é tout, il est dans la nature d'une science

Saniser, de se subdiviser en parties dont

se différencie naturellement par les

s et les postulats qui leur sont propres,

I réduire les uns et les autres au mini-

LES PRINCIPES DES MATHÉMATIQUES

mum et ne s'appuyer que sur ce qui est à elle ; la Mécanique s'est subdivisée en Statique, Cinématique, Dynamique ; la Statique et la Cinématique ont des parties purement géométriques ; la Dynamique a des parties purement analytiques, où l'on étudie certains types d'équations différentielles. Des notions plus ou moins confuses de force, de mouvement, de matière sont sortis des éléments géométriques, numériques, analytiques sur lesquels on spécule sans penser ni à la force, ni au mouvement, ni à la matière : ces diverses parties se prêtent un mutuel appui, et c'est leur ensemble seul qui constitue la Mécanique rationnelle ; elles n'en sont pas moins déjà séparées, et se sépareront davantage les unes des autres et continueront à se subdiviser. Cette division de la Science en parties correspond à une division des concepts et des postulats, qui tend à préciser et à appauvrir les premiers, à mieux distinguer les seconds, et à rapprocher la Science de l'idéal des purs logiciens. C'est un mouvement inévitable par lequel, toutefois, il convient de ne pas se laisser entraîner trop vite : il est même désirable que des voix autorisées viennent de temps en temps en montrer les inconvénients ou les dangers.

Si même cet idéal des logiciens était atteint, si chaque livre qui traite d'une partie des Mathématiques contenait au début la « table des idées premières », la suite des définitions et des postulats indispensables, la critique philosophique et historique aurait encore à s'exercer sur ces idées premières et sur ces postulats, à en discuter l'origine et la formation ; pour ce qui concerne la Mécanique, il est hors de doute que l'ex-

périence a contribué pour une très grande part à l'une et à l'autre. Les livres comme celui de ^l. de Freycinet, auront donc toujours leur place. Il est même permis de croire que, pour ce qui concerne les principes, le rôle de Texpérience est loin d'être épuisé, si, comme le veut M. de Freycinet, on fait rentrer le principe de Téquivalence dans les lois' fondamentales de la Mécanique rationnelle : d'autres principes du même genre pourront s'ajouter à celui-là.

Quoi qu'il en soit, en insistant sur le caractère expérimental des données de la Mécanique, M. de Freycinet ne va pas à l'encontre du mouvement dont je parlais tout à l'heure; mais ses fines analyses contribueront sur plus d'un point à détruire la fausse évidence sous laquelle on est parvenu quelquefois à cacher ces données, grâce à des raisonnements dont on ne sait pas bien ni s'ils sont a priori^ ni sur quoi ils s'appuient. Il est bon de reléguer ces raisonnementslà qui sentent la Métaphysique, dans Thistoire ; qu'on leur y fasse une place honorable, puisqu'ils ont été utiles à la constitution de la Mécanique ; ceux même qui croient que le monde extérieur nous est donné, que nous sommes incapables de le construire avec des vérités soi-disant nécessaires et de prétendues évidences métaphysiques, ne s'en plaindront pas.

M. de Freycinet examine successivement les notions essentielles de la Mécanique, mouvement, vitesse, accélération, force, masse, etc., et les principes fondamentaux de cette science.

Il passe rapidement sur les notions d'espace et de temps, qui interviennent dans la notion du mouvement; à vrai dire, la critique de la notion

■ »w*" Vf-

LES PRINCIPES DES MATHÉMATIQUES

d'espace appartient plutôt à la Géométrie qu'à la Mécanique. Toutefois, il ne pouvait ne pas s'arrêter un instant sur la question du mouvement relatif et du mouvement absolu, dont il admet la notion. Il est vrai qu'on ne trouve rien à répondre à ceux qui soutiennent que, pour qu'il y ait une Mécanique rationnelle, il faut bien qu'il y ait un système de repères et une façon de mesurer le temps, tels que les lois de cette Mécanique soient vraies.

