X ° -KT
On obtient pour a et b le système
a + b = 1,41 poul' x — 1
2a + b = 6484,21 pour x = 2 ;
d’où
et
a = sin
Valeurs calculées
Valeurs de la table
Interpolation de — [énergie] (fig . 47).
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
On peut adopter l’inverse de (1) avec les mêmes coefficients
ax + b
TC
cosec — • 4x
Interpolation des rp2 [dilatation par rapport à un carré de vitesse],
{fig. 48).
rp'2 calculés par la formule
rp2 de la table
La spécialisation du deuxième ordre vise la qualité de l’énergie, celle du troisième ordre s’adresse à la construction des fonctions, du moins à l'établissement de leurs valeurs remarquables, qu’il s’agit ensuite d’interpoler. On voit que la méthode des représentations objectives est indépendante de toute théorie, l’objet de toute théorie étant de déterminer des fonctions. La méthode est ce qu’elle devait être, l’équivalent d’une expérience généralisée et bien faite. Du principe même de la spécialisation dérive ce deuxième théorème fondamental (dans le cas où les fonctions sont des fonctions exclusives des variables, autrement dit, ne sont pas des fonctions de fonctions) : (2) Les valeurs remarquables des fonctions sont les associations des valeurs remarquables des variables dans le même sens ou en sens inverse, suivant le sens d'association impliqué par la logique ou par l'expérience.
Nous avons les nombres remarquables r et p pour toutes les quantités proportionnelles à l’espace et au temps,
- pour ces quantités, dans le cas des variations
faibles et décroissantes en valeurs absolues et pour leurs transformations : ces nombres conviennent aussi respectivement à l’énergie potentielle et à l’énergie cinétique, aux énergies résistantes et aux énergies motrices, etc. Les différences
V r — Y pou V V - , nombres remarquables d’énergies
antagonistes, ont donc une importance capitale dans la représentation d’un être dirigé par la tendance à la moindre dépense d’énergie, en raison du jeu d’énergies antagonistes ; les symboles a et (3 indiquent la loi de groupement que l’on doit faire subir, suivant les cas, aux numéros d’ordre des nombres remarquables. Si l’on appelle densité des nombres remarquables le quantum de ces nombres compris entre certaines limites, cela revient à exprimer le conditionnement plus complexe d’une variable par une moindre densité de ses nombres remarquables. Par exemple, un travail uniquement
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
extérieur est représentable par tous les nombres remarquables ; un travail extérieur compliqué de mouvements intérieurs (cachés) ne l’est que partiellement.
29. Les fonctions psycho-physique et myo-physique. — De fait, nous retrouvons nos fonctions S = ? (/), W = /'(/)> en adoptant, pour les nombres remarquables des S, les
V 0 V r c’est-à-dire en faisant subir aux Xp„ un déca-
lage de 13 numéros d’ordre par rapport aux Srn ; pour les nombres remarquables des W, les V0 — , les deux
termes de chacune de ces différences décroissant jusqu'il zéro et en choisissant pour nombres remarquables du temps, conformément à la théorie, la suite des p. Le tableau suivant permet de vérifier les données numériques portées en ordonnées dans les trois courbes théoriques ( fig . 49, 50 et 51).
2 p — Xr
^Pn + 13 ^Fn
Lp — „ j r
il + 3 n
(i) 25 = 27 — 22; 27 étant la 3e valeur remarquable des Xp et 2, la lrc valeur remarquable des Xr .
35 = 40 — 5; 40 étant la 4<= valeur des Xp et 5, la 2e valeur des Xr ; le décalage est bien de deux rangs.
SP
2p — Zr
2jP — j r n 13 n
jP — -jC
il -f- 3 n
Si l’on cherche
(fig- 49)
l’équation de la courbe
Y yr
d’établissement
les y étant les nombres de la colonne 7 du tableau précédent pris jusqu’au maximum en remontant, on retombe bien sur une équation
ij = Y(l— e-P*)2,
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
qui exprime la loi d’établissement des sensations moyennes (§ 6). En effet, on a :
ij = 625 (1 — e - 0>88*)- ;
£Oo
Fig. 49. — Courbe théorique d'établissement de S — f (t;.
comme il ressort du tableau suivant :
y calculés
y du tableau 1 corrigés
Cette équation n’est pas vérifiée, comme il convient, pour les sensations faibles, caractérisées par une évolution de y et de (3 vers des valeurs de plus en plus petites.
