ÉLÉMENTAIRE

Une bonne partie des travaux mathématiques du xtx® siècle se rapporte aux fondements de la géométrie. Les livres et les mémoires consacrés à ce sujet rempliraient une bibliothèque. Il me suffira de citer parmi les plus illustres de ceux qui s'en sont occupés, Gaus, les deux Bolyai, Lobatchewski, Riemann, Beltrami, Cayley, Helmholtz, Sophus Lie, MM. Klein, Hilbert, Poincaré.

Les axiomes de la géométrie ont été soumis à une longue, pénétrante et minutieuse critique, qui exigeait beaucoup de hardiesse, beaucoup de sagacité, et une connaissance approfondie de l'ensemble des mathématiques. Ce travail de critique a été fait surtout par des analystes : on sait, depuis Descartes, que les points et les figures de l'espace peuvent être remplacés par des systèmes de nombres et d'équations ; en raisonnant sur des équations tant qu'on ne fait que des transformations analytiques, on est bien sûr de ne pas introduire des hypothèses nouvelles; les hypothèses qu'on a faites, on sait exactement où on les a introduites. Au contraire, quand on raisonne sur une figure, on risque d'être ébloui par quelque fausse évidence qui n'est qu'une

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habitude de nos yeux, et de laisser pénétrer dans un raisonnement quelque chose qui n'était pas dans les prémisses. La forme analytique donnée à la critique dont je parle ne permet aucun doute sur la valeur de ses résultats.

Les principes de la géométrie doivent, toutefois, être dépouillés de tout cet appareil analytique qui a permis de les éclaircir, de les distinguer, de les contrôler : il faut les placer au commencement de la science, non à la fin, les montrer dans leur ïiudité, sous une forme telle qu'ils puissent être saisis par un être intelligent, qui ne saurait point de mathématiques, mais auquel on demande une puissance d'abstraction et une pénétration qui ne peuvent gjière s'acquérir que par une longue habitude des mathématiques. La contradiction, au point de vue de l'enseignement, est manifeste ; mais, pour le moment, laissons la pédagogie de côté, nous y viendrons plus tard.

Tout d'abord, il faut bien, au début de la géométrie, placer des définitions, et l'on sait assez qu'il est impossible, sans cercle vicieux, de tout définir. Il y aura donc des éléments, dont on parlera, et qui ne seront point définis; tels seront, pour certains auteurs, le point, la droite, le plan : ces mots éveillent dans notre esprit des images ou des résidus d'images ; et c'est sur ces images d'où il a éliminé presque toute réalité, et sur les propriétés qu'il leur attribue, que raisonne habituellement le mathématicien. Mais cela n'est pas encore assez pur, il faut se débarrasser des images, pour garder seulement, non pas même les propriétés, mais bien les formules par lesquelles elles s'expriment : ces mots « point,

droite, plan... » ne signifieront rien en euxmêmes ; mais il ne sera permis de les grouper, de les combiner que d'après certaines conventions définies, qui correspondent aux axiomes fondamentaux de la géométrie ; il faut et il suffit que ces conventions ne soient pas contradictoires, et qu'elles soient indépendantes les unes des autres.

« ... M. Hilbert a, pour ainsi dire, cherché à mettre les axiomes sous une forme telle qu'ils puissent être appliqués par quelqu'un qui n'en comprendrait pas le sens, parce qu'il n'aurait jamais vu ni point, ni droite, ni plan. Les raisonnements doivent pouvoir, d'après lui, se ramener à des règles purement mécaniques, et il suffit, pour faire la géométrie, d'appliquer servilement ces règles aux axiomes, sans savoir' ce qu'ils veulent dire. On pourrait ainsi construire toute la géométrie, je ne dirais pas précisément sans y rien comprendre, puisqu'on saisira l'enchaînement logique des propositions, mais tout au moins sans rien y voir. . . * »

Plusieurs géomètres italiens, d'un esprit singulièrement délié, se sont placés à un point de vue analogue : il me suffira de citer, parmi eux, MM. Peano, Pieri, Padoa. Ce n'est pas seulement les figures que ceux-là excluent de leurs raisonnements, c'est les mots, ou presque : les mots de la langue usuelle éveillent en nous des restes d'images, bien décolorées sans doute, mais dont se défient encore ces abstracteurs de quintessence : devant leurs précautions contre l'infection de la réalité, celles du chirurgien qui veut assurer la parfaite asepsie de ses instruments ne

I. H. PoiNCABÊ. Bulletin des sciences mathématiques, 1902, p. 353.

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sont rien ; ils ne veulent plus avoir affaire qu'à des signes purement conventionnels, à des lettres auxquelles on n'est plus tenté d'attribuer aucune signification ; les propriétés de ces symboles, relatives non à eux-mêmes, mais à la façon de les combiner, correspondent encore aux axiomes de la géométrie : le reste n'est plus qu'une mécanique logique; les raisonnements prennent la forme d'équations ; quand on lit ces équations, en remplaçant ces symboles par des mots : point, droite, plan..., on a les théorèmes de géométrie. Si l'on donnait aux lettres une autre signification, une signification telle que les règles du groupement restassent les mêmes, on aurait une autre science ; de même, une formule d'algèbre peut donner, en remplaçant les lettres par diverses valeurs numériques, la solution de divers problèmes qui, à la vérité, sont tous fondus dans un même moule. C'est, comme on voit, un jeu très savant et très singulier. On n'y avance pas vite, mais les résultats sont parfaitement sûrs et s'expriment dans une langue condensée, dont les formules ont souvent l'avantage de mettre en pleine lumière l'identité de propositions qui ne semblent diff^érentes que parce qu'elles s'appliquent à des objets divers.

