OU U

• A rencontre des Hébreux, les Grecs avaient la coutume de poser à gauche des chiffres les plus faibles les chiffres les plus forts, par exemple pia', 41; oî', 74; pÇe', 163. Ils ne connaissaient pas l'usage du zéro, inutile, puisque chaque chiffre indiquait l'ordre d'unités représenté par lui. Ainsi, par exemple, le nombre 809 s'exprimait simplement parwO'.

Pour certains cas, assez rares du reste, comme pour le dénombrement des chants d'un poème, on n'intercalait pas les trois signes^supplémentaires. Chaque lettre avait alors la valeur tirée de son ordre de classement dans Talphabet ; par exemple, ca valait 24 au lieu de 800.

Dans les inscriptions, ils employaient encore un autre système. Ils se servaient alors des initiales des noms de nombre. L'unité était représentée par I (initiale de la, pour jAla, un;) cinq par TT (de nsyre;) dix par A (de Aexa;) cent par H de Hxàrov;) mille par X (de Xaioi;) et dix mille par M (de Mupioi.)

Ces lettres étaient susceptibles d'être redoublées, et quand on renfermait dans un n une d'elles, on quintuplait sa va-

leur. Pour 100.000 on écrivait M dans un A, et pour 1.000.000 M dans un H.

Mais ce procédé, un peu trop compliqué, n'était pas commode pour les' usages de la vie et pour les opérations numériques. On lui préférait donc celui de l'alphabet complet, tel que nous l'avons exposé plus haut.

On marquait d'un point au-dessus, ou d'un petit accent à droite, les lettres numérales, afin de ne pas les confondre avec les signes purement alphabétiques. Toutefois, dans les nombres composés de plusieurs chiffres, on se contentait d'accentuer la lettre de droite.

Pour exprimer les neuf premiers nombres de mille, les Grecs reprenaient les neuf premières lettres avec un iota souscrit, ou une virgule à côté. Ils auraient pu se servir des dix-huit signes suivants avec ce même iota souscrit, pour les dizaines et les centaines de mille, et continuer ainsi indéfiniment avec deux, trois... iota, pour les millions, les milliards, les trillions... mais ils n'y songèrent pas, n'ayant jamais l'occasion d'opérer sur des nombres si élevés.

Pour les fractions, les Grecs écrivaient le numérateur à côté du dénominateur, mais un peu en haut, comme une sorte d'exposant. Si le numérateur était l'unité, on le représentait par une apostrophe.

La Numération'»

Jusqu'au iii« siècle avant notre ère, leur numération ne s'étendit pas au delà de dix mille, c'est-à-dire d'une myriade.

Archimède pensa, le premier, à dépasser ce terme ; mais, au lieu de la prolonger comme nous venons de l'indiquer,

ce qui eût été la méthode la plus simple, il considéra la myriade comme une unité nouvelle. Sur cette base, il assit un système trop compliqué encore, et destiné à être abandonné par ses successeurs.

Voici à quel propos il fut amené à compléter la nomenclature numérique des Grecs. Il le fit dans un livre intitulé VArénaire^ et dédié à Gélon, fils de Hiéron, roi de Syracuse, parent d'Archimède lui-même.

C'est, dans Tordre chronologique, un des derniers ouvrages du grand géomètre, mais non l'un des moins remarquables, quoique l'auteur, en le composant, ne poursuivit aucun résultat pratique.

Ses contemporains, précisément à cause de l'imperfection de leur Arithmétique, croyaient incommensurable le nombre de grains de sable dont se compose le globe terrestre. Ils le supposaient infini, comme certains matérialistes de notre époque disent infini le nombre des étoiles constituant l^s nébuleuses dont le ciel physique est peuplé.

Archimède sentit de prime abord la fausseté de cette conception. Il voulut montrer que le nombre infini ne saurait être réalisé dans la nature, et pourrait tout au plus» d'une certaine façon, exister dans Tesprit.

A cet effet, il entreprit de calculer non seulement le nombre de grains de sable composant le globe terrestre, mais celui qui serait nécessaire pour remplir une sphère dont la Terre serait le centre, et dont la circonférence s'étendrait jusqu'à l'orbite du Soleil.

L'illustre géomètre attribuait au méridien terrestre une longueur de trois cents myriades de stades environ, la stade valant cent vingt-cinq pas. Le diamètre du Soleil lui paraissait être trente fois celui de la Terre; enfin, il donnait à la sphère, ayant la Terre pour centre et l'orbite du Soleil pour limite, un diamètre d'environ cent myriades de myriades de stades.

Il possédait ainsi tous les éléments de calcul, pour évaluer le nombre de grains de sable contenus dans cette sphère immense. Mais, pour un nombre aussi colossal, la

numération si restreinte des anciens Grecs n'était pas suffisante. Il fallait évidemment la compléter.

Archimède y travailla. Son système est assez ingénieux, mais il manque de régularité. Le voici, tel qu'il l'expose lui-même dans VArénaire.

Prenant la numération là où elle s'arrêtait, c'est-à-dire à la première myriade, il considéra celle-ci comme unité, et la répéta dix mille fois. Il eut ainsi le carré de la myriade, ou 100.000.000 d'unités simples.

Il appelait nombres premiers ceux qui vont jusqu'à cette première myriade de myriades. Celle-ci, à son tour, devenait l'unité des nombres seconds, qui comptaient jusqu'à dix mille myriades de myriades de la seconde espèce, ou de myriades carrées.

De même, une myriade de myriades de second ordre, formait l'unité des nombres troisièmes qui, de cette façon, servaient à compter les myriades à la troisième puissance. Il poursuivait ainsi jusqu'aux nombres huitièmes. Ces huit ordres de nombres, ou, si l'on veut, ces huit puissances de myriades, formaient la première période, nommée aussi première octade.

