G KO M ÉT R I F. D ESC RI T T I VE

Les glatis tangents à ce cylindre menés par les points E',F' extrémités du diamètre E'F' parallèle à CD, seront coupés par le plan de l’ellipse ( fig . 4 ) suivant deux droites EC,FD parallèles au diamètre AB, puisque ces plans seront parallèles à celui qui passe par les droites A G et ( G Q, gq ) , dont la trace {fig- 4 ) est le diamètre A B.

Les plans tangents au cylindre menés par les points A, A' extrémités du diamètre A, A' sont évidemment coupés par ce plan de l’ellipse {fig- 4 ) suivant deux parallèles EAF, tB?; d’où il suit que le plan dont les traces sont {fig . 5 et 6 ) E A F et coupe le cylindre suivant l’ellipse A B CD, qui a pour diamètres conjugués les droites A B, CD. Le plan tangent au cylindre au point A, qui a pour traces ( fig. 5 et 6 ) la tangente EAP et la droite an parallèle à gq, est perpendiculaire à la droite aq , trace fig. 4 du plan de l’ellipse A B C D ; donc le plan de cette ellipse est normal au cylindre au point A, puisqu’il passe par la normale à ce cylindre ( AG, aq ).

Cela posé, la section normale ABCD du cylindre, et la section circulaire oblique A E'F' A' ayant une tangente commune au point A, les rayons de courbure de ces deux sections sont ( Théorème de Meusnier, E.art. nq.) sur une perpendiculaire à la section oblique; or cette perpendiculaire est la droite polaire (G ,gk) du cercle AE'F'A' {fig. 5), et cette droite coupe le plan de l’ellipse fig. 4 au point K tel que AK = «£; donc le point K {fig. 4) est le centre de courbure de l’ellipse ABCD au point A extrémité du diamètre AB de cette ellipse.

ai. Cette construction donne l’expression du rayon de courbure AK de l’ellipse, au moyen du diamètre CD purallèle à la tangente EAF et de la perpendiculaire AL=OP abaissée du point de contact A sur ce diamètre. En eft’et, on a dans le triangle rectangle agq {fig. 6 ), ag— OC=OD; oç = AL = OP, et en comparant les deux triungles rectangles agq,agk qui ont un côté commun ag , l’hypo-

G^OHÏTKIE DESCRIPTIVE.

tbénuse ak du second triangle = i£l = 2£1; valeur connue du rayon

fl ^ AL *

de courbure AK fig. !\=.ak^fig. 6.

On a supposé que la perpendiculaire OP (fig. 4- ) abaissée du centre O sur la tangente EAF, était plus petite que le demi-diamètre OC parallèle à cette tangente, puisqu'on l’a regardée ( fi g. 6 ) comme le côté aq d'un triangle rectangle qui a pour livpothénuse une droite ag-=OC; si elle était plus grande, on trouverait le rayon de courbure AK, en modifiant la solution précédente de la manière suivante.

Construction du rayon d'une ellipse , à V extrémité cT un diamètre dont le conjugué est plus petit que le double de la perpendiculaire abaissée du centre de l’ellipse sur la tangente parallèle à ce diamètre conjugué. ( Fig. 4', 5', G', pl. i ).

22 . Considérons l’ellipse proposée A B C D (fi g. 4') comme la section normale d’un cylindre qui a pour base une seconde ellipse E'AF' ( Jig. 5' ) dont le petit axe principal E'F' est égal au petit diamètre CD de la première , et qui a pour demi-grand axe principal une droite AG 1 plus longue que la perpendiculaire AL abaissée de l’extrémité A du diamètre AB conjugué à CD, sur ce diamètre CD. le point A (fig. 4' ) étant le sommet de cette seconde ellipse, on a vu ( Appendice E ,art. S, page 123) que son rayon de courbure AG en ce point, est

ou 2ü.