Voilà à quoi aboutit ce travail de critique et d'épuration des concepts de la géométrie que les Grecs avaient déjà poussé si loin, qu'ont repris les mathématiciens du xix° siècle, par des méthodes de plus en plus perfectionnées. Ces recherches subtiles, si elles ne sont pas terminées, si quelques points peuvent en être encore simplifiés et mieux éclaircis, sont au moins très avancées.

On a pu dresser une liste des axiomes sur lesquels repose la géométrie, les classer en différents groupes, s'assurer qu'ils ne comportent aucune contradiction ni interne, ni mutuelle, et qu'aucun d'eux ne peut être déduit logiquement des autres ; on a pu poursuivre les conséquences auxquelles on est conduit quand on ne suppose plus la vérité de tel ou tel axiome, et construire ainsi une suite de géométries, très différentes les unes des autres et qui, toutes, ont le même droit logique à l'existence ; aucune n'est plus vraie qu'une autre ; c'est un point que M. Poincaré^ en particulier, a mis en pleine lumière par des exemples topiques. Chacune de ces géométries est cohérente ; si vous admettez ses prémisses, ses axiomes, il faut admettre ses conclusions. Si vous changez les prémisses, les conclusions changent, voilà tout.

Le lecteur, qui peut bien ignorer tout ce prodigieux travail souterrain, n'est pas sans en connaître l'origine ; elle est dans l'étude du postulatum d'Euclide, ou de cette proposition équivalente : par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite. Rien ne paraît plus évident que cette proposition : elle a résisté aux efforts de tous ceux qui ont prétendu la démontrer. Un moyen tout naturel pour essayer de l'établir consiste à supposer qu'elle n'est pas vraie, à chercher des conséquences de plus en plus lointaines de cette supposition, jusqu'à ce qu'on rencontre une contradiction incontestable. On n'en rencontrera jamais : c'est ce qui est apparu d'abord par la cohérence même de ces conséquences, c'est ce qu'on a fini par mettre hors de doute. Le postulatum d'Euclide n'est ni vrai

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ni faux ; c'est une hypothèse dont on a besoin pour construire la géométrie ordinaire.

Cette révélation a été un scandale : si les premiers qui Tont apportée étaient tombés entre les mains de médecins aliénistes, capables de les comprendre à moitié, ils auraient bien pu être soumis à quelque traitement pénible. Mais, les moralistes le savent, on s'habitue au scandale ; le scandale du dernier siècle est maintenant une vérité courante pour les mathématiciens. Au reste, il a été renouvelé, sans qu'on s'en émût autrement. Si personne, au commencement du XIX® siècle, sauf quelques précurseurs qui « de peur des béotiens et de leurs clameurs », n'osaient pas dire leur pensée tout haut, si personne ne doutait de la vérité du postulatum d'Euclide, il y a d'autres axiomes, dont on aurait encore moins osé douter, celui par exemple auquel est attribué le nom d'Archimède, qu'il conviendrait, paraît-il, de faire remonter à Eudoxe et que voici :

Considérons, d'une part, une droite indéfinie et deux points A, B sur cette droite, puis, d'autre part, une droite limitée, un mètre, par exemple : en portant cette droite limitée, ce, mètre, sur la droite illimitée, à partir du point A, vers le point B, comme si on voulait mesurer la distance AB, en plaçant un second mètre au bout du premier, un troisième au bout du second, etc., et ainsi de suite, on finira par atteindre ou par dépasser le point B.

Eh bien ! de cet axiome on ne peut pas non plus affirmer la vérité. C'est encore une hypothèse, dont la géométrie ordinaire, celle qu'on enseigne dans les écoles, a besoin. M. Veronese et M. Hilbert se sont amusés à construire une

géométrie où cet axiome n'est plus vrai, où il y a une région de la droite indéfinie que l'on ne peut jamais atteindre en portant bout à bout autant de mètres que l'on voudra, et cette géométrie, si différente qu'elle soit de la nôtre, ne conduit à aucune contradiction.

Et il y a bien d'autres géométries que celles dont je viens de parler : en laissant tomber un axiome ou un autre, on ouvre la fenêtre sur quelque étrange géométrie dont le mathématicien capable de se mettre à cette fenêtre sans que la tête lui tourne, voit se dérouler les fabuleuses conséquences.

