LES DÉFINITIONS MATHÉMATIQUES ET L*ENSEIGNEMENT

celui-ci par exemple : Deux points différents déterminent toujours une droite, qui est suivi de ce commentaire : au lieu de déterminent^ nous pouvons dire que la droite passe par ces deux points^ ou qu^elte ioint ces deux points^ ou que les deux points sont situés sur la droite. Ainsi, « être situé sur une droite » est simplement défini comme synonyme de « déterminer une droite ». Voilà un livre dont je pense beaucoup de bien, mais que je ne recommanderais pas à un lycéen. Au reste, je pourrais le faire sans crainte, il ne pousserait pas la lecture bien loin.

J'ai pris des exemples extrêmes et aucun maître ne pourrait songer à aller aussi loin. Mais, même en restant bien en deçà de pareils modèles, ne s'exposet-il pas déjà au même danger ?

Nous sommes dans une classe de 4"*; le professeur dicte : le cercle est le lieu des points du plan qui sont à la même distance d'un point intérieiir appelé centre. Le bon élève écrit cette phrase sur son cahier; le mauvais élève y dessine des bonshommes; mais ni Tun ni Tautre n'ont compris; alors le professeur prend la craie et trace un cercle sur le tableau. « Ah! pensent les élèves, que ne disait-il tout de suite : un cercle c'est un rond, nous aurions compris. » Sans doute, c'est le professeur qui a raison. La défl^nition des élèves n'aurait rien valu, puisqu'elle n'aurait pu servir à aucune démonstration, et surtout puisqu'elle n'aurait pu leur donner la salutaire habitude d'analyser leurs conceptions. Mais il faudrait leur montrer qu'ils ne comprennent

pas ce q\i*'û& croient comprendre, les amener à se rendre compte de la grossièreté de leur concept primitif, à désirer d'eux-mêmes qu'on l'épure et le dégrossisse.

4> Je reviendrai sur tous ces exemples ; j'ai voulu seulemeat vous^ montrer les deux conceptions opposées; il y a entre elles un violent contraste.^ Ce contraste, rhistoire de la science nous l'explique. Si noms lisons un livre écrit il y a cinquante ans,, la plupart des raisonnements que nous y trouverons nous sembleront dépourvus de rigueur.

On admettait à cette époque qu'une fonction continue nti peut changer de signe sans s'annuJer; on le démontre aujourd'hui. On admettait que les règles ordinaires du calcul sont applicables aux nombres incommensurables, on le démontre aujourd'hui. On admettait bien d'autres choses qui quelquefois étai'ent fausses.

On se fiait à l'intuition ; mais l'intuition ne peut nous donner la rigueur, ni même la certitude, on s'en est aperçu de plus en plus. Elle nous apprend par exemple que toute courbe a une tangente, c'està-dire que toute fonction continue a une dérivée, et cela est faux. Et comme on tenait à la certitude, il a fallu faire de plus en plus petite la part de riaiuitioj?v

Commuât s'est faite cette évolution nécessaire? On n'a pas taurdé à s'apercevoir que la rigueur ne pourrait pas s'établir dans les raisonnements, si on ne la fai^t entrer d'abord dans les définitions.

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Longtemps les objets dont s'occupent les mathématiciens étaient mal définis; on croyait les connaître parce qu'on se les représentait avec les sens ou l'imagination, mais on n'en avait qu'une image grossière et non une? idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise.

C'est là que les logiciens ont dû porter leurs efforts. Ainsi pour le nombre incommensurable.

L'idée vague de continuité, que nous devions à l'intuition, s'est résolue en un système compliqué d'inégalités portant sur des nombres entiers. C'est ainsi que se sont définitivement évanouies toutes ces difficultés qui effrayaient nos pères, quand ils réfléchissaient aux fondements du calcul infinitésimal.

Il ne reste plus aujourd'hui en analyse que des nombres entiers, ou des systèmes finis ou infinis de nombres entiers, reliés par un réseau d'égalités et d'inégalités.

Les mathématiques, comme on Ta dit, se sont arithmétisées.

5. Mais croit-on que les mathématiques aient atteint la rigueur absolue sans faire de sacrifice? Pas du tout, ce qu'elles ont gagné en rigueur, elles i^OBt perdu en objectivité. C'est en s'éloignant de la réalité qu'elles ont acquis cette pureté parfaite. On peut parcourir librement tout leur domaine, autrefois hérissé d'obstacles, mais ces obstacles n'ont pas disparu. Ils ont seulement été transportés à la frontière et il faudra les vaincre de nouveau si l'on

veut franchir cette frontière pour pénétrer dans le royaume de la pratique.

