SA

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tion de leur assemblage, comme la grammaire règle la correction de leurs accords. Plus un raisonnement est un raisonnement scientifique, plus c'est un raisonnement de mots, un raisonnement de signes, et c'est par là qu'il exprime des relations qui ne dépendent pas de celui qui le fait, ou qui le comprend. Par contraste, ouvrez un poète : des mots vont jaillir des images et des sensations ; c'est vous, c'est une âme pareille à la sienne, que le poète veut émouvoir; s'il se sert des choses, ce n'est que pour arriver à vous; et les mots, pour lui, sont-ils des signes ? Oui, encore, mais vous l'oubliez, pendant que leur harmonie vous enchante et que les sensations qu'ils évoquent vous envahissent. Pour le poète, la puissance d'évocation qu'il y a dans les mots est trop faible; pour le savant, les mots sont encore trop imprégnés de sensation, ils ne sont pas assez décolorés ; ils désignent trop des objets ou des groupes particuliers; tout en exprimant des relations entre les objets ou les groupes, ils font penser non seulement à ces relations, mais encore aux objets ou aux groupes, et cela est de trop ; c'est le nombre et la science des nombres qui va fournir un ensemble de signes vraiment approprié à n'exprimer 'que des relations.

La notion du nombre entier, soit qu'on la tire de la notion de collection, soit qu'on la confonde avec la notion de rang, de numéros qui se suivent dans un ordre déterminé, suffit à engendrer l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse entière. Ces sciences, il est vrai, se sont développées le plus souvent en vue d'applications réelles ; mais elles sont indépendantes de ces applications, elles se

suffisent à elles-mêmes; les problèmes qu'elles traitent s'engendrent Tun l'autre et se posent, l'un après l'autre, en devenant de plus en plus complexes, de plus en plus généraux, et leur unique matière se ramène toujours au nombre qui, en dernière analyse, se réduit toujours au nombre entier. Faites sur les nombres telles ou telles opérations, vous trouverez tel résultat : c'est à cela que se réduit la pure mathématique. Qu'une pareille étude préoccupe les hommes depuis des milliers d'années, qu'elle ait produit des milliers de volumes, dont le nombre s'accroît tous les jours, que les gouvernements paient des gens pour s'y livrer et pour l'enseigner, cela n'est pas sans causer quelque étonnement, d'autant que ceux-là même qui s'y livrent avec le plus de passion, qui y obtiennent les plus beaux résultats, fatigués de vivre dans un monde d'où pres- ^^ que toute réalité a été bannie, las de ne manier

I; que des symboles, ne peuvent se défendre par-

?1. fois de penser que tout leur travail n'est qu'un .

%\ jeu inutile. A quoi bon construire laborieusement

fy- ce temple de la Nécessité logique, à quoi bon savoir comment s'agencent et s'enchevêtrent ses diverses parties, ses voûtes, ses étages et ses demeures particulières, s'il doit rester vide? Et la Nécessité logique, la déesse du temple, que gouverne-t-elle ? Rien que des conséquences de %■'. suppositions. Supposez ceci, il en résultera cela.

I Ces conséquences, elle les enchaîne d'une façon

^'\ rigoureuse, elle règne sur elles en maîtresse

absolue, implacable; mais quels sujets est-ce là? Ne sont-ils pas quelque peu chimériques, |; comme les suppositions qui les ont engendrés?

C'est dans ce temple pourtant que viendra se

if

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ranger et s'organiser notre connaissance du monde extérieur.

Comment cela peut-il se faire? Simplement en substituant aux choses des nombres qui leur correspondent, en vertu de certaines définitions. Si Ton peut concevoir a priori qu'une pareille correspondance soit possible, les différences entre les choses se traduisant par des différences entre les nombres, si Ton conçoit même qu'elle puisse se faire d'une infinité de façons, ce qui reste étonnant, c'est qu'elle nous serve à quelque chose et qu'elle ne nous jette pas dans d'inextricables complications, où notre intelligence ne puisse se débrouiller ; et cet étonnement subsiste lors même que^ l'on se rend compte que ce monde numérique que nous substituons à la réalité est loin de lui correspondre exactement, et ne peut se construire que grâce à d'extraordinaires simplifications. Ce monde simplifié, que le travail scientifique de chaque jour complique continuellement pour le mieux adapter à la réalité, nous représente de mieux en mieux le monde réel, comme une suite de cartes géographiques, d'abord très simples, et de plus en plus détaillées, nous font connaître de mieux en mieux la surface du globe terrestre, et nous permettent finalement d'y voyager, en sachant à chaque instant où nous sommes, pourvu que nous sachions lire ces cartes et que nous connaissions le système de projection dans lequel elles ont été construites.