J'ai entendu raconter qu'au temps de Louis XIV, à une époque où l'on ne soupçonnait pas les paysages romantiques » et où l'admiration de la nature ne sévissait pas parmi les gens qui se piquaient d'avoir du goût, un original avait eu la fantaisie d'aller se promener dans les Alpes et de grimper jusque dans un glacier : l'impression d'horreur que ressentit le pauvre homme fut si forte qu'il en mourut sur le coup. Aujourd'hui, ceux qui ont une fois contemplé la splendeur désolée des séracs et des champs de neige, rêvent d'y retourner, d'aller plus loin, de monter plus haut dans un air plus subtil, plus froid, moins respirable.

Avant de développer la conséquence qui me paraît ressortir, au point de vue pédagogique, de tout ce travail auquel ont été soumis les fondements de la géométrie, je voudrais prier le lecteur de retenir deux points.

Tout d'abord, je tiens à le répéter encore une fois, les résultats en sont parfaitement établis.

En second lieu, ce travail a été vraiment

DE VENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE ELEMENTAIRE

admirable, non seulement par la difficulté surmontée, mais par son importance scientifique et philosophique \ j ai déjà dit qu'il était mêlé aux spéculations les plus hautes de l'analyse ; il touche aussi profondément blxx problème de la connaissance^ il a permis de descendre plus avant dans la "pensée, d'éclairer un peu notre conception de l'espace, et par là du monde extérieur.

Il @6t la continuation toute naturelle de Tœuvre 4es Grecs ; j'imagine qu'Eudoxe ou qu'Euclide, s'ils revenaient parmi nous, se reconnaîtraient parfaitement dans les conclusions de la critique moderne, qu'ils seraient satisfaits de voir que ces conclusions ont été poussées si loin, et de les savoir si assurées ; peut-être en seraient-ils moins étonnés que ceux qui ont commencé de les entrevoir; sans doute ils n'ont jamais soupçonné rien de semblable à l'œuvre des géomètres du XIX® siècle ; mais leur dialectique était si hardie et si pénétrante, ils étaient si habitués à suivre leur pensée jusqu'au bout, ils se jouaient si bien dans les abstractions logiques, ils avaient rencontré et résolu tant de difficultés, qu'aujourd'hui ils accueilleraient, sans doute, avec un bienveillant sourire les paradoxes qui nous ont tant épouvanté.s. Les philosophes croient-ils que l'auteur du Pannénide^ qui spéculait volontiers sur l'existence du non-être, se fût embarrassé pour si peu? D'ailleurs, les mathématiciens grecs n'ignoraient pas les scandales logiques, la contradiction entre nos habitudes d'esprit et les conséquences, poursuivies jusqu'au bout, d'une chaîne de déductions dont chacune est solide et solidement attachée aux autres. N'avaient-ils pas mis en pleine lumière l'existence de grandeurs

incommensurables entre elles, et ne savaient-ils pas raisonner sur ces grandeurs ? Je me figure que cet Eudoxe qui a fondé une théorie de la proportionnalité, dont on admirera toujours Télégance et la rigueur, aurait grand plaisir à converser avec M. Hilbertou M. Poincaré et que le plaisir serait partagé.

Aussi bien, puisque le procédé littéraire est aujourd'hui bien connu, profitons-en et amusonsnous (respectueusement) à ressusciter Euclide : il ne coûte rien de lui accorder, par-dessus le marché, le don des langues modernes.

En apprenant cette extraordinaire résurrection, la Fédération internationale des Académies s'est émue ; elle a proposé à tous les gouvernements des peuples civilisés de nommer Tillustre revenant inspecteur mondial, dans Tordre des mathématiques. On ne pouvait moins faire dans un cas si rare, pour un tel savant et un tel professeur.

En passant à Leipzig, Euclide entra chez M. Teubner, qui lui remit un exemplaire des Euclidis Opéra, édition Heiberg, en cinq volumes fort proprement reliés en peau de truie. Euclide fut émerveillé de la science de M. Heiberg, il lui promit son avis sur quelques points douteux, et un essai de restitution des ouvrages perdus.

Malheureusement, il ne donna pas une suite immédiate à ce projet ; comme il prenait au sérieux ses nouvelles fonctions, il voulut s'y préparer et se mettre au courant des mathématiques modernes ; cela l'arrêta quelque temps, particulièrement les groupes de transformations et les gros volumes de Sophus Lie.