La seconde période était conçue d'une manière identique. L'unité de ses nombres premiers était le nombre le plus élevé de l'octade précédente. Elle avait aussi ses nombres seconds, troisièmes... et huitièmes, après lesquels commençait la troisième période, et ainsi de suite indéfiniment.

Comme on le voit, la régularité de l'ensemble laissait à désirer; il y avait là une complication inutile, et les séries successives auraient pu être mieux ordonnées.

Archimède trouva que le nombre de grains de sable contenus dans la sphère étudiée, ne monterait pas à mille unités des nombres septièmes. Certes, ce n'était point là l'infini.

Mis en goût par ce premier résultat, il chercha de même le nombre de grains de sable contenus dans une sphère ayant la Terre pour centre et s'étendant jusqu'aux étoiles fixes. Le nombre devait être prodigieux, ce semble ; mais cependant il s'élevait, à peine, aux unités du soixante-quatrième terme de son échelle numérique.

Évidemment, ce n'était point là encore l'infini. Il y avait dans cette démonstration rigoureuse de quoi confondre assurément ceux qui jugent des grands nombres par l'imagination.

Si l'on est en droit de reprocher à cette nomenclature du géomètre grec un défaut manifeste de simplicité et de régularité, on ne pourrait cependant l'accuser de manquer de valeur : elle renferme en germe le principe de la théorie des logarithmes.

Malgré ses imperfections, elle porte donc l'empreinte incontestable du profond génie d'Archimède.

Au lieu de calculer directement le nombre de grains de sable contenus dans la sphère proposée, l'auteur de VArénaire se contente de fixer dans quel rang se trouvent les plus hautes unités de ce nombre : c'est, en réalité, chercher la partie entière du logarithme de ce nombre. Sa numération, en effet, est une progression indéfinie de termes continuellement proportionnels à partir de l'unité.

Nous l'avons déjà dit, ce système ne fut jamais admis dans la pratique.

Un demi -siècle après Archimède, un de ses plus illustres successeurs, le géomètre Apollonius de Perga, essaya de prolonger, lui aussi, la numération, mais en la simplifiant.

Il commença par réduire de moitié les périodes ou octades d'Archimède ; puis, il eut l'idée d'adopter pour les myriades supérieures la notation de la première myriade. Les nombres trop considérables se trouvaient ainsi divisés en groupes ou tranches de quatre chifl'res au plus.

La séparation des groupes s'établissait par des points à partir de la droite. La première tranche indiquait les unités ; il pouvait y en avoir jusqu'à 9,999. La seconde tranche, en allant vers la gauche, désignait les myriades ; la troisième, les carrés de myriades, et ainsi de suite.

Dans les opérations, Apollonius, au lieu de se servir des vingt-sept lettres de l'alphabet, aurait voulu n'employer que les sept premières. Celles-ci, outre leur valeur nominale ou absolue auraient eu également une valeur relative,

OU valeur de position. C'eût été là une simplification fort utile.

Il semblait, dès lors, qu'il n'y eût plus qu'un pas à faire pour en arriver à notre système actuel si régulier et si commode. Il suffisait d'accomplir sur les simples dizaines, ce qu'Apollonius avait fait pour les myriades, ou dizaines de mille.

Toutefois ce progrès si important, suite naturelle des perfectionnements déjà réalisés, allait exiger encore un long espace de siècles.

Nous reparlerons de cette question plus bas, quand nous traiterons dfi l'Histoire des Mathématiques au Moyen Age.

Il nous suffira de remarquer, ici, l'influence capitale exercée sur les développements de la Science des nombres, par le système de notation numérique et de numération employé chez les divers peuples. Plus ce système a offert de simplicité et de facilité pour les combinaisons des valeurs particulières, plus la Science des Mathématiques a progressé rapidement.

A quelle cause, en effet, pourrait-on attribuer l'infériorité que nous allons constater chez les Grecs et les Romains, sous ce rapport, si ce n'est à l'imperfection manifeste de leur système de numération ?

La nôtre est vraiment admirable, et néanmoins elle nous paraît si simple maintenant, que chacun se croirait capable de l'inventer, si elle n'existait pas encore. Nous y sommes habitués dès notre enfance. Il nous semblerait impossible de calculer autrement que par elle ; et cependant, pour la trouver, il a fallu des prodiges de génie et des siècles de travail.

2d SAVANTS ET CHRÉTIENS

Les Opérations fondamentales.

Diversas causes qui ont empêché longtemps le perfectionnement

de la Science des nombres. '

Après les considérations précédentes sur la numération des anciens^ il ne sera pas besoin de longs développements pour donner une idée nette de leur Arithmétique. Elle fut naturellement très incomplète.

Nous ne dirons rien des peuples qui se contentaient de compter sur leurs doigts, ou à l'aide de coquilles et de petites pierres *. Ils ne pouvaient pas assurément aller bien loin.

Les nécessités journalières et les échanges commerciaux familiarisèrent de bonne heure les hommes avec les opérations fondamentales de l'Arithmétique, au moins dans leurs cas les plus simples.

L'invention de la Table de multiplication contenant tous les produits des neuf premiers nombres, est attribuée à Pythagore, qui vivait au vi® siècle avant J.-C. Maintenant encore elle porte son nom.

Mais jusqu'au iv« siècle, c'est-à-dire jusqu'à Aristarque de Samos, et même jusqu'à Archimède (m' siècle), on ne trouve dans les écrits des géomètres grecs aucune trace d'opérations numériques. Ils ne paraissent pas en avoir senti l'utilité, ni avoir soupçonné aucun rapport pos-

1 . Le souYenir de cet usage s'est conservé, d'après plusieurs étjmologistes, dans le nom par lequel les Romains désignèrent la Science des nombres, le Calcul, de calculus, caillou. Certains auteurs cependant trouvent cette étymologie plus ingénieuse que vraie.

sîble entre elles et les spéculations géométriques auxquelles, cependant, ils s'étaient déjà livrés avec tant d'ardeur et de succès.