Pour construire une carte, il y a une infinité de systèmes de projections : parmi ces systèmes on choisit ceux qui nous fournissent les représentations les plus facilement intelligibles. La

science du monde extérieur ne sera possible que si elle se résume en formules suffisamment simples, assez simples pour que notre esprit puisse les saisir ; l'œuvre essentielle du génie scientifique sera donc, parmi les modes de correspondance entre les nombres et les objets extérieurs, de choisir ceux qui conduisent à des lois simples. Que cela soit possible, au moins dans une certaine mesure et entre certaines limites d'approximation, c'est un fait, puisque la science existe.

Cette simplicité de ce qu'on appelle les lois de la nature, à propos de laquelle on me permettra une courte digression, est une condition de notre connaissance du monde extérieur : elle ne regarde peut-être que nous, et l'on a dit avec raison qu'elle n'importerait pas aune intelligence capable de suivre les phénomènes dans leur infinie complexité. Tout le monde a lu la page éloquente, banale à force d'être citée, par laquelle Laplace termine V Exposition du système du Tnonde. « Séduit par les illusions des sens et de l'amour-propre, l'homme s'est regardé longtemps comme le centre du mouvement des astres . . . Enfin, plusieurs siècles de travaux ont fait tomber à ses yeux le voile qui couvrait le système du monde. Alors il s'est vu sur une planète presque imperceptible dans le système solaire, dont la vaste étendue n'est elle-même qu'un point insensible dans Timmensité de l'espace. Les résultats sublimes auxquels cette découverte l'a conduit sont bien propres à le consoler du rang qu'elle assigne à la Terre, en lui montrant sa propre grandeur dans l'extrême petitesse de la base qui lui a servi pour mesurer lescieux. » En vérité, il

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ny a, dans la conception de Kopernik et dans ses conséquences, ni humiliation ni consolation. Ce n'est plus le corps de Thomme, c'est toujours sa pensée qui est le centre de Tunivers, de l'univers qu'elle connaît : et c'est pourquoi Thomme a adopté le système de Kopernik^ qui lui donnait des mouvements des astres une représentation plus simple, plus conforme à la faiblesse de son intelligence que celle qu'il pouvait avoir en se regardant lui-même comme immobile. Mais qu'entend-on lorsqu'on dit qu'un système est plus vrai que l'autre ? Que l'on rapporte le mouvement des astres à la Terre ou au Soleil, ne peut-on pas déduire un mouvement de l'autre ? C'est un problème que les astronomes résolvent continuellement; les deux conceptions sont équivalentes, seulement l'une est plus commode que l'autre. A la vérité, le système de Kopernik, même en le complétant par les lois de Kepler, ne représente le mouvement des astres que d'une façon assez grossière ; mais que dire de la loi de Newton, d'une formule si brève qui permet de représenter d'une façon si précise tant de mouvements compliqués ? Si même elle est seule de cette espèce, la simplicité de cette loi décourage l'admiration et arrête le sourire du philosophe devant les gens qui rêvent je ne sais quels accords mystérieux entre les choses et notre pensée.

C'est là un fait : quelque science du monde est possible. Dans l'infinie complexité des choses, il est possible de débrouiller certaines correspondances qui se traduisent par des formules simples que notre esprit peut saisir facilement. Souvent on n'obtient cette simplicité qu'en se résignant à ne représenter les choses qu'imparfaitement,

SCIEyCE ET PHILOSOPHIE

comme on se résigne, pour leur apprendre la géographie, à mettre entre les mains des enfants des cartes simplifiées ; dans quelques cas ces formules simples permettent d'aller très loin dans la connaissance des choses.

J'arrive aux sciences particulières, en les rangeant à peu près suivant l'importance du rôle qu'y jouent les mathématiques.

Un de nos géomètres les plus illustres se plaît à répéter que la géométrie est la première des sciences expérimentales. Il y a, en effet, à Torio-ine de la géométrie, un certain nombre de notions qui ont un caractère nettement expérimental : l'étendue, la distance, le solide, le déplacement du solide, la ligne droite; ces notions sont si simples, nous en avons une si longue habitude, elles nous paraissent si claires qu'il peut sembler légitime de les regarder comme aussi primitives que la notion du nombre entier, et de regarder dès lors la géométrie comme faisant partie des mathématiques pures, au même titre que l'arithmétique, l'algèbre ou l'analyse. C'est d'ailleurs ce que l'on a fait longtemps : historiquement, la géométrie semble s'être développée plus rapidement que la pure science du nombre, et cette dernière même n'a pris tout son essor qu après l'invention de la géométrie analytique, qui a relié l'algèbre à la géométrie. Il ne peut venir à l'esprit de personne de contester les services que la géométrie a rendus à Vanal^^se, dont les développements, sans la o-éométrie, auraient été impossibles en fait, mais non en théorie. Toutefois, quand on reste dans le domaine de la pure géométrie, il est très difficile de démêler nettement les notions qui sont à