Fig. 50. — Courbe théorique d’établissement de \V — f (t).
Si l’on cherche l’équation de la courbe d’établissement
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
les y étant les nombres de la colonne 6 du tableau précédent pris jusqu’au maximum en remontant, on tombe sur une équation
y = Y (1-e-tx)8
avec
en effet on a :
y calculés
y du tableau corrigés
Et c’est bien la loi d’établissement de l’eflort musculaire, comme on l’a vu § 17.
Au début, les valeurs calculées sont plus petites que les valeurs observées, car y = 8 est trop grand pour les faibles efforts, comme nous le savons d’ailleurs (§ 17).
On a, pour la valeur du temps correspondant à l’inflexion de la courbe y = f (oc), dans le cas de S :
*=oilog2=3’42;
dans le cas de W :
Nous savons, par les expériences de Broca et Sulzer pour la sensation et par les graphiques de la secousse musculaire enregistrés en même temps que les vibrations d un diapason, que ces temps sont de l’ordre des centièmes de seconde.
Ap lès ces concordances, il est inutile de tracer et de calculer (ce qui serait extrêmement laborieux) les courbes complètes S = ?(/), W = f (t).
L’opération du décalage que nous avons fait subir aux üp — Hr revient à négliger au début de l’évolution des
Vq ^/'n , dans Sp, un certain nombre de valeurs rernar-
quables exprimé par le nombre v et par conséquent à tenir compte du conditionnement de la variable Sp par des mouvements cachés. La sensation étant conditionnée par un travail intérieur plus complexe que la réaction musculaire, nous avons posé
Vs V\v
et, dans l’ignorance des mécanismes, seule l’expérience nous a permis de préciser les v.
En somme, il suffit d écrire que la sensation et l’énergie musculaire sont des résidus d’énergies antagonistes décroissantes et d’associer, en vertu du deuxième théorème fondamental, les nombres remarquables de ces différences avec les nombres remarquables de temps pour retrouver les fonctions s — o (/), w = / (O-
Les p sont aussi des nombres remarquables d'énergies motrices ; on retrouverait donc S = ? (z), W «= F (z) par des fonctions :
toutes ces équations étant de même forme.
Nous avons déjà trouvé que pour la sensation lumineuse la conscience correspond à un point d’inflexion (§ 9).
La discussion de notre équation générale (§ 6) prouve que pour x = 0, la courbe présente un point d’inflexion. Comme à ce point correspond dans la courbe psycho-physique généralisée, la conscience, dans les courbes myo-physiques, le travail musculaire, nous pouvons conclure que la cons-
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
cience et le travail sont caractérisés par un point d’inflexion : et nous serions autorisés parle caractère théorique de ce point à extrapoler et à déduire des lois pour les sensations inconscientes à excitants internes et pour le tonus. Nous retiendrons seulement ce résultat que la sensibilité inconsciente, pour les sensations évoluant immédiatement avant l’origine de la courbe S = 9 (i), décroît, comme la sensibilité consciente, après avoir grandi, quand l’excitant interne (compté à partir d’une nouvelle origine) augmente.
Nous avons vu (§ 26) que, dans la croissance de l’homme, le point d’inflexion de 2 ans correspond à l’origine des courbes S = 9 (/), W = f (/). On retrouve le point d’inflexion de la naissance et l’allure de la courbe de la croissance fœtale
en portant les valeurs — \p négatives Q au-dessous
de l’axe des temps, comptés à partir d’une nouvelle origine. On peut donc considérer la fonction :
comme représentant l’allure de l’évolution de l’irritation biologique sous ses diverses formes.
