VI

Construction des plans osculateurs et des rayons de courbure des courbes a double courbure. PL 6 , 7,8.

Premier exemple. — Courbe a double courbure , résultant de Vinter^ section de deux cylindres droits a base circulaire. PL &,fig. i — 5.

3o. On a déjà construit l'intersection de trois cylindres droits à base circulaire pour déterminer la position d'un point dont on connaît les distances à trois droites ( voy. le premier supplément à la Géométrie descriptive , pag. 109^ art. 126 , et la planche (B) de ce supplément). Ayant extrait de cette planche (B) la projection horizontale de l'intersection des deux cylindres désignés par les lettres (A) et (B) , proposons-nous de construire le plan osculateur et le rayon de courbure pour un point de cette intersection , par exemple ^^ celui dont la projection horizontale est M, (/?/. &^fig. i).

Les axes des deux cylindres coupent le plan horizontal aux points A et B (pL &ifig* I )î et ont pour projections sur ce plan les droites A a ^ B 6. Les traces des cylindres sur ce même plan étant les ellipses C G F, C'G' F', dont les petits axes C G, C G' sont égaux aux diamètres des cercles bases des cylindres, on a deux triangles rectangles F AH, F'BH' dont les côtés AH^ B H' respectivement égaux aux droites AC,

â2 G^OMléTRIE DESCRIPTIVE.

BC\ sont opposés aux angles HFA, H'F'B que les arêtes des cylindres font avec le plan horizontal. Le point donné M est Tintersec^ tion de deux droites MN, M N' projection de deux arêtes des cylindres qui coupent le plan horizontal , l'une en N , et Vautre en N'.

Les tangentes NO^ N'O aux points N, N' des ellipses se coupent en un point O par lequel passe la tangente MO à la courbe MDK projection de la ligne d'intersection des deux cylindres. Désignant par (M) le point de cette ligne dont M est la projection sur le plan horizontal, et par (OM) la tangente au point (M) dont OM est la projection sur le même plan , nous allons d'abord construire le rayon de courbure p de la section normale du cylindre (B) dont le plan

passe par la tangente (OM). Dans la formule p = ^ J^ — j que nous

avons démontrée (appendice £, art. 6, pag. 120) , r est le rayon du cercle base du cylindre, et A est l'angle que fait la tangente à ce cercle avec la tangente (OM) à la courbe d'intersection des deux cylindres. Connaissant cet angle dont le sommet est au point (M), on aura la valeur de p.

Le point (M) est le sommet de l'angle droit de deux triangles rectangles M'S'm^Mh'm'i le premier semblable au triangle BF'H' a pour côté une droite Mm égale à la distance du point (M) au-dessus du plan horizontal ; le second a pour côtés adjacents à l'angle droit la droite Mm'=:Mm^et la perpendiculaire ML' abaissée du point M sur la trace OL'N' du plan qui touche le cylindre (B) au point (M): faisant tourner ce plan tangent autour de sa trace horizontale ON' comme charnière , pour l'abattre sur le plan horizontal , l'arête du cylindre (B) qui passe par le point (M), et la tangente (OM) y deviennent N'P' et OFT'. Élevant la perpendiculaire F S' à P'N', on a S'P'T' pour l'angle A. Doublant cet angle, on a le cosinus de 2 A,

et par conséquent la valeur —r^ — r du rayon de coutbure p.

On a construit à part cette valeur, en prenant (Jig. 2) : ad=i.

G£OM^TIlI£ DESCRIPTIVE. â3

Tyc ^ il du rayon a d égal au double de Tare S' P' T' {fig. i);bd {fig. % ) =cos. (aS'P'TO; bc {fig. a)=C'G' {Jig.i).

Cette construction donne la proportion :

ad + dbibcy.adide, ou i + cas. aArar:: i:rfe=: p ===5-rrrr-ri- Portant ce rayon de courbure de {fig. â ) sur la droite m! é {fig. 3 ) perpendiculaire à Thypothënuse L' m! du triangle rectangle M \J W (/^. 3) , le point 4^ sera, dans le plan vertical de ce triangle, le centre de courbure de la section normale du rayon p dont le plan passe par la tangente (MO), et Textrëmitë ^^ de la verticale e'f' sera la projection horizontale du centre de courbure ef.