!f«|pi, ••

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lorigine, de discerner celles .qui sont indispensables, irréductibles les unes aux autres. Que d'un autre côté, la géométrie puisse être constituée avec la seule notion du nombre, indépendamnlent de la notion d'espace, c'est ce qui est aujourd'hui hors de doute : il suffit d'appeler point un système de trois nombres quelconques, et de définir les éléments géométriques, la distance en particulier, par des opérations analytiques à effectuer sur des systèmes de trois nombres : on constituera ainsi un chapitre de lanalyse, relatif à des systèmes de trois variables, où le langage sera exactement celui de la géométrie et où se retrouveront tous les théorèmes de la science de l'espace. Il va sans dire que les définitions auront dû être choisies de manière à satisfaire à des conditions qu'impose l'expérience: c'est la définition de la distance et la condition que le déplacement d'un solide soit possible qui formera le nœud de cette algèbre géométrique, que je n'ai nullement la prétention de développer ici. Mais le lecteur comprendra de lui-même que cette façon de procéder qui, au premier abord, semble très artificielle, permet de distinguer nettement, par cela même qu'on ne fait appel à aucune intuition, les hypothèses fondamentales de la géométrie, c'est-à-dire les restrictions particulières qu'il faut faire pour extraire de la théorie analytique des systèmes de trois variables cette science spéciale qui est la géométrie à trois dimensions. Un autre point a été mis ainsi en évidence, c'est que, outre les restrictions qu'il faut, de toute nécessité, faire au début pour constituer une science qui corresponde à la géométrie, il fallait en faire une plus particulière pour

NCE ET PHILOSOPHIE

ouver la théorie des parallèles, et ainsi est aru clairement le véritable caractère du postum d'Euclide, caractère que les purs géores avaient d'ailleurs commencé d'éclaircir : d'autres termes on peut concevoir diverses métries, dont la géométrie dite euclidienne, e à laquelle nous sommes habitués et qui îerve la théorie ordinaire des parallèles, n'est m cas particulier. Ici encore, comme on l'a itré, la question de savoir si l'une est plus ie que l'autre ne se pose pas ' : elles sont équijntes en ce sens qu'on peut passer de l'une à tre, traduire l'une dans l'autre, et il n'yaurait , pour l'étude du monde extérieur, de rejeter éométrie euclidienne, que s'il devait en résulquelque importante simplification. On conçoit si qu'on puisse construire une géométrie à ,tre dimensions, en considérant quatre variaî au lieu de trois et en introduisant, dans ude des systèmes de quatre variables, des :rictions et des définitions analogues à celles : l'on a été amené à poser au début de la géotrie à trois dimensions ; on peut constituer si un chapitre d'algèbre qui n'est pas sans irèt. Si l'on veut, on admettra qu'il correspond uelque réalité que, à la vérité, nous sommes apablcs d'imaginer, mais qui est logiquement ;sible. Certains phj-siciens, dont le génie ne inaît pas la timidité, s'essaient déjà à tirer ■ti de cette conception pour la représentation monde extérieur; mais il est bien permis de qu'un chapitre de pure algèbre.

i„c!s (décîmbre iSqï).

GcomélrUs «ou cclidiennis.

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Au reste, on pourra multiplier les dimensions autant qu'on voudra.

La géométrie étant ainsi réduite à n'être qu'un chapitre de la science du nombre, il est clair que, si Ton fait maintenant correspondre, à un objet quelconque, un symbole purement géométrique, cela reviendra à lui faire correspondre une combinaison numérique.

Dans la cinématique, ou étude géométrique du mouvement, s'introduit une variable numérique qui ne joue pas le même rôle que les variables qui servent à fixer les points de l'espace, j.e veux parler du temps : mais tant qu'on n'aborde pas les applications de la mécanique, la nature de cette variable est entièrement indéterminée, sauf la condition de varier toujours dans le même sens. C'est là le caractère, primordial en quelque sorte, que nous ne pouvons enlever au temps : il s'écoule toujours dans le même sens, il ne retourne jamais en arrière : d'une façon précise, si l'on considère trois événements, et si le second est postérieur au premier, le troisième au second, nous sommes forcés de concevoir le troisième comme étant postérieur au premier. Cette notion est si primitive que plusieurs philosophes et plusieurs mathématiciens (non des moindres), soutiennent que l'idée de nombre est liée d'une façon indissoluble à 1 idée de cette succession dans le temps.

Dans la mécanique rationnelle, la notion de matière n'intervient que par des propriétés géométriques, et par un nombre à signification particulière, la tJiasse, que Ton suppose attaché à chaque particule matérielle, qui la suit dans tous ses mouvements ; je reviendrai tout à l'heure sur

la détermination de ce nombre. Dans la définition àes forces, que l'on considère aussi en mécanique, il n'entre rien d'autre que la masse, le temps et des éléments géométriques. En dehors de ses applications, la mécanique rationnelle peut être, elle aussi, regardée comme un chapitre spécial de la science du nombre, comme Tétude d'un certain S3^stème d'équations différentielles. Plus particulièrement encore, la mécanique céleste traite des cas où les forces que l'on considère obéissent à la loi de Newton ; elle a affaire à un système d'équations différentielles plus particulier.

