I. Voir Revue pédagogique j 1902, 2» sem., p

m^magine que M. Méray est de ces libres esprits qui aiment la liberté même chez les autres, et qu'il serait désolé qu'on imposât aux gens sa façon de penser.

Son idée fondamentale est de substituer aux axiomes logiques les propriétés les plus simples du mouvement d'un corps solide, celles auxquelles nous sommes le plus habitués. C'est par là qu'il commence ; dès les premières pages, il s'agit du mouvement (rectiligne) de translation d'un corps solide. Ce mouvement est connu de tous ; c'est le mouvement du tiroir que l'on attire à soi, ou que Ton repousse, de la caisse du wagon sur une voie ferrée bien droite, de l'équerre qui glisse le long d'une règle. Par un point de l'espace et le point coïncidant du corps solide passent une droite fixe et une droite entraînée avec le corps solide qui glissent l'une sur l'autre, et que l'auteur appelle la glissière fixe et la glissière mobile. Un plan qui fait partie du corps solide et qui passe par une glissière mobile glisse sur un plan fixe de l'espace : on peut d'ailleurs faire mouvoir un corps de manière que telle droite de l'espace que l'on veut serve de glissière fixe, et qu'un point de la figure pris sur la glissière mobile correspondante vienne occuper telle position que Ton voudra sur la glissière fixe. M. Méray admet encore que deux translations successives reviennent à une translation unique.

J'entends bien les réclamations : M. Méray admet tout ; il supprime les démonstrations ; de même, d'après Pascal, les Jésuites supprimaient le péché en supprimant la défense. De cette façon, la géométrie et la morale sont simplifiées.

DE VENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

Qu'est-ce que c'est, par exemple, que le dernier axiome cité ? Pourquoi ne pas admetre aussi les propositions analogues : deux rotations consécutives, autour de deux droites qui passent par un même point, peuvent être remplacées par une rotation unique autour d'un autre axe ; deux mouvements hélicoïdaux peuvent être remplacés par un seul?

Tout cela est fort bien ; mais je le demande à mon tour : est-il facile de faire voir à un' enfant chacune des propriétés qu'admet M. Méray ? En doutera-t-il dès qu'il aura compris le sens des termes? est-il aisé d'imaginer et de réaliser de petits modèles variés qui illustrent tous ces énoncés, et le maniement de l'équerre n'y suffit-il pas à peu près ? Toutes ces remarques intéresseront-elles plus l'enfant que la démonstration classique sur la possibilité d'élever (dans un plan) une perpendiculaire à une droite, par un point, et sur Timpossibilité d'en élever deux? Je crois que personne n'hésitera, à répondre et cela me suffit. Ne me dites pas que ce n'est point là de la science, ou je transcris tout au long les vingt axiomes de M. Hilbert. Pour ma part, loin de reprocher à M. Méray d'omettre tout ce qu'il admet, je lui reprocherais plutôt, si, au lieu d'un essai d'exposition rationnelle de la géométrie, il avait voulu surtout faire un livre pour les commençants, d'être encore trop systématique et de n'avoir pas admis quelques propositions qui, comme le parallélisme des glissières, se déduisent à la vérité bien aisément de ses axiomes du mouvement, lorsqu'on adopte sa définition du parallélisme : deux droites sont parallèles quand on peut amener l'une sur l'autre par une transla-