Il fit sa tournée dans les diverses écoles de

DE LEiySEIGNEMEiyr DE LA GEOMETRIE ELEMENTAIRE

TEurope, il se réjouit de la solidité de l'édifice qu'il avait construit, qui, mieux que le Parthénon,a bravé TefFort des siècles. Les revenants ne sont pas insensibles à la vanité ; il constata avec plaisir, ici les règlements qui imposent l'étude textuelle de ses livres, là les habitudes traditionnelles, plus fortes encore que les règlements, qui maintiennent dans l'enseignement Tesprit et les méthodes de ces livres ; mais le penseur ne tarda pas à se ressaissir ; le respect de la science l'obligea de nous blâmer : « O jeunes hommes, il est beau sans doute de respecter la vieillesse et d'honorer les ancêtres, mais vous ne savez. pas garder la mesure, et vous ne m'honorez pas comme il faut ; vous ne respectez pas mon œuvre en n'acceptant pas les perfectionnements qu'elle a reçus, et qui étaient mon plus cher désir ; il n'est pas permis de s'arrêter dans la voie de la logique, il faut aller jusqu'au terme et ne pas laisser, au début de la géométrie, ces lacunes que je n'ai pas su combler et qui me choquent plus que toutes les géométries non euclidiennes, riemaniennes, non archimédiennes, cayleyennes, non pascaliennes, non arguésiennes, ou autres. Ceux qui semblent avoir détruit mon œuvre sont ceux qui l'ont vraiment continuée ; je me contente de savoir que mon postulatum, comme vous l'appelez, forme, à lui tout seul, un groupe à part dans la classification de M. Hilbert; j'avais vu juste en signalant son importance. D'ailleurs j'avais aussi pressenti la doctrine d'après laquelle ces mots « ligne droite » ne doivent pas avoir de signification, ma définition n'en a pas beaucoup. »

Il continua, après un sourire :

a Je m'étonne grandement de Tâge et du nom-

bre des enfants qui apprennent la géométrie. Comme le goût de cette géométrie s'est développé ! je n'ose me flatter d'y avoir contribué, ou plutôt je ne croyais pas si bien réussir; sans doute, dans ma tournée, je me suis aperçu, plus d'une fois, alors que le professeur parlait, que ses élèves fegardaient voler les mouches, mais enfin ceux qu'il a interrogés ont assez bien répondu, et je suis vraiment content de mon inspection.

Quelle merveilleuse précocité ! Comme les enfants sont devenus sérieux et intelligents depuis le temps où je respirais pour la première fois ! A leur âge je ne recherchais point les discours deâ hommes graves, et, plus tard, lorsque je fus devenu un maître illustre, si de pareils élèves étaient venus m'écouter, je les aurais renvoyés à leurs jeux. Je ne puis m'empècher de plaindre un peu les vôtres, qui ne me paraissent pas tous très bien conformés. »

Il revit en pensée les beaux jeunes gens qui suivaient ses leçons ; ceux-là n'étaient point des enfants malingres ; leur grâce était vigoureuse, leurs membres étaient assouplis par les jeux et les luttes; ils venaient exercer aussi leur esprit, et l'assouplir comme leur corps; ils avaient du temps devant eux, des loisirs dont ils pouvaient consacrerune petite partie à réfléchir, des esclaves pour les débarasser des besognes serviles.

Quand on eut expliqué à M. Tlnspecteur mondial que tous ces petits qu'il avait vus, apprenaient la géométrie parce qu'ils en avaient besoin pour gagner leur vie et faire quelque métier, il ouvrit de grands yeux, les ferma et reprit sa rêverie, dans laquelle il s'abîma profondément : que de changements étaient survenus parmi les

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hommes, depuis le temps où le clair soleil de THellade, les nobles lignes de Thorizon de son pays, le « rire infini des mers », les temples lumineux, les statues de marbre, les longues théories de jeunes vierges, les jeux athlétiques, les récits merveilleux des poètes, les beaux discours de TAgora, les lentes conversations avec les phi* losophes enchantaient ses yeux et son esprit, alors que Ton ne soupçonnait ni Tindustrie, ni les usines, ni les chemins de fer, ni les tramways, ni la houille noire, ni la houille blanche, ni le transport de la force à distance.

« Les mathématiques, dit Descartes, au commencement du Discours delà méthode^ ontdes inventions très subtiles, et qui peuvent beaucoup « servir, tant à contenter les curieux qu'à faciliter tous les arts et diminuer le travail des hommes. » Pour ce qui est de faciliter les arts, cela est bien certain ; la diminution du travail des hommes me paraît plus douteuse, et c'est le contraire que nous voyons. La première partie de la phrase, si souvent citée, du grand géomètre, m'a toujours rappelé le « jeu de Voie renouvelé des Grecs, fort propre à passer le temps lorsqu'on n'a que faire», et je crois bien que c'est cette conception des mathématiques qui prévaut dans l'enseignement: contenter les curieux.

Notre enseignement est volontiers un enseignement de luxe ; on s'excuse de ce luxe en parlant de la formation des esprits, à laquelle il faut tout sacrifier, et Ton décore d'une belle épithète, en . les qualifiant de désintéressés, les enseignements dont l'inutilité crève les yeux. Débarrassons-nous d'abord de ces fadaises.

aCIENCE ET PHILOSOPHIE

Le désintéressement est une belle chose. Ce n'est pas ici le lieu de parler de l'intérêt qu'ont quelques personnes à la conservation de quelques enseignements qu'elles disent désintéressés ; cela ne saurait toucher aucun des lecteurs de la Revue, mais, vraiment, en quoi manque-t-on de désintéressement quand on s'efforce d'être utile aux autres ? Avoir honte de l'utilité, quelle sottise ! Ce qui est utile, c'est ce qui répond aux besoins de l'homme, ce qui permet de les satisfaire ; l'utilité d'un enseignement est en quelque sorte la mesure de son humanité. Ce n'est pas la peine, je pense, de dire ici qu'il y a des besoins de diverses sortes, et que renseignement des sciences n'a pas la prétention de suffire à tous; mais je voudrais bien qu'on en finit avec ce reproche d' « utilitarisme » qu'on adresse aux gens qui pensent que, dans l'enseignement, il faut tenir compte des besoins de ceux à qui on s'adresse.

