GI^OM^TRIE DESCRIPTIVE
Le point A étant donne, les quatre autres points B, C, O, E sont pris arbitrairement sur le contour de l'elHpse. Je suppose qu'on sache que cinq points d'une ellipse déterminent cette courbe. Cette proposition étant admise, il s'ensuit qu'un hyperboloïde à une nappe (£,art. ^4)? <pû est assujéti à passer par cinq. points du contour d'une ellipse, contient l'ellipse entière.
Pour appliquer notre méthode^'générale (art. 56 — 67, pag. 58 E) à ce cas particulier , nous mènerons par les - deux premiers points A, B de l'ellipse {fig. i, pi. i) deux droites quelconques D, D', par exemple ; l'une D est la verticale ( A , ^ a' ) ; l'autre D' est une oblique (BB', bV) projetée en bV {fig. a) sur un plan de projection XY verticale et parallèle à BB' (Jig. i).
Concevons trois autres àToites djd\d'^ qui s'appuient sur les deux premières D, D', et qui passent par les trois points C, O, E; leurs projections sont respectivement {fig. i et 12) (CHA, cA ), (OKA,o*),(ELA,e/>
Par l'un de ces trois points , O par exemple , on mène une droite D" qui s'appuie sur les deux droites rf, d^\et a pour projections les droites OP, op {Jig. i et a); cette droite D" mi (OP, 0/7) résulte de l'intersection des deux plans qui passent par le point O et par lés droites ( CHA, cA), (ELA, e/).
Les deux systèmes de droites (D, D^ D'') €i {d\ d\ d!^) déterminent les directrices de la droite génératrice de l'byperboloïde à une nappe qui passe par cinq points de l'ellipse donnée , et par consé*quent contient l'ellipse entière. D'où il suit que le plan tangent à cet hyperboloïde au point A et le plan de l'ellipse se coupent suivant une droite A R qui touche l'ellipse en ce point A.
Le plan tangent au point A de l'hyperboloïde passe par la verticale D ou (A^ aa^)^ et par une droite qui s'appuie, sur les deux directrices D' et D" ou (BB\ bV) et (OP, o/?); la projection ÀR (fig. i ) de cette droite est la tangente demandée. On obtient un point R de
6 GjéOMlÊTRIE DESCRIPTIVE.
cette tangente par l'intersection des deux droites B'R^PR, respectirement parallèles à AB et ÂO. Ces parallèles sont les projections horizontales de deux horizontales ^ intersections d'un plan horizontal xy (Jig. 2^ ) et des plans conduits par le point  et par les droites (BB\ bb')^ (OP, op).
8. On construirait la tangente OQ au point O de Tellipse, en menant un plan horizontal tel que celui dont la trace est xy^ {fig. ^ ) , qui couperait les deux droites de Fhyperboloïde menées par le point O, en deux points dont les projections horizontales sont O' et P. La droite O Q parallèle à celle qui joindrait les deux points O' et P, serait la tangente demandée.
9* Dans le cas général ^ on place la courbe proposée sur une surface réglée, et on détermine l'hyperboloïde à une nappe qui est tangente à cette sur&ce , suivant une droite menée par un point donné sur la courbe. Mais dans ce cas particulier où la couri>e proposée e^t du second degré, il y a une infinité d'hyperboloïdes réglés qui peuvent la contenir, et pour obtenir l'un de ces hyperboloïdes , on a pris sur l'ellipse cinq points dent un est le point pour kquel oa demande là tangente. On a mené par deux des cinq points deux droites quelconques , et par les trois autres pcônts tnois droites qui s'appuient sur Içs deux pranières. Ces trois dernières droites sont les directrices de la droite mobile , génératrice de l'hyperboloïde à une nappe dont le plan tangent en un point donné de l'ellipse , contient la tan* gente à l'ellipse qui passe par le même point.
§.iii.
Du phm tangent de la seconde espèee. f PI. i^ là , 3 ).
( Voy . la définition de ce plan , Eléments de Géométrie a trois dimensions , art. 89 , (>ag. 4o) .
i O. Premier exemple. Hy perboloïde de révolution^ {fig, i et a, pi. 2J .
GEOMlÎTaiB DESCRIPTIVE. 7
Soit (A, «a') Taxe de Pcvt)lutiba;( CBD,^:^^;?' ) o\i{CWD',cfbd) la droite génératrice de Thyperboloide ; ( FBE^/be ) étant le plus petit cercle de cette surface, A C ou AD est le rayon d'un cercle plus grand, dont le plan est à la distance ab on a'b (fig^ â^ du plan ebfàxi petit cercle.