a La première origine de la notion de force se trouve sans conteste, dans nos impressions personnelles. Bien avant que Thomme eût créé une science des forces et se fût élevé dans la sphère des abstractions, il avait acquis, par sa propre expérience, le sentiment très net d'un effort à déployer pour écarter les obstacles ou pour déplacer les corps. Soit qu'il exerçât une pression sur quelque objet fixe, soit qu'il essayât de vaincre des frottements ou la pesanteur, il était amené à développer une contraction musculaire, k faire effoft pour atteindre son but. Tel est l'acte spécial et bien défini par lequel l'homme prend conscience de sa force et des effets qu'il en peut attendre. Aucun argument ne saurait prévaloir contre ce fait; aucune interprétation ne saurait enlever à la force ainsi conçue et ressentie son caractère nettement concret. Elle n'est point une abstraction, un être de raison, mais quelque chose de réel et d'efficace dont nous portons en nous un type certain. »

Sans doute, et Ton ne saurait mieux dire, mais qu il y a loin de la sensation musculaire à ce vecteur qui, pour le mathématicien, traduit la force ! En particulier, la comparaison entre deux forces, Tégalité, l'addition de deux forces comportent bien des difficultés que le savant auteur ne cherche pas à dissimuler. Pour éclaircir ces notions, on imagine d'ordinaire que l'on ait à sa disposition de petites forces que l'on accroche ou

n décroche à volonté : le moins que l'on it dire sur les mécanismes plus ou moins jxes que l'on invente pour réaliser ces ions est que la théorie de ces mécanismes uerait cette Mécanique rationnelle dont il l'établir les premières notions. Au fond, force de rattacher, tant bien que mal, les ) que l'on veut introduire dans l'esprit des mçants à des phénomènes avec lesquels pose qu'ils sont familiers ; il est d'ailleurs le que des considérations de ce genre intervenus historiquement dans le travail 1 moins conscient qui a abouti à substituer lotion vague de force un vecteur ayant, ; qui concerne le mouvement, des propriéinies.

Ainsi le corps a une double propriété : la niobivertu de laquelle, s'il est libre, il cède au moindre it cette autre propriété d'après laquelle il réclame rts différents, selon sa nature et ses dimensions, mdre le même mouvement. Cette seconde propriété rmiiiée par ce que l'on appelle !a masse. Ainsi, la es corps se reconnaît à la grandeur des forces qui t prendre le même mouvement.

i donc nous avions le moyen d'évaluer iraraédiatentensité de la force ou le nombre de kilogrammes ires pour imprimer à un corps un mouvement con-

oaniÈre générale, les masses de tous les corps proportionnelles aux grandeurs des forces ainsi

physiciens ont constaté que tous les corps sans n, depuis le plus léger duvet jusqu'au bloc de m de platine, abandonnés à eux-mêmes dans le ennent le même mouvement : partis en même e la même hauteur, ils arrivent ensemble au bas Jte. Les forces qui les sollicitent, c'est-â-dire leurs int donc, par définition, proportionnelles à leurs

LES PRINCIPES DES MATIIÉMATiqUES

masses. Dès lors, au lieu de mouvoir les corps à l'aide d'appareils spéciaux, pour en évaluer la masse, il suffit de les peser. »