tion. Il est vrai que, à ce moment, l'auteur n'a pas défini la distance d'un point à une droite, ni même la perpendiculaire à une droite, mais, quitte à me boucher les oreilles pour ne pas entendre les hurlements, et à dire, comme Clairant, qu'une perpendiculaire ne penche ni d'un côté ni de Vautre^ je ne verrais pas d'inconvénient à affirmer que deux parallèles restent partout à la même distance ; ou, après leur avoir expliqué en gros ce que c'est qu'un angle, à conseiller aux enfants de regarder un peu le mouvement de leur équerre, et à en conclure que les « angles correspondants », dans la figure qu'on sait, sont égaux. Au moins n'y verrais-je pas d'inconvénient dans les premières leçons, et je ne veux pas dire que toutes ces notions ne doivent pas être reprises, réduites et systématisées quelque peu ; mais il faut, à mon avis, faire désirer aux enfants cette réduction et cette systématisation, la leur promettre comme une récompense, au lieu de les dégoûter de la science, comme on fait, par des abstractions qu'ils ne sont pas encore capables de supporter. Je reconnais aussi avoir brouillé sans scrupules des notions que M. Méray, qui est avant tout un esprit ordonné, a soigneusement séparées.

C'est, en effet, après l'étude du parallélisme qu'il introduit la notion d'angle, essentiellement liée pour lui au mouvement de rotation. C'est aussi ce mouvement qui lui permet de définir la perpendicularité des droites et des plans, et cela, sans doute, scandalise moins les enfants que les gens âgés qui se rappellent les longues années passées à étudier la géométrie plane, et leur ahurissement devant les figures de l'espace, leur

DE L'ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE ÉLÉMENTAIRE

incapacité, pendant quelque temps, à y rien voir. Pour ma part, j'ai gardé ce souvenir-là très nettement; mon cerveau s'était probablement, par la force de Thabitude, réduit à deux dimensions, et j'eus d'abord autant de peine à raisonner sur l'espace qu'il m'en faut aujourd'hui pour raisonner sur la quatrième dimension.

M. Méray admet donc que, une droite étant donnée, on peut, par un quelconque de ses points, mener un plan qui forme avec la droite un assemblage solide, tel que, en le faisant tourner autour de la droite le plan glisse sur lui-même. Il n'est pas difficile de fabriquer un petit modèle qui habitue les enfants à se rendre compte de ce mouvement. S'ils ont envie déjouer un peu avec le grand toton qu'on leur montrera, où est le mal ? Et puis, n'ont-ils jamais regardé une porte s'ouvrir et le bas de la porte décrire le plancher? Jl est bien aisé de rapprocher les deux mouvements. La figure formée par un plan et une droite perpendiculaires peut coïncider avec elle-même par retournement. Toutes les figures formées de cette façon sont égales. De même que, par chaque point d'une droite, on peut lui mener un plan perpendiculaire, par chaque point d'un plan on peut lui mener une droite perpendiculaire. Avec ces notions et l'étude faite antérieurement des droites et des plans parallèles, l'étude des relations où interviennent à la fois le parallélisme et la perpendicularité se fait d'une façon extrêmement simple.

Au mouvement de rotation, M. Méray ne rattache pas immédiatement, comme il est clair qu'on pourrait le faire, la notion de la trajectoire des différents point, ou, si l'on veut, du cercle.

L'étude du cercle concerne la géométrie plane proprement dite dont il repousse l'étude aussi loin qu'il peut.

Sur ce point auquel il tient beaucoup, sur cette fusion de la géométrie dans l'espace et de la géométrie plane que vantent plusieurs excellents géomètres italiens, j'avoue que je ne suis pas convaincu. — Encore une fois, je vois très bien l'avantage qu'il y a à commencer par quelques leçons de géométrie dans Tespace; en fait,avec les figures de l'espace, on est plus près de la réalité qu'avec les figures de la géométrie plane ; d'un autre côté, l'intérêt qu'il y a à familiariser les enfants avec ces formes géométriques, avec des termes que le maître pourra employer ailleurs en ayant la certitude d'être compris, est bien évident. Pour le dessin, en particulier, l'avantage est clair. C'est un point sur lequel M. Chancenotte a insisté dans les intéressants rapports qu'il a eu l'occasion de faire sur les résultats des expériences dont j'ai parlé plus haut : les programmes de l'enseignement du dessin sont, paraît-il, d'un an en avance sur les programmes de l'enseignement théorique. Il est évidemment mauvais de faire copier aux enfants des dessins dont ils ne se rendent pas compte, et ce genre d'exercice peut être regardé comme parfaitement propre à engendrer l'ennui, qui est le fléau de notre système d'enseignement. Qu'il me soit permis de dire en passant que je vois, dans cette nécessité même de renforcer l'enseignement du dessin, ou plutôt de lui donner une base rationnelle, le moyen d'appliquer les méthodes de M. Méray, en respectant suffisamment les programmes. Ce n'est pas ici le lieu d'examiner les horaires; mais je crois bien