Si l'on veut appliquer ces sciences à la réalité, le temps ne pourra plus être une variable quelconque, ce sera une variable déterminée, qu'il faudra évaluer sur une pendule déterminée ; de même les masses ne seront plus des nombres quelconques, mais des nombres déterminés qu'il faut aussi évaluer.

Théoriquement, on pourrait mesurer le temps avec n'importe quelle pendule, pourvu que les aiguilles marchassent toujours dans le même sens : ayant choisi cette pendule, on dira que deux intervalles de temps sont égaux quand, pendant ces intervalles, l'aiguille aura tourné d'un même angle ; par définition, le mouvement de l'aiguille sur cette pendule sera dit uniforme. Une autre pendule réglée différemment marquera un autre temps ; des durées qui, évaluées sur la première pendule, étaient égales, ne le seraient plus si on les évaluait de même avec la seconde : peu importe, si l'on sait, à chaque instant, les deux nombres que marquent les deux pendules, si, connaissant l'un de ces nombres on peut en

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déduire lautre, soit au moyen d'un tableau convenablement dressé, soit au moyen d'une formule; on aura alors tous les éléments nécessaires pour faire ce que Ton appelle en mathématiques un changement de variable. Mais il arrive* que ce changement de variable modifie profondément les équations de la mécanique ; si elles étaient simples avec la première variable, elles seront compliquées avec la seconde. Ces équations acquièrent toute leur simplicité, quand on fait choix d'une pendule spéciale, la pendule sidérale, réglée sur le mouvement apparent des étoiles, ou, si Ton veut, sur le mouvement de la Terre, Pour passer de l'heure marquée par la pendule sidérale, à celle que marquent nos pendules ordinaires, il n'y a d'ailleurs qu'un changement insignifiant à faire, insignifiant parce qu'il n'altère pas V égalité; deux durées qui sont égales quand on les évalue avec une pendule sidérale, sont encore égales quand on les évalue avec une pendule ordinaire, qui marque ce que l'on appelle le. temps moyen. Il n'en serait plus de même si l'on se servait d'une pendule réglée sur le mouvement apparent du Soleil : les lois de la mécanique, simples avec la pendule sidérale, se compliqueraient singulièrement avec la pendule solaire : c'est cette simplicité qui a déterminé le choix.

Comment est-on arrivé à la reconnaître ? Par de nombreuses observations dont quelques-unes sont très vulgaires. Nous sommes habitués à la répétition d'une foule de phénomènes qui se

I. Voir \ Étude critique sur la mécanique de M. Calinon (voir plus bas, p. i2i).

ressemblent tellement, que nous les regardons presque comme identiques ; il est commode de dire qu'ils demandent le même temps pour s'accomplir; cela signifie, au fond, qu'on suppose l'existence d'une pendule marchant de telle façon qu'elle marquerait 'toujours des temps égaux pour la durée de ces phénomènes.

Voici un sablier; j'admets bien volontiers qu'il mettra le même temps à se vider, aujourd'hui ou demain, dans cette chambre ou dans cette autre ; de même pour une foule de phénomènes physiques. Cette habitude est si familière qu'on a prétendu trouver là une définition de l'égalité de deux durées : deux durées sont égales, dit-on, si pendant chacune d'elles, s'accomplissent deux phénomènes identiques. Cette proposition, prise comme définition, contient un non-sens, ou tout au moins un cercle vicieux : tout d'abord, il n'y a pas, à proprement parler, deux phénomènes identiques ; s'ils sont deux^ si on les distingue, c'est qu'ils diffèrent par quelque chose; pourquoi ne différeraient-ils pas par leurs durées? Ce qui caractérise un phénomène, c'est, conime l'on dit, les circonstances de ce phénomène, et la durée du phénoriiène est une de ces circonstances ; pourquoi l'isoler des autres ? Veut-on dire que si toutes les circonstances de deux phénomènes, autres%que la durée, sont les mêmes, les durées aussi seront les mêmes ? On aurait grand peine à trouver de pareils phénomènes ; et la définition, ainsi comprise, serait peu applicable ; c'est sans doute quelques circonstances qu'on veut dire ; lesquelles ? Le soleil se lève et se couche tous les jours ; deux jours solaires sont des phénomènes assez pareils, pourquoi ne regardez- vous pas leurs