Au fond, cela revient à dire que la masse est définie au moyen de la balance, et c'est sans doute ce que Ton peut en dire de plus clair et de plus sûr, puisque, après tout, c'est au moyen de la balance qu'on mesure effectivement les masses. Sans doute, ici encore, on pourrait dire que la balance est un appareil compliqué, dont la théorie implique une bonne partie de la Mécanique rationnelle; c'est même cette Mécanique rationnelle qui fournit le moyen de construire des balances qui soient justes et sensibles : quoiqu'une partie des difficultés soit supprimée en ne considérant, comme le veulent les physiciens, que des doubles pesées, il n'est pas logique de se servir de la balance pour définir une notion fondamentale de la Mécanique. De quelque côté que l'on se retourne, on se heurtera toujours à l'impossibilité de construire le monde extérieur avec la pure logique. D'ailleurs, à chacune des notions fondamentales de la Mécanique ne correspond pas une expérience qui permette de la définir : il y a une infinité d'expériences dont la Mécanique explique et coordonne les résultats d'une façon admirable, et c'est, comme on l'a dit, la cohérence de toute la science, nullement l'évidence de ses principes, qui en garantit la valeur.

M. de Freycinet insiste avec raison sur l'impossibilité où l'on est de prévoir logiquement le rôle de la masse, de ce coefficient numérique attaché à la matière, que la balance nous permet d'évaluer : pour les corps qui sont à notre portée, il s'efforce de faire pénétrer dans l'esprit de

son lecteur cet étonnement devant les choses que Thabitude n'arrive pas à dissiper chez le véritable philosophe. Pour me borner à la façon même dont M. de Freycinet introduit la notion de masse, était-il possible de prévoir logiquement ce fait que le temps de chute d'un corps est indépendant de sa masse ?

Je passe sur les concepts de quantité d'action, de travail, de masse vive, d'énergie, etc., que M. de Freycinet examine ensuite et à propos desquels il est obligé d'anticiper un peu sur ces lois générales du "pnouvement auxquelles il consacre le second chapitre de son livre et qu'il range dans Tordre suivant ; loi d'égalité entre l'action et la réaction; loi d'inertie; loi de Tindépendance d'action des forces ou de l'indépendance des mouvements ; loi de l'équivalence mécanique de la chaleur.

Il déduit de la seconde et de la troisième loi la relation fondamentale de la Mécanique F == wy et la règle du parallélogramme. Or on peut, inversement, par intégration, déduire de ces deux dernières propositions et la loi de l'inertie et la loi de l'indépendance des effets des forces. Je me demande en quoi il est préférable d'adopter un ordre plutôt qu'un autre, et de partir d'un système de lois plutôt que d'un autre. La façon de procéder qu'a adoptée M* de Freycinet est plus conforme aux habitudes et à l'histoire : estelle plus claire? On dira peut-être, comme on Ta dit à propos d'autres sujets, que l'expérience ne peut fournir des relations différentielles, mais bien des relations entre des intégrales, d'où nous déduisons les relations différentielles : dans le cas actuel, cette observation n'est guère con-

IIO

LES PRINCIPES DES MATHÉMATIQUES

cluante, car ni la loi de l'inertie, ni celle de Tindépendance des actions des forces ne sont susceptibles d'une démonstration expérimentale directe. S'il n'y a donc dans l'espèce, ni évidence a priori j ni vérification expérimentale directe, il semble très légitime de se décider,' dans le choix, par la simplicité et la clarté de Ténoncé ; or la relation F==mY et la règle du parallélogramme sont, à ce qu'il me semble, des énoncés plus clairs que le principe de l'indépendance des effets des forces et du mouvement antérieurement acquis : celui-ci, si je ne me trompe, n'a de sens que si les forces sont données en fonction du temps, et ne se prête à des déductions faciles que si les forces sont constantes : M. de Freycinet a lui-même signalé ce dernier point.

S'il est vrai que les meilleurs livres sont ceux qui donnent le plus à réfléchir, il faut assurément féliciter M. Andrade d'avoir publié ces Leçons de Mécanique physique^ Ceux même dont M. Andrade choque les habitudes reconnaîtront qu'il y a dans son Livre d'excellentes parties, par exemple ces premiers Chapitres, où il retrace à grands traits Thistoire de l'Astronomie depuis Kepler jusqu'à Newton, et où il montre l'influence décisive que les succès de l'Astronomie ont eue sur la constitution de la Mécanique. Que la définition de la force, regardée comme le produit de l'accélération par la masse, dépende d'une part de l'horloge qui sert à mesurer ou à

i. Andrade (J.). Leçons de Mécanique physique.

