Sur rensei^ement de rarithmétique

à récole.

D'excellents esprits se préoccupent de la façon routinière et mécanique dont Tarithmétique serait enseignée à l'école primaire ; la méthode suivie, dit-on, ne vise nullement à développer la faculté de raisonnement des enfants. « Tandis que les autres études, celles de Thistoire, de la morale, du français, par exemple, en dehors des connaissances spéciales dont elles meublent la mémoire, concourent puissamment à former l'esprit, le calcul, tel qu'il est enseigné, ne favorise nullement le développement intellectuel du jeune écolier. » Ailleurs, on se plaint de l'insuffisance des soi-disant raisonnements qui accompagnent, d'habitude, les solutions des problèmes, raisonnements d'où la raison est bannie, et qui sont, le plus souvent, reproduits d'après quelque modèle.

Ces préoccupations sont excellentes; leur source est dans le désir de voir cultiver à l'école Iqs facultés supérieures de l'enfant, dans le souci du progrès, dans la haine de cette paresse intellectuelle où la fatigue du métier peut faire tomber le meilleur maître, s'il ne veille pas incessamment sur lui. Malgré le profond respect que

V ARITHMÉTIQUE

j'ai pour Torigine de ces préoccupations, je n'ai pu m'empêcher de les trouver excessives et, puisqu'il est dangereux de vouloir trop bien faire, puisqu'on risque de se décourager en voulant viser trop haut, je demande la permission de m'en expliquer ici ; il va de soi que je n'apporte pas des observations personnelles, mais des réflexions, sur un sujet auquel j'ai beaucoup pensé. Le lecteur qui connaît mieux que moi les choses de l'enseignement primaire, sera juge de la mesure dans laquelle ces réflexions s'appliquent à la réalité des faits.

L'instituteur, cela est entendu, doit saisir toutes les occasions qui s'offrent à lui de développer la moralité de ses élèves, leur intelligence et leur jugement; lorsqu'il peut éclairer pleinement ce qu'il enseigne, en donner toutes les raisons, qu'il le fasse; c'est pour le mieux. Mais faut-il qu'il interdise à ses élèves de croire à ce qu'il leur dit, lorsqu'il ne leur apporte pas une démonstration complète, une de ces démonstrations qui font que la chose enseignée appartient désormais à l'élève qui Ta comprise, tout autant qu'au maître qui l'a enseignée? S'il en était ainsi, que deviendrait l'enseignement de l'histoire, du français et de la morale? Faudra-t-il, pour qu'on n'accuse pas l'enseignement d'être dogmatique, expliquer aux enfants ce qu'est la critique des textes, ou la philologie, et discuter les fondements de la morale? Personne n'y pense, et si toutes ces explications et toutes ces discussions étaient possibles, neresterait-i^ plus dans l'enseignement de l'histoire du français et de la morale, aucune de ces vérités auxquelles l'enfant est obligé de croire parce qu'elles lui sont affirmées par un

homme en qui il a confiance? Et pourquoi donc le maître ne solliciterait-il pas la confiance de ses élèves, quand il leur apprend Tarithmétique et qu'il a le droit de leur dire, en toute sincérité : « Si vous travaillez bien, plus tard, en vous donnant un peu de peine, vous pourrez reconnaître par vous-mêmes la vérité de ce que je vous affirme ? » Que Télève sache distinguer entre l'affirmation à laquelle il croit, et la démonstration qu'il comprend : c'est en cela que consiste l'esprit critique; il ne consiste pas à rejeter toutes les affirmations. Reconnaître la sincérité de celui qui parle, et qui dit toujours la vérité, se fier à celui qui sait, ne juger par soi-même que ce que Ton connaît et ce que Ton comprend par soi-même, s'avouer que l'on ignore beaucoup, ce n'est là, pour les hommes faits ou les écoliers, ni une cause d'erreur, ni la marque d'un défaut d'intelligence.