Quant à la formation des esprits, dont il est sûr qu'il faut se préoccuper, dans l'enseignement primaire comme ailleurs, je demande en quoi l'inutilité y sert. Croit-on que les en/ants ne pressentent pas souvent cette inutilité, et que le vague pressentiment les excite à l'effort? N'est-il pas, au contraire, la vraie raison de l'ennui qui les gagne, de ce dégoût du travail intellectuel que l'on rencontre si fréquemment à l'école ou au lycée?

Contenter les curieux, c'est fort bien : il faudrait d abord éveiller la curiosité. Croit-on que les enfants de treize ou quatorze ans aient un goût naturel pour les abstractions logiques, pour les raisonnements à vide, pour les démonstrations qui leur paraissent beaucoup moins claires que

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les énoncés? Sans doute il faut les habituer à bien raisonner, mais à raisonner sur des réalités, ou tout au moins sur des modèles ou des images qui se rapprochent de la réalité, qui sont des simplifications de ce qu'ils voient ou de ce qu'ils touchent ; il faut leur faire pressentir ces facilités que, selon Descartes, la géométrie apporte à tous les arts. Comment faire ce dessin ? Comment mesurer ce champ ?

En même temps qu'il explique comment un triangle est déterminé par la base et les deux angles à la base, Clairaut, dans ses Eléments de géométrie^ montre comment on peut trouver la distance d'un point inaccessible, en construisant, sur le terrain, un triangle égala un triangle dont la distance cherchée est un des côtés. Il n'emploie pour cela que des instruments grossiers, faciles à imaginer et à construire. Voilà une petite énigme résolue, qui fixera dans l'esprit de l'élève un des cas d'égalité des triangles. Plus tard le même exemple permettra à Clairaut d'illustrer le cas correspondant dans la théorie de la similitude. C'est là, à ce que je crois, l'ordre d'idées où l'on doit se mouvoir avec les débutants.

C'est sur des choses qu'ils auront à raisonner : il faut les habituer à regarder les choses, à en éliminer tel ou tel caractère qui n'intéresse pas le géomètre, à les simplifier, à en reconnaître les traits essentiels, à les voir dans leur aspect géométrique, à les reproduire par le dessin, à préciser leur connaissance par la mesure. Loin de leur apprendre à se défier de l'intuition, il faut développer cette intuition, leur montrer qu'ils la possèdent, leur donner peu à peu confiance en euxmêmes. Il faut, avant tout, les intéresser : Tennui,

^ 225 ^ J. TANNER Y. — l'y

la dépression qui en résulte, voilà le véritable ennemi ; que TefFort qu'on demande aux enfants porte, dès qu'il est possible, sa récompense avec lui. J'en aurais long à dire sur ce sujet, sur la race de bourgeois ennuyés qui sortent de nos lycées, sur les sots qui en sont arrivés à regarder l'ennui comme une marque de distinction. Quant à ceux qui n'auront pas le moyen d'acquérir cette distinction-là, il est bien inutile de leur faire goûter, à l'école, cet ennui qu'ils n'auront pas le temps de cultiver dans le reste de leur vie.

Maintenant qu'on sait à peu près ce que doit être un enseignement vraiment logique des commencements de la géométrie, personne n'oserait le réclamer. Voici comment s'exprime M. Poincaré sur cette préoccupation d'une parfaite rigueur logique, débarrassée de toute intuition, dont j'ai parlé plus haut : «... Il est inutile de faire observer combien elle serait funeste dans l'enseignement et nuisible au développement des esprits ; combien elle serait desséchante pour les chercheurs, dont elle tarirait promptement l'originalité... » M. Hilbert compte une vingtaine d'axiomes, répartis en cinq groupes : j'en cite quelquesuns afin qu'on voie bien toute la divergence qu'il y a entre le but qu'il poursuit et le but de l'enseignement élémentaire.

« Si A, B, C, sont des points d'une droite et si B est entre A et C, B est entre C et A.

« Si A et C sont deux points d'une droite, il y a au moins un point B qui est entre A et C et au moins un point D tel que C soit entre A et D.

« De trois points qui sont sur une droite, il y en a toujours un, et un seul, qui est situé entre les autres. »

DE L'ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIÊ^LÈMENTAIRE

Je m'arrête. Qui soutiendra qu'il faut commencer renseignement delà géométrie, à des enfants, par des propositions de ce genre ?