Comment auraient-ils supposé entre ces deux genres d'études une relation quelconque? La Science des nombres était encore si dénuée de clarté, si embrouillée dans ses expressions, si embarrassée dans sa marche I Elle semblait condamnée à une stérilité presque totale, à cause de la difficulté de ses procédés.

Aussi raisonnèrent-ils seulement sur les grandeurs concrètes, lignes, surfaces, volumes, poids, temps, etc. ; jamais ils ne le firent sur leurs valeurs abstraites, mesures ou nombres représentant ces grandeurs.

Ils étaient capables de calculer celles-ci avec une approximation suffisante ; mais leur méthode différant de la nôtre leur suggérait une manière de s'exprimer toute particulière. Ils ne disaient point, comme nous, par exemple : L'aire d'un rectangle s'obtient en multipliant la mesure de sa base par celle de sa hauteur ; ou : La surface d'un cercle est la moitié du produit de la mesure de sa circonférence par celle de son rayon ; ou encore : La superficie d'une sphère égale le produit des mesures de la circonférence d'un grand cercle et d'un diamètre.

Mais ils disaient : La surface d'une sphère est égale à celle d'un cylindre dont la base serait un grand cercle et la hauteur un diamètre ; celle d'un cercle égale celle d'un triangle qui aurait pour base la circonférence, et pour hauteur le rayon ; un rectangle est à un autre comme sa base est à une quatrième proportionnelle à trois lignes, représentant respectivement la hauteur du premier rectangle, et la base et la hauteur du second.

Cette façon de parler provenait de leur habitude de ne pas séparer assez les idées abstraites des objets eux-mêmes. Les Sciences mathématiques, à leur naissance, se confondant encore avec les phénomènes du monde sensible, conservaient trop la forme concrète.

Les premiers géomètres ne surent pas s'affranchir de ces liens naturels ; aussi, privée de l'abstraction qui seule pou-

vait lui permettre de se développer, la Science des nombres végéta longtemps, et resta pendant plusieurs siècles à peine ébauchée.

Un autre obstacle s'opposait à son perfectionnement : celui des quantités incommensurables. Pour les grandeurs croissant d'une manière continue et par degrés insensibles, il est certains états qui ne sauraient être représentés exactement par des nombres, quand ceux-ci désignent des unités communes à divers genres de grandeurs, comme stades, pas, coudées, pieds, palmes, doigts, etc.

En devenant mathématiciens à de telles conditions, les anciens géomètres auraient craint de n'aboutir qu'à des valeurs approchées. Toutes leurs spéculations leur auraient donc paru fausses.

Ces considérations suffisaient, pour les faire renoncer à l'idée de raisonner sur les mesures des grandeurs, plutôt que sur les grandeurs elles-mêmes. D'ailleurs, cette idée ne leur était pas venue, car ils n'en virent jamais l'utilité.

La notion de nombre étant donc absolument étrangère à leurs préoccupations', il y eut séparation complète entre la Géométrie et l'Arithmétique. Celle-ci, presque entièrement abandonnée, dut se développer indépendamment, et ne gagna point à demeurer seule dans son propre domaine. Elle fit peu de progrès, et n'a laissé presque aucune trace dans l'Histoire de cette époque ^

Les nombres n'étaient employés dans les ouvrages scientifiques d'alors qu'au numérotage des propositions. Ils s'y rencontraient donc d'une façon très accessoire, toujours comme entiers, et jamais comme fractionnaires.

Au contraire, les expressions de proportions, de rapports, ou plutôt de raisons entre plusieurs grandeurs données, s'y voyaient à chaque page et presque à chaque ligne. Les géomètres savaient mettre ces raisons ou rapports sous une multitude de formes différentes, afin de transformer les proportions, et de les faire servir à des usages variés. Ils

i. Les Grecs semblent avoir eu, dans ces temps reculés, Phabitude de. ■lîomnie iccr généralement leurs opérations par la gauche.

avaient les raisons composées d'autres raisons, la raison doublée, triplée, sesquialtère, etc. *

Premières manifestations de la Science des nombres.

Comme nous l'avons déjà dit, c'est seulement vers le III® ou IV® siècle avant J.-C. que le calcul numérique commença à devenir l'auxiliaire des recherches scientifiques. Cependant cette innovation due à Aristarque de Samos et à Archimède (dans l'Arénaire) eut pour cause des considérations d'ordre astronomique : elle ne fut pas nécessitée par la Géométrie elle-même.

Ces grands hommes avaient désiré connaître le rapport des distances de la Terre à la Lune et au Soleil; puis, celui de la circonférence au diamètre. Mais ces quantités dont ils cherchaient la raison, étaient liées, l'une à l'autre, par des lois beaucoup plus compliquées que celles dont jusque-là on avait eu occasion de s'occuper.

Auparavant, pour les problèmes de ce genre, et dans les cas les plus simples, on divisait mécaniquement une des grandeurs en un certain nombre de parties égales, et Ton examinait combien de fois une de ces parties était contenue dans l'autre grandeur. On découvrait ainsi leur raison ou rapport.

Un procédé aussi élémentaire ne pouvait évidemment conduire qu'à des à peu près.

Maintenant les opérations mécaniques ne répondaient plus aux besoins de la Science. Il était urgent d'introduire en Géométrie un facteur nouveau. L'abstraction pénétra

i. Ils disaient, par exemple, deux rectangles sont entre eux en raison composée des bases et des hauteurs.

donc dans la Science des grandeurs concrètes, non toutefois sans beaucoup de restriction et de parcimonie.