Faisant pour le cylindre (A) les constructions analogues à celles qu'on vient d'indiquer pour le cylindre (B), on a pour points analogues à ceux-ci : N\ m , U, m\ V\ S\ T\ les suivants dans le même ordre : N, {i.,L, ji.', P, S, T; le rayon p' de la section normale au point (M) du cylindre (A), dont le plan passe par la tangente (MO) , a pour

valeur ^ ■ co^OiSpt) ' ^Y^^* porté ce rayon de courbure p' sur la droite \l t perpendiculaire à L(a', le centre de la courbure e (i) de la section normale de ce rayon sera en projection horizontale le point 9 ; et la droite qui joint les centres de courbure des sections normales aux deux cylindres des rayons de courbure p et p', sera en projection horizontale la droite 99'.

Concevons par la droite qui joint les centres de courbure e' et e des sections normales des deux cylindres (A) et (B), un plan vertical , et supposons que ce plan ait tourné autour de sa trace horizontale 9 9' comme charnière pour s'abattre sur le plan horizontal ; on a dans ce plan un trapèze {fig. 4 ) formé par l'horizontale 9 9', et par deux verticales , l'une 9' if^ = 9' a' {fig. 3 ) , et l'autre 9 ^j; ==: 9 e; les ex-

(t) Ce point • florc du cadre de la planche; il est le point de concours des deux oites \L't, 9c ^ lespectitement perpendiculaires aux droites Lp.', LM9«

â4 G^OMJ^TRIE DESCRIPTIVE.

trémités ^' et ^ de ces verticales (i) sont les centres de courbure âfs sections normales des deux cylindres, dont les plans passent par la tangente (MO) de l'intersection de ces deux cylindres.

. La perpendiculaire abaissée du point (M) sur la droite if if (fig. 4) ^^ ^ rayon du cercle osoulateur demandé; et le pied de cette perpendicu-' laire en est le centre : ce cercle du rayon ^z {fig. 4) est l'intersection de deux sphëres'des rayons p et p', qui ont pour centres les points if et if. {fig. 4)- Sa projection horizontale est une ellipse Z M Y {fig. i),dont le petit axe ZY est dirige suivant la droite 9 9^ et dont le demi-grand axe J z' fig. i est égal à cdZ {fig. 4)* Cette ellipse est osculatricé de la courbe KMD projection horizontale de la ligne d'intersection des deux cyUndres, au point M de cette projection; son centre J est la projection du centre «> {fig. /\) an cercle osculateur.

3i. Puisque le cercle osculateur passe par la tangente 0(M) qui coupe le plan horizontal {fig. i ) au point O , la trace horizontale du plan de ce cercle est une droite Ou perpendiculaire à la trace f f' de la fig. 4 9 et le point u est dans le prolongement de la droite («> z dç cette figure. Le point (M) de l'intersection des deux cylindres étant projeté sur le plan de la^^*. 4i s^i projection x est sur le droitMx'x perpendiculaire à 99', à une distance \\ de 99' égale à Mm ou Mm' {fig.3 ) ; en sorte que si l'on ne demandait que le plan oscillateur au point (M) dp la ligne d'intersection des deux cylindres , il serait déterminé par ses deux traces Ou^ Wk {fig. i et 4) respectivement perpendiculaires aux droites 9 9' et ^ ^' {fig. 4 )•

3^. Le cylindre vertical qui a pour base le cercle osculateur au point (M), est coupé par le plan incliné normal à ce cylindre ^ qui

(i) Le point ^ sort du cadre de la planché; il est le point de concours dés deux droites ^'^^ 94^1 la seconde de ces droites étant perpendiculaire à 99'.

