobjet de ses méditations.

Au commencement du septième livre de ses Collections, il donne un extrait de Touvrage d'Apollonius. Il y transcrit l'énoncé du célèbre problème du lieu à trois, à quatre, ou à un nombre quelconque de droites.

Ce problème, vainement abordé par Euclide, avait été résolu par Apollonius. Il fut plus tard pour Descartes d'un intérêt capital. Il lui servit de point de départ, en l'aidant à concevoir le système des coordonnées, fondement de la Géométrie analytique.

Dans la théorie des Coniques Pappus précise une proposition importante, aperçue avant lui, mais laissée dans une demi-obscurité par ses prédécesseurs. Elle a trait à la constance du rapport des distances entre les divers points d'une conique et ses foyers ou la droite directrice. Il en donne une ample démonstration.

Il en arrive ainsi à assimiler les coniques aux lieux des points dont les distances à un point fixe, ou foyer, et aune droite directrice, forment un rapport constant.

Apollonius avait établi cette notion pour la parabole seulement ; Pappus, dans son livre VIP, l'étendit également à l'hyperbole et à l'ellipse.

Cela nous explique l'estime qu'ont professée, pour Pappus, Descartes et les géomètres modernes. Par sa théorie des transversales et de l'involution, par sa connaissance du théorème de Guldin sur les surfaces et les volumes de révolution, s'il n'a fait lui-même des découvertes de premier ordre, il a mis, du moins, ses successeurs en mesure d'en faire.

Mais ces successeurs sont venus seulement douze siècles après lui. Il avait posé des jalons et ouvert la voie : pendant longtemps nul ne s'y engagea.

Le moyen âge, comme nous l'avons raconté plus haut, s'occupa de Géométrie plus qu'on ne pense généralement. Toutefois, les circonstances ne permettaient pas encore Téclosion des germes déposés. On s'en tint presque toujours aux Éléments d*Euclide. Rarement on les dépassa.

C'était déjà quelque chose assurément, mais ce n'était pas tout. Il restait à fonder l'Algèbre et la Dynamique; il fallait s'élever à la Géométrie supérieure et transcendante. Comment, sans elles, aborder les grands problèmes de la Mécanique céleste, et discerner, comme le voulait Roger Bacon, les lois universelles dans la multitude des phéno mènes naturels ?

Ces grandes choses furent accomplies, mais beaucoup plus tard ; elles le furent par Viète, par Galilée, par Descartes, par Kepler et Newton.

Ceux-là furent les successeurs immédiats de Pappus, quoiqu'ils en fussent séparés par une douzaine de siècles. Ils travaillèrent sur les éléments que Pappus leur avait laissés; ils n'en eurent pas d'autres; même ils en eurent moins encore. Pendant cette nuit si longue, plusieurs documents précieux avaient, en effet, été dispersés et détruits.

Usage de la Trigonomélrie,

Chez les Hindous.

Si la Géométrie transcendante fut comme assoupie au

moyen âge, il n'en fut pas autrement de la Tiigonométrie.

lîipparque et Ptolémée avaient jeté les fondements de

l'édifice, et l'avaient élevé déjà à une grande hauteur. Après eux, nul ne travailla efficacement, soit à son développement, soit à sa perfection. Les améliorations produites durant cette série de douze siècles, furent, à peu près, insignifiantes et purement accidentelles.

On trouve dans l'opuscule du géomètre indien Aryabhata, mort vers le milieu du vi® siècle de notre ère, une table de sinus; mais il eut la singulière idée delà calculer pour des arcs de 3° V* ^^ 3° V*-

Il choisit cet arc de 3° V* po^r point de départ et pour base de sa table, non parce que l'on peut facilement l'obtenir par le calcul (il l'ignorait peut-être,) mais parce que cet kfc est de construction aisée par la règle et le compas.

Si l'on partage, en etfet, le quadrant, ou arc de 90'' en trois parties de 30^ chacune ; puis, si l'on partage, en outre,

ce même quadrant en quatre parties égales de 22° ^ ', on

aura, comme différence entre les deux premières divisions

de chaque série un arc de 7°-, dont la moitié est 3'^V4-

Ainsi la demi-corde de l'arc de 7° - sera le sinus de Tare

de ri.

Tous les sinus calculés par Aryabhata n'avaient qu'une valeur approchée, soit parce qu'il négligeait les décimales, soit parce que la formule dont il se servait manquait d'exactitude.

S'il avait cru posséder une méthode régulière, il aurait sans doute calculé tous les sinus de degré en degré. Il aurait ainsi construit une table complète. Il semble donc, ou bien n'avoir pas encore eu à sa disposition la numération décimale écrite (ce qui ne laisse pas d'être surprenant;) ou bien, n'être arrivé à sa formule d'interpolation que par des tâtonnements et par une voie détournée.