La méthode de calcul' numérique en fut alors à ses premiers débuts. Ils consistaient en de longs tâtonnements, propres à conduire seulement à des résultats approximatifs.

Comme Ton manquait encore de procédés réguliers, on essayait des nombres alternativement trop forts et trop faibles. Si l'un d'eux fournissait une solution exacte, on s'en tenait là. Dans le cas contraire, on prenait la moyenne des deux résultats les plus approchés : elle était comme la limite vers laquelle convergeaient les valeurs étudiées.

Archimède enseigna une autre méthode dans son Traité de la Mesure du Cercle. Il trouva pour le rapport de la circonférence au diamètre, ou ?:, une valeur égale au triple du diamètre, augmenté d'une portion du diamètre plus petite

que le z, ou les ;^^. et plus grande que les ^ de ce mt^me

diamètre ^

Il y parvint en considérant la circonférence comme la limite vers laquelle tendent les périmètres d'un polygone régulier inscrit et d'un polygone régulier circonscrit, dont le nombre des côtés augmente indéfiniment.

Partant de Thexagone, il calcula successivement jusqu'aux polygones inscrits et circonscrits de 96 côtés. Ces opérations lui donnèrent pour valeur approchée un peu

moins de -y du diamètre. Exprimée en décimales, cette

valeur revient à 3,1428. Elle comporte, en plus, une erreur de treize dix-millièmes.

Plus tard, mais longtemps après, à la fin du xvi« siècle, c'est-à-dire près de deux mille ans après le grand géomètre de Syracuse, Adrien Métius, poursuivant ces mêmes calculs,

obtint pour :: la fraction -j| ou 3,1413920. Celte expression ne manque d'exactitude qu'à la septième décimale, avec une erreur, en moins, de deux dix-millionièmes. Le rapport de la circonférence au diamètre étant un

i. De la Mesure du Cercle, Proposition UI.

nombre incommensurable ne peut être évalué que par approximation; mais rien n'empêche de pousser cette approximation aussi loin qu'on le veut. Archimède aurait pu continuer : il ne le fit pas, n'en voyant pas la nécessité.

Aussi cherchait-il non pas précisément le rapport de la circonférence au diamètre, mais la raison entre ces deux grandeurs, et pour lui ce n'était pas tout à fait la même chose. Il y a une raison entre elles, car elles varient proportionnellement; mais comme il n'y a pas de nombre capable d'exprimer cette raison avec une absolue rigueur, essayer de la calculer aurait semblé alors un problème absurde.

Pendant longtemps encore la raison et le rapport devaient rester deux concepts différents. ^

Cette valeur de w, dont la connaissance nous paraît maintenant indispensable, est la chose à laquelle eût tout d'abord pensé Archimède, s'il eût été astronome, car elle lui eût été d'un usage quotidien. Comme il était, avant tout, géomètre, ce fut la dernière dont il se préoccupa.

A la fin de sa vie seulement, son attention fat attirée de ce côté, quand il voulut savoir le volume de la sphère dont le rayon s'étendait du centre de la Terre à celui du Soleil.

. Jusqu'à ce moment, il s'était contenté de comparer entre eux les volumes et les surfaces de diverses figures. Jamais il n'avait cherché à évaluer directement les mesures de ces surfaces et de ces volumes : il lui avait suffi de réussir à établir des équivalences, en imaginant des surfaces et des volumes plus simples que ceux qu'il étudiait, mais en même temps identiques en grandeur.

En introduisant ainsi dans la Géométrie théorique les recherches des rapports numériques entre des quantités liées, les unes aux autres, par des lois un peu compliquées, il ouvrit une ère nouvelle. Les côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle, sont évidemment des cordes et des tangentes à ce cercle; mais leur rapport au rayon est le plus souvent incommensurable.

La méthode inaugurée par Archimède devait permettre,

plus tard, à ses successeurs de construire les tables des

cordes des arcs d'un cercle rapportées au rayon, ou, en d'autres termes, les tables des raisons de ces cordes au rayon du cercle.

Vers le second siècle avant J.-C, tous ces germes commencèrent à se développer et à porter leurs fruits.

Les procédés pour l'évaluation numérique de certaines grandeurs géométriques se perfectionnèrent de plus en plus. On n'en était pas encore à remplacer les raisonnements sur les grandeurs par des considérations analogues sur leurs mesures. On envisageait toujours les grandeurs elles-mêmes. L'expression de leur relation recevait d'abord une forme concrète. Mais quand la construction des figures devenait impossible, à cause des dimensions trop fortes ou trop petites des valeurs cherchées, on savait lui substituer l'évaluation numérique.

Susceptible d'une approximation plus grande, cette méthode réduisait de beaucoup les erreurs inévitables dans la construction des figures. Néanmoins, là encore, par défaut de régularité dans la marche à suivre , les Grecs étaient contraints de se livrer à toute une série de tâtonnements.

Ce n'était donc pas précisément un progrès de la Géométrie, mais un rapprochement entre elle et la Science des nombres. Ce rapprochement devait, tout d'abord, profiter plus à celle-ci qu'à celle-là.

Découverte de la théorie des opérations fondamentales.

A l'occasion des spéculations géométriques faites sur les grandeurs concrètes, les anciens découvrirent la théorie de la multiplication, de la division et de l'extraction des racines.

L'inspection des figures leur avait révélé que le produit

d'une somme par un nombre, se compose de tous les produits partiels obtenus en multipliant les diverses parties de cette somme par le nombre donné. Du reste, la multiplication des nombres est, en définitive, la recherche d'une quatrième proportionnelle à trois grandeurs représentées respectivement par l'unité, le multiplicateur et le multiplicande

Ils avaient vu, de môme, que, pour diviser une somme, on peut diviser séparément ses parties, et ajouter les quotients. La division, étant l'inverse de la multiplication, revient, elle aussi, à la recherche d'une quatrième proportionnelle à trois grandeurs représentées par le diviseur, le dividende et l'unité.