Mais ce n'est pas tout ; il s'agit d'enseigner la géométrie entière en étant bien sûr de ne s'appuyer que sur les vingt axiomes, et sans jamais faire appel à l'intuition. Qui en sera capable ? Quelques-uns des membres de la section de géométrie deTInstitut, non sans se donner beaucoup de peine. Je ne crois pas m'avancer beaucoup en disant qu'aucun d'eux n'aurait la prétention d'être suivi par beaucoup d'autres de ses confrères, auxquels il demanderait de temps en temps s'il ne s'est point trompé.

A quoi bon insister sur l'impossibilité d'un enseignement auquel personne ne songe? Cela était indispensable parce qu'il est vrai qu'on ne doit pas, qu'on ne peut pas s*arrêter dans la voie de la logique, et que si l'on veut former de purs logiciens, il faut aller jusqu'au bout de la méthode euclidienne.

Personne ne voudrait l'essayer, et il serait bien injuste d'accuser d'une pareille folie les partisans de la parfaite rigueur. La critique des axiomes, dit très justement M. Veronese, n'est pas le fait des commençants, mais bien de ceux qui sont en possession de la science. On abandonnera donc . la réduction des postulats au moindre nombre possible, et, du même coup, l'étude de la dépendance ou de l'indépendance de ces postulats ; mais au moins veut-on les énumérer tous, sous leur forme abstraite, et ne s'appuyer que sur eux.

M. Veronese, qui a publié sur la géométrie des travaux dont l'importance scientifique est consi-

dérable *, a fait dans ce sens un essai très intéressant avec la collaboration d'un maître éprouvé, M. Gazzainga^ Le savant professeur de l'université de Padoue est de ceux qui veulent que les concepts géométriques soient des concepts « logiquement indéterminés » ; la façon dont on raisonne sur ces concepts est déterminée par une série de postulats. Mais, pour lui, les raisonnements abstraits doivent être continuellement éclairés par l'intuition. Le livre de MM. Veronese et Gazzainga est fort remarquable par sa profondeur, sa brièveté et le souci de la clarté ; je suis convaincu qu'il peut rendre les meilleurs services à des jeunes gens déjà formés, désireux d'associer, d'ordonner, de préciser leurs connaissances : au reste les Elementi di geotnetria servent de textes dans plusieurs lycées italiens, et les résultats, paraît-il, sont excellents : il convient de remarquer qu'en Italie la méthode euclidienne e^t à peu près imposée officiellement ; je l'ai déjà dit plus d'une fois, on ne se montre vraiment partisans de cette méthode qu'en acceptant les perfectionnements dont elle est susceptible.

Il est certain aussi qu'un livre comme celui de MM. Veronese et Gazzainga ne s'adresse pas à de véritables commençants, aux élèves de nos écoles primaires supérieures ou du premier cycle de nos lycées. Pour ces élèves, c'est une étude instructive des formes géométriques qui seule est

1. En particulier les Fondamenti di Geotnetria a piu dimensioni e a più specie di nuita rettilinea esposti in formo elementare o le\ioni par la sciiola di magistero in matematica. Veronese, FrateUi Drucker.

2 . Elementi di geometrica ad uso dei Gimnasie Licei. Veronese, Fratelli Drucker : la première édition est de 1900.

DE L'ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

possible et je suis convaincu que les auteurs en conviendraient volontiers. Ils commencent par des considérations abstraites sur les ensembles, sur la correspondance entre deux ensembles.

Voici maintenant une définition que je prends à la page lo : « L'expression « le segment rectiligne a est égal au segment rectiligne b » signifie qu'on peut établir entre les points de a et de b une correspondance univoque et du même ordre et que toute proposition qui se peut énoncer du segment a ou de l'une de ses parties, considérés Tun et l'autre séparément, se peut répéter pour le segment b ou pour la partie cofrespondante, et inversement. » Sans que je m'arrête sur cette définition, il est trop clg.ir que ce n'est pas à ce point de vue qu'on peut se placer avec des enfants.

Les esprits qui sont capables d'atteindre à ce degré d'abstraction sont d'une rare qualité intelr lectuelle, et j'admire la race à laquelle ils appartiennent. Est-ce cette puissance d'abstraction que nous voulons développer et ne serons-nous pas contents de nos fils s'ils voient juste et s'ils raisonnent juste sur ce qu'ils voient?

En France, dans nos meilleurs traités de géométrie élénientaire, on ne se préoccupe pas de pousser aussi loin la logique formelle : on glisse quelque peu sur les définitions ou les axiomes, et Ton ne craint pas, par exemple, de faire appel aux notions de corps solides, de mouvement, de coïncidence pour définir l'égalité de deux figures. Je sais bien qu'on le fait parfois d'une façon un peu honteuse, quand on ne sait comment s'en passer et quelques-uns vont jusqu'à ne plus se rappeler la façon dont ils ont établi les cas d'éga-

lité des triangles ; tel un excellent mathématicien qui s'est oublié jusqu'à dire à M. Méray qu' « il n'admettait pas le mouvement en géométrie ».