àr le temps, d'autre part du repère auquel on orte le mobile, c'est encore là une remarque essentielle et que l'on ne saurait trop répé- Q importe assurément de démêler la variaqu'introduit dans la force et le changement rloge et le changement de repère; c'est ce permet de faire un simple changement de ible, pour le temps, et le théorème de Corioiour le repère. Si, sur un mobile dont le vement est rapporté à un repère déterminé, nouvelle force vient à agir à un moment lé, la variation géométrique de l'accéléraqui résultera de cette action est indépene du repère, comme le montre le théorème oriolis, et ne dépend pas non plus de l'hor- , sauf un coefficient numérique qui n'influe >ur sa direction. A cause du caractère invade cette variation géométrique. M. Andrade , après Reech, qu'on la prenne pour point lépart de la définition de la force. Cela, )le-t-il, entraînerait quelques complications ; . la remarque précédente n'en gardera pas is toute son importance, aux yeux même de qui se résolvent à regarder la force comme [jue chose de relatif.

un problème de Mécanique, pour une cer- ! horloge et un certain repère, conduit à des tions différentielles où les accélérations s'exent uniquement en fonction des points mo- ., ces équations perdront, en général, leur Itère quand on rapportera le temps à une i horloge et le mouvement à un autre re. Quelle que soit encore l'importance de ! remarque, elle appelle une observation. y a une horloge et un repère qui donnent aux

•T^^ÛT- •-'

LES PRINCIPES DES MATHEMATIQUES

équations la forme simple que je viens de dire, on ne manquera pas de les choisir, de regarder l'horloge comme marquant le temps absolu et le repère comme l'espace absolu. M. Andrade a développé lui-même cette idée à propos du prin' cipe des aires. Cet absolu ne sera bien entendu, qu'un absolu relatif à nous, à notre connaissance expérimentale du monde des phénomènes ; mais il sera la base la plus solide de cette connaissance, ^existence d'une telle horloge et d'un tel repère, pour tous les problèmes réels de la Mécanique est assurément une hypothèse ; le principe de Tégalité de l'action et de la réaction est aussi une h3^pothèse, mais il n'a pu entrer un seul instant dans la pensée de M. Andrade de contester l'extraordinaire succès de ces hypothèses et l'ordre qu'elles ont apporté dans notre connaissance du monde extérieur. Alors pourquoi dire que le principe de l'inertie est inutile ? Inutile à quoi ? A fonder la Mécanique ? Mais quelle mécanique? Sans doute on peut, sans le faire intervenir, écrire des équations différentielles, des relations entre les accélérations, les vitesses et les coordonnées des points mobiles ; dira-t-on que ces équations appartiennent à la Mécanique, et surtout à la Mécanique physique ? N'est-ce pas ce principe qui donne aux équations de la Mécanique leur caractère d'équations de la Mécanique? Peut-on se passer d'hypothèses pour mettre les problèmes réels en équations ? Quel autre garant les hypothèses ont-elles que le succès et quelle autre hypothèse a-tnelle eu plus de succès que celle-là ?

Pour définir la force, l'accélération ne suffit pas, il faut encore définir la masse, le coeffi-