Soit (G) le point ( G, g) de l'hyperboloïde; ( GD,^rf et ( GH, gh ) les droites de cette surface qui se croisent au point (G), et dont les projections horizontales GD, GH touchent le petit cercle de gorge EFB ( voyez i" supplément art. ^5, page 65 ), aux points B et M. Ces droites coupent le plan horizontal ( fig. i ) aux points D, H du cercle C H D ; d'où il suit que la trace horizontale du plan tangent au point ( G, g- ) est la droite DH. Cette droite est par construction perpendiculaire au rayon A G ; d où il suit que le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien A G qui passe par le point ( G, ^ ) ; ce. qui doit avoir lieu , puisque la surface est de révolution { Eléments art. 6i , page 63 ).
L'horizontale ( GI, ^« ) coupe le plan vertical (fig. %J au point i\ la droite D H le coupe au point K de la droite c d; les deux points *> ^ (fië^ ^J déterminent la trace J(/ du plan tangent (BHki ) sur le plan vertical cd.
1 1 . La verticale ( G, gg^ ) coupe l'hyperboloïde en deux points ( G,^ ) et ( G, ^ ) à égale distance du plan e/du petit cercle de gorge. Les plans tangents en ces deux points passent par la corde ( BM, ^e ) du petit cercle EBF, parallèle k la corde DH du cercle CDH; or cette '^ première corde coupe le plan vertical de an point // donc la droite *r prolongée passe par oe point /. Mais l'horizontale ( GI, g'i^ ) coupe k plan vertical au point ^; donc la droite i^l^ menée par les points i' et /^ est la tracé verticale du plan tangent à l'hyperboloïde au point {Gjg' ) qui a même projection horizontale G, que le point
8 GliOMÉTRIE DESCEIPTIVS.
( G^^ ). Les deux traces //, IC {fig. â ) font le même angle avec Thorizontale e/^ projection verticale du petit cercle dégorge.
lâ. Les deux droites de Thyperboloïde qui passent par le point ( G, ^ ) coupent le plan horizontal aux points D et H, et la trace horizontale {fig. I ) du plan tangent en ce point est la droite D H. Les deux droites de Thyperboloïde qui passent par le point ( G, ^ ) coupent le plan horizontal aux points G et H', et la trace horizontale du plan tangent en ce point est la droite G H^ Gette dernière droite prolongée, couperait la droite cd^ intersection des plans Cfig* ^ et â ) , en un point ^, qui serait sur le prolongement de la trace verticale l{.
* i3. On a démontré dans le premier supplément de la Géométrie descriptive (art. 77 et 79 , pages 67 et 69 ) :
I® Que la section méridienne XY {fig. i ) est une hyperbole //y {fig. 2 ) qui a pour asymptotes, les projections ( bd\ bc\fig. a) des droites génératrices de l'hyperboloïde , qui sont situées dans le plan GBD parallèles à celui du méridien XY;
â^ Que le plan tangent au point B du cercle de gorge BB'EF (y^^. I ), passe par les asymptotes (CBD, bd!)^ (CBD,ftc'), {fig. I et a ) ;
D'oii il suit que les deux plans normaux qui passent par la normale de rhyperboloïde au même point B, et par les asymptotes de l'hyperbole méridienne dont le plan est perpendiculaire à la nor-^ maie, coupent l'hyperboloïde suivant deux droites.
i4. Si^ond .exemple. Hyperbolôïde à une nappe,/;/. 3. Les sections circulaires ef^cd fpl.aj dé l'hyperboloïde de révolution de» viennent sur l'hyperboloïde à une nappe fpL 3 J des ellipses semWa» bles et semblablement placées BEFB', CDC'D' (fig* ^iP^- ^J ^î ^^
GléOMléTRIE DESCRIPTIVE. 9
projettent en ef,cd ffig. aj. Les tangentes à l'ellipse BEFB' sont les projections des droites de rhyperboloïdè à une nappe. (Voy. Traité des surfaces du second degré, page !2ii , art. i3o ). Le plan tangent en un point quelconque {G^g ong') de cette surface est déterminé par les deux droites qui se croisent en ce point ( £. art. 89 ) , et tout ce qu'on a dit précédemment sur le plan tangent à Thyperbo* loïde de révolution , s'applique également à l'hyperboloïde à une nappe. On a marqué des mêmes lettres les points analogues de ces deux surfaces , afin que l'explication précédente soit la même pour les deux planches a et 3. Néanmoins il faut distinguer dans cette explication ce qui est particulier à l'hyperboloïde de révolution. Ainsi la droite ( A , a a' ) pi. 3 , n'est pas un axe de révolution , mais un axe principal de l'hyperboloïde à une nappe. On observera que la droite A G fjig. i pLZj n'est pas perpendiculaire à la trace DH, conmie dans la fig. i f pL 2 J.