Si l’on interprète les r comme des nombres remarquables d’énergies potentielles, les p, comme des nombres remarquables d’énergies cinétiques, les différences Xp — Xr, comme des nombres remarquables d’énergies disponibles changées de signe (2), on voit que, dans les évolutions de la sensation et de l’effort musculaire en fonction du temps et de l’excitant, les énergies potentielles et les énergies cinétiques vont sans cesse diminuant jusqu’à zéro, la perte de l’énergie disponible ou le gain de l’énergie utilisée passant de 0 à un maximum pour redevenir nuis. Il en est de même pour l’évolution du
(’) Voir le tableau de la page 172.
(b Psycho-biologie et Énergétique, pp. 34 et suiv.
trophisme, avec cette différence que l’origine des Sp — doit être reculée de quelques numéros d’ordre dans les valeurs négatives, les temps devant être naturellement comptés à partir de cette nouvelle origine. Il est à peine utile d’observer que, dans le cas du trophisme, la mort de l’agrégat qui constitue l’individu précède l’établissement du zéro énergétique.
L’irritation vivante apparaît ainsi, sous sa forme la plus générale, comme une évolution énergétique entre des limites variables, caractérisée par un maximum et par des points d’inflexion, en nombre variable, de l’énergie utilisée.
Réciproquement, si l’on considère que la vitalité définie par les courbes de mortalité diminue avec l’àge, on peut écrire que les énergies potentielles et les énergies cinétiques vont sans cesse diminuant et que l’évolution de la vie est caractérisée par l’évolution, avec le temps, de l’énergie utilisée, résidu de ces deux formes antagonistes de l’énergie ; on trouve immédiatement, dans toute leur généralité, par la fonction (1), les courbes empiriques de la sensation, de l’énergie musculaire et du trophisme, que, dans l’état actuel de la science, nous ne pouvons calculer qu’en des cas très particuliers.
30. La dépense musculaire. — Écrivons que la dépense du fait de l’énergie musculaire est également un résidu d’énergies antagonistes décroissantes (§ 12) ; nous obtenons pour la courbe de la dépense y en fonction du travail x, la dépense étant une forme d'énergie plus intérieure que le tra-
Faisons v = 1, c’est-à-dire adoptons pour valeurs remarquables des y les nombres de la colonne 8 du tableau (§ 29) en remontant ; les valeurs remarquables des x sont les nombres de la colonne 6.
va il (§ 28) :
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
Les 2o — X/- croissent d'abord, décroissent ensuite; de
là (fig. 51) une première courbe représentant la dépense en
fonction de l’effort dans la période d’établissement, soumise à l’équation :
en effet on a :
calculés
du tableau corrigés
2° une deuxième courbe représentant la dépense en fonction de l’effort dans la période de décroissance, soumise à l’équation
y = 2,38x — 0,0157 x2 + 0,0000 54x3, comme le prouve le tableau suivant
calculés
du tableau corrigés
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
Ces équations sont de la même forme que celle que nous avons trouvée pour Q = <? (W), d’après l’expérience (§ 18).
31. Des lois psycho-physiques spéciales, variables avec la nature de l’excitant, masquent une loi générale de la sensation. — Nous pouvons maintenant répondre : non théoriquement et expérimentalement à la question souvent agitée : Y a-t-il une loi psycho-physique commune pour toutes les sensations? Nous avons vu (§ 11) que la loi de Fechner, vérifiée par l’expérience, seulement dans des limites relativement élroites d'ailleurs, pour la sensation lumineuse, la sensation auditive, les sensations de pressions, de températures, ne s’applique pas, par exemple, au sens du temps.
Ecrivons que les nombres remarquables de l’excitant sont des valeurs remarquables de l’énergie et que, la sensation consciente, rapportée au minimum perceptible, étant un rapport d’énergies, les valeurs remarquables successives des S sont la suite des nombres ; nous avons pour les valeurs remarquables de la fonction psycho-physique
Effectivement, on constate que des équations de la forme
où a, P, y sont trois constantes positives, conviennent aussi bien à la fonction
à partir de x = 10, qu’aux courbes psycho-physiques que l’on déduit des expériences de Kônig et Brodhun sur la lumière
log Kij = v.x — f^x* -j- - ;x 3
et qui s’écartent de la loi de Fechner. C’est ce que prouve le tableau suivant :
Courbe de F- ( fig . 52).