& ÏIJ ^ J- TANNERY. — 8

cient numérique attaché à la matière. M. Andrade veut en donner aussi une définition cinématique, indépendante des repères du mouvenient. Cette définition est fondée sur le fait de Timpénétrabilité de la matière. Je dois remarquer en passant que quelques personnes n'accepteront pas facilement ridée de l'impénétrabilité de la matière comme rentrant dans la Cinématique ; mais il n'y a là qu'une question de mots. Pour M. Andrade, la définition de la masse résulterait de la relation vectorielle

vérifiée, après le choc, par les accroissements géométriques des vitesses ; il serait « conforme aux faits que quelles que soient les conditions du choc renouvelé, il existe deux nombres positifs et constants » qui vérifient cette relation. Soit; mais, assurément, cette relation ne servira pas en général pour mesurer effectivement les masses ; quand on voudra les mesurer, on continuera de faire appel au principe de l'égalité de l'action et de la réaction. M. Andrade dit un peu plus loin : « Si l'on rapproche la définition cinématique des masses de la définition classique, on voit qu'on les conciliera en admettant que le choc des deux corps développe des actions mutuelles qui, agissant pendant chaque élément infiniment petit de la durée courte mais finie du choc, sont deux à deux égales et contraires. C'est le postulat de Végalité de V action et de la réaction sous sa forme la plus simple : la pression mutuelle de deux corps en contact ». Mais si ce postulat, sous sa forme la plus simple, intervient dans la définition des masses, s'il intervient encore dans

LES PRINCIPES DES MATHEMATIQUES

leur détermination effective, si en outre le choc et V impénétrabilité comportent quelques difficultés, ne vaut-il pas mieux laisser le principe de Tégalité de l'action et de la réaction à la base de la Mécanique ?

Jusqu'ici, sauf peut-être -pourï impénétrabilité^ nous sommes restés dans la Cinématique. M. Andrade a tenu, en effet, à montrer que l'idée fondamentale de Reech peut être débarrassée de la conception des liaisons. C'est toutefois cette conception qui pour lui, doit fonder la notion de force et donner à la notion d! effort un caractère scientifique. Il accepte, avec franchise, le reproche d'anthropomorphisme que quelquesuns lui adresseront peut-être. Il a raison sur ce point : quelle est celle de nos connaissances où il n'y a pas quelque anthropomorphisme ? Ce ne serait peut-être pas une connaissance humaine. L'anthropomorphisme m'inquiéterait bien peu, c'est le défaut de clarté qui me semble plus inquiétant. La notion de mon effort musculaire me paraît bien obscure, et je n'y trouve même pas cet élément indispensable de l'idée de force, la direction . La sensation que je ressens dans le bras ne m'apparaît pas comme un vecteur. « La force, dit l'ingénieur à qui M. Andrade prête la parole, c'est ce qui fatigue des liens déterminés, ce qui les tend, ce qui peut les rompre, c'est aussi la fatigue de mon bras... » Ici encore je ne vois pas le vecteur. « Le point de vue dominant (de l'École du fil), dit-il plus loin, est la considération de certains systèmes de masse négligeable, ayant aussi une ou deux dimensions négligeables, envisagés dans un état particulier, état de tension^ et capables de transmettre des efforts con-

sidérables à d'autres corps éloignés. Le type idéal d'une machine de ce getire est un fil^ fil parfaitement flexible et bien légèrement extensible. C'est là Timage, le modèle de Tidée de force, dans la seconde école. » Sans doute, le vecteur est maintenant plus près, c'est le fil luimême. Mais ce m,odèle de l'idée de force, cet état de tension, ces efforts considérables que l'on transmet, est-ce là des idées parfaitement claires ? La clarté est peut-être une affaire d'habitude, et les personnes qui ont des habitudes différentes répondront sans doute différemment. Estil bien sûr que cette conception ne mêle pas la Mécanique, plus que le fameux principe de r inertie à des questions physiques p articula^ risées ? Et si elle satisfait l'ingénieur, satisfera* t-elle l'astronome, qui ne voit aucun fil entre la Terre et le Soleil ? Il faut bien l'avouer d'ailleurs : ces doutes ne s'adressent pas à M. Andrade en particulier, mais à toute conception de la Statique, considérée comme une science isolée, se suffisant à elle-même. Il y a dans une telle statique une partie géométrique, indépendante du sens physique des vecteurs, qu'il y a intérêt à séparer de la Mécanique, et qui a une clarté toute géométrique. Malheureusement, le sens physique de ces vecteurs, de ces causes d'un mouvement qui ne se produit pas (en Statique), échappe à bien des personnes, pour qui aussi la notion ^ effort^ dont assurément elles ne contestent pas la réalité, n'a pas la netteté qu'elles désireraient. Mais, après tout, il est peut-être sans inconvénient qu'il y ait deux Écoles, pourvu que tout le monde écrive les mêmes équations d'équilibre et de mouvement. Rien, dans ce qui