' LE ROLE DU NOMBRE DANS LES SCIENCES

durées comme égales? Mais cette proposition, dont on ne peut, sans cercle vicieux, tirer une définition, n'en conserve pas moins quelque valeur pratique : il y a des phénomènes qui se ressemblent beaucoup, dont on est habitué de dire qu'ils se répètent ; ils sont çn très grand noitibre et, d'ordinaire, cette supposition simple qu'ils s'effectuentpendant le même temps s'accorde avec elle-même : au lieu d'un sablier, prenez-en deux ; vous avez observé, par exemple, qu'ils mettaient le même temps à se vider ; recommencez Texpérience ; vous les avez retournés au même instant et c'est au même instant qu'ils seront vides ; cette observation — ou d'autres analogues — vous est si familière, que vous dédaignerez de recommencer Texpérience. Les expériences de cette nature, et d'autres, infiniment plus délicates, sont entièrement d'accord avec la définition qui veut que deux intervalles de temps soient égaux, si pendant chacun des deux intervalles, la Terre a tourné autour de son axe d'un même angle, angle que l'astronomie nous permet d'observer ; et c'est, finalement, à cette définition qu'il convient de s'arrêter : c'est elle qui permet de réaliser l'accord le plus complet et le plus simple entre les théories mécaniques et les faits, même de faire rentrer sous des lois simples l'inégalité des jours solaires, comme aussi cette égalité de durée que l'habitude nous force à attribuer à ces phénomènes qui ne font, pour ainsi dire, que se répéter. 11 y a des raisons, tirées de la mécanique même, pour croire que si on l'appliquait à des périodes extrêmement longues, extraordinairement plus longues que celles que l'observation nous permet de considérer, cette définition ne permettrait plus de

conserver aux équations de la mécanique leur forme simple; c'est elle, non les équations, qu'il conviendrait de changer, si la science embrassait un jour des périodes aussi considérables.

La masse d'un corps, c'est le nombre que Ton mesure avec la balance, et que dans le langage courant, on appelle son poids. Si je pèse un corps avec une balance, que je le pèse ici ou là, à Paris ou à Marseille, dans le fond d'une vallée ou sur le haut d'une montagne, je trouverai toujours le même poids ; si ce corps est, par exemple, une certaine quantité d'eau, contenue dans un vase clos, si je chauffe cette eau pour la réduire en vapeur, et si je pèse cette vapeur, je trouverai toujours le même nombre, qui se retrouverait encore d'ailleurs après des transformations bien autrement complexes que celles que je viens de décrire. C'est là un fait d'expérience qui concorde avec la définition de la matière de la mécanique rationnelle par un nombre fixe attaché à chacune de ses particules. Que, en réalité, on puisse mesurer, au moyen de certaines expériences précises, un nombre qui reste fixe pour chaque partie de matière, c'est le principe de la conservation de la masse.

Ce même corps, que l'on pesait tout à 1 heure avec une balance, il suffirait de monter du fond de la vallée sur le sommet de la montagne, d'aller un peu loin vers le nord ou vers le sud pour voir son poids changer, si, au lieu d'une balance, on se servait d'un peson très sensible. Comment soutenir, après cela, que le principe de la conservation de la masse ait en lui quelque évidence métaph3'sique, qui doit le faire admettre a priori^ et qu'il exprime l'indestructibilité

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de la matière, Timpossibilité que le néant devienne de l'être, ou que l'être retourne au néant ? Qu'il y ait des penseurs à soutenir cette opinion, cela étonne. Mais pourquoi donc est- ce ce nombre mesuré de cette façon, plutôt qu'un autre nombre, que l'on mesurerait autrement, qui reste constant ? Qu'est-ce qui peut justifier a priori l'emploi de la balance plutôt que celui du peson ? Et même avec la balance que de précautions ne faut-il pas prendre ? Entrez dans un laboratoire et regardez le physicien qui fait une pesée délicate, dans le vide, qui observe patiemment les lentes oscillations d'une aiguille portée par un instrument dont la complication vous émerveille; ne bougez pas, vous agiteriez Tair de la chambre, vous feriez trembler le parquet, vous dérangeriez l'instrument, vous changeriez le nombre que le physicien guQtte et vous risqueriez de lui faire faire une expérience où le principe de la conservation de la masse se trouverait en défaut. Sans doute le physicien saura vous rendre compte de toutes les précautions qu'il prend, mais ses explications sont liées ellesmêmes à une infinité d'expériences délicates qui n'ont rien à faire avec l'évidence a priori. Des expériences grossières, faites avec des appareils imparfaits, ont donné d'abord l'idée de l'invariabilité de la masse : elles permettaient seulement d'affirmer que la masse variait très peu, mais comme il n'y a pas de loi mathématique plus simple que celle de la constance d'un nombre, c'est à celle-là qu'on s'est arrêté, et quand elle s'est trouvée en défaut, au lieu d'admettre la variation de la masse, au lieu d'admettre en particulier qu'elle dépend de la température ou de

la pression atmosphérique, on s'est ingénié à réaliser des conditions d'expériences où la constance de la masse fût conservée : Regarder la masse comme constante est la meilleure hypothèse, parce qu'elle nous permet la représentation la plus simple de l'univers : mais, logiquement, d'autres hypothèses, qui ne feraient que compliquer les calculs, seraient tout aussi légitimes. Et, pour en finir avec ce sujet, que dire de ceux qui prétendent justifier a priori le principe de la conservation de l'énergie? Il suffit de penser à la complication des équations par lesquelles ce principe s'exprime pour sourire à l'idée d'une justification métaphysique. On vous dira peutêtre : J'ignore si c'est ce que vous appelez la masse et ce que vous appelez l'énergie qui reste constant, mais je sais qu'il y a quelque chose qui reste constant, je sais qu'il y a des lois ; et cela me suffit. La prétention alors est plus modeste, si modeste qu'elle en est insignifiante ; qu'est-ce que dire que quelque chose est constant, si l'on ne sait quoi ?