On possédait une notion vague, formée d'éléments disparates, les uns a priori^ les autres provenant d'expériences plus ou moins digérées; on croyait en connaître, par l'intuition, les principales propriétés. Aujourd'hui on rejette les éléments empiriques en ne conservant que les éléments a priori; c'est Tune des propriétés qui sert de définition et toutes les autres s'en déduisent par un raisonnement rigoureux. C'est très bien, mais il reste à prouver que cette propriété, qui est devenue une définition, appartient bien aux objets réels que Texpérience nous avait fait connaître et d'où nous avions tiré notre vague notion intuitive. Pour le prouver, il faudra bien en appeler à l'expérience, ou faire un effort d'intuition, et si nous ne pouvions le prouver, nos théorèmes seraient parfaitement rigoureux, mais parfaitement inutiles.

La logique parfois engendre des monstres* Depuis un demi-siècle on a vu surgir une foule de fonctions bizarres qui semblent s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées, etc. Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont les plus générales, celles qu'on rencontre sans les avoir cherchées n'apparaissent plus que .comme un cas particulier. Il ne leur reste qu'un tout petit coin.

Autrefois, quand on inventait une fonction nou-

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velle, c'était en vue de quelque but pratique; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela.

Si la logique était le seul guide du pédagogue, ce serait par les fonctions les plus générales, c'est-àdire parles plus bizarres, qu'il faudrait commencer. C'est le débutant qu'il faudrait mettre aux prises avec ce musée tératologique. Si vous ne le faites pas, pourraient dire les logiciens, vous n'atteindrez la rigueur que par étapes.

6. Oui, peut-être, mais nous ne pouvons faire aussi bon marché de la réalité, et je n'entends pas seulement la réalité du monde sensible, qui a pourtant son prix, puisque c'est pour lutter contre elle que les neuf dixièmes de vos élèves vous demandent des armes. Il y a une réalité plus subtile, qui fait la vie des êtres mathématiques, et qui est autre chose que la logique.

Notre corps est formé de cellules et les cellules d'atomes; ces cellules et ces atomes sont-ils donc toute la réalité du corps humain? La façon dont ces cellules sont agencées, et d'où résulte l'unité de l'individu, n'est-elle pas aussi une réalité et beaucoup plus intéressante?

Un naturaliste qui n'aurait jamais étudié l'éléphant qu'au microscope croirait-il connaître suffisamment cet animal?

Il en est de même en mathématiques. Quand le logicien aura décomposé chaque démonstration en

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une foule d'opérations élémentaires, toutes correctes, il ne possédera pas encore la réalité tout entière; ce je ne sais quoi qui fait Tunité de la démonstration lui échappera complètement.

Dans les édifices élevés par nos maîtres, à quoi bon admirer l'œuvre du maçon si nous ne pouvons comprendre le plan de l'architecte? Or, cette vue d'ensemble, la logique pure ne peut nous la donner, c'est à rintuition qu'il faut la demander.

Prenons par exemple f idée de fonction continue. Ce n'est d'abord qu'une image sensible, un trait tracé à la craie sur le tableau noir. Peu à peu elle s'épure; on s'en sert pour construire un système compliqué d'inégalités, qui reproduit toutes les ligDCS de rimage primitive ; quand tout a été terminé, on a décintré^ comme après la construction d'une voûte; cette représentation grossière, appui désormais inutile, a disparu et il n'est resté que l'édifice lui-même, irréprochable aux yeux du logicien. Et ^pourtant, si le professeur ne rappelait l'image primitive, s'il ne rétablissait mom.entanément le cintre^ comment l'élève devinerait-il par quel caprice toutes ces inégalités se sont échafaudées de cette façon les unes sur les autres? La définition serait logiquement correcte, mais elle ne lui montrerait pas la réalité véritable.

T. Nous voilà donc obligés de revenir en arrière; sans doute il est dur pour un maître d'enseigner ce qui ne le satisfait pas entièrement ; mais la satisfaction du maître n'est pas Tunique objet de l'en-

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seignement ; on doit d'abord se préoecaiper de ce qu'est Tesprit de l'élève et de ce qu'on veut qu'il devienne.

Les zoologistes prétendent que le développement embryonnaire d'un animal résume en un temps très court toute l'histoire de ses ancêtres des temps géologiques. Il semble qu'il en est de même du développement des esprits. L'éducateur doit faire repasser l'enfant par où ont passé ses pères; plus rapidement mais sans brûler d'étape. A ce compte, l'histoid^e de la science doit être notre premier guide.