» ii6 «

LES PRINCIPES DES MATHEMATIQUES

précède, n'est pour diminuer la valeur d'une exposition qui touche aux points les plus essentiels de la Mécanique et qui contient d'ailleurs des chapitres importants, que j'ai dû laisser de côté, comme celui qui se rapporte au principe de d'Alembert, que M. Andrade défend énergiquement contre Reech, et à propos duquel il fait une remarque bien intéressante sur le caractère invariable des réactions des liaisons.

Quelques bons esprits regrettent le caractère trop analytique de la Mécanique rationnelle, telle qu elle est enseignée habituellement : ils voudraient que l'enseignement de la Mécanique se reliât plus étroitement à celui de la Physique ; ils sacrifieraient volontiers à ce désir quelquesuns des plus beaux Chapitres de la Mécanique classique. On peut tout au moins désirçr qu'il se [constitue à côté de l'enseignement de cette Mécanique classique, un autre enseignement qui répond à des besoins très réels, et il faut savoir gré à ceux qui s'y efforcent, comme le fait M. Andrade.

Le programme des examens d'entrée à l'École centrale a été, Tan dernier, profondément modifié ou plutôt renouvelé. Il ne s'agit pas, cette fois, de l'introduction ou de la suppression de quelque alinéa, sur laquelle les membres d'une commission ont discuté longuement autour d'un tapis vert et qui a été décidée, au hasard du vote, d'après une majorité qui, le lendemain, ne se serait pas retrouvée la même, et qui penche tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, tantôt à cause du goût de certains membres pour quelque

petite théorie qui réveille en eux d'agréables souvenirs de jeunesse, tantôt à cause de l'autorité ou de Tâge de celui qui vient de parler et que Ton n'ose pas contredire. Cette fois, c'est l'esprit qui a soufflé, et le vent a emporté quelques fétus de paille, apporté quelques germes nouveaux. Souhaitons que ces germes poussent. Les gens qui ont rédigé ce programme ont eu l'idée vraiment neuve et originale de se préoccuper des besoins de TÉcole dont il est le seuil, de l'enseignement que Ton doit donner dans cette École, du métier que doivent faire un jour ceux qui en sortiront. Peut-être ces gens-là avaient-ils conscience de ces besoins et cette hypothèse explique-t-elle leur originalité. Sans doute, quelques paragraphes, qu'il serait d'ailleurs aisé de retoucher, en restant dans le même esprit, prêtent à la critique, mais il me semble bien que la tendance générale doit être louée sans réserve.

Il ne suffit pas de faire un bon et beau programme, non plus qu'un bon sermon : il faut prêcher l'exemple. M. Appell s'y est dévoué et a écrit un petit Livre* qui fixera le sens dans lequel doit être enseignée la Mécanique aux futurs ingénieurs de l'École centrale, à des gens qui n'auront à faire ni de la Métaphysique, ni de la pure Géométrie, ni de la pure Analyse, mais bien à mettre en équation des problèmes réels.

L'espace absolu est défini par un trièdre trirectangle invariablement lié aux étoiles fixes : dans

I. Appbil. Cours de Mécanique a l usage des candidats a VÊcoh centrale des Arts et Manufactures, Paris, Gauthier-ViUars, 1903.