DE L'ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENT AIHË

qu'il est possible de s'en arranger sans les bouleverser de fond en comble, pourvu que l'administration veuille s'y prêter, et que les directeurs d'écoles y apportent un peu de cette bonne volonté dont MM. Chancenotte, Billiet^ Mironneau, Mounot ont donné l'exemple avec tant de vaillance. J'ajoute encore que les nécessités propres de renseignement primaire, les concours d'entrée aux écoles d'arts et métiers en particulier ^ et l'importance que le dessin ne peut manquer d'y prendre, conduisent peut-être à pousser de suite l'étude de la géométrie dans l'espace plus loin que, pour ma part, je ne le voudrais. On voit bien que je ne demande pas mieux que de faire aux doctrines radicales de M. Méray toutes les concessions possibles.

Je n'en crois pas moins à la convenance de séparer la géométrie plane de la géométrie dans l'espace et de s'arrêter longtemps sur la première^ après avoir donné aux élèves des vues sur les formes et les mouvements les plus simples.

Cette séparation est vraiment naturelle ; c'est sur le plan que se réalisent les dessins, et une étude approfondie des figures planes, pour elles-mêmes, me paraît s'imposer. Là aussi, il me semblerait désirable de faire précéder toute exposition dogmatique d'une excursion rapide^ un peu aventiireuse, dans le domaine qu'on va explorer^ et d*en prendre une première conDaissancè. C'est jusqu'ici, dans le moded'^exposition que j'imagine, aux formes et au dessin qu'on s'est attaché; déjà^ de cette faiçon, un bon nombre de propositions essentielles ont pu être acquises et groupées^ tant bien que mal. D'autres propositions se rapportent à la mesure^ et il importe d'en

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SClEiSCE ET PHILOSOPHIE

donner l'idée aux élèves. Ici les maîtres pourraient prendre pour guide les Eléments de géofnétrie de Clairaut, épouvantail des rigoristes, que je soupçonne de corrompre les éditeurs, afin qu'ils ne fassent point réimprimer ce livre dangereux.

Clairaut a été Tun des plus grands mathématiciens du XVIII^ siècle. Ses travaux en astronomie restent fondamentaux. Il aurait été aussi excellent maître d'école qu'il a été profond mathématicien, et ses Eléments de géométrie sont admirables. Lé sens qu'il a de ce que les enfants peuvent comprendre ou deviner, et surtout de ce qui peut les intéresser est merveilleux. Son style, sa façon d'expliquer les choses ont peut-être un peu trop vieilli pour qu'on mette son livre entre les mains des enfants, d'autant qu'il ne correspond à aucun programme; mais je suis convaincu qu'il intéresserait vivement les maîtres, qui en tireraient le meilleur parti ^

Il faut bien arriver à une étude rationnelle et vraiment scientifique de la géométrie.

L'exposition des principes sur lesquels elle repose sera certainement facilitée par les vues antérieurement acquises, mais je reconnais volontiers qu'on aura toujours quelque peine à doser convenablement la part de l'intuition, à limiter cet ensemble de propositions qu'on regardera comme intuitives, que les élèves devront posséder parfaitement, et. sur lesquelles ils savent qu'ils pourront s'appuyer en toute sécurité ; à

I L'édition que j'ai sous les yeux, et qui a été faite par M. Saigejf (Hachette, 1852J est du format in-12 ; elle contient 128 pages.