Quant aux racines carrées, jusqu'au ii« et iii^ siècle après J.-C, on n'avait su les extraire que par tâtonnements, en essayant successivement des carrés ou trop grands • ou trop petits.

On savait toutefois, depuis fort longtemps, construire géométriquement une moyenne proportionnelle entre deux grandeurs données; mais on n'avait pas songé, ou on n'avait pas réussi, à en tirer parti pour établir une théorie au sujet de l'évaluation numérique des racines. Cependant la racine carrée d'un nombre entier, carré parfait, est bien la mesure d'une moyenne proportionnelle entre deux grandeurs représentées respectivement par ce nombre et par l'unité.

Depuis très longtemps aussi, il y avait dans la Géométrie ancienne un problème resté célèbre. C'était celui de la duplication du cube, consistant à chercher le côté d'un cube double en volume d'un cube donné. Il avait suggéré à Hippocrate de Chios, au v« siècle avant J.-C, l'idée de l'insertion de deux moyennes proportionnelles entre deux grandeurs représentant les deux volumes connus.

C'était vouloir résoudre géométriquement, et par un procédé compliqué, l'équation si simple, x^ = 2; d'où x = racine cubique de 2.

Les géomètres avaient, en effet, découvert que le côté du cube cherché serait la première de ces deux moyennes pro-

portionnelles ; mais il leur fallut de longs siècles pour apercevoir aucun rapport entre cette proposition et l'extraction de la racine cubique. Celle-ci est bien la mesure de la première de deux moyennes proportionnelles insérées entre deux grandeurs dont Tune est exactement le double de Kautre.

S'ils avaient su extraire cette racine, le problème eût été d'une extrême simplicité, tandis que la méthode géométricpje, pour ce cas, multipliait les obstacles. Afénechme, au ly* siècle avant J.-C, était encore obligé de recourir à Tin- •tersection de deux paraboles ayant leur sommet commun, ou bien à l'intersection d'une parabole et d'une hyperbole.

Théon d'Alexandrie, qui vécut près de huit cents ans pjus tard, vers le iv« siècle de notre ère, donna le premier un procédé régulier pour Textraclion de la racine carrée : a'est celui dont on se sert encore aujourd'hui.

11 le découvrit, en considérant le théorème d'Euclide relatif au carré construit sur une ligne divisée en deux parties inégales. Ce carré total se compose, comme l'on sait, du oarré construit sur la première partie, du carré construit sur la seconde, et de deux fois le rectangle ayant pour côtés les deux parties de la ligne ainsi divisée.

Dès lors, Théon devina que le carré de la somme de deux nombres contient le carré du premier, plus le carré du second, plus le double produit du premier par le second *.

Ce ne fut donc pas la Géométrie qui fut perfectionnée par l'Arithmétique, mais l'Arithmétique qui le fut par la Géométrie.

1. L*expression puissance fut également fournie aux mathémaiicieDs par les géomètres. Ceux-ci, pour exprimer qu'une ligne renfermait telle eu telle superficie, disaient qu'elle pouvait tel ou tel espace.

Convergence des spéculations de la Géométrie et. des recherches

mathématiques.

Ainsi, pea à peu, la Science des nombres se constitasât par V application de la Géométrie à t Arithmétique, ou à F Algèbre (ce dernier mot étant pris dans son sens le plus large.)

Dans les temps modernes, grâce à Descartes, et par Vapplication féconde de C Algèbre à la Géométrie, la Science des nombres ou des valeurs abstraites, devait rendre à la Science des lignes, des surfaces et des volumes, le service qu'elle en avait reçu quinze cents ans auparavant.

Telles furent donc les diverses phases de cette évolution intéressante et curieuse :

Les travaux des géomètres et des mathématiciens soitt, d'abord, totalement étrangers les uns aux autres ; il en est ainsi pendant une dizaine de siècles, à partir des temps historiques.

Puis, trois ou quatre cents ans après notre ère, on commence à s'apercevoir, mais sans en être bien assuré, que ces deux genres de recherches pourraient, parfois peut-être, se prêter un mutuel secours.

Après cette découverte hypothétique, il faut encore attendre jusqu'à la Renaissance des Lettres et des Science», c'est à-dire pendant onze ou douze siècles, pour que cette conformité de but, soupçonnée à peine, soit clairement constatée, et que l'union devienne complète. Tantx molis eratl

A qui faut-il attribuer ce long retard dans cette révolution si importante pour les Sciences mathématiques? Faut-il en rendre responsables les hommes ou les méthodes? Les géomètres de cette époque manquèrent-ils de la pénétration suffisante? ou bien, engagés dans une mauvaise direction^

38 SAVANTS ET CBRÉTIENS

leur fut-il impossible de s'apercevoir, si ce n'est très tard, qu'ils faisaient fausse route?

Ces hommes s'appellent Archimède, Apollonius de Perga, Ëuclide, Hipparque, etc. Leurs noms et les ouvrages admirables dont ils sont les auteurs, nous sont parvenus entourés d'une auréole de gloire justement méritée. Qui donc oserait les accuser d'avoir manqué de clairvoyance, alors qu'il faut leur concéder le génie ?

Leur méthode était-elle défectueuse? Elle contenait cependant en germes les progrès futurs, et, par elle, ils posèrent les bases de l'Analyse infinitésimale. Pourquoi n'ontils pas fait, eux-mêmes, ce que Descartes fit ensuite avec tant de succès? Après s'être tant approchés du but, pourquoi ne l'ont-ils pas atteint ? Un pas de plus, aurait suffi.