D'autre part, il y a dans tous les enseignements une partie mécanique et routinière qu'il faut accepter avec modestie. Rien n'est plus élevé que le rôle de l'instituteur; encore faut-il qu'il sache descendre des hauteurs de ce rôle et qu'il ne prétende pas former V esprit et le cœur de ses élèves quand il leur apprend la table de multiplication. Je veux bien qu'il en tire une leçon de morale, et sais qu'il y a des choses ennuyeuses qui sont fort utiles; mais cette leçon même, il ne la répétera pas toutes les fois qu'il demandera à ses élèves combien de fois font sept fois huit, ou sept fois six : de même, dans tout métier, il y a des gestes qu'il faut apprendre à faire automatiquement, et qu'il faut répéter des milliers de fois avant de les bien faire ; que l'on

L'ARITHMÉTIQUE

soutienne l'enfant ou l'apprenti, par Tespoir d'un temps où la répétition de Teffort aura supprimé la difficulté, j'en suis d'avis; mais qu'on se garde bien de lui inspirer du mépris pour ce qu'il entre de machinal dans cette répétition. Il faut que le geste soit machinal.

L'enseignement de l'arithmétique, dit-on, semblé n'avoir plus d'autre objet que de mettre l'écolier en état d'appliquer un certain nombre de règles qu'il ne comprend pas. Il ne faudrait pas s'exagérer l'importance de la justification théorique de certaines règles ou opérations : je m'imagine que tout le monde reconnaît l'impossibilité de justifier à l'école, par un raisonnement rigoureux, la règle de la division des nombres entiers, mais que, tout en reconnaissant cette impossibilité, quelques personnes s'en affligent. Je voudrais qu'elles s'en consolassent entièrement. Si c'est là ces règles que l'écolier ne comprend pas, il n'y a pas lieu de s'en émouvoir, à mon avis.

Sans doute, celui chez qui la curiosité scientifique s'est éveillée, désire se rendre compte, au moins une fois, des règles ou des procédés qu'il applique; encore ne pense-t-il pas à la théorie qui justifie ces procédés lorsqu'il les applique : il ne doit pas y penser ; il doit mettre toute son attention dans l'application correcte des règles qu'il sait être vraies, et plus cette application est m^achinale^ plus elle est sûre. Le mathématicien même emploie des outils qu'il n'a pas vérifiés et dont il ignore parfois comment ils ont été fabriqués. Malgré toute sa critique, c'est un homme qui se résigne à avoir confiance en d'autres hommes : la table de logarithmes qui est sur sa table, il n'en a sûrement pas vérifié tous les nombres. Sait-il

seulement comment on s'y est pris pour la construire? Pas toujours, au moins dans le détail. Et pour d'autres tables numériques dont il se sert à Toccasion, il ne s'est même jamais posé la question. Est-il un seul mathématicien qui ne se soit jamais servi d'un théorème ou d'une formule qu'il serait incapable d'établir au moment où il l'utilise? Quel est l'ingénieur, même sorti de rÉcole polytechnique, qui n'a pas recours, à l'occasion, à un aide-mémoire, voire un barème? Pourquoi ne pas permettre aux enfants d'accorder à leurs maîtres cette confiance que le mathématicien de profession apporte volontiers à d'autres mathématiciens qui ont calculé des tables numériques ou dressé des recueils de formules ? Pourquoi ne croiraient-ils pas ce maître quand il leur dit que c'est ainsi qu'on s'y prend pour faire une multiplication ou une division ?

Ce que les enfants ont besoin de comprendre^ c'est le sens de l'opération, c'est ce qu'elle permet d'obtenir. Je m'imagine qu'on leur apprend cela à l'école, et, peut-être, mieux qu'on ne fait au lycée. Je ne crois pas trop m 'avancer en disant qu'il y a plus d'un bachelier es sciences qui a étudié Talgèbre et la trigonométrie, pour qui la division est une opération dans laquelle on met le dividende à gauche, le diviseur à droite, à l'intérieur d'un angle droit,' dans laquelle on sépare,... etc. : c'est la description de l'opération, non sa définition, non ses propriétés, qui subsiste dans son esprit. Voilà ce qu'il faut éviter, à l'école comme au lycée.