DE L'LWSE/GyEMEyr DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIHE

partir de là, sauf sur un point dont je parlerai tout à rheure, la pleine rigueur, la logique, reprendront leurs droits et Ton ne -s'en écartera plus. A la vérité, M. Méray n'entend nullement sacrifiercetterigueur dans les premières leçons de géométrie dans l'espace ; il admet d'autres axiomes que ceux qui figurent dans la plupart des traités, des axiomes plus riches, d'où il est facile de tirer plus de faits géométriques, mais ces axiomes une fois énoncés et compris, il en déduit logiquement les conséquences, et l'enchaînement de ces conséquences est parfaitement rigide. J'estime, pour ma part, que, en débutant, cet enchaînement pourrait être plus lâche, et la part de l'intuition plus large.

« On me reprochera peut-être, dit Clairaut, en quelques endroits de ses Éléments^ de m'en rapporter trop aux témoignages des yeux et de ne m'attacher pas assez à l'exactitude rigoureuse des démonstrations. Je prie ceux qui pourraient me faire un pareil reproche, d'observer que je ne passe légèrement que sur des propositions dont la vérité se découvre, pour peu qu'on y fasse attention. J'en use de la sorte, surtout dans les commencements où il se rencontre plus souvent des propositions de ce genre, parce que j'ai remarqué que ceux qui avaient de la disposition pour la géométrie se plaisaient à exercer un peu leur esprit, et qu'au contraire ils se rebuttaient, lorsqu'on les accablait de démonstrations pour ainsi dire inutiles. »

Je partage entièrement ces vues de Clairaut; il me sera sans doute permis d'ajouter que je sais tout le prix delà rigueur, et que, assurément, plus vite on y habitue les enfants, mieux cela vaut.

M.Méray me paraît estimer qu'on peut y arriver très tôt ; c'est là un point sur lequel les expériences qui ont été instituées me semblent extrêmement intéressantes ; aussi est-il désirable qu'elles soient continuées, multipliées, critiquées. Tant mieux si sur ce point, comme sur d'autres, les faits donnent raison à M. Méray* Je me contenterais pour ma part, si Ton s'attachait pleinement à la rigueur dans l'enseignement de la géométrie plane, après cette première excursion dont j'ai parlé tout à l'heure et quelques leçons destinées à fixer l'ensemble des propositions sur lesquelles on s'appuiera exclusivement.

Pour cet enseignement d'ailleurs, le livre de M. Méray restera encore extrêmement utile, on y verra les simplifications qu'apporte l'emploi du mouvement de. translation et du mouvement de rotation ; par là les démonstrations deviennent plus claires, plus faciles, plus vivantes ; ceux des élèves à qui leurs aptitudes permettront de pousser les études un peu loin se prépareront ainsi à l'emploi de ces méthodes de transformation dont les mouvements ne sont, après tout, que des cas particulièrement simples, et qui constituent le fond véritable de la géométrie et de presque toutes les mathématiques.

Le casse-tête chinois est un joli jeu, auquel les enfants sages s'appliquent volontiers ; encore ne faut-il pas qu'ils s'y absorbent trop. La vieille géométrie, avec son abus de triangles ^aux ou semblables, qu'il fallait s'exercer à découvrir ou à introduire dans toutes les figures, ressemble singulièrement à ce jeu. Qu'on s'y exerce un peu, rien de mieux ; mais il faut aller plus vite et plus loin. M. Méray a peut-être été le premier à

DE RENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

introduire en géométrie les termes de la trigonométrie. L'usage du sinus, du cosinus, ou de la tangente, permet de simplifier bon nombre de démonstrations , et d'éviter cette perpétuelle recherche de triangles semblables qui arrive à être si fastidieuse et si artificielle.