i5. Nous ferons remarquer que les deux demi-ellipses XZY, XZ' Y (y^. I, pi. 3) sont divisées dans le même nombre d'arcs par les projections horizontales des droites de l'hyperboloïde ; que deux quelconques de ces arcs à égale distance du grand axe X Y, sont égaux ; enfin que la projection horizontale d'une droite quelconque de l'hyperboloïde passe toujours par deux points de division de l'ellipse XYZZ'. Pour trouver le mode de division de cette ellipse, qui satisfait à ces conditions de symétrie, on considère un autre hyperboloïde engendré par une droite qui aurait pour directrices deux cercles égaux et parallèles (i) dont les projections ortho-
(i) PI. i^Jig- 3. Nous avons démontré, dans nos éléments de Géométrie à trois dimensions , partie algébrique ( pag. 197 ) , que les surfaces du second degré peuvent être engendrées de deux manières différentes par un cercle variable de rayon , dont le centre décrit un diamètre de la surface, et dont le plan reste constamment pa« rallèle à lui-même. L*une de ces surfaces, l'hyperboloïde à une nappe, peut aussi.
IP Suppl. 2
10 GÏOM^TlltE DESCRIPTIVE.
gonales sur le plan de la figure i planche 3 , seraient les ellipses ( X Y Z^ a? j ) et ( X Y Z, a/y ). Ces cercles ont pour diamètres les droites ( X Y, ar/ ), et ( X Y, aiy^ ). Les ellipses XYZ, BB' EF étant semblables et semMabkment placées , on aura Tinclinaison des plans des cercles p^r rapport à celui de lellipse BB' EF, en décrhrant du point A comme centre avec AE pottr rayon, un arc EP qui coupe la droite BP perpendiculaire à AB au poim P. L'angle BAP mesure Vinclinaison des plans de rellijpse XYZ et du plan du cercle qui se projette orthogonalemcnt Cfig> i ) suivant cette ellipse. En supposant ce cercle et lellipse XYZ sur le même plan^ on divisera le^ cercle à partir du point X marqué zéro en parties égales. On divisera aussi le cercle égal et parallèle qui a pour diamètre la droite ( XY, jr'y ) dans le même nombre de parties éga)es, et on regardera un point quelconque H' de division , comme lorigine de la division marquée du chiffre zéro. — La droite menée par les points X et H' marqués du même chiffre zéro sur les deux cercles , sera une droite de Thyperboloïde. On aura toutes les droites de cet hyperboloïde , qui , sont comprises entre les mêmes cercles et de même longueur, en joignant les points de division consécutifs marqués des
^Hh
être engendrée pat une droite mobile qui s'appuie sur trois lignes quelconques , et par conséquent sur trois cercles de cet bjperboloïde. Si Ton suppose que lun de ces trois cercles est divisé en parties égales^ la droite mobile divisera tous les autres cercles de la surface parallèles à celtii-là dans le même nombre de parties égales ; d'où il suit que deux cercles et une droite déterminent l'hyperboloïde qui passe par trois cercles donnés dans des plans parallèles.
Le plan de \^Jîg' 3,/?/. i est parallèle à deux cercles égaux <ju'on a pris pour directrices de la droite génératrice d'un hyperboloïde. Ayant divisé ces deux cercles en paities égaies, on fixe la première position de la droite génératrice, en Tassujétissant à passer par deux points de division, tels que la droite qui joint ces deux points ne soit pas dans le plan des centres des deux cercles. A partir de ces deux points, les arcs de cercles interceptés par la droite mobile dans une position quelconque, sont égaux. Les projections de cette droite sur le plan de la^^^. 3,/?/. i> sont tangentes à une hjperbole.
GliOMÉTRIE DESCRIPTIVE. II
mêmes chiffres. Mais on peut mener du point X aux points H\ H'^ du cercle ( X Y, j?'y ) ,deux droitea XH\ XH"; on pourra donc engendrer le second hyperboloïde de deux manières, en prenant le point H' ou le point H'' pour le zéro (k la division du second cercle ; alors chaque point de ce cercle sera marque de deux chiffres correspondants aux deux modes de génération de Thyperboloïde.
Les deux cercles des diamètres ( X Y, ;«?j ) , ( X Y, jp'y ) du second hyperboloïde se projettent {^fig* ii pi* 3 ) suivant la même ellipse X YZ ; donc les droites de cette surface qui se croisent aux points de division des deux cercles , se projettenty?^. i suivant des droites qui se croisent aux points de Tellipse XYZ. Mais les projectionsy?^^. i des points des cercles tels que H', H", sont sur des droites perpendiculaires à Taxe X Y; donc si à partir du point X,on a divisé le cercle X Y H' H" en parties égales, les perpendiculaires abaissées de ces points de division sur le diamètre X Y diviseront Tellipse XYZ en parties inégales, et comme les droites de l'hyperboloïde, dans les deux systèmes de génération, passent par les mêmes points de division des deux cercles des diamètres (XY, ^j^), (XY, a?y ), la projection horizontale de l'une quelconque de ces droites passera par deux points de division de l'ellipse.