Comment arrive-t-on à faire comprendre aux écoliers le sens de chacune des quatre règles ? Je crois bien que, là-dessus, la plupart des institu-

LARlTUMÉriQVE

leurs m'en remontreraient. C'est au fond la définition de l'opération qu'il s'agit d'éclairer : ils ne commencent pas à dicter à leurs élèves une belle phrase abstraite, qui ferait ouvrir de grands yeux à tous ceux qui ne sont pas résignés à apprendre sans comprendre ; non, ils commencent par des exemples concrets, avec des nombres très simples : j'ai sept billes dans ma poche gauche, combien y a-t-il de billes dans cette poche gauche ? Des douze billes qui sont maintenant dans ma poche gauche, j'en prends cinq que je mets dans ma poche droite ; combien en reste-t-il dans ma poche gauche ? Et si je remets ces cinq billes dans cette poche gauche, combien contiendra-telle de billes ? Voici quatre petits tas dont chacun comprend cinq billes; je mets toutes les billes en tas, combien y en aura-t-il dans ce tas? J'ai dixneuf billes que je veux partager entre cinq enfants; chacun reçoit trois billes et il m'en reste quatre. Chaque opération reçoit son nom. Les exemples sont repris, multipliés, diversifiés. Les nombres sont assez simples pour que les calculs puissent se faire de tète, ou même sur des objets réels; on demande au^ enfants, pour une foule de petits problèmes, non seulement d'arriver au résultat, mais de reconnaître chacune des opérations qu'ils ont faites, de la nommer ; on passe à des cas un peu plus compliqués, où il faut faire deux, trois -de ces opérations; là encore, il ne suffit pas que les enfants trouvent le résultat exact, ils doivent • analyser le calcul qu'ils ont fait : d'abord une addition, puis une soustraction, etc.. Sans doute, tous ceux sous les yeux desquels cette page est •tombée se disent : « oui, c'est ainsi que l'on fait, à peu près, avec ces exemples, ou avec d'autres. . . »

Et comment ferait-on autrement? Il suffit d'y penser, et d'avoir eu des enfants à qui Ton a appris à compter.

Eh bien ! tout cela n'est nullement mécanique. Reconnaîfre les cas où il faut faire cette opération, et non cette autre, sentir 'ce qu'il y a de commun dans les cas où on fait la même opération, c'est faire acte d'intelligence, de la même intelligence qui nous sert à grouper des individus, ou des mots, ou des faits, dans une même famille, sous une même loi. Et l'enfant est capable de ces actes intellectuels, parce qu'ils se rapportent à des objets qu'il peut voir, toucher ou imaginer, et que l'effort d'attention qu'ils exigent est court.

Fixer l'attention sur de longs raisonnements abstraits, où les conclusions se développent l'une après l'autre, n'appartient qu'à des esprits formés, où les aptitudes logiques se sont développées.

Au bout d'un certain temps, quand il juge que le moment est venu, que les écoliers ont vu et reconnu assez de faits pour comprendre un énoncé général, l'instituteur définit chacune des règles : je crois bien que l'écolier, qui comprend cette définition abstraite, y trouvera quelque joie, et qu'il se donnera volontiers la peine d'en fixer les termes dans sa mémoire. Devant des questions toutes pareilles à ces questions qu'il sait résoudre, mais où les données sont un peu plus compliquées, les nombres un peu plus grands, l'enfant sent qu'il lui manque quelque chose : cela est trop long pour qu'il s'en tire ; il n'en finirait pas de compter sur ses doigts, ou avec des boules.

Comment faire? Il est tout découragé. Le maître lui dira : « Je vais vous apprendre un moyen

L'ARITHMÉTIQUE

d'aller plus vite » ; il enseignera le mécanisme de la règle. Je ûe suis nullement scandalisé à ridée que Teiifant ne se rendra pas compte du pourquoi de ce mécanisme, et la confiance qu'il accordera à son maître ne me déplaît en aucune façon. Sans doute, il est bon que l'ouvrier connaisse son outil; exigera-t-on, pour cette raison, qu'il ne se serve que d'outils qu'il est capable de fabriquer lui-même, ou seulement même qu'il peut démonter et remonter ? Il doit savoir ce qu'il peut faire de son outil, les cas où il doit le prendre, ceux ou il en faut un autre; il doit être très habitué à s'en servir. De même en arithmétique, deux points importent : reconnaître quelles opérations on doit faire, c'est-à-dire, au fond, .bien comprendre les définitions, puis savoir faire correctement ces opérations : le premier point est affaire d'intelligence, le second de routine, ou, pour parler mieux, d'habitude. Il ne faut pas mépriser cette routine-là ; le résultat est un profit très clair qu'on emporte de l'école ; que de fatigues, d'agacements, que de temps elle épargnera à l'homme fait, à l'ouvrier, au contremaître, à l'ingénieur ou au savant !