La peur des mots et des barrières qu'on a mises entre les diverses parties de la science est vraiment bien extraordinaire. Faire de la trigonométrie dans la géométrie, quelle horreur ! Quoique les programmes officiels de l'enseignement primaire supérieur aient, depuis une dizaine d'années, donné raison à M. Méray sur ce point, cela semble encore une abomination à beaucoup d'honnêtes gens : qu'il faut être mal élevé pour écrire un sinus à la place d'un rapport !

C'est pure sottise ; mais il convient peut-être, à ce propos, de dire un mot de ceux qui se fâchent quand on introduit quelque calcul en géométrie. Il y a là un purisme respectable sans doute, mais qui est excessif dans un enseignement qui prétend surtout être utile. D'ailleurs, quand il s'agit de géométrie métrique , on ne peut guère le pousser jusqu'au bout; on n'évite point les additions, ni les multiplications, ni les divisions. Pourquoi évitera-t-on avec soin les combinaisons de ces opérations, et l'emploi de quelques formules simples d'algèbre ? On a reproché cet emploi à Legendre, qui n'en a guère abusé, mais qui pourtant aurait, dit-on, contribué ainsi à gâter Euclide. Tout en admirant, comme il convient, la recherche esthétique dans une exposition et l'ingéniosité de ceux qui aiment à se passer de ce qui est commode, je crois que dans l'enseignement élémentaire on doit

beaucoup sacrifier à la facilité, et ne pas craindre un bout de calcul dans une démonstration ou une recherche géométrique, si elle est ainsi rendue plus aisée, ou plus facile à retenir, et je ne vois pas de mal à ce que des enseignements, qu'il faut bien mener de front, se pénètrent et s'éclairent mutuellement.

Il me reste à dire un mot de la mesure des aires et des volumes. En géométrie plane, si Ton ne soulève pas les difficultés que comporte la notion d'équivalence, les choses vont toutes seules. Il n'y a pas plus d'effort à faire, en géométrie dans l'espace, pour arriver à la mesure du prisme droit. Pour les propositions fondamentales relatives au rectangle et au parallélépipède rectangle, il me semble, comme à Clairaut, que le mieux est de s'en tenir au bon vieux raisonnement qui sert dans toutes les écoles à montrer qu'il y a cent décimètres carrés dans un mètre carré, et mille décimètres cubes dans un mètre cube : ce raisonnement là est simple et naturel; celui où interviennent des produits de rapports est artificiel et comporte des difficultés sur lesquelles on me permettra de ne pas insister. A partir du prisme droit, c'est épouvantable:

Sans doute les raisonnements qui permettent de passer du prisme droit au prisme oblique, puis d'établir le volume de la pyramide sont extrêmement ingénieux ; il convient de les garder dans un musée historique, afin de montrer combien nos ancêtres étaient intelligents ; leur place n'est pas dans renseignement élémentaire.

L'un des mathématiciens les plus profonds de notre temps m'a raconté dernièrement qu'il avait employé une bonne partie de la nuit qui pré-

DE L'EXSF.IGyRMEST DE LA GÊOMÈrRIE ÉLÉMENfAI/Œ

cédait le jour où il devait subir les examens de rÉcole Normale supérieure, à repasser tous ces raisonnements, à fixer dans sa mémoire leur ordre et leur enchaînement. Heureusement (pour rÉcole Normale), cette nuit blanche ne Ta pas empêché d'être reçu, mais qu*il aurait mieux fait de dormir ! Assurément des théories qui se fixent si mal dans Tesprit d'un homme, doué de facultés mathématiques aussi rares que celui dont je cite ici les souvenirs, doivent être écartées.

Je connais deux moyens de les remplacer : ils sont d'ailleurs très vieux, et je n'ai pas du tout la prétention de les avoir inventés . L'un est médiocre , l'autre est excellent, mais demande un effort notable, moindre à mon avis que les leçons qu'on fait aujourd'hui sur ce sujet.

