IV. -. PL I
Construction géométrique du rayon de courbure dune ellipse en un point donné de cette ellipse. Fig. 4^5,6.
(Voyez V Appendice de wn EUmenUy ait. 8, pag. ia3).
ao. Soient AB, CD {fig. 4^ 5^ 6^ pi. i. ) les diamètres conjugués d'une ellipse; on demande le rayon de courbure au point A extrémité du diamètre AB.
Pour résoudre cette questimi, nous considérerons lellipse proposée ABCD {fig. 4 ) coHune une section normale dun cylindre à base circulaire, et nous déterminerons la droite génératrice de ce cylindre.
Ayant nené par le point A {fig. ii^pL i ) la tangente EAF parallèle au diamètre CD, et la normale A G A', on décrira {fig. 5) du point G de cette normale comme centre , un cercle d'un diamètre A A' égal à C D , tangent à l'ellipse au point A-
Considérant le plan de la^^. 5 comme horizontal, soit X â^ Y la trace du plan vertical de projection {fig. 6 ) perpendiculaire à la tangente £AF de l'ellipse et du cercle, dont les diamètres parallèles CD, E'F' sont égaux. Construisons {fig. G) le triangle rectangle agq dans lequel on a :
a^= AG {fig 5 ) =OC {fig. 4 ), ^9«OP {fig 4 ), . O F étant la perpendiculaire abaissée du centre O de l'ellipse sur la tangente EAF; l'angle ^^gr de ce triangle mesure l'angle que les plans du cercle et de l'ellipse doivent faire entre eux , pour que ces deux lignes soient sur le même cylindre. En effet concevons un cylindre dont les arêtes soient parallèles à la droite {GQ^ gq) qui joint les centres O et G^fig. 4 ^t 5 de l'ellipse et du cercle, et dont la base est le cercle du rayon A G.
G^OM^TRIE DESCRIt>tIYE. l5
Les plans tangents à ce cylindre menés par les points E\F' extrémités du diamètre £'F' parallèle à CD, seront coupés par le plan de lellipse (y?^. 4 ) suivant deux droites EC^FD parallèles au diamètre AB, puisque ces plans seront parallèles à celui cjui passe par les droites A G et ( G Q, ^y ) , dont la trace {^fig. 4 ) cs^ 1^ diamètre A B.
Les plans tangents au cylindre menés par les points A , A' extrémités du diamètre A, A' sont évidemment coupés par ce plan de Tellipse ( fig. 4 ) suivant deux parallèles E A F , g B ç ; d'où il suit que le plan dont les traces sont {Jig* 5 e^6 ) E AF et a^, coupe le cylindre suivant l'ellipse ABCD, qui a pour diamètres conjugués les droites AB, CD. Le plan tangent au cylindre au point A, qui a pour traces ( jig. 5 e^ 6 ) la tangente E A P et la droite d a parallèle à gq , est perpendiculaire a la droite aq^ trace fig. 4 du plan de l'ellipse A B C D ; donc le plan de cette ellipse est normal au (îylindre au point A, puisqu'il passe par la normale à ce cylindre ( AG, <2y ).
Cela poséi) la section normale ABCD du cylindre, et la section circulaire oblique AE'F' A' ayant une tangente commune au point A, les rayons de courbure de ces deux sections sont ( Théorème de Meusniery E. art. 77.) sur une perpendiculaire à la section oblique ; or cette perpendiculaire est la droite polaire (G, gli) du cercle AE'F' A' (•/%*• 5 ) , et cette droite coupe le plan de l'ellipse fig. 4 au point K tel que AK=aA; donc le point K {fig.l^) est le centre de courbure de l'ellipse ABCD au point A extrémité du diamètre AB de cette ellipse.
