Sur la définition des unités dérivées

Les observations qui suivent se sont probablement présentées à l'esprit de ces maîtres, fort nombreux, qui se plaisent à réfléchir sur ce qu'ils enseignent; j'avoue qup je ne les ai faites que tout récemment, et c'est ce qui m'engage à les publier.

Je copie la définition classique dans V Annuaire du Bureau des Longitudes (1907, p. 626) :

(( L'unité de vitesse est la vitesse uniforme d'un centimètre par seconde. »

Je ne m'arrête pas à la forme elliptique donnée à cette définition, mais seulement à ce que le mot vitesse figure dans la définition de Tunité de vitesse : il n'y a rien à redire à cela ; pour définir l'unité de vitesse, il faut savoir ce que c'est qu'une vitesse ; mais il est assurément légitime de remplacer le mot vitesse par sa définition. Adoptons la suivante :

La vitesse, dans un mouvement uniforme, est le nombre qui mesure la longueur parcourue par le mobile pendant l'unité de temps.

Si l'on prend le centimètre pour unité de longueur, la seconde pour unité de temps, la vitesse dont il s'agit dans la définition de Y Annuaire est le nombre un, et nous arrivons à la définition suivante :

Dans le système C. G. S., l'unité de vitesse est le nombre un. Ce n'est assurément pas ce qu'ont voulu dire les auteurs de ce système.

Des observations pareilles s'appliquent aux définitions de l'unité d'accélération, de la dyne, de Terg, etc.. Je reviendrai tout à l'heure sur Terg. Ces diverses définitions supposent que Ton sache ce que c'est qu'une accélération, qu'une masse, qu'un travail... Les mathématiciens définissent l'accélération, la masse, le travail, comme des nombres qu'ils apprennent à déterminer; si l'on substitue les définitions mathématiques usuelles des mots accélération, masse, travail, à la place de ces mots dans les définitions de V Annuaire, on parvient aux résultats suivants :

L'unité d'accélération est le nombre un ;

La dyne est le nombre un ;

L'erg est le nombre un.

QUESTIONS DIVERSES D'ENSEIGNEMENT ET MÉTHODES

J'ai tenu à commencer par la vitesse : c'est le cas le plus simple, et Ton peut s'en tirer: Dans le mouvement uniforme, en eiFet, on sait ce qu'on dit quand on dit que deux mobiles ont la même vitesse, que l'un a une vitesse double, triple... de l'autre, et cela indépendamment de la définition que j'ai choisie : il sera donc légitime de parler du rapport de deux vitesses, et la définition de V Annuaire est acceptable.

On notera qu'une difficulté du même genre se présenterait en géométrie si Ton disait :

L'unité de surface est la surface du centimètre carré. Une pareille définition suppose qu'on sache ce qu'est une surface : au moins en a-t-on quelque idée. Quand on parle d'une surface, il y a une figure, qui est bien quelque chose ; sans doute, si Ton veut préciser, on rencontre des difficultés ; mais je ne veux pas y insister ici. Le point essentiel est celui-ci :

En parlant de la vitesse, de l'accélération, du travail... les savants qui ont formulé les principes du système C. G. S., n'avaient pas en vue les définitions mathématiques de la vitesse, de l'accélération, du travail... définitions qui aboutissent à des nombres; ils avaient en vue certaines grandeurs concrètes, de même que le mathématicien qui parle d'une surface, sans expliquer comment on l'évalue.

Il n'y a là rien qui doive étonner, puisque ces savants étaient des physiciens. Parlez du travail à un physicien : il voit une machine qui élève de l'eau, qui perce ou découpe une pièce de métal, qui réduit une matière dure en poussière. Pour lui, le travail c'est la besogne que fait cette machine. M. J. Perrin, qui est aussi bon philosophe

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qu'il est bon physicien, se plaît à répéter : « Le travail, c'est ce qui 3e paie » . Un mathématicien à qui je citais cette phrase m'a répondu : « Alors, l'unité de travail, c'est le franc ». Un ouvrier comprendra très bien.

Je viens de m'occuper du travail, qui est une notion relativement compliquée ; mais parlez de vitesse à un physicien : il verra sûrement un mobile réel qui file le long de sa trajectoire; il verra aussi cette vitesse s'accélérer... tous les mots vitesse, accélération, travail... éveilleront chez lui des images concrètes.

Assurément, le professeur de mathématiques ne doit pas laisser l'usage exclusif de ces images concrètes à son collègue de physique : lui aussi doit les éveiller chez ses élèves, insister sur la réalité d'où ont été tirées les abstractions dont il parle : c'est cette réalité qui fait le prix de ces abstractions; mais il aura beau faire tout son possible pour ne pas tomber dans ce verbalisme qu'on lui a quelquefois reproché avec raison, il faut bien que le pauvre homme fasse son métier, qui est d'arriver à des formules précises, dont on puisse se servir sans se tromper. Quand il voudra préciser et expliquer ce qu'est un erg à des enfants qui ne le savent pas, les images du physicien ne lui serviront de rien : il ne peut point accepter et répéter, telles quelles, les définitions classiques des auteurs du système C. G. S., telles que \ Annuaire les reproduit. Que dira-t-il?