Cette même table des sinus avec ses imperfections et f-es anomalies, se retrouve dans l'Algèbre de Brahma-Gupta, qui, venu peu de temps après Aryabhata, se contenta le plus souvent de copier son. prédécesseur.

Remarquons, de nouveau, que ces deux auteurs sont les seuls parmi les Hindous dont les ouvrages soient connus.

Chez les Arabes.

Il sera facile de le constater, la Trigonométrie ne s'éleva pas à une plus grande hauteur, chez les Arabes.

Au XII® siècle, on voit encore leurs tables de sinus aller de 3° - en 3° j^. Ils semblent donc avoir subi en cela

Tintluence des Hindous, mais sans perfectionner sensiblement ce qu*ils en avaient reçu.

On constate bien, en effet, chez eux l'amélioration produite par l'usage d'employer les sinus, ou demi-cordes des arcs doubles, au lieu des cordes entières, comme le faisait Ptolémée.

La légitimité du procédé est évidente, puisque les cordes sont au diamètre, commeles demi-cordes sont au rayon. L'avantage n'en est pas moins incontestable, car il devient alors inutile de doubler les arcs pour en chercher les cordes; on peut s'en tenir aux arcs simples, et considérer la demi-corde de l'arc double.

Mais cette amélioration, nous l'avons déjà remarquée chez les Hindous du vi® siècle. Dans Touvrage d'Aryabhata, se voit déjà la table des sinus dont nous venons de l)arler précédemment.

Sous ce rapport, les Arabes n'ont donc rien inventé, nr perfectionné ; cette innovation ne leur appartient pas.

On leur doit pourtant, ce semble, l'usage des tangentes. Ils avaient eu la singulière idée de les appeler des ombres, quand ils commencèrent à s'en servir dans .le courant du X® siècle. Ils considéraient, en effet, l'un des côtés de .l'an-

gle droit comme un gnomon; l'autre devait alors tout naturellement être l'ombre projetée par celui-ci.

Lorsque, un peu plus tard, les autras lignes trigonométriques s'introduisirent dans les calculs, elles reçurent des noms analogues. La cotangente fut appelée ombre droite, la tangente gardant le nom d'ombre prime. La sécante était le diamètre de t ombre.

On eut alors des tables de sinus et de cosinus; la solution de plusieurs problèmes de Trigonométrie rectiligne et sphérique prit une forme un peu plus moderne, quoique bien des erreurs vinssent s'y mêler encore.

Mais voilà à quoi se réduit, en ces matières, la science des Arabes, dont on a tant parlé, surtout parmi les ennemis de l'Église.

L'introduction des sinus dans la Trigonométrie est due aux Hindous. Celle des tangentes et des cotangentes appartient peut-ttre aux Arabes ; mais elle ressort si naturellement de l'usage des sinus, que le mérite n'en est pas grand, surtout si Ton remarque qu'il leur a fallu de six à sept cents ans pour réaliser ce progrès. Est-ce là réellement un trait de génie?

Leurs ardents avocats se gardent bien de dire la vérité tout entière. Ces prétendus savants arabes dont on a tant vanté la largeur de vue, la perspicacité et la sûreté de jugement, étaient tous astrologues et alchimistes.

Us admettaient les cieux cristallins, composés de sphères transparentes, en nombre plus ou moins grand, enchâssées les unes dans les autres, animées de deux ou trois uwuvements chacune, et portant les astres accrochés à leurs parois. Ils tiraient des horoscopes, et croyaient, en outre, à l'influence des étoiles ou des comètes sur la destinée des hommes et des nations.

Dans l'étude des éléments constitutifs des corps, ils n'apportaient guère plus de sagesse ou de bon sens. Ils cherchaient tous l'élixir de longue vie, la panacée universelle, ou la pierre philosophale. Ils espéraient pouvoir, un jour, changer tout en or, guérir toutes les maladies, et se rendre immortels.

Sous ce rapport, ils conservaient des illusions enfantines ; leur imagination les emportait très loin dans les régions du rêve, et ils étaient d'une extrême crédulité.

Certains auteurs cachent avec soin ce côté défectueux, quand ils parlent des Arabes; mais ils ne cessent de le reprocher sur tous les tons à TÉglise, quand ils parlent des Chrétiens.

Il était bon de démasquer cette duplicité dans la manière d'écrire l'Histoire.

Ce qui est dû aux Arabes en Trigonométrie se réduit donc à peu de chose.

Chez les Chrétiens d'Occident.

Les Chrétiens du moyen âge peuvent en cela soutenir également la comparaison.

Assurément Gerbert a connu cette Science, quoique des traités de lui, sur ce sujet, ne nous soient point parvenus.