GléOMlSTRIE DESCRIPTIVE. ^5

passe par la tangente 0(M), suivant une ellipse dont le centre de courbure au point (M), est sur une droite horizontale normale au cylindre, et parallèle à la normale Mtcto" de l'ellipse horizontale ZMY {^fig. I ); or le centre de courbure de la première. ellipse est ( art. 77 E ) sur une perpendiculaire au plan du cercle osculateur , laquelle a pour projection horizontale la droite ç ç' <o' ir (y%\ i ) ; donc la projection horizontale -jt ( fig. i ) de ce centre de courbure est Tintersection de la droite 9(p' et de la perpendiculaire Mw" à la tangente MO de la courbe KMD. Connaissant le rayon de courbure M 'T? de la première ellipse au point (M) du cercle osculateur, on en déduira le rayon de courbure Mw" {^fig- i) de l'ellipse horizontale ZMY, au point M par lequel passe la normale horizontale Mtî du cylindre vertical. En effet , soit (y^. 5) dans le plan vertical 0(M), un triangle rectangle M O rrJ\ dont le côte M wi" est égal M m! {fig. 3 ), et dont l'angle MOw", ou «Op mesure l'inclinaison de la tangente (M)0 et de sa projection horizontale MO {fig. i), ou l'angle de deux sections du cylindre vertical, l'une normale, Tautre oblique, qui. pa/ssent par la même tangente ; on a ( appendice E^ pag. i2â , art. 6)

M4>'' = MirCOS.*(aOp).

Menant le diamètre y cd' J de l'eUipse ZMY parallèle à la tangente: MO, et abaissant la perpendiculaire Mv sur ce diamètre, on a vu.

(art.a3 § IV) queM<o"=^^. Cette seconde valeur Mw ' sert de vérification à la précédente Mtt cos.' (aOp).

Deuxième exemple. — Courbe à double courbure résultant de F intersection d'un fore et d'une sphère. PL ^ , fig. i — 4-

33. Ayant pris pour plans coordonnés un plan horizontal {fig. i ) mené par le centre de la sphère perpendiculairement à l'axe de révolution du tore , et un plan vertical {fig^ ^ ) passant par cet axe et par le centre de la sphère , les projections du cercle générateur du //• Suppl. 4

q6 G^OMl^TRIE DESCRIPTIVE.

tore sur ces plans ^ sont EF (y?^. i ) et e/dd' i^fig* a )• Les projections de Taxe de révolution sont A et ^ï a' , et celles du centre de la sphère G et^. Apres avoir construit, par la méthode connue, les projections LMN, Zm/i de la courbe d'intersection du tore et de la sphère, on demande les cercles osculateurs de cette courbe pour deux points (M) et (N) , choisis de manière que les plans tangents au tore menés par ces points , ne soient pas de même espèce. Le plan tangent mené par le point (M) ou ( M , m) est de la première espèce, et les rayons de courbure des sections normales du tore qui passent par ce point, appartiennent à une ellipse {^fig^ 3 ) , dont le grand axe op est la somme des deux rayons de courbure principaux oc, op {fig. â) qui correspondent au point (M, m) {fig* i et a) du tore.

Pour construire le point o {fig* 2 ) on mène par le point donné m {Jig, a ), l'horizontale mo qui coupe le cercle efdiï au point o; le rayon co de ce cercle étant prolongé, il rencontre la verticale aa^ projection de Taxe du tore au point p ; ce qui détermine les rayons de courbure principaux oc,op au point (M) ou (M, m) du tore.

Les plans tangents au tore et à la sphère menés par le point (M) de la courbe d'intersection de ces deux surfaces , se coupent suivant une tangente à cette courbe, que je désigne par la lettre ( T ). Leurs traces sur le plan horizontal WiK^ {fig^ ^ ) q^ touche le tore suivant le cercle supérieur du rayon da'^ ont pour projections horizontales (Jîg. i) les droites ap, «'p {/ig-i ) qui se rencontrent au point p, projection horizontale de l'un des points de la tangente (T). Cette tangente fait avec la tangente au cercle générateur du tore , menée par le point (M), un angle ay p opposé au côté horizontal a p du triangle rectangle apy, et adjacent au second côtéaY=oy (Jig. 2) de ce triangle. Connaissant cet angle, on en déduira le rayon de courbure de la section normale au tore, menée par la tangente (T). En effet, ayaàt construit l'eUipse (/ig. 3), et l'angle oci que le grand axe oc fait avec le rayon vecteur c^, étant double de l'angle «yp compris entre la

