Un livre de M. Laisant K

M. Laisant présente son Livre de la façon la plus modeste. Il se défend de rien vouloir apprendre aux savants, et, bien qu'il traite de Philosophie, de connaître la langue des philosophes ; il devrait dire, de quelques philosophes, car il a lu Leibnitz, Descartes,, Pascal, d'Alembert, Diderot, Condorcet, Auguste Comte et il avoue qu'ils lui ont appris quelque chose. Ces gens-là étaient sans doute philosophes, et c'est l'être déjà que de se plaire dans leur commerce. Il est de ceux d'ailleurs qui souhaitent la réconciliation des Mathématiques et de la Philosophie, et ce désir est si vif chez lui, qu'il accuse les mathématiciens d'être les auteurs de la rupture; s'il en est ainsi, les philosophes auront le beau rôle en faisant les premiers pas. Quoi qu'il en soit, notre éminent collaborateur avait bien le droit d'inscrire le mot Philosophie dans le titre de son Livre; on fait de la Philosophie toutes les fois

I. Laisant (C). La Mathématique. Philosophie^ Enseignement. ^

QUESTIONS DIVERSES D'ENSEIGNEMENT ET METHODES

que Ton remue des idées générales, et que Ton donne à penser. Est-ce parce qu'il écrit clairement et dit nettement ce qu'il pense, qu'il a cru devoir s'excuser de son sous-titte ! Je ne le soupçonne pas de cette ironie, et cependant il est vrai que le talent de trouver obscur ce que d'autres trouvent clair est une partie de l'esprit philosophique.

Son Livre est divisé en trois Parties : la Mathématique pure, la Mathématique appliquée, VEnseignefnent.

Tout en reprenant cette vieille forme « la Mathé^natique » qui marque mieux l'unité de la Science, M. Laisant reconnaît avec raison qu'il est impossible de définir cette Science, de faire tenir tout ce qu'elle contient dans une courte phrase qui soit intelligible : c'est en l'étudiant qu'on apprendra ce qu'elle est. Il en affirme énergiquement l'origine expérimentale : « Sans la présence du monde extérieur, aucune connaissance mathématique n'aurait jamais pu pénétrer dans le cerveau de l'homme ». Il y aurait bien à dire sur ce point, et je regrette que l'auteur se soit borné à une affirmation. Tout d'abord, une condition nécessaire n'est pas forcément une origine ; puis, si l'expérience est nécessaire à la constitution des Mathématiques, quelle expérience est-elle nécessaire ? Est-ce bien l'expérience du monde extérieur? Veut-on dire qu'il n'y a pas d'autre expérience ? Ce ne serait pas le lieu de discuter ici cette affirmation ; mais tout changement dans la pensée n'est-il pas une expérience, d'où il est possible de faire sortir la notion de nombre ? Cette notion suppose-t-elle autre chose que le divers et V unité, que la faculté de

séparer et de réunir qui est le fond même de notre intelligence? Un peu plus loin, M. Laisant dira : «... A la réalité des choses, nous substituons des êtres déraison, créés par notre cerveau, sur lesquels le raisonnement et les procédés mathématiques pourront librement s'exercer, y* N'est-ce pas ces êtres-là qui sont le véritable objet de la Mathématique pure ? C'est bien notre cerveau, ou mieux notre raison, qui les a créés, et cette création mérite d'être étudiée par les philosophes. Elle comporte peut-être un peu plus que l'abstraction, que l'oubli des complications phénoménales, puisque les idées qui en résultent sont, parleur perfection et leur pureté absolues, infiniment éloignées des images confuses qui les ont suscitées. Ces idées, il importe de les préciser, de les distinguer, de distinguer surtout les parties de la Science où elles interviennent, et de n'introduire que celles qui sont nécessaires : autrement, on cache le véritable caractère des faits mathématiques, et, en introduisant dans leur démonstration des éléments qui ne sont pas dans la nature des choses, on la complique, et l'on risque, en outre, de masquer l'identité de propositions qui se retrouvent les mêmes, avec des mots différents, dans des Chapitres différents de la Science. M. Laisant en donne, à propos de la Mécanique, un exemple excellent, quand il observe que l'idée de force n'intervient pas dans ce Chapitre de la théorie des vecteurs qui constitue la plus grosse partie de la Statique du corps solide, au sens de Poinsot; cette même théorie se retrouve mot pour mot dans la Cinématique, quand on étudie la composition des rotations. Il j a donc intérêt à la séparer, comme il le pro-

