ARITHMÉTIQUE

12. On n'a pas à définir le nombre entier ; en revanche, on définit d'ordinaire les opérations sur les nombres entiers ; je crois que les élèves apprennent ces définitions par cœur et qu'ils n'y attachent aucun sens. Il y a à cela deux raisons : d'abord on les leur fait apprendre trop tôt, quand leur esprit n'en éprouve encore aucun besoin ; puis ces définitions ne sont pas satisfaisantes au point de vue logique. Pour l'addition on ne saurait en trouver une bonne, tout simplement parce qu'il faut s'arrêter et qu'on ne saurait tout définir. Ce n'est pas définir l'addition que de dire qu'elle consiste à ajouter. Tout ce qu'on peut faire c'est de partî^

d'un certain nombre d'exemples concrets et de dire : ropération que nous venons de faire s'appelle addition.

Pour la soustraction, c'est autre chose; on peut la définir logiquement comme Topération inverse de l'addition ; mais est-ce par là qu'il faut commencer? Là aussi il faut débuter par des exemples, Montrer sur ces exemples la réciprocité des deux opérations ; la définition sera ainsi préparée et justifiée.

De même encore pour la multiplication ; on prendra un problème particulier; on montrera qu'on peut le résoudre en additionnant plusieurs nombres égaux entre eux; on fera voir ensuite qu'on arrive plus vite au résultat par une multiplication, l'opération que les élèves savent déjà faire par routine et la définition logique sortira de là tout naturellement.

On définira la division comme l'opération inverse de la multiplication ; mais on commencera par un exemple emprunté à la notion familière de partage et on montrera sur cet exemple que la multiplication reproduit le dividende.

Restent les opérations sur les fractions. Il n'y a de difficulté que pour la multiplication. Le mieux est d'exposer d'abord la théorie des proportions, c'est d'elle seulement que pourra sortir une définition logique ; maib pour faire accepter les définitions que l'on rencontre au début de cette théorie, il faut les préparer par de nombreux exemples, empruntés à des problèmes classiques de règles de

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trois, où l'on aura soin d'introduire des données fractionnaires. On ne craindra pas non plus de familiariser les élèves avec la notion de proportion par des images géométriques, soit en faisant appel à leurs souvenirs s'ils ont déjà fait de la géométrie, soit en ayant recours à l'intuition directe, s'ils n'en ont pas fait, ce qui les préparera d'ailleurs à en faire. J'ajouterai, enfin, qu'après avoir défini la multiplication des fractions, il faut justifier cette définition, en démontrant qu'elle est commutative, associative et distributive, et en faisant bien remarquer aux auditeurs qu'on fait cette congtatation pour justifier la définition.

On voit quel rôle jouent dans tout ceci les images géométriques ; et ce rôle est justifié par la philosophie et l'histoire de la science. Si l'arithmétique était restée pure de tout mélange avec la géométrie, elle n'aurait connu que le nombre entier; c'est pour s'adapter aux besoins de la géométrie qu'elle a inventé autre chose.

QÉOinÉTRIE.

En géométrie nous rencontrons d'abord la notion de ligne droite. Peut-on définir la ligne droite? La définition connue, le plus court chemin d'un point à un autre, ne me satisfait guère. Je partirais tout simplement de la règle et je montrerais d'abord à l'élève comment on peut vérifier une règle par retournement; cette vérification est la vraie défi-

nition de la ligne droite; la ligne droite est un axe de rotation. On lai montrerait ensuite à vérifier la règle par glissement et on aurait une des propriétés les plus importantes de la ligne droite. Quant à cette autre propriété d'être le plus court chemin d'un point à un autre, c'est un théorème qui peut être démontré apodictiquement, mais la démonstration est trop délicate pour pouvoir trouver place dans l'enseignement secondaire. Il vaudra mieux montrer qu'une règle préalablement vérifiée s'applique sur un fil tendu. Il ne faut pas redouter, en présence de difficultés analogues, de multiplier les axiomes, en les justifiant par des expériences grossières.

Ces axiomes, il faut bien en admettre, et si Ton en admet un peu plus qu'il n'est strictement nécessaire, le mal n'est pas bien grand ; l'essentiel est d'apprendre à raisonner juste sur les axiomes une fois admis. L'oncle Sarcey qui aimait à se répéter disait souvent qu'au théâtre le spectateur accepte volontiers tous les postulats qu'on lui impose au début, mais qu'une fois le rideau levé, il devient intransigeant sur la logique. Eh bien, c'est la même chose en mathématiques.

Pour le cercle, on peut partir du compas ; les élèves reconnaîtront du premier coup la courbe tracée; on leur fera observer ensuite que la distance des deux pointes de l'instrument reste constante, que Tune de ces pointes est fixe et l'autre mobile, et on sera ainsi amené naturellement à la définition logique.

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La définition du plan implique un axiome et il ne faut pas le dissimuler. Qu'on prenne une planche à dessin et que Ton lasse remarquer qu'une règle mobile s'applique constamment sur cette planche et cela en conservant trois degrés de liberté. On comparerait avec le cylindre et le cône, surfaces sur lesquelles on ne saurait appliquer une droite à moins de ne lui laisser que deux degrés de liberté; puis, on prendrait trois planches à dessin ; on montrerait d'abord qu'elles peuvent glisser en restant appliquées Tune sur Fautre et cela avec 3 degrés de liberté ; et enfin pour distinguer le plan de la sphère, que deux de ces planches, applicables sur une troisième, sont applicables Tune sur l'autre.

Peut-être vous étonnerez-vous de cet incessant emploi d'instruments mobiles ; ce n'est pas là un grossier artifice, et c'est beaucoup plus philosophique qu'on ne le croit d'abord. Qu'est-ce que la géométrie pour le philosophe? C'est l'étude d'un groupe, et quel groupe? de celui des mouvements des corps solides. Comment alors définir ce groupe sans faire mouvoir quelques corps solides?

Devons-nous conserver la définition classique des parallèles et dire qu'on appelle ainsi deux droites qui, situées dans le même plan, ne se rencontrent pas quelqne loin qu'on les prolonge? Non parce que cette définition est négative, parce qu'elle est invérifiable par Texpérience et ne saurait en conséquence être regardée comme une donnée immédiate de Tintuition. Non, surtout, parce qu'elle est totalement étrangère à la notion de groupe, à la

146 8CIENCE ET MÉTHODE

considération du mouvement des corps solides qui est, comme je l'ai dit, la véritable source de la géométrie. Ne vaudrait-il pas mieux définir d'abord la translation rectiligne d'une figure invariable, comme un mouvement où tous les points de cette figure ont des trajectoires rectilignes; montrer qu'une semblable translation est possible, en faisant glisser une équerre sur une règle? De cette constatation expérimentale, érigée en axiome, il serait aisé de faire sortir la notion de parallèle et le postulatum d'Euclide lui-même.