Souvent les petites causes engendrent les grands effets. Nous en avons ici un exemple entre mille. Il manquait peu de chose aux anciens géomètres ; pourtant ce peu de chose, dans l'espèce, était beaucoup. La méthode était bonne, mais l'instrument était débile.

Il leur eût fallu une numération régulièrement constituée et s'étendant, non seulement aux entiers, mais aux nombres fractionnaires à des degrés illimités.

Us savaient assurément représenter par des nombres les diverses grandeurs concrètes, longueurs, surfaces, volumes, etc.; ils n'étaient pas embarrassés, pour évaluer en nombres les aires des polygones et les volumes des polyèdres. Ils possédaient à ce sujet des moyens pratiques pour les cas simples ; mais ils ne connaissaient pas les formules théoriques des mesures.

En tela, comme en bien d'autres choses, la pratique précéda de longtemps la théorie.

Comment s'en étonner? Les praticiens opéraient, d'après les besoins journaliers de la vie ordinaire, sur des objets apparents et, par suite, toujours faciles à saisir. Les théoriciens, au contraire, cherchaient des formules rationnelles, c'est-à-dire des relations générales entre les divers éléments de figures plus ou moins complexes.

Des expériences nombreuses et souvent répétées sur

une multitude d'exemples particuliers, leur étaient indis- *^ pensables pour s'élever à ce degré d'abstraction. Or, si l'on veut y réfléchir, on verra combien il devait leur être malaisé d'apercevoir distinctement ce but à atteindre, et, par conséquent, d'y faire converger leurs efforts.

L'imperfection de leur numération les empêchait de concevoir comme possibles ces formules générales. N'allaient-ils point, à chaque pas, se heurter aux obstacles toujours renaissants des nombres incommensurables ou irrationnels? Comment, en effet, trouver des formules générales pour des quantités qui n'ont pas de commune mesure, à moins que celle-ci ne soit infiniment petite ?

Il leur aurait fallu, pour cela, une numération s'étendant aux fractions décimales qui permettent de pousser l'appro* ximation indéfiniment, et d'exprimer, aussi exactement qu'on le veut, le rapport de deux grandeurs incommensurables, quoique cette exactitude réelle soit inaccessible. Mais dans le courant du moyen âge seulement, le système décimal de numération fut introduit en Europe, et, avec lui, les formules générales de mesures.

Ces deux inventions inséparables l'une de l'autre et dues probablement aux Hindous, excitèrent en Occident la môme admiration.

Il y a loin, en effet, de l'unité pratique et concrète, toujours bien déterminée dans une collection d'objets visibles, à l'unité théorique, abstraite, arbitraire même, et servant à exprimer hypothétiquement en nombres toutes les grandeurs susceptibles d'entrer dans une môme recherche.

Cette différence nous explique pourquoi les anciens, tout en sachant représenter par des nombres les diverses grandeurs, afin de les évaluer dans les cas particuliers, n'ont pas cru nécessaire ou utile de transporter la notion des mesures dans leurs spéculations purement géométriques.

wvwr^.

Divagations pythagoriciennes au sujet de la Philosophie

des nombres.

Intuitions de Pythagore sur la Physique mathématique*

Au lieu de s'occuper des abstractions fécondes, mais difficiles, les arithméticiens préférèrent prendre une voie de beaucoup moins ardue. Frappés par quelques propriétés plus ou moins certaines des nombres, les esprits médiocres portèrent de ce côté leur attention, dans Tespoir d'y faire des découvertes. Ils en firent, mais ce furent des découvertes discutables en théorie, et, le plus souvent, d'une utilité nulle en pratique.

Depuis longtemps, les Pythagoriciens attribuaient aux nombres'^une sorte de force occulte. Ils leur supposaient le pouvoir chimérique de régir l'Univers.

Une bonne partie de leurs idées philosophiques reposaient sur ce fait qu'il y a cinq polyèdres réguliers, et qu'il ne saurait y en avoir davantage, chacun d'eux dépendant d'un des cinq éléments entrant dans la constitution du Monde. Le cube provenait delà terre; la pyramide, du feu; l'octaèdre, de l'air; l'icosaèdre, de l'eau; et le dodécaèdre, de Téther.

On trouve ces doctrines déjà exposées dans les ouvrages de Philolaûs de Crotone, qui vivait au v* siècle avant J.-C. Il est le premier à nous avoir transmis par écrit les renseignements de l'école, si fameuse depuis, à laquelle il appartenait.

Les Mathématiques, dont les disciples de Pythagore fai-

saient une de leurs occupations principales, leur paraissaient tenir le premier rang dans les Sciences. Elles étaient la base de la doctrine cachée à laquelle les nouveaux adeptes n'étaient initiés, qu'après une longue préparation de quatre ou cinq ans, passés dans la retraite, l'abstinence, le silence et la méditation.

On leur révélait, alors, que tous les phénomènes de la nature s'expliquent par des combinaisons géométriques et par l'influence des nombres, ceux-ci étant réellement les principes, la source et la raison de toutes choses.

Le fondateur de cette secte, vraie société secrète à l'origine, avait été conduit à créer cette curieuse doctrine sur les nombres, précisément par le vice naturel à la méthode que nous avons signalé plus haut. Il considéra toujours l'unité d'une façon concrète, et ne réussit point à^l'abstraire des objets extérieurs avec lesquels il la confondait.

De plus (autre cause d'obscurité,) en parlant des principes des choses, il ne distinguait pas suffisamment les causes efficientes des éléments primitifs, et les lois productrices des rapports symétriques existant entre les parties constitutives.

Remarquant, d'un côté, la facilité avec laquelle les notions arithmétiques ou géométriques se combinent ensemble, d'une façon de plus en plus complexe; d'autre part, apercevant dans le monde physique une foule de lois et de propositions d'ordre géométrique et numérique, admirablement unies dans ce tout harmonieux auquel lui-même donna le nom de cosmos, il ne put s'empêcher d'opérer un rapprochement.