Interpolation par la formule :
log 100 y = 0,2566 x — 0,002 x2 + 0,0000083 x3.
log 100 ij
d’après la iormule
d’après la table
Nous pouvons donc conclure que les lois du type feclinérien ne seront pas vérifiées rigoureusement chaque fois que l’excitant sera de l’énergie ou une quantité proportionnelle à de l’énergie. Mais la loi correctrice (1) n’est plus vérifiée ellemême pour de petites valeurs de x ; par exemple, on a pour x =f 3, log 100 y — 0,568 ; la formule donne 0,7516. Près de l’origine, la fonction théorique (fig. 47) a un maximum et un minimum, qui se traduisent dans les courbes de sentiment par un point d’inflexion. Pour des sensations impliquant de moindres dépenses d’énergie que la sensation lumineuse minima, la loi psycho-physique serait toute différente de (1).
Reprenons les expériences déjà citées d’EsTEL sur le sens du temps (§ 11).
POINTS DE VUE GÉNÉP.AUX
Appliquons encore le deuxième théorème fondamental sur l’association des valeurs remarquables des variables. Nous avons pour la loi psycho-physique du temps, en portant en
ordonnées les S, c’est-à-dire la suite des nombres m, et en abscisses les temps, c’est-à-dire les nombres remarquables p,
En toute rigueur, il faudrait interpoler par des fonctions très complexes, périodiques, cette courbe théorique, ainsi
qu’un grand nombre d’autres ; nous ne le ferons point, désirant simplement dans ce cas-ci une première approximation et l’expérience n’étant, en général, pas assez précise pour permettre de relier les points mieux que par une courbe de sentiment. Nous interpolons cette courbe par l’équation :
avec Iv = 90, X = 0,042369, n = 0,82.
La courbe calculée concorde d’une manière suffisante avec les points remarquables, comme on le voit sur la fig. 53.
Les fig. 19 et 20 représentent les courbes de sentiment tracées d'après les points obtenus par Estel : la première concerne les essais dits normaux, la deuxième les essais dits anormaux ; en abscisses, sont portées les secondes marquant les temps et en ordonnées les différences entre le temps apprécié et le temps réel, c’est-à-dire les erreurs commises sur ces
temps, erreurs tendant vers ~ ; elles sont négatives dans ces
expériences. Si l’on différencie l’équation (1), on trouve
d t dx __ dS = ^ = KXne
■Xy
il faut choisir — X > 0 ou X < 0, puisque les erreurs sont négatives.
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
Essais dits normaux.
Prenons n = 1. On a :
pour y = 3,
pour y = 6, On en tire :
et
dl
dS
= - KXe
KXe3* = 0,16 ;
KXe6* = 0,41.
X = 0,306 K = 0,15 KX = 0,0555
cü
dS
dt
dS
Calculés par la formule
Observés
Corrigés
0,200 pour H \
0,175 pour T, 0,186 moyenne
0,183 pour T )
0,312 pour H i
(0,362 pour T, j °’337 m03'enne
Essais dits anormaux.
La fonction interpolatrice étant de la même forme
on a :
pour y = 3
pour y — 6
<i’où l’on tire :
ctt
dS
= — Kiè'y,
KXe* = 0,04
KXe6' = 0,14 ;
KX = 0,015 et
C1L= -0,015 e^ya S
dt
dS
Calculés par la formule
Observés
Corrigés
Sans être parfaite, la concordance est suffisante entre la formule et l’observation. Il est remarquable que l’équation (1) est une équation précisément inverse de celles que l'on trouve, dans des conditions de sensibilité moyenne et dans des limites moins éloignées que celles de Iyonig et Brodhun, pour la sensation lumineuse et pour la sensation auditive :
S = K (1 — èKim),
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
m étant plus grand que 1 pour le lavis et plus petit que 1 en acoustique et en optique, dans le cas de la vision d objets lumineux sur fond noir ('). C’est une preuve nouvelle et indépendante de l’existence d'un point d’inflexion dans la courbe de la sensation consciente du temps eu tonction de l’excitant; pour Estel et au degré d’approximation que comporte notre interpolation, le sens du temps s’exerce dans la région oa (fig . 54) en deçà du point d’inflexion ; poui Mehner, la loi de Fechner s’applique, mais dans la région ab, aux grandes valeurs de t.