LES PRINCIPES DES MATHÉMATIQUES

la plupart des problèmes pratiques il n'y a pas d'inconvénient à regarder le trièdre comme invariablement lié à la terre. La masse m d'un point matériel est un coefficient numérique lié à ce point : on apprendra tout à l'heure comment on mesure effectivement ce nombre au moyen de la balance. Si un point matériel est placé dans un champ de forces, il prend une accélération y et la force qui agit sur lui est, par définition, le vecteur my. La pesanteur conduit, par voie expérimentale, à la notion de poids absolu. La pression exercée par un poids sur la main qui le soutient donne l'idée d'une comparaison grossière entre les poids absolus des corps par la sensation de l'effort musculaire pour les empêcher de tomber. Les dynamomètres permettent de préciser cette comparaison. Sans doute, tout cela est grossier, et l'on criera, si l'on veut, au cercle vicieux, quand, il sera question de mesurer la masse par la balance : la balance est une machine dont il faudrait avoir fait la tfiéorie pour savoir ce qu'elle donne. Le vrai cercle vicieux est celui qu'on ne voit pas, celui où l'on s'enferme sans le savoir. Celui-ci crève les yeux et n'a donc aucun inconvénient. Il n'y a pas de science du réel sans cercle vicieux. Pascal a démontré cela surabondamment et je crois bien qu'Anaxagore l'avait fait longtemps avant lui : ce n'est pas là une découverte moderne. Et, I cependant, il est vrai qu'il y a une science du j réel, une Physique, qui nous permet de prévoir : des phénomènes que nous observons, des machines qui marchent, qui exécutent des travaux, et que Ton calcule. L'important ici est de ne pas se tromper, et de ne pas substituer dans les

équations des nombres inexacts» Eh bien ! c'est effectivement avec une balance qu'on mesure les masses, c'est des nombres obtenus au moyen de cet instrument que l'on se sert, et c*est ce qu'il importe de savoir.

M. Januschke^a emprunté une curieuse épigraphe à R. Mayer : c'est une déclaration de guerre à ce qui reste des dieux de la Grèce, réfugiés dans les fluides impondérables ; c'est là, il faut Tavouer, un triste déguisement pour ces radieuses divinités, plus triste encore que ceux qu'avait rêvés la fantaisie de Henri Heine ; ces lamentables idoles sont maintenant détrônées par le principe de la conservation de TEnergie» Si ce principe devient une religion, il convient peut-être, de lui pardonner le mystère dont il reste enveloppé ; tous les termes, à vrai dire, n'en sont pas d'une parfaite clarté ; si les forces dont la notion est assurément un résidu métaphysique n'y figurent pas immédiatement, il est difficile de dire ce que c'est que les masses, à moins de se résoudre à les regarder com7ne des coefficients qu'il est commode d'introduire dans les calculs'^, ce que c'est que l'énergie potentielle, à moins de la regarder comme une fonction des coordonnées, ce qui est peut-être insuffisant. Mais M. Januschke ne se perd pas dans ces questions théologîques. C'est la pratique du culte qu'il veut ensei-

1. Januschke (H,). Dds princip der Erhaltung dtr Energie und seine Anwendung in der Naturlehre.

2. PoiNCARÉ, Les idées de Hertz sur la Mécanique [Revue générale des Sciences, 50 septembre 1897).

^ 120 iS

LES PRINCIPES DES MAIIIEMATIQUES

gner ; le principe de la conservation de Ténergie est posé comme une induction résultant des découvertes de Galilée ; quelques exemples concrets, simples et bien choisis permettent d'en donner quelque habitude au lecteur. Disons de suite que Tauteur a grand soin dans toutes les parties de son Livre, de donner d'intéressants détails historiques sur les découvertes scientifiques et révolution des idées qui s'y rattachent ; c'est là une excellente méthode qui marque d'ailleurs les tendances philosophiques deM. Januschke, assez nettement inclinées vers le positivisme. S'il est vrai que Tauteur incline dans ce sens, pourquoi énonce-t-il cette proposition : 1 énergie totale de TUnivers est constante? Elle semble bien supposer, pour avoir un sens, que l'Univers soit fini, et cette hypothèse-là dépasse la Science positive. Celle-ci est essentiellement limitée dans le temps et dans l'espace, à des choses voisines de nous, à moins que nous ne prétendions substituer un Univers de définition à celui dont Tinduction nous permet de pénétrer une faible partie.