Sur les unités de vitesse et d'accélération, je crois qu'il pourra ne rien dire du tout, puisque, aussi bien, on n'a pas donné de noms à ces unités. Arrivons à la masse et à la force.

Je pourrais bien ne pas parler de la niasse,

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puisque c'est une unité fondamentale, et non une unité dérivée ; mais je ne vois aucun inconvénient à ce qu'on définisse la masse d'un corps en décrivant la façon dont on fjiit une pesée (une double pesée si l'on veut), au moyen d'une balance : si l'on équilibre avec des grammes, on dira que la masse est exprimée en grammes, ou encore qu'on a pris le gramme pour unité de masse : c'est la même chose. *

Quant au gramme^ il ne me gênerait nullement que les élèves pensassent aux petits cylindres de cuivre que l'on sait, mais il est bien entendu que, pour satisfaire tout le monde, on parlera du morceau de platine iridié, etc. en n'oubliant pas, si l'on veut être « dans le train », de dire que ce morceau de platine iridié est déposé au pavillon de Bellevue, et non aux Archives.

Je sais bien qu'on criera au cercle vicieux ; que la théorie de la balance suppose les notions fondamentales de la mécanique, etc.. Il sera temps de répondre quand on aura expliqué le moyen d'enseigner les choses expérimentales sans partir du (c donné expérimental » : aucune finesse de langage n'y suffira. Je renvoie là-dessus à la phrase célèbre de M. Poincaré : « La masse est un coefficient numérique qu'il est commode d'attacher à la matière ». Encore se trouvera-t-il peut-être quelque enragé mathématicien pour demander ce qu'est la matière.

La force est un vieux résidu de métaphysique et d'anthropomorphisme ; c'est entendu. Il faut bien en parler; d'après le programme de nos lycées, on doit admettre « qu'une force appliquée à un point matériel est égale géométrique-

ment au produit de la masse du point par l'accélération qu'elle lui imprime ». « Géométriquement égale » veut dire sans doute qu'on doit se représenter la force et l'accélération comme des vecteurs; tel est bien mon avis, mais puisqu'il s'agit ici de nombres, regardons Tune et l'autre comme des nombres. I.e passage est facile.

On décrira donc les opérations à faire pour évaluer une force, en prenant pour unités de longueur, de masse et de temps les unités fondamentales C. G. S., et l'on ajoutera : pour rappeler que les longueurs, les masses et le temps ont été évalués en centimètres, grammes, secondes, l'habitude est de placer le mot dyne après le nombre trouvé : quand le mot dyne suit un nombre, c'est que ce nombre se rapporte à une force, et que les longueurs, les masses et les temps ont été évalués dans le système C. G. S. Voilà ce qu'on entend en disant que la dyne est l'unité de force C. G. S.

De même pour le travail et pour Terg. On décrira les calculs à faire pour évaluer un travail, en prenant pour unités fondamentales les unités C. G. S. : pour rappeler que le calcul a été fait en prenant ces unités, l'habitude est de placer le mot erg au bout du nombre trouvé.

Et puis il faut être franc, expliquer les phrases que les élèves trouveront dans leurs livres, en particulier dans V Annuaire du Bureau des Longitudes, qu'il faut leur vanter comme le meilleur et le plus distingué des almanachs, un almanach dont la lecture n'est nullement pernicieuse.

S'il s'agit d'une somme d'argent, et qu'on place le mot francs ensuite, si l'on dit que tel nombre

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exprime des francs, tout le monde comprend.

S'il s'agit de l'évaluation d'un travail, on dit que le nombre trouvé exprime des ergs. On pourrait sans doute rejeter cette expression, ou soutenir, comme plus haut, qu'elle ne signifie rien, sinon que les unités fondamentales sont les unités C. G. S. La vérité est que le travail est une notion très importante, parce qu'elle répond à une réalité physique qu'on fera sentir avec les exemples du physicien, et une réalité qu'on paye. Le travail est quelque chose en dehors des règles pour l'évaluer; ce quelque chose se précise par ces règles, par le nombre qui en résulte. Si l'on admet cela, Terg est le travail qui, dans le système C. G. S., est mesuré par le nombre i.

Et l'on dira de même que la vitesse, que l'accélération sont quelque chose, que l'on fera sentir, et que lunité de vitesse, par exemple, dans le système C. G. S., est la vitesse mesurée par le nombre i .