Et dans la partie même de l'enseignement du calcul qui s'adresse vraiment à l'intelligence, il faut faire sa part à l'habitude. N'est-ce point en vertu de l'habitude que nous reconnaissons si vite les choses qui nous sont familières, que nous les nommons de suite, que nous n'hésitons pas sur le parti que nous pouvons en tirer ? N'est-on pas allé jusqu'à soutenir que l'évidence même n'était qu'une longue habitude qui s'accumule dans la race, et dont les individus profitent?

Cette explication raisonnée des opérations fon-

damentales, à laquelle on attache tant de prix, j'admettrais fort bien qu'on la laissât de côté, même pour des enfants qui reçoivent quelque éducation théorique. Il est beaucoup plus important de savoir les propriétés des opérations que d'être en mesure de justifier la façon dont on les effectue, et quelques-unes de ces propriétés peuvent être enseignées et même démontrées à l'école : est-il difficile, par exemple, de faire comprendre à des écoliers, sur des exemples concrets, que pour multiplier un nombre par une somme, on peut multiplier ce nombre par les éléments de la somme et ajouter ensuite les produits partiels. Les propositions de ce genre, dont les unes peuvent être démontrées complètement, dont les autres seront simplement énoncées et vérifiées, sont beaucoup plus précieuses que ce qu'on appelle la « théorie de la multiplication, ou de la division »; les problèmes où l'on pourra les utiliser ne manquent pas ; elles contribuent à la vraie intelligence des définitions, dont elles sont les conséquences logiques. C'est elles, d'ailleurs, qui mènent plus loin, qui servent, par exemple, à l'intelligence de Talgèbre, dont on peut pousser l'étude aussi loin qu'on veut, sans avoir jamais besoin de la « théorie de la division ».

J'arrive aux problèmes, et je n'entends parler ici que de problèmes très simples, que peuvent faire ceux des écoliers qui ont vraiment compris les définitions. Je vois qu'on se plaint des raison^ nements qui, dans les rédactions des élèves, accompagnent les solutions, et l'on a cité des exemples, fort bien choisis : je demanderai la permission de m'arrêter sur l'un d'eux parce que, aussi bien, le sujet est fort intéressant, que les

VARITHMÉTIQUE

cas concrets sont les plus instructifs, et qu'il serait bon de s'entendre sur ce qu'on doit demander aux enfants, en fait de raisonnements.

Pour ma part, je me contenterais fort bien d'un raisonnement très court, qui prouve suffisamment au maître que l'élève a compris les définitions, la signification des règles, et qu'il les applique à propos. Voici l'exemple dont je veux parler; je commence parle copier tout au long; c'est, paraît-il, un type que l'on rencontre très souvent.

Un pré rectangulaire de loo mètres de long sur 45 mètres de large a produit 240 kilogrammes de foin par are. On demande quelle est la valeur de la récolte de ce pré, sachant que le foin vaut 7 fr. 50 le quintal ?

Surface du pré : 160 m. x 45 m. 1= 7.200 mètres carrés ou 72 ares.

La production en foin est de 240 kgr. x 72 =; 17.280 kilogrammes ou 172 quintaux 8.

La valeur de la récolte est de 7 fr. 50 x 172,8 =r 1..296 fr.

Eh bien ! Je ne trouve pas cela si mal ; si l'élève qui a fait ce devoir n'a pas copié cette solution sur un problème identique, avecd^autres nombres, je suis disposé à croire qu'il a compris la question et les règles qu'il a appliquées, qu'il sait en outre se débrouiller dans le système métrique.

La solution est parfaitement intelligible pour le maître qui doit la contrôler, les calculs sont indiqués dans Tordre où ils doivent être effectués et il n'y a pas de bavardage inutile. A part quelques mauvaises habitudes dans les notations, qui ne sont pas bien graves et sur lesquelles je reviendrai, je ne vois rien à reprendre à ce devoir, sauf un point dont je vais d'abord parler.