Troisième exemple. — Plan tangent au tore. (PL ^J.
(Voyez les Eléments de Géométrie a trois dimensions , art. Sg^pag. 4o).
i6. Soit [\^aa^)^Jig. i et a, pi. 4 ^ l'axe de révolution d'une surface annulaire ou d'un tore qui a pour génératrice le cercle (EF, efdâ^ ). La perpendiculaire abaissée du centre c de ce cercle {Jig. 12) sur Taxe aa^rencontre la surface du tore aux points (F,/*),(E,e), et les plans tangents au tore menés par ces points sont de deux espèces. Le premier mené par le point (F,y) n'a de commun avec
la. surface que ce point de contact. Le second mené par le point (E, e) le plus voisin de l'axe de révolution, coupe le tore; et, si l'on suppose que ce plan tourne autour de l'horizontale ( G H , e ) pour s'abattre sur le plan horizontal , la section du tore ^^g. 3 , sera la courbe en huit (8), GKEL'HK'ELG dont les plus grandes ordonnées verticales Kl, KT égales kcd oncd'^ correspondent aux abscisses égales El, El' demi-cordes du cercle décrit du point A comme centre avec AD pour rayon.
17. Sur eb{Jig.2.) comme demi-axe transversal , construisons une hyperbole m en qui ait son sommet au pointe, et dont le rayon de courbure en ce point soit égal au rayon c e du cercle générateur du tore. On a (art. iode l'Appendice de nos Eléments , pag. i ay) c e = ^ , x étant le demi-grand axe conjugué à l'axe transversal; ce qui donne x = 1/Ï7x7tf, c'est-à-dire que x est une moyenne proportionnelle entre les deux lignes he et ce.
Ayant mené les asymptotes bp , bp^ de l'hyperbole osculatrice du cercle edd\ la droite (BP, bp) ou (BP, bp^) dont la projection horizontale BP(^.i) parallèle à la droite bc {fig. 2), est une tangente au cercle décrit du point A comme centre avec AB pour rayon, engendre en tournant autour de l'axe de révolution ( A,aa^),un hyperboloïde osculateur du tore en un point quelconque (E, e) du cercle, qui est du rayon eb\ or le plan tangent au tore au point (E, e) coupe cet hyperboloïde suivant deux droites ER, ER' {Jig. 3) qu'on obtient, art. i3, en prenant PR==PR'=e/7=6/7'; donc ces deux droites tangentes au point E de la section du tore et du plan tangent , en sont aussi psculatrices , c'est-à-dire que les rayons de courbure des deux branches de cette courbe qui se croisent au point E , sont pour ce point d'une longueur infinie. On déduit de la considération des sections normales, une autre construction des deux tangentes au point double E de la section du tore par le plan tangent au même point.
ciouiTKlE DESCRIPTIVE. l3
i8. Le plan tangent (Jig. 3, /?/. 4 ) au point E contient les traces E A, ER' des deux sections normales Tune du rayon ec=ret l'autre d'un rayon infini ; or l'angle de ces deux droites est égal à l'angle de ces deux sections ; donc la tangente de cet angle est ( art. 4 ^e l'appendice E.) y/ —, la lettre R représentant la droite be (Jîg. 2).
Prenant pour unité la portîbn a ^ de la droite {fig. 2 ) comprise entre deux parallèles quelconques ca, ^^, on a à cause de be=zR^
Ayant décrit sur ba comme diamètre, un demi -cercle, l'ordonnée p y de ce cercle est égale à y/ 5, Construisant (Jig. 3) le triangle rectangle E p' y avec les deux côtés E p', p' y égaux respectivement aux droites a p, Py (7%". a), l'angle p'Ey' est égal à l'angle AER' complément de l'angle P E R' qu'on a trouvé ( article précédent ) par la considération de l'hyperboloïde de révolution osculateur du tore au point E.
19. On voit par ce dernier exemple, que pour apprendre comment un plan tangent de la seconde espèce touche une surface , il est nécessaire de connaître la forme des sections normales qui passent par le point de conts^ct, de distinguer les deux séries de sections dont les courbures sont en sens contraire par rapport au plan tangent , et de déterminer la section qui se trouve au passage de l'une des séries à l'autre. Nous reviendrons dans le paragraphe ( §. V ) sur la discussion des sections normales d'un tore , qui passent par les mêmes points e,/* de la normale abaissée du centre du cercle générateur efddJ sur l'axe de révolution. Pour éviter les répétitions: les points des figures i et 2 , planche 4 9 rapportés figures i et 2 de la planche suivante 5 , y seront marqués des mêmes lettres.
i4 GÉOMiéTRIE DESCRIPTIVE.