Et pourquoi serait-il si clair que rien ne se perd et que rien ne se crée? Tout changement n'est-il pas la destruction de ce qui était et la création de ce qui va être ?

Ce n'est pas avec des balances que l'astronome pèse les masses auxquelles il a affaire. S'il connaissait exactement certains nombres, parmi lesquels les masses du soleil et des planètes figurent au premier rang, les formules de la mécanique céleste, en admettant la parfaite rigueur, lui permettraient de calculer, avec une ap{)roximation indéfinie, la position de ces astres, n'importe à quel moment. 11 s'ingénie, au moyen de ces

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formules, à définir d*autres nombres, accessibles à l'observation, et qui lui permettent de déterminer ceux qu'il cherche. Les nombres fournis par l'observation ne sont jamais qu'approchés : il en est de même des nombres que l'astronome en déduira, par de longs calculs : aussi ne peut-il être question d'une approximation indéfinie dans les conséquences, et les périodes pendant lesquelles les formules de l'astronomie, réduites en nombres, représentent le mouvement des astres avec une exactitude suffisante sont-elles nécessairement limitées.

Dans les parties de la physique qui ont un caractère nettement mathématique, dans les théories, par exemple, de la thermodynamique, de 1 électricité, de la lumière, le procédé est toujours le même : arriver à des définitions purement mathématiques, que Ton substitue aux choses, et qui en permettent une représentation suffisamment simple. Ces définitions sont suggérées par de longues réflexions sur les résultats de l'expérience, par des idées préconçues qu'a fait naître l'organisation antérieure de la science ; grâce à elles, toute une classe de phénomènes se trouve remplacée par une courte formule et débarrassée de l'infinité des autres phénomènes qui s'y mêlent dans la réalité ; cette simplification est essentielle. Que ferait le géomètre, s'il voulait penser, en même temps qu'à ses formes abstraites, à la couleur des corps, à leur matière, aux actions et aux réactions physiques, chimiques ou vitales qui s'y passent, à l'univers entier, qui est dans chacune de ses parties? Non, il écarte tout cela de sa pensée, pour n'y retenir que des définitions. Il faut que le physicien

procède de même, mais dans un monde bien autrement complexe ; il ne se meut pas librement dans le pur espace et n'y joue pas avec les symboles qu'il s'amuse à créer. Les choses le serrent, le pressent de tous côtés ; que négligera-t-il, que gardera-t-il dans sa pensée? Il me semble que les difficultés mathématiques ne sont rien devant le choix de ces définitions qui sont l'essence des théories physiques, qui permettent de mettre en équation les problèmes réels, et que l'on ne saurait trop admirer les physiciens et les géomètres qui y ont réussi les premiers.

Dans les sciences expérimentales et surtout dans celles qui traitent de phénomènes relativement simples, les mathématiques jouent encore un rôle, mais plus modeste ; elles permettent un commencement d'organisation en formulant des lois empiriques qui traduisent une correspondance entre des tableaux de nombres obtenus par des mesures expérimentales. Ces lois n'ajoutent aux tableaux de nombres que la supposition d'une certaine continuité dans la variation des phénomènes, supposition qui se retrouve expressément dans presque toutes les parties des sciences physiques. Quoique l'habitude de cette continuité Tait fait ériger en principe a priori, rien n'oblige à croire qu'elle soit essentiellement au fond des choses ; il nous est simplement commode de la supposer, et il n'y a à cela nul inconvénient, si les discontinuités sont trop petites pour que nous les observions. On cherche à simplifier l'expression de ces lois empiriques, de manière toutefois que Terreur qui résulte de leur application soit du même ordre que les erreurs que comportent nécessairement les instruments de mesure

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avec lesquels on a obtenu les nombres dont ces lois expriment la correspondance : les diverses expressions qui satisfont à cette condition sont aussi bonnes Tune que l'autre, et Ton choisit la plus simple. Les limites entre lesquelles on peut ainsi simplifier l'expression des lois empiriques sont d'autant plus amples et permettent d'obtenir des expressions d'autant plus simples que les instruments de mesure sont plus grossiers.