La solution est présentée sous forme synthé-

tique; c'est, une fois le problème résolu, la forme la plus courte ei la plus commode, et l'on peut soutenir qu'elle suffit, puisque l'élève, pour résoudre son problème, a dû, d'une façon plus ou moins consciente, faire l'analyse des inconnues et des données. Il est désirable que cette analyse soit très consciente ^ et je trouverais bon que le maître en exigeât latrace^ sinon dans tous les devoirs, au moins dans quelques-uns; même dans la question très simple dont je viens de copier l'énoncé et la solution, il ne serait pas mauvais que cette analyse fut indiquée par une phrase telle que celle-ci : on cherche le prix de la récolte, connaissant le prix du quintal de foin; il suffit donc de connaître le poids de la récolte ; or, on connaît le poids de la récolte produite par un are; il suffit donc, pour avoir le poids de la récolte totale, d'avoir la surface du champ.

Cette analyse doit être faite oralement, à peu près pour tous les problèmes que l'on traite au tableau, afin que l'élève s'habitue à distinguer les inconnues des données, à reconnaître comment il peut déduire les inconnues des données, à ne pas mêler celles-ci au hasard dans l'espoir que la solution en sortira toute seule, mais bien à regarder le but, à déterminer les étapes successives qu'il faut parcourir pour l'atteindre, à ne travailler que dans la bonne direction.

Plus le maître aura habitué ses élèves à la méthode analytique, plus il sera assuré qu'ils la pratiquent, moins il se montrera exigeant dans la rédaction de la solution : au fond, c'est de ceux qui n'ont pas trouvé cette solution qu'il faudrait exiger une rédaction où la marche analytique fût exposée en détail.

L'ARITHMÉTIQUE

Quoi qu'il en soit, acceptons la rédaction synthétique, et reprenons la solution citée plus haut pour voir ce qui lui manque.

Il manque l'énoncé des règles qui sont d'ailleurs appliquées correctement.

Surface du pré : i6o m. x 45 m. rz 7.200 mètres carrés ou 72 ares.

Cette courte phrase implique les explications suivantes : lorsque les dimensions d'un rectangle sont exprimées en mètres, on obtient la surface de ce rectangle, exprimée en mètres carrés, en multipliant les nombres qui mesurent ces dimensions. Donc, la surface du pré sera, en mètres carrés, 160X45 = 7.200 ou 72 ares, parce qu'un are vaut 100 mètres carrés, en sorte que c'est le chiffre des centaines qui, dans l'expression de la surface en mètres carrés, devient le chiffre des unités lorsqu'on exprime cette surface en ares. On exprime cette surface en ares parce que la production moyenne du champ, pour un are, est donnée.

Continuons.

La production en foin est de 240 kgr. x 72 := 17.280 kilogrammes.

Cette courte phrase vaut bien celle-ci, qu'on rencontre souvent : i are produit 240 kilogrammes; 72 ares produiront 72 fois plus ou 240X72 : Les « ...fois plus » ou « ...fois moins » sont des expressions qui- n'éveillent guère d'autres idées que celles de multiplication ou de division, et ne constituent le plus souvent qu'un semblant de raisonnement. Le vrai raisonnement consiste dans le rappel de la définition de la multiplica-

SCIENCE El PHILOSOPHIE

tion qui, lorsque le multiplicateur est entier, n'est qu'une addition abrégée : la production de foin, exprimée en kilogrammes, est la somme de ce que produiraient 72 champs d'un are, ou la somme de 72 nombres égaux à 240, ou le produit de 240 par 72. On peut aussi s'appuyer sur une règle plus générale, qui s'applique lors même que le multiplicateur n'est pas entier : le poids total de foin s'obtient en multipliant par le nombre qui exprime la surface du champ le nombre qui exprime le poids de foin produit par l'unité de surface; j'aurai l'occasion de revenir tout à l'heure sur une règle analogue.

240 ko^r. K*]2-=. 17.280 kilogrammes ou 172 quintaux.

Il y a là .un changement d'unité analogue à celui qui a déjà été fait; le quintal vaut 100 kilogrammes; pour déduire le nombre qui exprime le poids en quintaux du nombre qui exprime le poids en kilogrammes, on regarde, dans ce dernier nombre, le chiffre qui exprimait des centaines, comme exprimant des unités.