Le moyen médiocre consiste à appliquer ce théorème : Quand deux torps solides sont toujours coupés par un plan mobile, parallèle à un plan fixe, suivant deux courbes (ou deux pol}^gones) qui enferment des aires équivalentes, les portions des deux corps solides comprises entre deux plans parallèles sont équivalentes. Dès lors, on voit de suite que deux prismes, Fun droit, Tautre oblique, qui ont des bases égales (ou équivalentes) et des hauteurs égales sont équivalents, que deux pyramides qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales sont équivalentes. Ce théorème ne s'applique pas pour simplifier l'établissement du volume de la sphère. Quant au théorème luimême, on n'en donnera pas de démonstration rigoureuse, mais on en fera sentir la vérité, après avoir établi la mesure du prisme droit çt

du cylindre droit, en pratiquant, dans les deux corps, au moyen des plans parallèles, des coupes minces, plus minces que des feuilles de papier. Chacune des petites rondelles que l'on obtient ainsi diffère aussi peu que Ton veut d* un cylindre droit très plat ; chacune est à peu près équivalente à la rondelle correspondante, et l'on se trompe aussi peu que Ton veut en disant que la somme des rondelles qui forment le premier corps est équivalente à la somme des rondelles qui constituent le second : on ne se trompe pas du tout. N'importe quel maître, avec un petit modèle formé de rondelles de papier qu'il aura fabriqué lui-même, rendra cela clair comme le jour pour ses élèves.

Le second procédé, celui qui est excellent, mais qui demande un effort notable, consiste à apprendre d'abord le calcul intégral, avant d'étudier la mesure dés volumes dont je parle. — Le calcul intégral ! Y pensez-vous ? A l'École primaire ! A l'École primaire supérieure ou à l'École normale, oui ; je ne ris pas du tout, je suis le plus sérieux du monde. L'effort qu'il faut pour apprendre ce que c'est qu'une dérivée, qu'une fonction primitive, et comment l'on s'y prend, à l'aide de ces admirables outils, pour évaluer une surface et un volume, est certainement moindre que l'effort qu'on demande à un enfant pour apprendre à établir la mesure du prisme oblique après celle du prisme droit, l'équivalence de deux pyramides (vous savez bien, la figure à escaliers, qui est si ennuyeuse à faire), — puis les insupportables volumes tournants. Aujourd'hui encore, je ne sais pas l'expression du volume engendré par un segment de

DE L'ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

cercle qui tourne autour d'un diamètre. J'ignore pourquoi cette expression-là n'a jamais voulu m'entrer dans la tête.

Eh bien! Pour enseigner ce qu'il faut de calcul différentiel et intégral, et de géométrie analytique, par-dessus le marché, huit ou dix leçons, en allant bien lentement, sont peut-être nécessaires. Qu'on ne me dise pas qu'elles ne seront pas comprises. Pourquoi donc les élèves comprennent-ils les leçons sur les volumes que j'énumérais tout à l'heure ? Ces leçons faites, il faut juste un quart d'heure pour établir les expressions de tous les volumes de la géométrie élémentaire. Et que l'on pense au monde d'idées qui s'ouvrirait devant l'élève, à la foule d'applications qui lui deviennent alors possibles !

Que faisons-nous du prodigieux travail des trois derniers siècles, du génie des savants qui les ont illustrés, des trésors qu'ils ont amassés pour nous ? Nous ressemblons à un millionnaire qui a sous sa main les appareils les plus perfectionnés de l'éclairage électrique, et qui voudrait, malgré la mauvaise odeur, se servir, pour y voir clair, et sous prétexte que la forme en est charmante, d'une de ces lampes en bronze vert-de-grisé que l'on déterre de temps en temps dans le sol de la Grèce ou de l'Italie. Continuons de recueillir ces lampes, admirons-les, et mettons-les dans une vitrine.

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