Depuis ce temps, déjà fort éloigné, le « mouvement » a pénétré dans notre enseignement et les propriétés les plus essentielles du mouvement de translation, du mouvement de rotation, du mouvement hélicoïdal figurent, depuis une douzaine d'années, dans les programmes officiels de nos lycées. Cette heureuse introdliction, si je ne me trompe, est due à l'influence de M. Darboux ; elle n'a scandalisé personne. Au lieu de traiter de ces idées dans des leçons à part, mal reliées au reste, les maîtres ont assurément le droit d'en tirer tout le parti possible et d'en vivifier tout leur enseignement. Pour ce qui est des fondements de la géométrie, il ne manque pas non plus, dans notre pays, ni ailleurs, d'esprits de premier ordre pour rappeler l'importance, pour ces fondements mêmes, des notions de corps solides et de mouvement, et la place qu'elles tiennent, par exemple, dans les théories de Sophus Lie.

Tous nos auteurs aussi font plus ou moins appel à l'intuition spatiale. Ce n'est qu'une question de mesure. On réduit plus ou moins, on avoue plus ou moins cette part de l'intuition. On l'avouait moins jadis, parce que cet appel était regardé comme une imperfection, un défaut qu'il fallait dissimuler en attendant qu'on pût le corriger. Il est permis aujourd'hui de prendre conscience de ce qu'on fait, de dire tout haut qu'on ne prétend pas exposer d'une façon logique les premiers éléments de la géométrie, précisément parce que Ton sait ce qu'est cette exposition logique et qu'elle ne regarde que les savants.

DEIV ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIIIË

A procéder ainsi, on ne risquera pas de fausser les intelligences. Rien ne vaut, pour la déformation des intelligences, les démonstrations mal comprises et Tapparence de la fausse rigueur, où rélève se sent empêtré, non éclairé. Présenter comme rigoureuse une démonstration qui ne Test pas parfaitement est, de la part du maître, une mauvaise action. Si Télève est un imbécile (j'admets pour un instant qu'il y en ait de tels), il croit comprendre : s'il est vraiment intelligent, il reste perplexe, n'arrive pas à formuler son doute, et se débat inutilement dans l'obscurité ; il perd confiance en lui. Donner de l'assurance aux sots, de la timidité à ceux qui ne le sont point, voilà ce qu'il faut éviter.

J'ai suffisamment insisté, pour n'y plus revenir, sur l'ennui et le dégoût que ne peuvent manquer de ressentir les enfants devant la recherche d'une rigueur absolue.

Qu'on ait donc le courage de prendre son parti et de montrer les choses aux enfants, et qu'on les débarrasse de ces raisonnements qui, je le répète, leur semblent beaucoup plus obscurs que les énoncés. Au moins dans un premier enseignement on peut, à ce que je crois, aller très loin dans cette voie, habituer d'abord les élèves à la géométrie, leur faire voir beaucoup de résultats qu'ils trouvent évidents, commencer de les habituer aux raisonnements géométriques en leur faisant démêler, dans quelques figures, des propriétés intéressantes qu'ils n'avaient pas vues tout d'abord, les mener jusqu'à quelques-uns de ces énoncés où l'intuition et les raisonnements un peu imprécis dont on s'est contenté jusqu'alors ne suffisent plus, leur tendre au besoin quelques-uns de ces

SCIEi\CE ET PHILOSOPHIE

petits pièges où Tintuition les trompe, si bien que Terreur où ils sont tombés les étonne, les inquiète en les amusant et qu'ils sentent la nécessité de revenir en arrière, de serrer davantage les raisonnements, d'acquérir un terrain solide, un trésor de vérités bien sûres.

Peu importe encore que ce trésor-là soit parfaitement rangé ; ne nous attardons point à Tinventorier curieusement, ni à rechercher Vorigine de ce qui le constitue, ni à en retirer tout ce qui n'est pas indispensable; que l'enfant sache bien s'en servir et que, désormais, il s'interdise de puiser ailleurs. Un jour, peut-être, il aura l'orgueil de vouloir l'alléger et de se suffire avec des ressources moindres. Il sera temps alors de lui donner satisfaction.

Quelques-uns, paraît-il, craignent que de cette façon les mathématiques ne deviennent par trop faciles : pour eux, la difficulté est une vertu propre ; qu'ils se rassurent : il reste, en dehors des éléments, assez de choses difficiles. Si les commencements sont trop faciles, les élèves iront plus loin ; ce n'est pas le chemin à faire qui leur manquera. Je ne m'arrêterais pas à cette singulière objection, si elle ne se trouvait pas contenir une part de vérité.