Fig. 54. — Pour les expériences cI'Estel et de Mehner.
M. Jules Courtier a bien voulu, sur ma prière, à propos de recherches déjà anciennes, noter, entre 0 et 3 secondes, les erreurs moyennes, c’est-à-dire les moyennes des différences entre les temps successifs qui lui paraissaient de durée subjective égale et le temps moyen, les erreurs étant prises indé-
(') Considérant la dérivée (voir l’équation (2)), on voit que quand i est très
petit, e — A' tend vers 1 ; mais, suivant qu’on a m>l ou <1, im ~l est petit ou énorme ; dans ce dernier cas, les excitations faibles ont une influence considérable sur la sensibilité; c’est le cas de l’acoustique et de 1 optique, dans la vision des objets lumineux sur fond noir ; pour la sensibilité du lavis, l’influence des noirs est négligeable.
pendamment de leurs signes. M. L. Bastien a calculé pour ces erreurs
E étant l’erreur limite, T le temps limite, a et b des constantes qu’il est facile d’interpréter; malheureusement celte équation n’est pas intégrable ('). Mais, en somme, peu importe à
notre objet, car l’on peut démontrer que dt passe par lin
maximum en fonction de t. Comme t ne fait que grandir et ne
par un maximum; il faut donc qu il y ait dans la courbe psycho-physique du temps un point d’inflexion. Les expériences de M. Courtier confirment les expériences précédentes.
En résumé, il n'y a point de loi psycho-physique générale commune aux différentes sensations ; le sens du temps, dont la caractéristique est de ne s’exercer qu’entre des limites étroites de l’excitant (de 1 à 1.500 environ pour les dernières expériences), se comporte tout différemment que la sensation lumineuse; mais on peut conclure de l’expérience et de la théorie que les différentes lois psycho-physiques ne sont que des évolutions particulières, considérées entre différentes limites, de la fonction S = <p (z). La détermination de ces limites serait du plus haut intérêt ; on pourrait ainsi sérier les sensations suivant leurs énergies propres, comme on peut essayer de les sérier suivant la complexité croissante des appareils dans la série animale : tact, goût, odorat, ouïe, vue. La comparaison de ces énergies avec les valeurs énergétiques des diverses excitations, quand elles seront précisées, (son, lumière, odeurs, etc.) ne saurait manquer d’être féconde en résultats utiles à la biologie générale.
(’) « Les constantes du sens du temps. » (Institut psychologique, 1901.)
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
32. Applications de la méthode des représentations objectives au calcul des illusions d’optique et des rapports des longueurs d’onde des couleurs complémentaires. — Les cordes des sections simples de circonférence imposées au psychone par sa constitution, celles que les rayons des monides au cours de déplacements peuvent déterminer sur la circonférence d’un autre monide, sont remarquables; ces cordes mesurant l’écart de deux sens de déplacement, cette fonction de la représentation est désignée sous le nom de contraste.
Comme le rayon est la seule unité de mesure d’un monide isolé, le côté de l’hexagone, égal au rayon, est le plus petit élément de contraste introduit dans un monide par un autre monide au cours d’un déplacement. Comme les translations, par définition, sont successives uniquement, on peut dire, par analogie avec la définition du minimum perceptible, que le côté de l’hexagone, correspondant à 1/6 de circonférence, représente le minimum de contraste successit. Par répétition de cette translation, on obtient 1/3 de circonférence. Je dis que l’on peut considérer la corde sous-tendant ce 1/3 de circonférence ou le côté du triangle équilatéral comme le maximum de contraste successif ; en effet, les 3/6 = 1/2 de la circonférence correspondent à une corde de contraste nul, puisque le contraste est défini indépendant de la direction dans laquelle la droite est parcourue ; d’autre part, pour la même raison, les 2/3 de circonférence représentent le même contraste que 1 /6; donc le côté du triangle équilatéral, c est-à-dire
R | 3, mesure le maximum de contraste successif imposé à la représentation du psychone conjugué.