Après avoir lu cette petite brochure*, on s'imagine volontiers que l^auteur est un homme qui pense dans la solitude, mais non sans vigueur : tont ce qu'il dit, sans doute, n'est pas nouveau ; niais quelques idées fondamentales ressortent avec une netteté à laquelle on n'est pas habitué. Son travail a un caractère à la fois philosophique et pédagogique : pour ma part, je suis disposé à

î. Caltnox. Etude critique sur la mécanique,

)pter les conclusions. Je demande pardon leur de parler ainsi; mais il s'agit ici de res où il est plus modeste de dire : Je suis avis, que de dire : Cela est vrai.

Calinon insiste sur la convenance qu'il y a arer de l'enseignement de la Mécanique 3ment dite l'enseignement de la Géométrie gments de droite et de la Cinématique ; làï, non plus que sur le rôle que joue la i de temps en Cinématique, il ne trouvera de contradicteur. On peut regarder la I qu'il indique comme fondée depuis les IX de Mobiuset il est désirable qu'ellepasse fait dans les habitudes de l'enseignement.

: au changement de notations que propose linon, je le crois à peu près inutile.

ne paraît, comme à M. Calinon, impossible finir deux temps égaux ; le temps est ce que 16 une pendule déterminée, is doute, ni le théorème relatif à la compodes accélérations, ni les formules relatives ihangements de la variable indépendante es dérivées première et seconde ne sont des autés ; mais iliraporte à coup sûr de mettre idence le rôle que jouent ces notions puremathématiques dans l'interprétation des pes de la Mécanique : si, par exemple, le pe de l'action et de la réaction est vrai 1 on rapporte les corps à un système d'axes lulier et qu'on mesure le temps sur une penjarticulière, ce principe ne peut être vrai si apporte les corps à un système d'axes moar rapport au premier système, ou qu'on re le temps sur une pendule qui n'a pas la ! marche que la pendule primitive. Lecarac-

LES PRINCIPES DES MATHÉMATIQUES

tère expérimental et par suite contingent des principes que Ton vient de citer ressort ainsi avec une entière clarté. Cette critique du choix des axes et de la variable que Ton désigne sous le nom de temps, et des conséquences qu'on en peut tirer pour l'exposition de la Dynamique, me paraît la partie la plus importante et la plus neuve du travail de M. Calinon.

Le livre de M. Weiss* s'ouvre par une longue préface, qui tient presque le quart du fascicule que nous signalons. L'auteur aurait bien pu l'appeler Discours préliminaire^ d'autant que le ton en est quelquefois oratoire et que, rien qu'à la lire, on s'imagine volontiers un auditoire, s'intéressant aux idées générales, aux développements historiques, aux querelles sur le sens des mots et soulignant à l'occasion les intentions plus ou moins conscientes de M. Weiss, qui a l'habitude de ne pas parler de l'Allemagne sans ajouter « y compris l'Autriche ». Quoi qu'il en soit, cette préface ou ce discours contient toute une histoire de la Mécanique, et M. Weiss remonte à Galilée, même à Archimède pour retracer rapidement la façon dont la Science, tout d'abord expérimentale, a évolué, s est constituée et s'est divisée en diverses branches. Il insistera naturellement sur les rapports entre la Mécanique et la Géométrie : signalons en passant cette ingénieuse remarque de M. Reulaux, que les anciens considéraient d'habitude les faits géométriques à l'état de repos : la Géométrie des