Aussi l'imperfection de nos sens et des premiers instruments de mesure a-t-elle joué un rôle utile dans la constitution de la science empirique en conduisant à des énoncés très simples, ne représentant sans doute les choses qu'avec une approximation très grossière ; mais ces lois d'une simplicité encourageante conduisaient à un premier groupement des phénomènes et permettaient d'orienter les recherches ultérieures. En perfectionnant les procédés de mesure, il a fallu, peu à peu, compliquer les lois empiriques ; si complexes qu'elles soient, elles sont infiniment plus simples que les phénomènes qu'elles représentent, dont elles sont les signes, et fournissent à la réflexion scientifique une matière qui lui est mieux appropriée ; parfois une vue de génie vient les grouper, les rattacher à quelque heureuse définition, et les fait pénétrer, sous une forme meilleure, dans la science théorique. Au reste, il importe d'observer que cette dernière science, lors même qu'elle est le mieux organisée, comme la mécanique céleste, et qu'elle ne comporte plus, en dehors de ses définitions, qu'une chaîne rigoureuse de déductions mathématiques, ne peut jamais se passer de l'expérience ; si elle veut être une représentation du réel, ce n'est pas à

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SCIENCE ET PUILOSOPHJE

des nombres arbitraires, mais à des nombres particuliers qu'elle s'applique ; la science théorique aura toujours besoin de données expérimentales ; ces données seront toujours imparfaites, puisqu'elles résulteront toujours de mesures ; jamais la tâche de Texpérimentateur ne sera terminée; il lui faudra toujours s'ingénier pour trouver de nouveaux nombres, moins inexacts que ceux qu'avaient obtenus ses prédécesseurs. Qu'il s'agisse donc de la géométrie, de la mécanique, de Tastronomie, de la physique mathématique, c'est toujours un chapitre spécial de la science des nombres qui porte le nom d'un chapitre de la science du réel. Mieux une science est constituée, plus il apparaît nettement qu'elle est une science de signes : ses définitions une fois admises, elle n'est plus qu'une suite de déductions logiques, entièrement nécessaires ; mais il ne faut pas oublier que cette nécessité logique qui y règne en maîtresse ne concerne que les signes; rien n'autorise à la transporter dans les choses, en lui conservant le même caractère*. Le rôle que jouent les mathématiques dans ces sciences ne doit pas faire illusion : sans doute, les déductions mathématiques sont d'une entière rigueur, mais à condition que Von reste dans les mathématiques ; tant que l'on y reste, on ne peut contester les conclusions, à moins de contester la raison ellemême : si vous faites tels calculs sur tels nombres, vous trouverez tel résultat ; voilà, encore une fois, ce qu'affirment les mathématiques, ce qui est d'une nécessité logique ; elles ne peuvent

I. Il est sans doate inutile de rappeler ici la thèse de M, Bontroux : Sur la continffence des lois de la nature.

LE ROLE DU NOMBÈÉ DANS LES SCIENCES

rien affirmei* au delà : elles ne peuvent affirnler l'accord entre les résultats d'un calcul, et les résultats d'une expérience ; cet accord est un fait, et il n'a pas, il ne peut pas avoir d'autre importance qu'un fait, répété autant de fols qu'on le voudra. Que Ton dise, si Ton veut, que cet accord flous révèle la nécessité qui est au fond des choses, et qui en règle le cours, c'est une croyance comme une autre, et personne assurément ne cherchera dans la science des raisons pour l'infirmer ; 'mais personne non plus n'a le droit de vouloir l'imposer au nom de la science : il faut s'entendre sur cet accord, admirable à coup sûr, entre les résultats de la théorie et ceux de l'expérience : encore une fois, il n'est qu'approché, et il ne peut être qu'approché, puisqu'une mesure ne peut être qu'approchée ; pour le physicien, il est parfait lorsque la différence entre les résultats de la théorie et de l'expérience n*est pas plus grande que les erreurs que comportent l'expérience. Dès lors, ce qu'il convient d'induire de l'accord entre la théorie et l'expérience, c'est que les phénomènes sont déterminés par les lois théoriques, entre certaines limites^ entre des limites que nous connaissons, si nous connaissons les instruments de mesure : encore n*y a-t-il là qu'une induction. La valeur de cette induction ne peut être contestée, mais il ne faut pas la pousser trop loin, et l'on dépasserait Infiniment les bornes entre lesquelles elle est légitime, si l'on affirmait que l'accord entre la théorie et l'expérience doit se poursuivre indéfiniment.

En résumé, il y a quelques classes de phénoûièneâ particulièrement simples, et que nouis simplifions encore de parti pris, dont nous pou-

E ET PrilLOSOPIIlE

rouver une représentation approchée, mais ment intelligible et logiquement enchaînée, ertains chapitres de la science des nombres , ;ués exprès. C'est là un fait admirable, et t plein de promesses ; que cette représentauisse devenir bien plus approchée, qu'elle

s'étendre à bien d'autres classes de phéno- , et bien autrement complexes que ceux t pu être étudiés jusqu'ici, c'est ce qu'il est ment légitime d'espérer et même d'affirmer.