Comment en douter, si l'on considère l'étendue et la profondeur des ouvrages de Géométrie, qu'il composa, néanmoins, selon son propre témoignage, uniquement pour des commençants ? Il s'excuse auprès des savants de res- |

ter ainsi dans les limites restreintes de la Science, et montre bien qu'il aurait pu faire incomparablement mieux, s'il l'avait cru nécessaire ou utile.

Nous avons parlé plus haut de Campanus, chapelain du pape Urbain IV, au xni« siècle.

Pourrait-on mettre en doute ses vastes connaissances "j

en Trigonométrie rectiligne et sphérique, lorsque, dans son Commentaire sur VAlmagcste, on le voit critiquer Ptolémée, reprendre à nouveau les immenses calculs d'Hip-

parque, et redresser les erreurs de ces fondateurs de TAstronomie mathématique ?

Il corrige leurs données sur les révolutions de la Lune et du Soleil, comme sur le mouvement des signes du zodiaque. Aurait-il pu le faire, s'il n'avait été familiarisé avec leurs méthodes, et s'il en avait ignoré les perfectionnements ?

Ses écrits sur la quadrature de$ courbes supposent aussi des notions sur TxVnalyse transcendante.

On doit en dire autant du cardinal de Cusa, né en 1401. Prédécesseur de Copernic et de Galilée, il combattit le premier parmi les modernes Thypothèse de Timmobilité de la Terre au centre du monde, il travailla efficacement à faire prévaloir le système héliocentrique.

Ses ouvrages de Mathématiques, de Géométrie et d'Astronomie sont une preuve manifeste de l'étendue ^raiment remarquable de ses connaissances scientifiques.

La quadrature du cercle fut, pendant assez longtemps, l'objet de ses études. Jl composa sur ce sujet des Traités adressés ensuite au pape Nicolas V. D'après Walis et Pascal, il aurait connu la Cvcloïde.

Dans le même siècle, fleurit le géomètre Purbach, né en 1423. Il ne vécut malheureusement que 38 ans.

Professeur à Ferrare, à Bologne, à Padoueet à Vienne, il y enseigna successivement, et avec grand succès, l'Astronomie et les Mathématiques.

Un de ses amis les plus dévoués et de ses protecteurs les plus puissants, fut l'illustre cardinal Bessarion. Celuici avait apporté de Constantinople un grand nombre de manuscrits grecs dune haute valeur scientifique, et avait lui-même commencé à traduire la Syntaxe ou Almagcste dePtolémée, parce qu'il n'était pas content des traductions latines faites jusqu'alors.

D'après ses conseils et avec Taide de ses lumières, Purbach corrigea les traductions qu'on avait de Ptolémée. Il fit disparaître les inexactitudes trop nombreuses dont elles

276 SAViLXTS ET CHRÉTIENS

étaient souillées^ et reconstitua la pureté du t^xte primitif.

Puis, il composa lui-même plusieurs ouvrages traitant des calculs astronomiques, entre autres: Theorias iiovœ Pla-uMaxnxA;, Tabulas eclipsium; Tractatus super propositiones Ptolexmœi de, Sinibus et Chordis. Il y donne une méthode d'interpolation pour la construction des Tables de Sinus, calculées par lui directement de minute en minute.

Il dressa également une Table des Tangentes. Dans un quart de cercle;, il en calcula jusqu'à 2400, grûce à sou carré géamétrique> conception très ingénieuse et fort utile pour répoque où il vivait.

Mort à la fleur de l'âge, Purbach laissa toutefois un autre lui-même : c'était llégiomontanus, de son vrai nom Jean Mûller.

Ami, lui aussi, du cardinal Bessarion. il vint professer ôQ Italie. Le pape Sixte IV le protégea ; il le nomma à l'évôehé de Ratisboune, et songea à lui confier la réforme du Calendrier.

Régiomontanus acheva la traduction de la Syntaxe mathématique de Ptolémée, commencée par Purbach. Il l'annota en entier, l'enrichit de lumineux commentaires, et dans tous les. calculs de l'ancien astronome substitua les sinus aux cordes^

Par lui furent redressées la plupart des erreurs de Ptolémée et de ses successeurs, principalement sur l'obliquité de. l'écliptique et sur la longueur exacte de Tannée. Les Tasbks alphousines également furent révisées, et reçurent de notables améliorations.

Dans un autre ouvrage, tout entier de sa main, et intitulé JooaulU de Monte Regio tabulas directionum profectionumque. il publie plusieurs Tables calculées par lui. C'est, d'abord, celle des déclinaisons des astres pour tous les degrés de l'édiptique et pour toutes les latitudes; ensuite, c'est la Table deti Tangentes pom* tous les degrés du quadrant. Cette ilet'nière Table, fruit de travaux persévérants et de longues

veilles reçut de lui le nom de table féconde. Il sut en tirer parti, et fat le premier, en Europe, à se servir de ces Tignes trigonométriques.