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pose avec raison, de la Statique ou de la Cinématique, et d'en faire un Chapitre de Géométrie, auquel on se référera, quand on en aura besoin. Il y a intérêt aussi à constituer à part une Géotnétrie des masses^ où n'intervient pas le sens physique de la masse, du nombre que fournit la balance, mais où la masse n'est qu'un coefficient numérique qui affecte des éléments purement géométriques. Il est vrai aussi- que la Cinématique n'est qu'un Chapitre de la Géométrie, où le caractère réel du temps n'importe nullement, où ce temps est une variable quelconque, et où l'on conservera, si l'on veut, les mots vitesse et accélération, à moins qu'on ne préfère dire dérivée géométrique. Ces éléments interviennent d'une façon nécessaire, quand on traite de la tangente et de la courbure, et, à vrai dire, la Cinématique n'est qu'une partie de ce qu'on appelle habituellement les Applications géométriques du Calcul différentiel. Tous ces Chapitres divers de la Géométrie, doivent, comme le demande M. Laisant, être enseignés avant la Dynamique et la Statique proprement dites, où interviennent ces postulats expérimentaux que l'on désigne d'habitude sous le nom de lois de Newton et, sur ce point, M. Laisant trouvera moins de contradicteurs que, peut-être, il ne se l'imagine. C'est bien ainsi que la Science s'organise, suivant les éléments essentiels qu'elle met en jeu ; une partie de la Science n'est réellement constituée que lorsqu'elle a éliminé les éléments qui ne lui sont pas nécessaires, et qui cependant ont contribué à sa formation. Si cela est vrai, n'est-il pas légitime de vouloir fonder la Science du nombre, c'est-à-dire toute l'Algèbre et toute l'Analyse sur la pure notion de

nombre, même de nombire entier? Il semble que M. Laisant, si je l'ai bien compris, voie dans une pareille tentative, comme une atteinte à la foi^ dont il prend chaudement la défense. De quelle foi parle-t-il, et à quelle inquisition veut-il livrer ses confrères? Dans la Science, la foi n'est peut-être qu'un oreiller, plus commode que le scepticisme. Mais M. Laisant a raison s'il veut dire que les diverses parties des Mathématiques s'éclairent mutuellement, que le même fait mathématique qui apparaît ici entouré d'un lourd appareil logique, revêt là une clarté intuitive et que la puissance d'intuition, plus encore que la puissance logique, est la partie vraiment belle et essentielle de l'esprit mathématique. Encore faut-il faire quelques réserves ; la clarté même de l'intuition empêche souvent de distinguer des choses qu'il faut cependant distinguer; la minutieuse logique y sert, c'est un rôle modeste, mais légitime. Et il se peut aussi que la facilité plus ou moins grande qu'oftre une méthode ou une autre pour aborder une question mathématique soit purement subjective et comme un résultat d'habitudes contingentes de l'esprit. Il se peut que, bien employées, ces méthodes se valent toutes * et qu'elles se heurtent aux mêmes difficultés, qui sont dans la nature des choses et qui sont seulement revêtues de formes verbales différentes. Parfois des modes d'exposition, qui semblent très divers, sont, au fond, identiques, ou plutôt se correspondent exactement, dans toutes leurs parties. Cela est manifeste dans certaines

I. J'ai entendu M. Raffy développer ingénieusement ce paradoxe, qui me semble contenir une grande paft de vérité.

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démonstrations géométriques et analytiques, qui se recouvrent entièrement, en employant un symbolisme différent, et dont l'identité même semble marquer la perfection définitive ; de deux expositions dont l'une est plus simple, l'autre plus compliquée, l'une est sans doute imparfaite, et c'est quelquefois la première, dont la simplicité n'est qu'apparente, et dont on s'aperçoit par les lacunes.

Dans une centaine de pages, M. Laisant passe en revue les diverses branches de la Mathématique pure, en les rangeant dans leur ordre de complexité croissante ; cette revue est forcément un peu rapide, et, sans le talent de l'auteur, sans la verve qui t'anime, elle serait un peu sèche ; mais il trouve le moyen de toucher à la plupart des points essentiels.

Pour le nombre^ l'auteur emprunte à M. H. Laurent la définition suivante : « On appelle nombre une locution et un signe qui servent à désigner avec précision une quantité et toutes celles qui lui sont égales, de manière à les distinguer nettement de toutes celles qui sont différentes. » Sans critiquer cette définition, ni marquer les termes qui, comme quantité et égalité^ auraient grand besoin d'explication, je me demande si une définition générale du nombre, est plus utile qu'une définition de la Mathématique et si les définitions de ce genre ne sont pas de ces ingénieuses devises, fort difficiles à trouver et à comprendre, qui disent trop de choses en trop peu de mots. La vraie définition du nombre est la synthèse des définitions des diverses espèces de nombres, et, ce qui importe, c'est que ces définitions particulières soient

claires, M. Laisant raconte qu'il a trouvé un

mathématicien qui se demandait si yi existe ; il a raison de se moquer de ce mathématicien-là :

il ne s'agit pas de savoir si y/2 existe, il s'ag-it

d'avoir une idée claire de y 2, et ce n'est pas^on

plus en disant que y/2 existe qu'on en a une idée claire.

M. Laisant emprunte à Auguste Comte la définition de l'Algèbre ; c'est, d'après lui, le calcul des fonctions. Cette définition me semble beaucoup trop vaste. On Ta dit, il y a longtemps, l'objet propre de TAlgèbre, c'est le polynôme, la fonction entière. La théorie des équations est l'étude des valeurs particulières des variables qui annulent le polynôme, ou l'étude des fonctions inverses des fonctions entières. Au reste, M. Laisant ne s'est nullement trompé sur le caractère particulier des fonctions qu'étudie l'Algèbre, puisque, après avoir donné d'intéressantes indications sur l'objet du Calcul infinitésimal, il a consacré un Chapitre de son Livre à la théorie des fonctions définies par les équations différentielles, théorie à propos de laquelle il expose, d'après M. Painlevé, la conception moderne de l'intégration d'une équation différentielle.