C'est que, en effet, les mathématiques ont une véritable importance sociale, qui ne tient ni à leur valeur propre, ni à ces facilités qu'elles apportent aux arts, ni au secours extraordinaire qu'en tirent les autres sciences, mais bien au rôle qu'elles jouent aux examens. J'ai parlé plus haut de l'utilité des sciences, de leur adaptation aux besoins intellectuels et physiques de l'homme. Cette utilité-là n'est pas la vraie, au moins celle

DE L'ENSEJGNJ^MENT DE ^A GEOMETRIE ELEMENTAIRE

qui est immédiate : les sciences sont utiles en ce qu'on les demande aux examens. Lorsqu'on rédige le programme de Texamen ou du concours que l'on met à l'entrée de quelque carrière, on pense bien aux connaissances qui sont utiles dans cette carrière et on les fait, d'ordinaire, figurer dans ce programme. Mais ni les élèves, ni les maîtres, pour la plupart, ni les examinateurs ne regardent au delà de l'examen lui-même ; ce n'est point les difficultés des choses qui importent, c'est les difficultés de l'examen. Il faut bien que l'examen soit difficile pour permettre aux examinateurs de choisir parmi les candidats.

Il est bon que notre orthographe soit compliquée pour qu'on puisse les refuser sur leur dictée.

C'est d'ailleurs une duperie que de ne mettre dans le programme que des choses élémentaires, parce qu'alors on raffine sur les éléments.

Arrivent des théoriciens, des psychologues, qui mettent leur talent, non à remédier au mal, mais à le justifier ; il s'agit de choisir les candidats intelligents ; peu importe ce qu'ils savent, pourvu qu'ils sachent des choses difficiles, et qu'ils aient manifesté leur intelligence par la façon dont ils se jouent des difficultés. Je ne crains pas de le dire, mieux vaudrait élever et surcharger les programmes que de laisser se produire ces bouffissures dont souffrent tous nos enseignements, et que la préparation aux examens développe d'année en année. Quand crèveront- elles ? Ce n'est pas les réponses à débiter aux examens qu'il faut enseigner, c'est les choses elles-mêmes ; puissentelles devenir si simples et si claires que tous nos enfants les saisissent sans peine, s'y intéressent, sachent en tirer parti, aillent plus loin,

acquièrent de nouvelles armes pour les luttes du travail, qu'ils deviennent capables d'appliquer dans rindustrie et dans Tagriculture les méthodes scientifiques, parce qu'ils les comprennent et qu'ils ont foi en elles ! puissent quelques-uns contribuer plus tard au développement et au renouvellement de ces méthodes ! puissent ceux qui les appliqueront, qui les perfectionneront, qui les créeront accroître la vraie richesse de notre pays!

Je demande maintenant la permission de m'arrêter sur un livre qui peut, à ce que je crois, aider beaucoup les maîtres qui s'efforcent de faciliter, pour leurs élèves, les commencements de la géométrie.

Voici bientôt trente ans qu'ont paru les Nouveaux éléments de géométrie de M. Méray.

C'est un livre révolutionnaire, qui n'a point fait de bruit. M. Laisant s'en est indigné récemment dans V Enseignem,ent m^athématique et a parlé d'une conspiration du silence. Je ne crois pas qu'il y ait eu de conspiration du silence. Il était conforme à la destinée de M. Méray que les choses se passassent ainsi ; et cette destinée aurait été moins parfaite, les futurs historiens des mathématiques seraient privés d'un vif plaisir, s'il était arrivé une seule fois que l'importance d'une des idées de M. Méray fut reconnue de suite. On peut espérer que tout se terminera bien, et que M. Méray, pendant de longues années, jouira de la justice qu'on finit par lui rendre.

Notez que ce n'est point sa faute si cette justice est tardive. M. Méray ne garde point ses idées pour lui, il n'est point indifférent à leur

DE L'ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

sort ; il les publie, il les enseigne, il cherche à les répandre, il y croit, il s'en fait Tapôtre ; il les soutient avec une ardeur, une ténacité, une verve admirable. Pour ce qui est de sa géométrie, il a réussi à convaincre quelques personnes autour de lui, à instituer quelques expériences qui ont parfaitement réussi, et dont le succès a été raconté ici même, dans un article extrêmement intéressant, par un de ceux qui les ont dirigées ^

Ces expériences ont réussi pour deux raisons : la qualité du livre de M. Méray n'est pas la seule. Il faut tenir compte des hommes auxquels M. Méray a su communiquer sa flamme ; ils y ont apporté un enthousiasme sans scepticisme, qu'un peu de persécution a rendu plus ardent ; il est beau de soufiFrir pour la cause de la vérité ; il y a de la joie à lutter contre « la routine officielle », à servir le progrès, et cette joie de la lutte prépare la joie du triomphe. Peut-être ces expériences auraient-elles moins bien tourné si elles avaient été imposées officiellement à des gens qui croyaient savoir la géométrie, obligés dé la rapprendre, sous une autre forme, avec des raisonnements et des mots nouveaux dont M. Méray n'est pas avare. Aussi bien, faut-il souhaiter que ces expériences soient .continuées librement, par des maîtres que leurs confrères auront convertis, qui se sentiront une part d'initiative et qui voudront réussir comme eux. Je crois qu'on pourrait les concilier avec les programmes, en entendant ceux-ci d'une façon un peu large. C'est un point sur lequel je reviendrai tout à l'heure. Mais je