Nos pères croyaient savoir ce que c'est qu'une fraction, ou que la continuité, ou que l'aire d'une surface courbe; c'est nous qui nous sommes aperçus qu'ils ne le savaient pas. De même nos élèves croient le savoir quand ils commencent à étudier sérieusement les mathématiques. Si, sans autre préparation, je viens leur dire : « Non, vous ne ie savez pas; ce que vous croyez comprendre, vous ne le comprenez pas ; il faut que je vous démontre ce qui vous semble évident », et si dans la démonstration je m'appuie sur des prémisses qui leur semblent moins évidentes que la conclusion, que penseront ces malheureux? Ils penseront que la science mathématique n'es|» qu'un entassement arbitraire do subtilités inutiles; ou bien ils s'en dégoûteront; ou bien ils s'en amuseront comme d'un jeu et ils arriveront à un état d'esprit analogue à celui des sophistes grecs.

Plus tard, au contraire, quand l'esprit de l'élève, familiarisé avec le raisonnement mathématique, se

sera mûri par cette longue fréquentation, les doutes naîtront d'eux-mêmes et alors votre démonstration sera la bienvenue. Elle en éveillera de nouveaux, et les questions se poseront successivement à Tenfant, comme elles se sont posées successivement à nos pères, jusqu'à ce que la rigueur parfaite puisse seule le satisfaire. Il ne suffit pas de douter de tout, il faut savoir pourquoi l'on doute.

'8. Le but principal de renseignement mathématique est de développer certaines facultés de T esprit et parmi elles l'intuition n'est pas la moins précieuse. G*€st par elle que le monde mathématique reste en contact avec le monde réel et quand les mathématiques pures pourraient s'en passer, il faudrait toujours y avoir recours pour combler l'abîme qui sépare le symbole de la réalité. Le praticien en aura toujours besoin et pour un géomètre pur il doit y avoir cent praticiens.

L'ingénieur doit recevoir une éducation mathématique complète, mais à quoi doit-elle lui servir? à voir les divprs aspects des choses et à les voir vite; il n'a pas le temps de chercher la petite bête. Il faut que, dans les objets physiques complexes qui s'offrent à lui, il reconnaisse promptement le point où pourront avoir prise les outils mathématiques que nous lui avons mis en main. Comment le ferait-il si nous laissions entre les uns et les autres cet abîme profond creusé par les logiciens ?

9. A côté des futurs ingénieurs, d'autres élèves, moÎDs nombreux, doivent à leur tour devenir des

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maîtres ; il faut donc qu'ils aillent jusqu'au fond ; une connaissance approfondie et rigoureuse des premiers principes leur est avant tout indispensable. Mais ce n'est pas une raison pour ne pas cultiver chez eux Tintuition; car ils se feraient une idée fausse de la science s'ils ne la regardaient jamais que d'un seul côté et d'ailleurs ils ne pourraient développer chez leurs élèves une qualité qu'ils ne posséderaient pas eux-mêmes.

Pour le géomètre pur lui-même, cette faculté est nécessaire, c'est par la logique qu'on démojitre, c'est par l'intuition qu'on invente. Savoir critiquer est bon, savoir créer est mieux. Vous savez reconnaître si une combinaison est correcte; la belle affaire si vous ne possédez pas fart de choisir entre toutes les combinaisons possibles. La logique nous apprend que sur tel ou tel chemin noias sommes sûrs de ne pas rencontrer d'obstacle ; elle ne nous dit pas quel est celui qui mène au but. Pour cela il faut voir le but de loin, et la faculté qui nous apprend à voir, c'est l'intuition. Sans elle, le géomètre serait comme un écrivain qui serait ferré sw: îa grammaire, mais qui n'aurait pas d'idées. Or, comment cette faculté se développerait-elle, si dès qu'elle se montre on la pourchasse et on la proscrit, si on apprend à s'en défier avant de savoir ce qu'on en peut tirer de bon.

Et là, permettez-moi d'ouvrir une parenthèse pour insister sur l'importance des devoirs écrits. Les compositions écrites n'ont peut-être pas assez de place dans certains examens, à l'École polytec^h-

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nique, par exemple. On me dit qu'elles fermeraient la porte à de très bons élèves qui savent très bien leur cours, qui le comprennent très bien, et qui pourtant sont incapables d'en faire la moindre application. J'ai dit iâtii à l'heure que le mot comprendre a plusieurs sens : ceux-là ne comprennent que de la première manière, et nous venons de voir que cela ne suffit ni pour faire un ingénieur, ni pour faire un géomètre. Eh bien, puisqu'il faut faire un choix, j'aime mieux choisir ceux qui comprennent tout à fait.