21. Cette construction donne l'expression du rayon de courbure AK de l'ellipse, au moyen du diamètre CD parallèle à la tangente E AF et de la perpendiculaire ALi^OP abaisse du point de contact A sur ce diamètre. En effet, 611 a dans le triangle rectangle agtf {fig. 6), a^3±rOC=:i£OP; éïçr = AL=:OP,eten comparant les deux triangles rectangles dgq*, agk qui ont un côté commun ag^ Thypo-
GJÎOMl^TRIE DESCRIPTIVE.
thénuse ^^ du second triangle = ^ = 2£li valeur connue du rayon
^ aq AL ' -^
de courbure A K^^. l\^=^ak^ fig. 6.
On a suppose que la perpendiculaire O P ( fig. 4- ) abaissée du centre O sur la tangente EAF , était plus petite que le demi-diamètre OC parallèle à cette tangente, puisqu'on la regardée {^fig* 6 ) comme le côté a q d'un triangle rectangle qui a pour hypothénuse une droite ag=OC\ si elle était plus grande, on trouverait le rayon de courbure AK, en modifiant la solution précédente de la manière suivante.
Construction du rayon d'une ellipse , à V extrémité d^un diamètre dont le conjugué est plus petit que le double de la perpendiculaire abaissée du centre uîe V ellipse sur la tangente parallèle a ce diamètre conjugué. ( Fig. 4S 5\ 6', pL i ).
22. Considérons l'ellipse proposée A B C D (y?^. 4' ) comme la section normale d'un cylindre qui a pour base une seconde ellipse E' A F' {^fig* 5' ) dont le petit axe principal E'F' est égal au petit diamètre CD de la première , et qui a pour demi-grand axe principal une droite A G' plus longue que la perpendiculaire AL abaissée de l'extrémité A du diamètre AB conjugué à CD, sur ce diamètre CD. Le point A {^jig* li ) étant le sommet de cette seconde ellipse, on a vu ( Appendice ^,art. S ^ page i23) que son rayon de courbure A G en ce point , est
Ayant abaissé du centre O de l'ellipse fig. l\ la perpendiculaire OP sur la tangente EAF, on construit {^fig^ 6' ) le triangle a^ q avec rhypothénuse a^ = A G', et le côté ^5r = OP==AL, L'angle g^ a y de ce triangle est, d'après ce qu'on a dit article précédent, l'inclinaison des plans des deux ellipses situées sur le cylindre dont les arêtes sont parallèles à la droite qui joint les centres G' , O de ces
GlJ^OMiTRIE DESCRIPTIVE.. 17
deux ellipses, droite/qui a pour projections G'Q^ gfq {fig* &\ & ). Le plan de l'ellipse (y?g. 4' ) ^tant normale au cylindre, les centres^ dé courbure des deux ellipses {^. 4S 5' ) sont sur une perpendiculaire (G^gk) au plan de la seconde ellipse Jîg. 5'. Cette perpendiculaire rencontre le plany^. 4' au point K, et donne pour le rayon de courbure au point A de Tellipse ABCD, une droite AKyî^. 4' égale à ak. , {fig. 6 ).
aS. Comparant les deux triangles d^ q , agk {fig. 6 ), on a la proportion :
àq\a^ ::ag:ak^ ou, OP=AL: AG' :; AG :a^=AK-
àcausedeAG=^ ALrAG^iÇ^Z : AK=^=?p:,
AG At» AL AL.
expression de même forme que celle de l'article précèdent.
Construction des sections normales et un tore ^ et des rayons
de courbure de ces sections. PL 4 ^t 5-
^4- Soient yî^. i et n^pL 5, les points et les ligues d'un tore, marqués des mêmes lettres que sur les fi^^res i et 2 de la planche 4% ( art. iB )• '
Considérons les quatre sections de ce tore , dont les plans passent par la normale èe/(y%*. a^pL 5 ), et par les droites i&H, èK, èL, 6M, {fié* 3 ) situées dans un plan mené perpendiculairement à la normale bf. Ces plans font avec celui du petit cercle dd^ e/àa tore, des angles respectivement égaux à ceux-ci : a'éH,a'6K, a'^L, a^bM^ En supposant qu'ils aient tourné autour de la normale bf ( fig. â ) transportée en A F ( fig. i ) , les quatre sections normales sont représentées sur le plan de cette figure i , dans leur véritable grandeur , et //• SuppL 3
l8 G^OMIÉTRIE DESCRIPTIVE.
chacune eit marquée d'un trait particulier qui est le même que celui de sa projection sur le plan de la figure 3.