La valeur de la récolte est 17 fr. 50 x 172,8= 1.296 francs.

Voici la règle appliquée : la valeur d'une certaine quantité de marchandise s'obtient en multipliant le prix de l'unité de marchandise par le nombre qui mesure cette quantité de marchandise, avecTunité choisie. Cette règle, si l'on se rapporte à la définition de la multiplication, est évidente quand le multiplicateur est un nombre entier; ce n'est pas le cas ici, c'est à la multiplication des fractions que l'on a aifaire. Si le maître s'adresse à des élèves un peu avancés, à qui il a expliqué

L'ARITHMETIQUE

ropération en général, la règle précédente, pour obtenir le prix d'une marchandise, est une des meilleures illustrations que Ton puisse donner de cette multiplication des fractions. S'^il s'adresse à des commençants, qu'il veut habituer à effectuer des multiplications sur des nombres décimaux, avant de leur avoir parlé des fractions ordinaires, la chose ne va pas sans difficultés; car, on est obligé de l'avouer, il ne peut guère que décrire l'opération, sans la définir, au moins quand le multiplicateur n'est pas un nombre entier, puisque, alors, la définition est tout aussi difficile, qu'il s'agisse de fractions décimales ou de fractions ordinaires : il se bornera donc à des affirmations comme celle-ci : « En faisant la multiplication des nombres décimaux, suivant le procédé que je vous ai décrit, la règle pour obtenir le prix d'une certaine quantité de marchandise est la même, soit que cette quantité s'exprime par un nombre entier, soit qu'elle s'exprime par un nombre décimal, et c'est précisément en vue de la généralité de cette règle ou d'autres règles analogues, qu'on a inventé cette manière de faire la multiplication. » Il peut d'ailleurs faire sentir à ses élèves cette généralité sur des exemples simples ; il dirait ici : « Le prix d'un poids de lo kilogrammes est de o fr. 75; le prix de 1.728 poids de lokilogrammes est donc ofr. 75X! 1.728, puisque les chiffres sont les mêmes dans les deux facteurs, et que le nombre de chiffres décimaux est aussi le même. »

Voilà, sur l'exemple cité, les principales explications qu'on pourrait donner. J'ai fini, malgré moi, par les mettre dans la bouche du maître. Personne, à coup sûr, ne demandera à l'élève

une ^ussi longue rédaction ; ces explications ont leur place dans l'interrogation ; une fois de temps en temps, le maître pourra demander qu'on mette par écrit l'énoncé de chacune des règles qui ont été appliquées, sous une forme aussi brève que possible. S41 le faisait souvent, les élèves se contenteraient de copier ou de reproduire servilement ces énoncés, ils feraient un travail d'écriture qui les dégoûterait d'autant plus qu'ils en sentiraient l'inutilité. La sensation de Teffort inutile doit être toujours soigneusement évitée : elle est funeste.

Notez bien que si Ton voulait pousser les choses à l'extrême , ce n'est pas seulement l'énoncé des règles qu'il faudrait exiger des élèves, mais, aussi bien, leur démonstration : et pourquoi pas l'explication 'des propositions sur lesquelles repose cette démonstration? Chaque problème deviendrait un cahier, plusieurs cahiers, la répétition de leçons de cette année et de l'année der^ nière.

A mon avis, la rédaction doit- être courte :

l'enfant lui-même, quand il a terminé ses calculs, sent le besoin de les mettre au net, de les mettre en ordre, dans un ordre tel qu'il puisse se reconnaître et que le maître puisse contrôler son travail ; il ne faut pas lui demander, dans sa rédaction, de se substituer à ce dernier, et de rédiger toute une leçon.

Sur l'exemple dont j'ai parlé déjà si longuement, il est encore possible d'ajouter quelques observations intéressantes.