Sa principale œuvre cependant fat un grand Traité de Trigonométrie rectiligne et sphérique en cinq livres : Joannis Begiomontani de Triangulis plants et sphericis Libri quinque^ una cum Tabula sinimm.

C'est un ouvrage complet et le plus ancien de TOccîdent. Il fut alors d'une extrême importance, et, même à notre époque, il présente encore de Tintérêt. Il y résolvait, en se servant de l'Algftbre du second degré, combinée avec la Trigonométrie, un grand nombre de problèmes utiles et difficiles.

L'auteur continua ce Traité en y ajoutant un autre volume in-folio, intitulé : Fundamenta operationum quœ fiunt per Tabtilam généraient.

A l'occasion du passage d'une comète, il composa un Traité des parallaxes, et exposa le moyen de déterminer les éléments des orbites cométaires : Problemata xvi De Cornets^ longitndiney magnitudine et loco vero. Ses procédés sont théoriquement exacts, et Tycho-Brahé en fit quelquefois usage.

Ces vastes connaissances lui avaient permis de perfectionner les Tables astronomiques de la Lune; il en indiqua dans son Kalendarium, et pour l'espace d'un demi-siècle, les phases de chaque mois, les longitudes, celles de son nœud, celles du Soleil, et la figure des éclipses.

Il fut alors en mesure d'écrire des Éphémérides astronomiques pour un temps illimité. Il en publia sous ce titre : Joannis Regiomontani Ephemerides astronomie^ ab anno 1475 ad annum 1506.

Elles furent le premier ouvrage de ce genre. Leur succès fut immense. Leur grand retentissement les fit considérer comme des modèles; elles furent ainsi le prélude des nombreux Annuaires publiés dans la suite par les sociétés savantes et les observatoires des diverses nations.

La liste des ouvrages mathématiques de Régiomontanus ne s'arrête pas là. Dans de nombreuses lettres très intéressantes, recueillies après sa mort par Théophile de Mur, sont

résolus beaucoup de problèmes de Trigonométrie pure ou appliquée à TAstronomie. Il y traite également de la Géométrie et de l'Algèbre.

Il fut assez heureux pour retrouver dans la bibliothèque du Vatican les six premiers Livres de TAIgèbre de Diophante. Il se proposait de les traduire et de les publier, quand il aurait découvert les sept autres.

Malheureusement Régiomontanus, comme son maître Purbach, mourut dans la force de l'âge, avant d'avoir fourni toute la carrière promise par de si beaux débuts. Il avait quarante ans à peine. Son corps fut inhumé à Rome, au Panthéon.

Cette mort imprévue Tempôcha de mettre au jour ses Commentaires sur Archimede et son Recueil de problèmes astronomiques et géométriques.

L'Europe n'avait pas encore produit un astronome et un mathématicien de ce mérite. S'il eût vécu quelques années encore, il aurait certainement laissé dans la Science des ti-aces ineffaçables.

On peut le considérer comme le trait d'union entre deux époques séparées par douze à quinze siècles : celle d'Hipparque ou de Ptolémée, et celle de Copernic ou de Kepler.

La liste de ses nombreux ouvrages témoigne, à la fois, et de l'étonnante activité de son esprit, et de l'étendue de ses connaissances scientifiques.

Plein d'ardeur au travail et de sagacité dans les recherches, il aurait voulu réformer toutes les Tables astronomiques. Dans ce but, il avait fait tous les préparatifs nécessaires, acheté ou construit les instruments utiles, et commencé une série d'observations.

Ni l'intelligence, ni l'énergie, ne lui faisaient défaut. Il était homme à réaliser cette entreprise, mais le temps lui manqua.

Presque à la même époque, vivait un autre géomètre chrétien, Jean Werner. Né à Nuremberg en 1468, il vint tout jeune en Italie.

Comme tous les astronomes d'alors, il se crut obligé de débuter par des Commentaires sur Ptolémée. Il écrivit ensuite sur les Coniques, et fit un Traité de Trigonométrie en cinq livres.

Ces divers ouvrages furent réunis dans une grande collection imprimée à Nuremberg. Le titre en était : Opéra mathematica.

On lui attribue l'invention de la prostaphérèse. Cette ingénieuse méthode a joui d'un crédit universel auprès de tous les calculateurs et de tous les astronomes, jusqu'à la découverte des logarithmes. En effet, elle réussissait, dans bien des cas, à simplifier les opérations; par suite, elle les rendait plus rapides, et, le plus souvent, écartait bien des causes d'erreur.