Tous les rayons de courbure des sections normales qui se croisent au point ( F^/*) sont diriges du même côté, et leurs valeurs crois* santés depuis c/ {Jig. â ) jusqu'à b/^ ne passent pas par l'infini. Il n'en est pas de même des sections normales qui se croisent au point ( E^ ^ ) 'ijf^' I et a. Les rayons de courbure pour ce point ne sont pas dans le même sens ; il y a une section normale dont le rayon de courbure est infini^ et qui sépare les deux séries de sections ^ les unes convexes , les autres concaves vers l'axe de révolution du tore.
Après avoir construit par la méthode connue ^ les lignes d'intersection du tore par les plans J*b h ^/bm^jftg. a et 3^ pi. 5, ces lignes dans leur véritable grandeur deviennent (PRES, F'R'E'S' ) (/ig. i ), et ( F(^ F^ IL'yEiç E'/ ); chacune d'elles est formée de deux branches séparées.
a5. Les rayons de courbure de toutes les sections normales qui passent par le point (F,/) du tore, sont (appendice E,art. 3 , p. 1 15) les rayons vecteurs d'une ellipse qui a pour grand axe la somme des deux rayons de courbure principaux Je, fh ( figure a ) ; soit y*H'K'L' M'y cette ellipse construite y^*. 4 ? pi- 4 et 5 (voyez le côté droit de la planche 4); la droite ^^ en est le grand axe; le point* o en est le foyer, et les deux parties c/, cfi du grand axe sont égales aux rayons de courbure principaux cf, hf^ {fig. a, pi. 5) au point (F,/) du tore.
Ayant décrit du point b comme centre {fig. 3, pi. 5), avec un rayon quelconque bi^ le cercle ihkîm^ et du point û tomme centre {fig. 4? planche 4 et 5) avec le même rayon, le cercle ^h'VVm\on prendra des arcs i^h\ NU y VV^ Vm! doubles des arcs ih, hk^ kî, Im {fig^ 3 pi. 5), et les rayons vecteurs cH', cW (fig. 4 ? pi- 4 et 5) seront les rayons de courbure des sections normales FRE, FjtFfii' (fig^ 1, pL 6) au point F de ces lignes.
G^OMl^TRIE DESCRIPTIVE^ I9
â6. La section normale y*^ L {fig. ^ et 3^ pi. 5) est remarquable par cette circonstance que son plan est à-la-fois normal et tangent au tore. Il est normal au point y^ puisqu'il passe par la normale bf {fig^ a, pi. 5 ) et il est tangent au point V {fig. 3 ), parce qu'il contient la tangente b V {fig. 3 ) du cercle géniteur du tore dont le rayon dV est égal à c/, {fiS- ^)- Cette section, dans son plan, a pour contour la courbe FOE'0'EOF'{yîg'. i) qui a deux points doubles O, O'. On obtient ces points sur la droite AX Y perpendiculaire à ÂF, en prenant
kO = \0' {fig. i)=bN ifig.^).
Les tangentes au point 0(/%'. i) se construisent (art. 17, i8)comme les tangentes ER, ER' {fig. 3, pi. 4) du point double E. Les rayons de courbure principaux au point V ou V (y%'.3,pl. 5 ) étant c' V et V», soit {fig. ù) ce =c' V; cy = V w. Ayant mené deux parallèles quelconques coL^efi qui coupent aux points «, ^ la droite y« perpendiculaire à cy, on décrira sur a y comme diamètre un demi-oercle,et
l'ordonnée p^ de ce cercle sera l/îI-==\/ ^, en supposant a p=i.
