LA SECONDE OBJECTION

J'avais signalé une seconde erreur des logisticiens dans Tarticle de M. Hilbert; aujourd'hui, M. Hilbert est excommunié et M. Couturat ne le regarde plus comme un logisticien; il va donc me demander si

j*ai trouvé la même faute chez les logisticiens orthodoxes. Non, je ne Taî pas vue dans les pages que j'ai lues ; je ne sais si je la trouverais dans les trois €ents pages qu'ils ont écrites et que je n'ai pas envie de lire.

Seulement, il faudra bien qu'ils la commettent le jour où ils voudront tirer de la science mathématique une application quelconque. Cette science n'a pas uniquement pour objet de contempler éternellement son propre nombril; elle touche à la nature et un jour ou l'autre elle prendra contact avec elle; ce jour-là, il faudra secouer les définitions purement verbales et ne plus se payer de mots.

Revenons à l'exemple de M. Hilbert; il s'agit toujours du raisonnement par récurrence et de la question de savoir si un système de postulats n'est pas contradictoire. M. Couturat me dira sans aucun doute qu'alors cela ne le touche pas, mais cela intéressera peut-être ceux qui ne revendiquent pas comme lui la liberté de contradiction.

Nous voulons établir, comme plus haut, que nous ne rencontrerons pas de contradiction après un nombre quelconque de raisonnements, aussi grand que Ton veut, pourvu que ce nombre soit fini. Pour cela, il faut appliquer le principe d'induction. Devons-nous entendre ici, par nombre fini, tout nombre auquel par définition le principe d'induction s'applique? Évidemment non, sans quoi nous serions conduits aux conséquences les plus gênantes.

Pour que nous ayons le droit de poser un sys-

tèrae de postulats, il faut que nous soyons assurés qu'ils ne sont pas contradictoires. C'est là une vérité qui est admise par la plupart des savants, j'aurais écrit par tous avant d'avoir lu le dernier article de M. Couturat. Mais que signifie-t-elle? Veut-elle dire : il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction après un nombre fini de propositions, le nombre fini étant par définition celui qui jouit de toutes les propriétés de nature récurrente, de telle façon que si une de ces propriétés faisait défaut, si, par exemple, nous tombions sur une contradiction, nous conviendrons de dire que le nombre en question n'est pas fini?

En d'autres termes, voulons-nous dire : il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction, à la condition de convenir de nous arrêter ^uste au moment où nous serions sur le point d'en rencontrer une? Il suffit d'énoncer une pareille proposition pour la condamner.

Ainsi, non seulement le raisonnement de M. Hilbert suppose le principe d'induction, mais il suppose que ce principe nous est donné, non comme une simple dérinition, mais comme un jugement synthétique a priori.

En résumé :

Une démonstration est nécessaire.

La seule démonstration possible est la démonstration par récurrence.

Elle n'est légitime que si on admet leprincipe d'induction et si on le regarde, non comme une définition, mais comme un jugement synthétique.

LES ANTINOMIES JCANTORIENNES. '

Je vais maintenant aborder Texamen du non-, veau mémoire de M. Russell. Ce mémoire a été écrit en vue de triompher des difficultés soulevées par ces antinomies cantoriennes auxquelles nous avons fait déjà de fréquentes allusions. Cantor avait cru pouvoir constituer une Science de Flnfini ; d'autres se sont avancés dans la voie qu'il avait ouverte, mais ils se sont bientôt heurtés à d'étranges contradictions. Ces antinomies sont déjà nombreuses, mais les plus célèbres sont :

i® L'antinomie Burali-Fortî ;

2*" L'antinomie Zermelo-Kônig;

3** L'antinomie Richard.

Cantor avait démontré que les nombres ordinaux (il s'agit des nombres ordinaux transfînis, notion nouvelle introduite par lui) peuvent être rangés en une série linéaire, c'est-à-dire que de deux nombres ordinaux inégaux, il y en a toujours an qui est plus petit que l'autre. Burali-Forti démontre le contraire ; et, en effet, dit-il en substance, si on pouvait ranger tous les nombres ordinaux en une série linéaire, cette série définirait un nombre ordinal qui serait plus grand que tous les autres ; qb pourrait ensuite y ajouter 1 et on obtiendrait encore un nombre ordinal qui serait encore plus grand, et cela est contradictoire.

Nous reviendrons plus loin sur Tantinomie Zcrmelo-Kônig qui est d'une nature un peu différente ; voici ce que c'est que l'antinomie Richard. (Revue générale des Sciences^ 30 juin 1905.) Considérons tous les nombres décimaux qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots; ces nombres décimaux forment un ensemble E, et il est aisé de voir que cet ensemble est dénombrable, c'est-à-dire qu'on peut numéroter les divers nombres décimaux de cet ensemble depuis 1 jusqu'à l'infini. Supposons le numérotage effectué, et définissons un nombre N de la façon suivante. Si la n® décimale du n* nombre de l'ensemble E est

la n* décimale de N sera :

Comme on le voit, N n'est pas égal au n* nombre de E et comme n est quelconque, N n'appartient pas à E et pourtant N devrait appartenir à cet ensemble puisque nous l'aA^ons défini avec un nombre fini de mots.

Nous verrons plus loin que M. Richard a donné lui-même, avec beaucoup de sagacité, l'explication de son paradoxe et que son explication peut s'étendre, mutatis mutandis^ aux autres paradoxes analogues. M. Russell cite encore une autre antiaomie assez amusante.

Qi-el est le plus petit nombre entier que l'on ne

peut pas définir par une phrase formée de moins de cent mots français ?

Ce nombre existe; et en effet les nombres susceptibles d'être définis par une pareille phrase sont évidemment en nombre fini puisque les mots de la langue française ne sont pas en nombre infini. Donc, parmi eux, il y en aura un qui sera plus petit que tous les autres.

Et, d'autre part, ce nombre n'existe pas, car sa définition implique contradiction. Ce nombre en effet se trouve défini par la phrase en italiques qui est formée de moins de cent mots français; et par définition ce nombre ne doit pas pouvoir être défini par une semblable phrase.

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