GlfOMléTRIE DESCRIPTIVE. ^J

tangente ( T ) et la tangente au cercle générateur du tore , le rayon vecteur c ^ est égal au rayon de courbure de la section xiorinale du tore , dont le plan passe par la tangente ( T ) (appendice E. art. 3 ^page I ï5). Pour avoir la projection verticale ç {fig* 2 ) du centre de courbure de cette section, on prend ot{fig. la ) =:c^ {fig. 3 ), et on mène l'horizontale €9 , {fig* ^) qui contient cette projection verticale. Cette projection est aussi sur la projection verticale mp de la normale au tore menée par le point (M); la droite mp coupe la droite fi<p au point demandé f . La verticale 99' et la trace A M {fig. i ) du méridien du tore, se rencontrent au point ç', {fig, i ) qui est la projection horizontale du centre de courbure dont 9 ( fig. a ) est la projection verticale. Le point (9, 9') est le centre de courbure de la section normale au tore , dont le plan passe par la tangente ( T )*

Le plan vertical G 9' {fig. i ) qui contient le centre de la sphère ( G^), et le centre de courbure ( 9^9' ), ayant tourné autour de la verticale G pour venir s'appliquer sur le plan méridien G H , ou son parallèle gh^ on a {fig. ù.) g pour le centre de la sphère, et if l'un des points de la droite s 9 , pour le centre de courbure ( 9 , 9' ). Le cercle décrit du point if comme centre avec le rayon ifZ:s=zot:=zci {fig. 3) , coupe le grand cercle de la sphère du rayon gh {fig. a) , et la demi-cordé idZ de ces deux cercles est le rayon de courbure demandé ( E , art. 77 pag. 80 ). Pour ramener le centre de courbure u dans le plan méridien G 9' {fig. i ), on prend la distance u^J^k du point u à l'axe vertical g^ qui passe par le centre ( G,g^) de la sphère, et on porte cette distance ( fig, i ) sur G 9' de G en w' ; les points J, J' sont les deux projections du centre de courbure demande. La droite qui joint le point ( J^J' ) et le point ( M ) est le rayon de courbure ' au point (M) de la ligne d'intersection du tore et de la sphère; ce rayon a pour projections les droites Mw' {fig. i ) et mJ' {fi^. a ).

34- Considérons maintenant le point ( N ) ou (N, n) du tore , pour

'â8 GléOMiTRIE DESCRIPTIVE.

lequel le plan tangent à ce tore est de la seconde espèce, et proposonsnous de construire le cercle osculateur de la courbe d'intersection du tore et de la sphère en ce point (N).

L'horizontale nr {fig. 2 ) coupe le cercle générateur du tore au point r, par lequel on mène le rayon cr de ce cercle, qui, prolongé , rencontre Taxe a a' du tore au point s. Les rayons principaux du tore -au point (N) sont évidemment cr et rs; et, comme dans le cas particulier de la figure , ces deux rayons sont égaux, l'hyperbole, lieu des rayons de courbure des sections normales du tore au point (N) , devient une ligne droite rî {fig. 4) dont le foyçr est le point, c, distant du point r de cr{fig. 4 ) = or ou rs {fig. 2 ).

La tangente ( T' ) au point ( N ) de l'intersection du tore et <Je la sphère coupe le plan horizontal ww' {fig^ 2 ) au point dont la projection horizontale est p' {fig* i ), et on a pour l'analogue du triangle rectangle apy, contenu dans le plan tangent au tore au point. (M), le.triangle «"p'y', dans lequel le côté a 'y' est égal à rql^oq (Jîg^)i et dont l'angle y y' p' adjacent à ce côté, est égal à l'angle de la tangente (T') et de la tangente au cercle générateur du tore , angle qui a pour sommet, le point ( N ) intersection de ces deux tangentes.