.i l'on tient à croire que ce progrès ne peut idéfini, et qu'il est des phénomènes dont ; science n'est possible, on reste libre de

cette opinion, et l'on pourra toujours la dé- , en reculant, s'il le faut, pied à pied; car. finité des phénomènes, la science n'aura

étudié qu'un fragment infime, et ne l'aura qu'imparfaitement; il y aura toujours, et n'on voudra, des phénomènes si éloignés, plexes ou si petits que la science n'aura î prise sur eux.

m me permette d'entrer un peu dansledo-

du rêve, et d'imaginer, au contraire de ce viens dédire, que ce progrès soit possible et ilisé, et qu'un homme, analogue à nous, mais dépassant infiniment par son intelligence, .pable de contenir une science équivalente ialité extérieure, en ce sens que tous les mènes répondent pour lui à des transfor- 15 numériques dont il ait la claire comprén ; si la grandeur de son intelligence laisace chez lui à quelqu'une de ces inquiétudes 3US cultivons sous le nom de philosophie, tre trouverait-il le moyen d'être encore tent et de se dire que la science des nombres

LE ROLE DU NOMBHE DANS LES SCIENCES

n'est qu'une abstraction, qu'elle correspond parfaitement aux choses, mais qu'elle ne les explique pas, qu'elle s'explique seulement elle-même, et qu'elle ne répond pas même à cette question : pourquoi, dans le domaine infini des transformations numériques que ma pensée peut saisir, est-ce celles-ci, plutôt que celles-là, qui correspondent à la réalité et pourquoi les nombres au moyen desquels je désigne et reconnais les choses correspondent-ils aux sensations que j'éprouve plutôt qu'à d'autres ?

Quoi qu'il en soit, la conception purement arithmétique de la science du monde extérieur me semble offrir au moins un avantage, c'est qu'il est difficile d'en être dupe ; personne, sans doute, ne s'imaginera que le monde extérieur n'est rien autre chose qu'une suite d'opérations d'arithmétique. C'est, je crois, le plaisir de se laisser duper, qui fait qu'on s'arrête habituellement à une conception intermédiaire, à la conception mécanique. On s'en va répétant que nos sensations ne sont qu'en nous, qu'il ne faut pas, comme nous faisons, en remplir l'univers, où il n^ a ni couleur, ni bruit, où il n'y a que du mouvement ; le mouvement, dit-on, est la seule réalité extérieure ; à elle seule, par ses variétés, elle explique tout, et Ton se complaît à imaginer de petits points qui circulent dans l'espace, qui tournent les uns autour des autres. Les services qu'a rendus et que rendra encore cette conception ne sont pas contestables; il n'est pas question de s'en priver, pas plus qu'aucun savant, si persuadé qu'il soit de la subjectivité de ses sensations, n'est disposé pour cela à se passer de ces sensations, à se crever les yeux et à se boucher les oreilles; mais, prise en

SCIENCB ET PHILOSOPHIE

elle-même, je nç vois pa§ que cette conception soit bien intelligible et que l'on gagne grand chose à conserver, pour n'attribuer de réalité objective qu'à çUe sçulç, cette dernière et vague intuition du mouvement.

Si l'on veut qu'il n'y ait, en dehors de nous, ni bleu ni rouge, pourquoi vçut-on qu'il y ait du mouvement? Le mouvement de quoi? De la matière? Mais je ne puis imaginer la matière qu'avec des propriétés, et c'est justement ces propriétés que vous prétendez réduire au mouvement ; si elle n'a plus de propriétés, je ne distingue plus la matière de la pure étendue, et l'étçndue elle-même s'évanouit de ma pensée, si j'essaie d'abolir le souvçnir de mes sensations, de ces sensations de lumière et de toucher dont elle est inséparable. L^ lumière n'est qu'un mouvement, soit; comment imaginerai-je cette étendue obscure où il s'effectue, comment distinguerai-je les particules qui se meuvent ? Et si Ton me dit que ces particules ne peuvent se pénétrer, qu'en tendrai'je par là, puisque je ne les distingue pas de ce qui n'est pas elles? Vous me rendez aveugle, vous abolissez en moi le sens du toucher, et vous prétendez me faire spéculer sur des intuitions que je ne puis avoir! Eh bien! même alors, la succession de mes états de conscience me laisse ridée de nprabre et me permet de reconstruire Ift longue et multiple série des déductions qu'elle contient en elle; parmi ces déductions infinies, on en choisit quelques-unes et l'on me dit qu'elles correspondent à quelque chose qui n'est pas moi, à des possibilités d'autres états de conscience ; on ne me dit rien qui soit inintelligible ; et, si vous me rendez la vue, l'ouïe et le toucher, si je

LE ROLE DU NOMBRE DANS LES SCIENCES

reconnais que les sensations qui m'envahissent correspondent à cette science des nombres que j'avais déjà, je ne m'imaginerai pas que le monde extérieur soit cette science, je saurai bien qu'elle n'est qu'un signe ; je ne mépriserai pas ce signe ; je serai comme un homme qui, tout d'un coup, aurait appris la musique : j'avais lu et relu cette partition ; j'avais eu la patience de voir, à chaque ligne, de quelle note chaque note était suivie ; maintenant que j'ai appris la musique, la partition me parait tout autrement admirable : en la feuilletant, j'entends chanter les violons, gémir la flûte ou le hautbois, gronder les cuivres.