En vertu de la constitution imposée au psychone par les principes (>) ( fig . 55 et 56), dans le psychide et le monide sont réalisés simultanément, de fait, le 1/2 de circonférence de contraste nul et, en raison de l’intersection de 3 plans perpendiculaires dans le psychone, le 1/4 de circonférence. Quand ce
(') Voir Psycho-biologie et Énergétique, pp. 8 et suiv.
1/4 de circonférence sépare les deux appendices partant de l’origine en sens contraire, il s’introduit pour le psychone conjugué à partir de l’origine une nouvelle valeur remarqua-
Fig. 55. — Le psychone (plans perpendiculaires des psycliides).
ble, le 1/8. La corde sous-tendant ce 1/4 (le côté du carré) est Rl 2, la corde sous-tendant ce 1/8 (le côté de l’octogone) est
Fig. 56. — Le psychone (plans parallèles des psycliides).
R| 2 — V2: ce sont le maximum et le minimum de contraste simultané impliqués par la constitution du psychone, puisqu’il n’y a pas d’autres éléments de contraste pour un conjugué d’un degré donné de spécialisation.
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
Des spécialisations de degrés supérieurs permettraient de définir de nouvelles cordes remarquables et d’abord le côté
du dodécagone = î R (l b— 1 2); ( Î2 = 4 X 3 )'
En adoptant ce 1/12 pour unité d’arc, des psychides conjugués trouvent pour multiples remarquables de l unilé de longueur, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 ; pour multiples remarquables de l'unité de surface, les carrés de ces nombres ; pour multiples remarquables de l’unité de volume, les cubes de ces nombres, etc.
Reprenons à ces nouveaux points de vue le problème de la loi psycho-physique des rapports d’excitants (§ 13).
Il est indiqué par le principe de la moindre énergie de choisir comme base ou comme unité de rapport le rapport le plus simple, c’est-à-dire exprimé par les plus petits nombies en valeurs absolues.
ci ) Ces valeurs les plus simples sont 2/1, 3/2.
b) On peut déduire ces nombres des rapports des valeurs du contraste simultané à la valeur du contraste nul
rapports spécialisés par des psychones conjugués.
c) Les durées d’oscillation, au moment où le monide subit une oscillation maxima positive, puis nulle, puis négative, durées essentiellement remarquables, sont 1/4, 1/2, 3/4. Les rapports de chacune de ces durées à la précédente sont encore 2 et 3/2.
d) Dans notre psychone élémentaire, il y a trois monides affectés à l’énergie interne et deux à l’énergie externe de locomotion, d’où le rapport 3/2; et il y a, au repos, deux monides affectés à l’énergie w d et un monide affecté à w,„ d où le rapport 2.
De ces différentes considérations, il résulte que pour les
rapports m de deux nombres de vibrations ou de deux amplitudes, la fonction psycho-physique prendra la forme
x étant un nombre entier positif ou négatif évaluant m en intervalles de quintes, c’est-à-dire en S, et les quotients étant multipliés ou divisés par 2, autant de fois qu’il est nécessaire pour que le résultat soit plus grand que 1 et plus petit que 2,
c’est-à dire pour que les intervalles soient ramenés dans la même octave.
En raison de la forme circulaire de la représentation, cette unité de rapport est figurée sur la circonférence complète; on peut décomposer la sensation correspondante en un nombre arbitraire de sensations, de même que la circonférence se décompose en un nombre arbitraire de sections. Adoptons pour ce nombre de sections un nombre remarquable de contraste, soit 8, on a :
Fig. 57. — Figuration des rapports chromatiques.
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
d’où une première figuration de rapports de dépenses énergétiques, celle du cercle chromatique ; nous la désignerons par A. ( fig . 57).
Les rapports égaux à 1 ou assimilables à l’unité sont évidemment, eux aussi, figurés sur une circonférence complète.