Donc si Ton construit {fig. i ) les deux triangles rectangles O p' *', O p' i'^ égaux au triangle a p i {fig. 2 ) , les deux hypothénuses O J^ O^'' seront (art. 18), les tangentes au point double O.
^7. Des trois sections normales du tore que nous Tenons d'examiner, et qui se croisent aux points E et F de ce tore, la première FRES {fig. ï) est convexe en B vers l'axe de révolution, et les deux autres sont concaves vers cet axe. Le rayon de courbure de la première est dirigé de E en F, et les rayons de courbure des deux autres sont dirigés en sens contraire de E vers A. Pour trouver la section normale intermédiaire, dont le rayon de courbure est infini au point E , il faut remarquer que Thyperboloïde osculateur du tore est le même pour tous les points du petit cercle du rayonAE ou AB ; or si Ton conçoit Thyperboloïde osculateur au point (B, i)^ {fig. i et 2%
âO GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
et les deux plans normaux au même point ^ qui coupent cet hyperbo^ loïde en lignes droites, a!bp {fig. a) est (art. i3) Tangle que le plan du petit cercle générateur du tore fait ayec l'un de ces plans normaux ; donc la droite bYi {fig. 3) qui fait avec la droite a' b un angle aJbK. z=a^bp^ détermine la section normale /ôK {fig. la et 3) composée de deux branches FTEV, F'T'E'V {fig. i), telles que les rayons de courbure en E et E' sont infinis.
, Puisque le plan tangent au tore, au point £ contient les tangentes de toutes les sections normales qui passent par ce point, la posi* tion de la section normale . d'un rayon de courbure infini pour le même point, indique de quel côté du plan tangent, les sections nqrmaies adjacentes sont touchées par ce plan.
ff!è. Nous avons construit l'ellipse {fig. 4» pi. 4 ^^ ^ ) ^^ donne les rayons de courbure des sections dont les plans passent par la normale FA^/b {fig. I et a, pi. 5 ) et qui se croisent au point (F,y). Ces mêmes sections se croisent au point (E, e), et les rayons de courbure pour ce point sont les rayons vecteurs d'un hyperbole qui a pour axe transversal la droite c c' {fig. 5 , pi. 4 et 5 ) , différence des droitesyc',yc égales aux rayons de courbure principaux eb^ec {fig^ a y pL 5 ) au point E du tore. Les rayons^ de courbure des sections normales comprises dans l'angle ^^K {fig. 3, pi. 5) sont donnés par la branche d'hyperbole cH' {fig. 5, pL 5 ) comprise entre l'axe b'fi et l'asymptote b'p. Les rayons de courbure des sections normales comprises dans l'angle Kbc' {fig. 3,pL 5) sont les rayons de courbure de la branche d'hyperbole c' V { fig, 5 , /?/. 4 et 5 ) comprise entre l'asymptote b' iç' et l'axe transversal b' c'/'.
ag. Les rayons de courbure principaux en un point , quelconque du tore pour lequel le plan tangent est de la seconde espèce , déterminent l'hyperbole dont les rayons vecteurs sont les rayons de cour-
GjéOMBTRIE DESCRIPTIVE. !2I
bares des sections normales .qui passent par le même point , et par conséquent les asymptotes de cet hyper'bole; d'où l'on déduit une troisième manière ( voyez art. 1 7 et 1 8 ) de construire l'angle a' bK ^fië' ^î P^- 5), ou alhp^fig. 2, puisqu'il est égal à la moitié de l'angle conmifb'p {Jig. 5, pi. 4 et 5)^ de l'axe transversal Vf^ et de l'asymptote V p de l'hyperbole H'cc'U.
