Géométrie

sujet traité par M. Holder ' est plutôt d'ordre iOphique que d'ordre scientifique ; il ne peut bis manquer d'ititéresser vivement les nomgéomètres qui sont quelque peu philoso- L'auteur étudie d'abord ces concepts qui .a matière même de la Géométrie, les axioou postulats qui permettent de raisonner !S concepts. Il oppose à la doctrine de Kant lace dans l'intuition « pure « la source de i nos connaissances géométriques, la doc-

iiDEH (O.). Anschnaung iind Denkin in dir Geomttrie, Uni- ! Sciences malSJmtliques.Jain i<)on.

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trine empirique, vers laquelle il incline manifestement. Ce n'est pas ici le lieu de chercher si la théorie de révolution et de l'hérédité ne permet pas d'établir un lien entre ces doctrines opposées et d'autre part si l'intuition, même pure, n'est pas très variable d'un individu à l'autre et ne se modifie pas profondément par l'habitude de la réflexion géométrique. Est-elle la même chez celui qui n'a Thabitude que de la Géométrie euclidienne ou chez celui qui s'est familiarisé avec les concepts et les méthodes de la Géométrie non-euclidienne ? chez les Géomètres d'un siècle et ceux d'un autre siècle? Quoi qu'il en soit, M. Holder s'occupe ensuite des démonstrations géométriques et se livre à une analyse très pénétrante de la démonstration classique du , théorème sur la somme des angles d'un triangle, en admettant le postulatum d'Euclide. Cette démonstration ne lui paraît pas procéder suivant les règles de la logique classique ; V intuition y intervient à chaque instant, dans la façon même dont on voit la figure ; c'est cette vue elle-même qui permet d'appliquer les théorèmes ou les postulats, en sorte que les déductions géométriques seraient une suite d'expériences idéales (Gedanken-expe-* riment) . Souvent l'intuition permet de porter un jugement immédiat ; telle est cette affirmation : deux bissectrices d'un triangle se coupent en un point intérieur au triangle ; il faut au contraire un raisonnement pour prouver que la troisième bissectrice passe par ce point. M. Holder estime aussi que le raisonnement géométrique, fait sur une figure spéciale, est dans une certaine mesure un raisonnement par analogie. Souvent, quelque partie d'une démonstration, regardée comme

e, repose sur quelque axiome qui peut ■mule, mais que l'on néglige d'habitude :

l'axiome signalé par M. Hilbert [Axiom lordnung) : Si A, B, C, D sont des points Iroite, si B est entre A et D, C entre B et tentreAet C, et Cest entre A et D. Le preéorème sur l'égalité des triangles n'est pas .ible d'une démonstration proprement dite, caractère d'un axiome.

reconnaître celles "des propositions de la trie qui ont un tel caractère, pour éviter

recours à l'intuition dans le courant d'une itration, sans le savoir, il faudrait ne plus ler sur des figures, mais sur de purs sym- [uî représenteraient les éléments géomé- , comme ils représentent les nombres dans ire. Les conclusions ainsi obtenues, même

ne sont pas d'accord avec l'intuition, n'en s moins les conclusions certaines des supis d'où on les a tirées. Cette méthode est iférente de la méthode d'invention ordient suivie en Géométrie, méthode où l'intuimalogie, l'observation, l'induction jouent

essentiel. Tout cela est incontestable; il ble toutefois qu'une autre question se pose . oute le seul moyen d'éliminer l'intuition sonnements géométriques est de raison- ■ de purs symboles, soit que l'on crée,

le veut par exemple M. Peano, un sym- ; spécial, soit que l'on raisonne, comme ont îlques-uns des géomètres qui ont obteuu jltats essentiels dans la science de l'espace, s symboles de l'analyse, en utilisant les ces de l'analyse ; de cette façon on est que les conclusions sont identiques aux

mr'W^rTJ^

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prémisses, qu'elles ne sont qu'une transformation : les données seules restent soumises à la critique philosophique. Si cette méthode est la seule qui soit sûre, il n'en résulte pas qu'elle soit la seule possible et ceux qui estiment que l'intuition nest que le résultat d'une longue habitude, peutêtre d'une habitude ancestrale, sont enclins à se demander si l'intuition ne peut se modifier, chez les individus eux-mêmes, par les habitudes auxquelles ils se soumettent, et si cette intuition acquise ne peut permettre à quelques géomètres de poursuivre hardiment et utilement leurs recherches dans un domaine soumis à d'autres lois que l'espace ordinaire* tout en conservant les habitudes du raisonnement géométrique. Au kantien qui demandera ce qu'est une « intuition acquise », je ne vois pas d'autre réponse à faire que de demander en retour ce qu'est une intuition « pure ». Les termes philosophiques ne peuvent jamais être entendus qu'à demi.