Soit (Jîg. ^)rc8' un angle double de a" y' p'; le côté S' c de cet angle coupe la droite r8 au point î , tel que c 8 prolongement de &' c , est la longueur du rayon de courbure de la section normale du tore dont le plan passe par la tangente ( T' )• Portant cette longueur c J de r en û {fig. n) sur cr prolongé, et la distance horizontale tt^ du point t à Taxe de révolution a a! du tore , sur le prolongement de. la droite AN (Jig.i)Ae A eii u\ on détermine les deux projections u\u du centre de courbure de la section normale du tore dont le plan passe par la tangente ( T') et le point de contact (N).

Le plan vertical G u* {fig. i ) ayant tourné autour de la verticale ( G, g^ ) pour devenir parallèle au plan vertical de projection , on a sur ce plan ,' le centre g- de la sphère et le centre de courbure u!^ dont

G:éOM^TRIE DESCRIPTIVE. ^Q

les projections sont {u^u') fig. i et 2. Décrivant du point a'' comme centre, avec un rayon u^^ 7! =^c^ {fig. 4)i ^^ cercle qui coupe le grand cercle de la sphère du rayon gh^ la demi-corde vz^ de ces deux cercles .est le rayon de courbure du point (N) de la courbe d'intersection de la sphère et du tore. Le centre de courbure v est à la distance \^}l de l'axe vertical g^ ; portant cette distance sur G xJ {fig. i) de G en a/, et menant la verticale x[x^ qui coupe l'horizontale i^k^ (^fig.t^) au point a:, les points x^x' sont les deux projections du centre du cercle osculateur de la courbe d'intersection du tore et de la sphère, au point ( N) de cette courbe. Le plan de ce cercle a pour trace sur le plan horizontal ww^ {fig* ^ ) ^^® droite dont la projection horizontale y p', (y?^.,i ), passe par le point p V pï'^jc^^tion horizontale du point où la. tangente (T') coupe ce plan horizontal ww.

Troisième Exemple. Courbe d'intersection de deux surfaces annulaires y ou de deux tores. PL 8 , in-fôlio.

35. On a construit cette courbe dans le premier supplément de la Géométrie descriptive , pour trouver par l'intersection de trois surfaces annulaires , le sommet d'une pyramide triangulaire dont on connaît la base et les angles opposés aux trois côtés de cette base. Cette question a au plus seize solutions, et pour trouver les données du problême qui donnent ce maximum de solutions, j'ai employé un moyen qui consiste à chercher d'abord la courbe d'intersection de deux surfaces annulaires qui ont pour axes de révolution deux des trois côtés de la base de la pyramide, et à prendre pour indéterminé , le cercle générateur de la troisième surface. J'ai supposé que cette courbe d'intersection tournait autour de l'axe de révolution de la troisième surface annulaire, pour engendrer une quatrième surface. La courbe d'intersection de cette quatrième surface par le plan de la base triangulaire de la pyramide , étant composée de deux branches, on dispose du rayon du cercle générateur de la troisième

3o GEOMjéTRIE DESCRIPTIVE.

surface annulaire , pour que ce cercle qui peut prendre deux positions différentes par rapport à l'axe du tore dont il est la génératrice, coupe la courbe dans chaque position en huit points. On obtient par ce moyen seize points qui sont à-la-fois sur les trois surfaces an*» nulaires. ( Voyez le pî^emier supplément page 1 16, art. i3i^ et la cor* respondance sur V école polytechnique, tome a , po^ge 33a ).

On déduit de ces considérations la construction suivante :

(Voyez ce dessin ou épure, pi. 8. )

36. Soient {fig. i, pi. 8) XYZ le triangle base d'une pyramide donnée ; X F Z/, Z O Yo , X G Y^, les cercles générateurs des trois surfaces de révolution qui , par leur intersection , déterminent le sommet de la pyramide. Les deux premières surfaces qui ont pour axes les droites XZ, ZY, se coupent suivant une ligne composée de deux branches , Tune qui résulte de l'intersection des nappes de surfaces engendrées par les grands segments XFZ,ZOY et des nappes de surfaces engendrées par les petits segments HfZ , Z o Y ; l'autre , qui résulte de l'intersection des nappes engendrées par un grand segment XFZ et un petit segment ZoY, ou par un grand segment ZOY et un petit segment XyZ.