Pour expliquer les changements d'unité qu'on avait à faire (are au lieu du mètre carré, quintal au lieu du kilogramme) je me suis appuyé sur la

L*ARITHMÉTIQUE

signification des chiffres d'un nombre écrit dans le système décimal; au lieu de cela, on peut appliquer la règle générale pour le changement des unités : cette règle est la véritable clef de la définition de la multiplication et de la division des fractions; j'ai écarté ce mode de raisonne^ ment comme trop abstrait ; je ne suis pas sûr qu'il soit au-dessus de la portée de bons élèves, près de passer leur certificat d'études primaires. Enfin, au lieu de changer d'unités dans le cou^ rant du problème, on peut conserver tout le temps les mêmes unités, le mètre carré, le kilogramme, le franc. La solution, en conservant la même suite d'idées, se présente alors ainsi :

Dimensions du pré rectangulaire, en mètres i6o x 45

Surface du pré en mètres carrés 160x45 = 7.200

Production moyenne de foin, en kilogrammes, par are. , 240

Production moyenne de foin, en kilogrammes, par mètre carré 2,4

Production totale de foin, en kilogrammes 2,4 X 7.300 = 17.280

Prix du quintal de foin, en francs 7,50

Prix du kilogramme C)>^75

Valeur de larécolte,en francs. 0,075 x 17.280 = 1.296

J'arrive aux notations dont je ne dirai qu'un mot.

Quand on fait des calculs, on ne les fait jamais que sur des nombres abstraits ; au moins, pendant qu'on les fait, on ne pense pas à la signification concrète des nombres sur lesquels on opère : aussi me paraît-il préférable de ne pas

employer dans le langage des expressions comme celle-ci : « La Surface du pré s'obtient en multipliant i6o mètres par 45 ïnètres », de ne pas écrire 160 m. X 45 m., mais bien 160 X 45; multiplier par 45 mètres, cela n'a pas de sens. Bien entendu, la nature des unités, tant pour les données que pour les résultats, doit être rigoureusement spécifiée; elle doitTêtre, même pour les résultats intermédiaires qui ont une signification concrète ; cette signification fournit un contrôle utile, et il est bon, à chaque pas, de savoir ce qu'on fait. Relativement à la façon dont il convient de désigner ces unités, je crois qu'on ferait bien d'adopter le procédé qui est presqu'universellement suivi à l'étranger et de placer, avant le nombre, le nom de l'unité ou l'abréviation qui remplace ce nom, d'écrire par exemple fr. 17,50; m. 17,50; mq. 17,50 pour signifier 17 francs 50 centimes, 17 mètres 50 centimètres, 17 mètres carrés 50 décimètres carrés ; il est vraiment peu commode, surtout quand on a affaire à des nombres décimaux, d'intercaler le nom de l'unité après le chiffre de l'unité, avant les chiffres décimaux, et il est choquant d'écrire 172 quintaux 8. Toutefois, d'une part, il y a des habitudes invétérées contre lesquelles il est difficile de lutter, d'autre part même des écritures comme 160 m.

X 45 m., qui sont évidemment incorrectes, peuvent être acceptées si le signe m placé à la suite des nombres 160 et 45 n'est pas regardé comme qualifiant ces nombres, mais seulement comme destiné à rappeler leur origine. J'ai cru utile d'appeler l'attention sur ces détails d'écriture, mais je n'insisterai pas davantage.

J'ai réservé pour la fin une objection qui s'est

V ARITHMÉTIQUE

sans doute présentée à Tesprit du lecteur judicieux, et sur laquelle je veux d'autant plus m'arrèter qu'elle* contient une bonne part de vérité.

Il aura sans doute paru à plus d'un lecteur que, même dans la solution des problèmes, au lieu de diminuer la part de la routine, j'invite en quelque sorte à l'augmenter encore, en réduisant les raisonnements à l'énoncé de quelques règles : l'écolier saura ces règles par cœur et les appliquera machinalement ; elles s'interposeront entre les choses et lui, elles l'empêcheront de regarder les choses elles-mêmes, de voir chaque cas particulier dans sa réalité concrète, et la signification vraie de chaque calcul intermédiaire ; c'est cette vision claire de chaque cas particulier et la parfaite intelligence de tous ses détails qu'il faut donner aux écoliers, c'est l'effort nécessaire pour y parvenir qu'il faut exiger d'eux parce que cet effort vaut par lui-même, et que, seul, il développe l'intelligence en l'exerçant.