Pendant que les uns s'efforcent de scruter les axiomes de la Géométrie, d'en fixer l'indépendance ou l'interdépendance, et s'appliquent à ne raisonner que sur des symboles abstraits, pour ne permettre à aucune intuition spatiale de pénétrer, subrepticement dans leurs raisonnements, que d'autres poursuivent avec patience l'étrange construction de quelqu'une de ces Géométries où l'on a laissé tomber l'un ou l'autre des axiomes de la Géométrie ordinaire, et s'efforcent de lui conférer une sorte de légitimité à l'existence logique, non seulement par la cohérence même

luctions, mais par une correspondance espace imag^inaîre où ils se meuvent, mœra bombynàns in vacuo, et cet auquel nous avons l'habitude d'attribuer ; réalité, M. de Freycinet, dans un livre' itéressera pas moins les philosophes que hématiciens, et dont le style élégant, dis- ;t modéré charmera les uns et les autres, : à rappeler l'origine expérimentale des s géométriques. Ce n'est pas que l'éminseur condamne les recherches auxquelles i de faire allusion; pour le faire, il res- ■op la science et la liberté des savants, )3 géométries. qui portent toutes le nom and mathématicien affublé d'une négation ■ant, ne sont pas pour lui de la géométrie, irt : en quoi, il est facile de se ranger à s.

l'expérience, ou l'intuition, aient une art dans la formation des concepts fonda- ■x de la Géométrie, c'est sans doute ce que

contestera pas à M. de Freycinet. Peutiviendrait-il de distinguer l'une de Tautre, X)rder aussi que l'intuition, si même elle lossible sans aucune expérience, contient fient a priori, une prédisposition de notre logiquement antérieure à notre expé-

l'est pas ici le lieu d'agiter (sans la ré- I la question de savoir si cette prédisposihez chacun de nous, peut provenir d'une suite d'expériences ancestrales, déposées is individus, lentement accumulées tïans la

■ciHLT. De [etpérientt ta gèamétrU.

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race : nous naissons tels quels, avec des puissances et des tendances que notre expérience à nous (si nous avons quelque individualité), n'a pas formées et qui ne se révéleront à nous-mêmes que par notre propre expérience. Sans doute, nous rencontrerons, dans le monde extérieur, des objets qui éveillent en nous les idées de ligne droite, de point ou de plan; et, si nous étions enfermés en nous-mêmes, ces idées n'auraient pu naître en nous ; mais combien ces concepts, dans leur pureté géométrique, sont éloignés des objets réels, à propos desquels ils se sont éveillés! Cette pureté même ne leur permet aucune réalité, en dehors de notre pensée; nous n'arrivons à les construire qu'en faisant abstraction des conditions de la réalité extérieure. Quand je réduis, par la pensée, le point matériel à n'être .plus qu'un point géométrique, je lui refuse par cela même la possibilité d'éveiller en moi une sensation.

Si les expériences sur lesquelles se fondent les concepts de la Géométrie sont innombrables, il faut reconnaître aussi que la grossièreté de ces expériences s'oppose à l'absolue précision de ces concepts; on ne s'est jamais avisé d'installer des expériences de précision, qui se rapportent, ni aux concepts fondamentaux de la Géométrie, ni à leurs conséquences lointaines ; je ne répondrais pas, s'il tombait entre les mains d'un médecin aliéniste, du sort d'un physicien qui poursuivrait des mesures délicates pour reconnaître si le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est bien égal à la somme des carrés des autres côtés; et si ce physicien venait nous annoncer que la différence entre les résultats de l'observation et

ce ET PHILOSOPHIE

lIcuI est supérieure aux erreurs possibles érience, on le regarderait avec un sourire té et l'on ne s'aviserait pas de voir, dans la ence annoncée, l'influence maligne de cette igence, qu'il faut pourtant bien admettre les lois que nous tirons de l'expérience. Au aire, on est bien aise de savoir que Sanford et Ray, ayant effectué dans des fermés des opérations chimiques, ont è qu'aucune différence de poids plus grande i/2,500.000 n'est produite par la double iposition réalisée '.