La première branche, en tournant autour de l'axe XY, engendre une nappe de la quatrième surface de révolution , dont la section par le plan du triangle XYZ, est ZAGB. La.section de la seconde nappe par le même plan, est ZA^C'B; ces deux sections ont pour normale commune Taxe X Y, qui divise chacune d'elles en deux parties égales; elles sont coupées par les deux cercles XGYg-, et XG'Y^', en seize points, dont huit marqués des chiffres 1,2,3,4^^1^,7,8, appartiennent à la courbe ZABC. Les huit autres points marqués des mêmes chiffres accentués, appartiennent à la courbe ZA'B'C. Les points 1,2,3,415,6,7,8, mis deux à deux dans Tordre suivant, i — 8, 2 — 7, 3-— 6, 4 — 5, sont à égales distances de Taxe XY, et sur

GioULÉTÏHE DESCRIPTIVE. 3l

des droites perpendicalaires à cet axe. li en est de même des points i', a\ 3', 4S par rapport aux points 8^ 7', &, 5'.

D'où il suit que les sommets des pyramides cherchées sont situes sur huit cercles du diamètre i — 8,2 — 7, 3 — 6,4 — 5,i' — 8', 2! — 7', 3' — 6', 4' — 5'. Ces cercles appartiennent à la troisième surface de révolution, dont Taxe est XY, et qui a pour génératrice les arcs XGY, X^Y. Chacun de ces cercles contient deux sommets des pyramides cherchées. En effet, considérons celui dont le diamètre est I — 8, et qui a pour centre un point de Taxe XY. Le point 8 de la courbe Z A C B provient de l'intersection de deux cercles décrits par deux points des grands segments ZOY, ZFX; donc, si l'on porte la droite Y 8 sur Ya^ corde de l'arc ZOY, et la droite Za sur Za'y corde de l'arc ZFX, ou la droite X8 sur la corde Xa^ du même arc ZFX, les trois droites Yâ^, Za égale à Xa% et Xa' seront les trois arêtes d'une des pyramides cherchées. Abaissant la perpendiculaire a» sur l'axe Z Y, et la perpendiculaire a' a, sur l'axe XZ, ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point a du diamètre i— 38, qui est la projection du sommet de la pyramide sur le plan de la base XYZ. Le même point a est la projection du sommet d'une seconde pyramide , symétrique par rapport à la première*

Le cercle du diamètre i — 8 contient les sommets de deux pyramides symétriques ; ces sommets se projettent en a sur le plan horizontal du triangle XYZ, et en a, (a) sur le plan vertical ^^' (Jîg. 2), perpendiculaire à l'axe XY. Les quatre projections horizontales a, p, y, J, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe ZABC, forment un quadrilatère a p y * ^ dont la projection verticale ( ^g. 2 ) est le système des deux quadrilatères a p y & , et (a) (p) (y) (*). Les quatre projections horizontales a', ^'ry\ ^', des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe Z A' B' C, forment un quadrilatère a p'y' J', dont la projection verticale {/ig. 2 ) est le système de deux quadrilatères a' p' / 5', et {a') {p') {-{) {8').

3â GEOMETRIEDESCRIPTIVE.

Cette solution fait voir que les pyramides qui ont pour bases le triangle XYZ^ et pour angles opposes aux côtés de cette base, les angles détermines par les arcs XFZ, ZQY, YGX, et leurs suppléments , sont au nombre de seize.

37, La courbe d'intersection de deux surfaces annulaires, et un point de cette courbe étant donnés, on déterminera le cercle osculateur de la courbe par le point donné, en menant par ce point la tangente à la courbe d'intersection , et par cette tangente les sections normales des deux surfaces. On aura pour le point donné les rayons principaux des deux tores, et les angles que la tangente des sections normales fait avec les tangentes aux cercles générateurs des tores. Les rayons principaux donnés de grandeur et de direction feront connaître les ellipses ou les hyperboles dont les rayons vecteurs représentent les rayons de courbure des sections normales, et^ par le théorème de IV^eusnier , on construira les centres et les rayons des detix sphères dont l'intersection est le cercle oçculateur de-^ mandé (i).

(i) Voyez les Eléments de Géométrie à trois dimensions , page Su , art. 78.

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