Cet effort, à mon avis, il faut le demander aux enfants, quand on leur explique chacune des règles qu'on leur apprend, avant l'énoncé même de la règle qu'on essaiera de leur faire trouver sur des cas simples, puis, après l'énoncé de nombreuses applications. S'il s'agit, par exemple, de la règle relative au prix d'une marchandise, on variera les données, le nom de la marchandise, l'unité choisie, le prix de cette unité ; pendant longtemps on restera dans des cas faciles, comportant des objets que l'enfant connaît bien, on n'opérera que sur des nombres simples, afin qu'il puisse imaginer nettement ces objets et leur réunion ; il trouvera sûrement la règle de

lui-même dans le cas où il veut savoir le prix d'un nombre entier d'objets identiques, connaissant le prix de chacun de ces objets.' Si Ton veut lui expliquer la règle dans ce cas général, on lui fera traiter une multitude de cas particuliers où le nombre qui mesure la marchandise est une fraction à termes très simples, comme 1/3, 2/3, 4/3..., afin qu'il puisse imaginer Tunité de marchandise divisée en trois parties égales, puis une, deux, quatre... de ces parties; on l'amènera à reconnaître qu'il doit faire une multiplication par une fraction ; on arrivera peu à peu à lui donner l'intelligence complète de la règle. Lorsqu'il est devenu familier avec cette règle, qu'il l'applique couramment, on aura à s'assurer bien des fois que l'habitude même qu'il en a, si même elle est devenue instinctive, peut redevenir à volonté intelligente et consciente.

D'autres règles analogues à celle-là, où les raisonnements sont de la même nature, celle, par exemple, qui permet d'obtenir la production totale d'un champ connaissant la surface de ce champ et la production (moyenne) par unité de surface, celle qui donne le poids d'une matière homogène, connaissant son volume et sa densité, celle qui donne le chemin parcouru, connaissant la vitesse et le temps, etc., seront rapprochées les unes des autres, de manière à bien faire comprendre aux enfants comment s'applique la multiplication. C'est quand il y sera parvenu qu'il comprendra vraiment la définition de la multiplication : cette définition ne lui apparaîtra plus vide ; elle lui apparaîtra pleine de tous les cas particuliers. Il esta peine utile de dire qu'il comprendra en même temps comment, dans cha-

L'ARITHMÉTIQUE

cunedes règles signalées plus haut, trois nombres entrent en jeu, que l'un est le produit des deux autres, et que si Ton connaît deux de ces trois nombres, on peut calculer le troisième.

Dans un problème où il y a une suite de règles à appliquer, c'est précisément la détermination de ces règles, Tordre . dans lequel il faut les appliquer pour faire sortir les inconnues des données qui constitué le travail intelligent, c'est à cela que doit s'appliquer l'enfant, c'est ce travail (et l'exactitude des calculs) que doit contrôler le maître ; ce n'est plus sur l'intelligence de chaque règle particulière qu'il faut insister, ce n'est plus sur ces règles particulières qu'il faut porter l'eflFort.

Ce que je recommande donc, ce n'est nullement la suppression de l'effort intellectuel, c'est la division de cet effort, qui ne doit pas porter à la fois sur les parties et sur le tout. L'effort a été fait pour les parties ; il faut en profiter et montrer à Tenfant que cet effort lui a été utile, puisqu'on ne le lui demande plus. Il faut économiser le travail intellectuel ; l'habitude des choses est une véritable épargne, un trésor merveilleux, qui ne se perd que lorsqu'on n'en use pas ; grâce à ce trésor acquis, on peut aller plus loin, et c'est précisément parce qu'il nous permet de disposer de notre attention, de la porter ailleurs, sur d'autres difficultés, qu'il est si précieux. Loin d'inspirer aux enfants le mépris de l'habitude, il faut leur montrer qu'elle est la récompense de leur travail, et, s'il faut tirer de l'arithmétique une leçon de morale, c'est à celle-là que je m'arrêterai, y

Ceci me ramène à cette comparaison de Ten-

seignement du calcul, du français, de 1 histoire ou de la morale, dont il a été parlé au début. Puisqu'il y a plusieurs enseignements à Técole, c'est sans doute qu'aucun d'eux ne peut remplacer les autres ; il faut tirer de chacun ce qu'ail peut donner, et ne pas regretter de ne pouvoir le tirer des autres ; l'instituteur qui donne tous ces enseignements, n'a pas à connaître de pareils regrets.