10. Mais Tart de raisonner juste n'est-il pas aussi une qualité précieuse, que le professeur de mathématiques doit avant tout cultiver? Je n'ai garde de Toublier; on doit s'en préoccuper et dès le début. Je serais désolé de voir la géométrie dégénérer en je ne sais quelle tachymétrie de bas étage et je ne souscris nullement aux doctrines extrêmes de certains Oberlehrer allemands. Mais on a assez d'occasions d'exercer les élèves au raisonnement correct, dans les parties des mathématiques où les inconvénients que j'ai signalés ne se présentent pas. On a de longs enchaînements de théorèmes où la logique absolue a régné du premier coup et pour ainsi dire tout naturellement, où les premiers géomètres nous ont donné des modèles qu'il faudra constamment imiter et admirer.

C'est dans l'exposition des premiers principes qu'il faut éviter trop de subtilité; là elle serait plus rebutante et d'ailleurs inutile. On ne peut tout démontrer et on ne peut tout définir; et il faudra

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toujours emprunter à Tintuition; qu'importe de le faire un peu plus tôt ou un peu plus tard, ou même de lui demander un peu plus ou un peu moins, pourvu qu'en se servant correctement des prémisses qu'elle nous a fournies, nous apprenions à raisonner juste.

11. Est-il possible de remplir tant de conditions opposées ? Est-ce possible en particulier quand il s'agit de donner une définition? Comment trouver un énoncé concis qui satisfasse à la fois aux règles intransigeantes de la logique, à notre désir de comprendre la place de la notion nouvelle dans l'ensemble de la science, à notre besoin de penser avec des images? Le plus souvent on ne le trouvera pas, et c'est pourquoi il ne suffît pas d'énoncer une définition ; il faut la préparer jet il faut la justifier.

Que veux-je dire par là? Vous savez ce qu'on a dit souvent : toute définition implique un axiome, puisqu'elle affirme l'existence de l'objet délîni. La définition ne sera donc justifiée, au point de vue purement logique, que quand on aura démontré qu'elle n'entraîne pas de contradiction, ni dans les termes, ni avec les vérités antérieurement admises.

Mais ce n'est pas assez ; la définition nous est énoncée comme une convention ; mais la plupart des esprits se révolteront si vous voulez la leur imposer comme convention arbitraire. Ils n'auront de repos que quand vous aurez répondu à de nombreuses questions.

Le plus souvent les définitions mathématiques.

comme Ta montré M. Liard, sont de véritables constructions édifiées de toutes pièces avec des notions plus simples. Mais pourquoi avoir assemblé; ces éléments de cette 'façon quand mille autres assemblages étaient possibles? Est-ce par caprice? Sinon, pourquoi cette combinaison avait-elle plus de droits à l'existence que toutes les autres? A quel besoin répondait-elle? Comment a-t-on prévu qu'elle jouerait dans le développement de la science un rôle important, qu'elle abrégerait nos raisonnements et nos calculs? Y a-t-il dans la nature quelque objet familier, qui en est pour ainsi dire Timage indécise et grossière?

Ce n'est pas tout; si vous répondez à toutes ces questions d'une manière satisfaisante, nous verrons bien que le nouveau-né avait le droit d'être baptisé; mais le choix du nom n'est pas non plus arbitraire ; il faut expliquer par quelles analogies on a été guidé et que si l'on a donné des noms analogues à des choses différentes, ces choses du moins ne diffèrent que par la matière et se rapprochent par la forme ; que leurs propriétés sont analogues et pour ainsi dire parallèles.

C'est à ce prix qu'on pourra satisfaire toutes les tendances. Si l'énoncé est assez correct pour plaire au logicien, la justification contentera l'intuitif. Mais il y a mieux à faire encore ; toutes les fois que cela sera possible, la justification précédera l'énoncé et le préparera; on sera conduit à l'énoncé général par l'étude de quelques exemples particuliers.

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Autre chose encore : chacune des parties de renoncé d'une définition a pour but de distinguer Kobjet à définir d'une classe d'autres objets voisins. La définition ne sera comprise que quand TOUS aurez montré, non seulement l'objet défini, mais les objets voisins dont il convient de le distinguer, que vous aurez fait saisir la différence et que vous aurez ajouté explicitement : c'est pour cela qa'en énonçant la définition j'ai dit ceci ou cela.

Mais il est temps de sortir des généralités et d'examiner comment les principes un peu abstraitr que je viens d'exposer peuvent être appliqués ce arithmétique, en géométrie, en analyse et en mécanique.