I. Weiss (H.). Grundsàt^e der Kijiemaiik

anciens est une ruhcnde Géométrie, Une conique est pour eux l'intersection d'un cône par un plan ; elle est plutôt pour les modernes la trajectoire d'un point mobile, ou la courbe enveloppée par ses tangentes. Si juste que soit cette remarque, il ne faudrait peut-être pas en exagérer la portée : car, enfin, les anciens, eux aussi, se servaient d'instruments pour décrire les courbes, et du moment qu'on décrit une courbe avec un instrument, fût-ce un cercle avec un compas, elle ne peut manquer d'être une trajectoire. Le point de vue moderne n'était assurément pas étranger aux anciens. Il est d'ailleurs bien évident que le développenient de la Géométrie dans les temps modernes a été lié très intimement à l'étude du mouvement, et cela est d'autant plus naturel que la notion de déplacement tout au moins entre essentiellement dans notre conception de l'espace. Mais il importe peut-être de remarquer qu'en Géométrie et même en Cinématique la notion de temps ne joue qu'un rôle apparent; le temps est une variable particulière, à laquelle nous pouvons substituer une variable quelconque. Que la notion de tem.ps nous ait servi à constituer la notion générale de variable, qu'elle en fournisse un des exemples les plus simples, celui peut-être auquel on se réfère le plus fréquemment, quand on pense à une variable, cela est bien certain. Qu'il nous eût été impossible, sans la notion de temps, de constituer la notion de variable, c'est ce qu'il appartient aux philosophes de décider, ou de discuter, et la réponse de ceux qui estiment que cette notion entre nécessairement même dans l'élaboration de l'idée de nombre entier n'est pas

LES PRINCIPES DES MATHÉMAriQVES

douteuse. Il n'en est pas moins vrai que la notion de variable peut être abstraite de l'idée de temps; autrement nous ne saurions acquérir ridée de deux variables indépendantes : or c'est le rôle que joue cette notion de variable qui caractérise effectivement la Géométrie moderne, dans laquelle la courbe est regardée comme le lieu (plutôt que la trajectoire) d'un point qui dépend d'une variable ou l'enveloppe d'une droite qui dépend d'une variable, la surface comme le lieu d'un point qui dépend de deux variables, etc., etc.

Or cette notion de variable suffit non seulement à la Géométrie, mais encore à la Cinématique pufe qui, à la vérité, est une branche de la Géométrie, plutôt qtie de la Mécanique. Sans doute, on a distingué aans la Cinématique la Géomé^ trie cinéfuatique où l'on ne considère que des propriétés géométriques et où l'on convient que l'on fait abstraction du temps. Personne n'hésitera à faire rentrercette Géométrie cinématique dans la Géométrie pure. Cette distinction de la Géométrie cinématique du reste de la Cinématique, que conserve d'ailleurs M. Weiss, es parfaitement légitime avec certains modes d'exposition; elle va avec un certain ordre des matières que l'on peut adopter ou rejeter; mais elle n'a rien de fondamental. La vitesse et l'accélération, par exemple, telles qu'on les«considère en Cinématique, ne sont autres que des dérivées géométriques prises par rapport à une variable. Que cette variable s'appelle le iemps, et qu'on la désigne par la lettre t, cela, à vrai dire, n'a aucune importance et il est parfaitement naturel de rattacher à la notion de vitesse les propriétés

SCmNCE ET PHILOSOPHIE

des tangentes ou les propriétés infinitésimales du premier ordre, à la notion d'accélération les propriétés des rayons de courbure ou les propriétés infinitésimales du second ordre. On n'a, pour cela, introduit dans les démonstrations aucun élément étranger à la Géométrie. Ces dérivées géométriques s'introduisent d'une façon naturelle dans l'étude des courbes et il y aurait assurément quelque naïveté à croire que l'on fait de la Mécanique parce qu'on les a appelées vitesse ou accélération. On a simplement développé des propriétés géométriques qui seront indispensables à la Mécanique ; mais, aussi bien, fait-on de la Mécanique quand on enseigne la théorie des fonctions circulaires, ou des fonctions elliptiques, parce que ces théories ont des applications en Mécanique ? Le caractère purement géométrique des théories sur la composition des mouvements n'est pas moins évident. On pourrait, avec plus de raison peut-être, soutenir que la Cinématique appliquée est une science distincte, parce que la notion de l'impénétrabilité de la matière est étrangère à la Géométrie; et, à la vérité, si l'on ne substituait pas aux mécanismes réels qui se déforment, qui frottent, qui s'usent, des mécanismes purement théoriques, on sortirait sans doute de la Géométrie ; mais du moment que les figures que l'on considère sont susceptibles de définitions purement géométriques, et si l'on admet que les notions de distance, de corps solide font partie intégrante de notre concept d'espace, il est trop clair qu'il faut faire rentrer dans la pure Géométrie la théorie du quadrilatère articulé, du guidage rectiligne, des engrenages, etc., à condition, bien

mwp^

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entendu, qu'on regarde comme parfaitement solides les éléments de ces mécanismes. La Ciné^ matique appliquée, en tant qu'elle traite du mouvement de pareils organes, sera donc, elle aussi, un chapitre de Géométrie, un chapitre particulier, parce qu'il s'occupe de problèmes particuliers, et dont l'intérêt, pour celui qui veut étudier la Mécanique pratique, les mécanismes réels, n'est pas contestable. Malgré son 'intérêt pratique, et quoiqu'elle soit née et qu'elle ait commencé de se développer à propos de problèmes réels, il est certain que cette branche de la Science est en train de revêtir son individualité propre ; ceux qui en poursuivent l'étude en arrivent à se poser des problèmes qui les intéressent par eux-mêmes, non par leurs applications; on ne prévoit guère, par exemple, le jour où les mécaniciens utiliseront les théorèmes de M. Kempe et de M. Kœnigs sur la description des courbes algébriques au moyen de systèmes articulés. En résumé, il me paraît que la Cinématique appartient non à la Mécanique, mais à la Géométrie : il s'agit, bien entendu, de la Cinématique au sens d'Ampère, qui est le plus généralement adopté.