crois bien que depuis 1897. époque à lai remontent les expériencas de MM. San- 3t Ray, on a continué à faire des expériences le même sens. En supposant, comme je le lite bien vivement, qu'elles donnent toule même résultat, combien, dans l'hypoévolutionniste, faudra-t-il de générations lysiciens, pour que ceux-ci en viennent à luer au principe de la conservation de la e la même évidence qu'aux théorèmes de la létrie? Malgré tout; il est difficile de se dé- ,sser des formules de Kant, ou même de litz, et tout en reconnaissant la part de irience, de ne pas avouer que nous sommes, ■mêmes, pour beaucoup dans notre science.

'est pas une simple somme de faits expèitaux.

le livre de M. de Freycinet ramène notre ^e vers des problèmes philosophiques qu'il toujours utile de méditer, puisqu'on n'arrisans doute jamais à les résoudre, il ne donne

iRBiH. Traitf de chiiiiif physi./:!!.

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pas moins à réfléchir sur la façon dont il convient d'enseigner la Géométrie. Bien que Tauteur ne semble nullement s'être proposé de traiter ce sujet, je croîs qu'on pourrait tirer grand parti de ses ingénieuses observations.

Pour ce qui concerne renseignement à donner à des commençants, la conclusion à tirer de cette critique à laquelle ont été soumis les axiomes et les postulats de la Géométrie semble évidente. D'une part, il est impossible de fonder un enseignement purement logique de la Géométrie sur un très petit nombre d'axiomes très clairs, immédiatement saisis dans leur forme abstraite ; d'autre part, on risquerait d'affoler les enfants en leur débitant une liste coi^iplète (ou prétendue telle) de ces axiomes, et l'on y parviendrait sûrement en discutant devant eux l'indépendance ou ^interdépendance de ces axiomes. Si tout cela est certain, la recherche d'une grande rigueur logique dans un premier enseignement des éléments de la Géométrie apparaît comme inutile, et il se pourrait bien que cette inutilité fût vaguement sentie par .les écoliers, qui se demandent de quoi on leur parle, et où on les mène, et qui trouvent les énoncés beaucoup plus clairs que les démonstrations. Il ne serait peut-être pas difficile à des maîtres exercés, qui savent observer ceux qui leur sont confiés, après avoir habitué leurs élèves à la connaissance des formes géométriques, de démêler celles des propositions du début de la Géométrie qu'on peut, sans inconvénient, regarder comme intuitives ; je n'aurais aucune peine, pour ma part, à accorder à M. de Freycinet qu'on peut ranger parmi celles-là l'équidistance de deux parallèles, et je

;me qu'un enfant, habitué à manier la l'équerre, accorderait assez volontiers à tre l'égalité des angles correspondants.

e façon, on amènerait les élèves à com-

la nature des problèmes géométriques, •ter les uns à l'art du dessin, les autres à irimitif de la Géométrie, à la mesure des

des volumes- Peut-être faudrait-il requelque chose de la méthode de ces hinli se contentaient, pour une démonstra-

niot vois placé au-dessous d'une figure. Tait pas impossible de montrer que, à r ainsi, on ne va pas bien loin, de faire ■ quelques exemples amusants, que l'inpeut tromper, d'éveiller, à l'heure con- , des inquiétudes, de faire désirer aux me première revision des principes, et la d'une liste, non pas encore des axiomes, propositions fondamentales, dont le sens en compris, dont les énoncés seraient sus jr, sur lesquelles, seules, désormais, il srmis de s'appuyer pour aller plus loin.

er ces propositions aux axiomes est

d'esprits plus formés, déjà aiguisés par de du raisonnement mathématique ; quant tique des axiomes, son intérêt est consi-

sans doute, mais elle ne regarde que li aiment la science pour elle-même et je en que la passion pour la Géométrie ne ; pas chez les jeunes esprits à la lecture mières pages des meilleurs Traités, mande pardon au lecteur de l'avoir moins lu du livre de M. de Freycinet que des ns que sa lecture m'a suggérées ; aussi i livre se recommande-t-il assez par le

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nom de son auteur, et les qualités de Texposition risquent-elles de désespérer ceux qui s'efforceraient de la résumer. Et puis, le but de pareils livres n'est-il pas de faire réfléchir ceux qui les

lisent ?