De cette synthèse naquit sa Philosophie des nombres.

Les lois physiques ou positives auxquelles sont soumis les éléments matériels, ne portent pas en elles leur explication; au contraire, les lois mathématiques dont elles dépendent, ont toujours un caractère d'évidence intrinsèque. Pythagore voulut donc trouver dans celles-ci l'explication rationnelle de tous les phénomènes de la nature.

D'après lui, chaque être est donc un nombre. L'ensemble des êtres est une combinaison de nombres; en d'autres

termes, un nombre plus grand, émané de Tunité suprême. Ainsi, tout se développe, grandit, se perfectionne, s'agite et vit dans des rapports harmonieux.

Cette conception est séduisante : la Science moderne s*en est emparée, l'a rajeunie, et nous la présente comme la plus conforme aux résultats de ses immenses travaux et de ses merveilleuses découvertes.

Pythagore eut donc là un éclair de génie. Sa gloire eût été plus grande, s'il avait su en tirer parti davantage.

Mais il s'arrêta aux premières conséquences immédiates ; puis, il s'égara dans des voies détournées.

Le premier, parmi les Grecs, il avait posé les fondements de la Philosophie corpusculaire. Les êtres matériels, à son avis, étaient composés de particules très petites, douées d'un mouvement local. L'hypothèse des atomes, attribuée faussement à Démocrite, remonte donc plus haut.

Détail curieux, et qui révèle chez Pythagore une véritable intuition : la couleur ne lui paraissait pas être une réalité objective, mais une perception de l'œil, due aux mouvements déterminés par les corps diversement modifiés.

Erreurs de Pythagore et de ses disciples.

Voici maintenant où il se perdit, et où on ne peut plus le suivre : ce fut dans les régions obscures de la Métaphysique, cette mer si longtemps inconnue et si féconde en naufrages.

L'unité et le nombre pair, disait-il, subsistent éternellement. De leur union est né le nombre impair, et du mélange de ces deux nombres résultèrent toutes choses.

L'unité, c'est Dieu, Être suprême et immuable, car Tu-

nité multipliée par elle-même donne toujours Tinvariable unité. De Dieu découlent toutes choses, car l'unité engendre tous les nombres, et cause leurs innombrables combinaisons.

Le nombre pair, c'est le néant, ou plutôt le chaos.

Si Ton comprend assez facilement pourquoi l'unité représente Dieu, il est plus malaisé de saisir pourquoi le néant est symbolisé par le nombre deux. Peut-être, est-ce parce que celui-ci est exactement divisible, tandis que l'unité ne Test pas.

Il y a donc là une différence radicale. L'unité est l'image de l'Être éternel, immuable, simple et parfait; mais la dyadey étant composée et divisible, est, par là même, le contraire absolu de TÈtre immuable et suprême : c'est le néant en face de l'être essentiel ; c'est le principe passif opposé au principe agissant; c'est la matière première, l'informe chaos opposé à l'esprit.

L'unité s'unissant au nombre pair, c'est Dieu opérant sur le chaos, et par la création appelant tous les êtres à l'existence. Le nombre impair, produit de cette union, c'est l'être créé. Il tient à la fois de l'Être suprême et du non-être. Indivisible comme l'unité, mais moins simple qu'elle, car il renferme en soi le nombre pair, il n'est qu'un être partiel, secondaire et contingent.

Ainsi se forme la triade^ nombre mystérieux, réunissant en lui les propriétés des deux premiers : c'était le type de Pharmonie.

Comme conséquence de ces considérations, l'unité et le nombre impair étaient pour les Pythagoriciens, quoique à des titres différents, le symbole du vrai et du bon, du bien et du juste, de l'honnêteté et de l'ordre; le nombre pair, au contraire, était le signe du faux et du mal, de l'injustice et du vice, du désordre et de la confusion.

La justice était définie : Un nombre plusieurs fois semblable à lui-même. N'est-elle pas établie, en effet, sur l'inflexible égalité?

On pouvait inférer des principes précédents qu'il n'y a <iu'un seul être secondaire ou créé, comme il n'y a qu'un

seul Être suprême, ou Créateur ; mais l'unité se mélangeant de mille façons différentes au nombre pair, les êtres créés varient infiniment.

Le nombre quatre, tétrade ou quaternaire, quoique pair méritait l'estime et le respect, car étant le premier carré parfait dans la série des nombres, il représente la première puissance mathématique. On faisait à ce propos une foule de remarques subtiles, ingénieuses, ou chimériques, toutes à la louange de la tétrade.

N'y avait-il pas quatre éléments?— tantôt on en trouvait cinq. — N'y avait-il pas quatre espèces de quantités : points, lignes, surfaces et volumes? N'y avait-il pas quatre qualités des corps : le chaud et le froid, l'humide et le sec ? etc., etc. En Musique même, ce nombre magique régnait souverainement : sans lui ni symphonie harmonieuse, ni régulière mélodie.

Quant au nombre cinq, il était l'emblème du mariage. — Pourquoi? demandez-vous. — Eh I n'est-il pas composé du premier nombre pair, et du premier nombre impair, c'està-dire du principe passif et du principe actif? Vous n'y aviez donc pas songé?...

Le nombre six est aussi rangé parmi les parfaits, car la somme de ses facteurs est égale à leur produit : 1. 2. 3 = 1 + 2 + 3=6. Les Pythagoriciens l'appelaient, à cause de cela, le nombre nuptial. Si les enfants ressemblent à leurs père et mère, c'est à lui qu'ils en sont redevables.