A propos de la Géométrie, M. Laisant s'élève contre l'appareil suranné d'Euclide. On sait assez que les avis sont partagés ; il reste encore beaucoup d'excellents géomètres qui admirent la perfection logique de cet appareil et qui estiment que son étude est une excellente discipline pour les commençants, et il est vrai que, dans les pays dont les écoles gémissent sous la tyrannie d'Euclide, on ne voit pas que la Géométrie moderne

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sôit négligée. Tout en respectant des divisions consacrées, et qui ont l'avantage de bien se fixer dans la mémoire, il est cependant légitime de montrer le lien qui fait une théorie d'un faisceau de théorèmes, et d'orienter la Géométrie dite élémentaire vers la science moderne, en y faisant pénétrer, comme le demande M. Laisant, ridée de la transformation des figures ; mais il me semble que cette orientation se produit toute seule et qu'elle se manifeste suffisamment dans les livres qui paraissent. Faut-il aller plus loin ? Cela n'est pas défendu : je ne crois pas, par exemple, que les idées profondes développées par M. Klein dans son Prograntfne (VErlangen, soient inconnues dans notre pays et il se peut qu'elles aient eu sur l'enseignement de quelque modeste professeur une influence discrète.

Je me trouve avoir déjà parlé de quelques-unes des idées de M. Laisant sur la Mécanique rationnelle.

Ses observations sur les applications sont intéressantes : il distingue trois degrés dans tout problème de Philosophie naturelle : le passage du concret à l'abstrait, qui substitue à la réalité les êtres de raison des mathématiciens : c'est, en gros, la mise en équations ; puis, la résolution mathématique du problème ; enfin, le passage de l'abstrait au concret, qui comporte essentiellement, comme le fait remarquer l'auteur, une discussion approfondie de l'approximation sur laquelle on peut compter, des limites entre lesquelles sont comprises les erreurs de la solution, inévitables à cause des erreurs que comportent les données. On ne saurait répéter trop souvent, semble-t-il, que les Mathématiques ne peuvent

transformer des données approchées qu'en résultats approchés, et qu'il convient de conformer l'exactitude des calculs à celles des données. M. Laisant passe rapidement en revue les principales applications du calcul, du dessin géométrique, de la Mécanique.

C'est avec une grande chaleur que M. Laisant parle de l'enseignement : on sent vraiment, dans cette partie de son Livre, le maître qui aime la Science : seulement, je ne puis m'empêcher de penser que bien des professeurs en le lisant, avec l'attention qu'il mérite, se diront plus d'une fois : « Mais on nous reproche de ne pas faire précisément ce que nous faisons, de ne pas introduire dans la Science les méthodes que nous enseignons. » Je suis persuadé que si M. Laisant était chargé d'une inspection générale, il ne changerait rien à ses idées, dont la plupart sont excellentes, mais qu'il modifierait la manière de les exprimer. Bien entendu, sur ses idées mêmes, j'aurais quelques réserves à indiquer, par exemple sur l'utilité (très douteuse à mon sens) de l'introduction des imaginaires dans l'enseignement élémentaire, ou de la notation différentielle dans la classe de Mathématiques spéciales; si je crois, comme M. Laisant, qu'il est à la fois utile et commode d'introduire, comme on le fait, de plus en plus, les éléments du calcul des vecteurs, je serais un peu plus sceptique à l'égard des quaternions ; mais, pour ce qui est des quaternions, un peu de partialité lui est sans doute permise. Il me semble aussi que l'amusante sortie à laquelle il se livre contre la Trigonométrie n'est pas bien justifiée : ce que l'on enseigne sous ce nom, c'est, d'une part, un Chapitre de l'applica-

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tion de Tx^lgèbre à la Géométrie, et dans ce Chapitre, la théorie des projections a sa place marquée, d'autre part, le principe de la théorie des fonctions circulaires. C'est, à coup sûr, deux des plus beaux Chapitres de la Science élémentaire, et s'ils fournissent l'occasion d'applications numériques, il ne faut pas s'en plaindre. Quoi qu'il en soit, j'espère que les lecteurs de M. Laisant ne prendront pas pour de la mauvaise humeur ce qui, sans doute, n'est que de la verve.

Assurément, notre enseignement mathématique est loin d'être parfait et je souhaite que le livre de M. Laisant contribue à l'améliorer ; l'auteur a raison quand il se plaint de la façon dont on néglige le calcul numérique, des classes trop rares et surtout trop espacées ; ce sont des défauts qu'il n'est pas impossible de corriger ; dans les parties élevées, c'est surtout de la préparation hâtive aux concours que vient le mal et, malheureusement, je ne connais, pas plus que M. Laisant, de remède à ce mal nécessaire.