Pour les anciens, le nombre sept était sacré ; mais les applications multipliées qu'ils en faisaient étaient fondées sur une connaissance inexacte de l'Astronomie. Ils croyaient qu'il y avait seulement sept planètes dans le ciel. Aussi les Egyptiens s'étaientils divisés en sept castes; leur Thèbes avait sept portes, et leurs pyramides sept chambres. La fête du bœuf Apis durait sept jours, comme celle d'Adonis, chez les Grecs. Il y avait sept cordes à la lyre d'Apollon, et sept tuyaux à la flûte de Pan, etc., etc.

Il est curieux que ce nombre sept ait été ainsi en honneur durant toute l'anli juité, dans la mysticité comme dans la cabale et l'astrologie ; chez les Perses et chez les

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Juifs; chez les Égyptiens et chez les Grecs ; chez les Japonais et chez les Indiens.

Pythagore se garda bien de s'écarter d'une tradition à ce point vénérable.

Le nombre huit est aussi fort remarquable, car c'est le premier cube. N'y a-t-il pas, d'ailleurs, huit grands Dieux, maîtres des autres?

Vennéadey ou nombre neuf, est le premier carré des nombres impairs. Symbole de la fragilité des choses humaines, il inspirait une crainte salutaire ; aussi tâchait-on de l'éviter, lui et ses multiples, surtout quatre-vingt-un, produit de neuf multiplié par lui-même.

Enfin, dans la décade, qui ramenait à l'unité, se résumaient toutes les qualités des nombres précédents. Elle représentait donc l'ensemble des merveilles de la nature. C'était, en outre, un signe de paix, parce que, disait-on, quand deux amis se rencontrent, ils se serrent la main, et mettent ainsi leurs dix doigts en contact. C'est là évidem ment une raison péremptoire.

Telle était, à peu près, la doctrine de Pythagore. Non seulement ses disciples l'acceptèrent avec enthousiasme et confiance, mais dans la suite ils renchérirent encore sur renseignement du maître. Ils s'avancèrent dans la même voie, et, comme ils n'avaient pas de motifs de s'arrêter, les conceptions les plus chimériques eurent le privilège d'attirer davantage leur attention.

Chez eux, la Science des nombres consista, dès lors, en de simples jeux de mots et en de véritables extravagances.

D'un esprit plus ingénieux que profond, ils mirent tout leur plaisir à combiner les nombres en séries particulières, dont ils étudiaient avec soin les propriétés vraies ou fausses. Leurs efforts ne tendaient, ni plus haut, ni plus loin.

On comprend qu'en présence de ces aberrations singulières et bizarres des mathématiciens de profession, les géomètres aient éprouvé un réel mépris pour des spéculations aussi vaines. Ils ne daignèrent pas s'en occuper, et n'y firent aucune allusion dans leurs écrits.

Frappés par la grandeur des découvertes dues au génie

d'Archimède, d'Apollonius, d'Euclide, etc., ils ne souffrirent jamais d'être appelés mathématiciens. Ce nom résonnait mal à leurs oreilles.

Les arithméticiens, au contraire, auraient bien voulu paraître géomètres. Ils ne négligèrent rien dans ce but, et leur empruntèrent une foule de leurs expressions.

Ils divisèrent les nombres, non seulement en pairs et impairs, ou en impairement pairs, et pairement impairs, mais en plans et solides, en carrés et oblongs, en triangulaires et pyramidaux, en polygonaux de toutes les espèces, en circulaires et sphériques, en parfaits, abondants et déficients, ou paraboliques, hyperboliques et elliptiques.

Ces dénominations curieuses étaient fondées sur des relations gratuitement supposées entre ces diverses classes de nombres et les figures géométriques, jouissant de propriétés particulières et déterminées.

Mais ce culte à outrance des nombres figurés n'était, ni de la Géométrie, ni de l'Arithmétique. C'était un passetemps lenfantin, dénué de tout intérêt sérieux. Ces considérations d'apparence philosophique ne consistaient qu'en rapprochements forcés, en principes discutables, en déductions illogiques, en conclusions ridicules et fausses.

En se confinant dans des inanités de ce genre, les mathématiciens rêveurs de l'école de Pythagore en étaient arrivés, sous le rapport de la Science des nombres, à une véritable atrophie de l'intelligence.

Les géomètres s'en étaient aperçus, et le savaient fort bien. Aussi se gardèrent-ils de marcher sur leurs traces. Ils n'avaient nulle envie de dépenser tant d'efforts pour aboutir à de si pauvres résultats.

La Philosophie mathématique de Pythagore dans l'École Platonicienne et chez les Pères de F Église.

Platon et saint Augustin*

Dans l'ancienne Philosophie cependant, ces divagations pythagoriciennes sur les qualités occultes des nombres, jouèrent pendant longtemps un rôle d'une certaine importance. De grands esprits eux-mêmes furent séduits.

Le divin Platon y avait trouvé le germe de ses idées premières, ou prototypes.

Le nom du fondateur de l'Académie était un précieux appiii pour les sectateurs.de Pythagore. Us pouvaient Tinvoquer comme une garantie de la justesse de leurs vues, car Platon était à la fois philosophe et géomètre, ayant, un des premiers, étudié avec soin les sections coniques. Guidé par lui, Speusippe, son neveu et son successeur dans la direction de l'Académie, avait composé un Traité des Nombres. Sous un tel patronage les idées pythagoriciennes acquirent encore plus de faveur. Grâce à l'école néo-platonicienne, elles furent remises en honneur durant les premiers siècles de notre ère. Pendant une partie du moyen âge, elles régnèrent aussi, beaucoup plus qu'on ne le pense communément. Elles se glissèrent jusque dans la Philosophie chrétienne et dans la Mystique, soit divine, soit diabolique. On connaît Tadmiration de saint Augustin pour Platon, snivant le mot de Thomassin : Quidquid a Platone dicitur, vivtt in Augustino *. A l'exemple de son maître, le fils de