Lorsque la
sensibilité augmente, des rapports
1, < 2de
plus en plus approchés de 1, avec des valeurs de plus en plus grandes de n, sont assimilés à l’unité. La plus petite valeur
Fig. 58. — Figuration des rapports musicaux.
remarquable de n qui se présente d'après le contraste, est /3\ n
n = 12; on a l-j > 1, <2 = 1,013; c’est le comma pythago-
rique ; d’où une deuxième figuration de rapports, B, qui a dans la théorie de la musique une importance capitale ; dans la
figure 59, les rapports (- , n variant de 1 à 12, sont ordonnés
à partir du point situé en haut sur le diamètre vertical ; dans la figure 58, les intervalles musicaux correspondants à partir de l’extrémité inférieure du même diamètre. Ces rapports ne peuvent être qu’une fonction discontinue complexe des arcs
représentatifs puisque leur produit tend vers l’unité et qu’aucun d’eux n’est voisin de 1.
Négligeant ici les problèmes musicaux (*), nous allons appliquer les méthodes intuitives au problème suivant : Calculer les grandeurs sous lesquelles apparaît une droite suivant ses différentes situations principales : verticale, oblique inclinée à droite de 45 degrés; horizontale, oblique inclinée à gauche de 45° (ou de 135° à droite).
C’est un fait bien connu qu’un carré exact paraît bien plus haut que large ; la figure 60 représente un faux carré, dont la
Fig. 59. — L'échelle des quintes.
(i) Nous ferons seulement observer que la figure 58 est remarquablement conforme avec les tropismes affectés aux différentes notes par l’intuition des musiciens. En considérant les points distants de 1/6 de circonférence (minimum de constraste successif), dans les limites des 7/12, a partir du point a, on trouve pour le point b la tonique; le 2", c, marque la sus-toniue . le’3e, d, la médiante qui effectivement coupe la circonférence en deux; le 4*’ e, marque la sous-dominante ; le 5«, /, marque la dominante qui est effectivement le point de contraste maximum simultané avec le point initial a et de contraste maximum successif avec le point final h; le 6% g , marque la sus-dominante ; le 7% h, la note sensible, qui est bien sensible, puisqu’elle est complémentaire de la note initiale. Est-il utile d ajouter que des théories étrangères à la psycho-physique sont incapables de ces justifications *> La gamme mineure découle immédiatement des deux points neutres fj, introduits par le jeu des 2 appendices du psychide. On trouvera des développements de ces points de vue dans la Théorie de la Musique de M. Marcel Cosmovici (Paris, Delagrave).
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
hauteur est diminuée de 1 40 et qui apparaissait exactement carré à l’œil de Helmholtz ; dans la figure 61, le parallélogramme incliné à gauche paraît plus grand que le parallélogramme incliné à droite.
De fait, la représentation de ces divers diamètres, c’est-àdire (en vertu du principe) des 1/2 circonférences afférentes à
ces droites par un psychide conjugué convenable, coûte des dépenses énergétiques décroissantes dans l’ordre suivant : vertical, oblique incliné à gauche de 45°, oblique incliné à droite, horizontal; chez les droitiers, la gauche est moins adaptée que
la droite ; on sait d’ailleurs que la gaucherie et la droiterie sont des propriétés cellulaires. Ces différentes dépenses sont exprimées naturellement par leurs rapports à la dépense pendant le repos.
Dans le cadran A (fîg 57), les points opposés d’un même diamètre ou les extrémités d’une 1/2 circonférence exacte figurent
Fig. 60. — Le carré apparent (Helmholtz).
Fig. 61. — Les parallélogrammes inclinés.
le rapport (|)> 1, <2 = 1,225, nombre proportionnel au dia-
mètre apprécié exactement. C’est un rapport de dépenses éueigétiques, exclu par définition des rapports cherchés, qui figurent sur des arcs plus grands ou plus petits que des demicirconférences les dépenses différentes de la représentation dans les diverses situations du diamètre et par conséquent font croître ou décroître ces diamètres proportionnellement à ces arcs, la représentation exacte des 1/2 circonférences étant imposée au jugement.
Le cadran B (fig. 59) représente tous les rapports remarquables de dépenses énergétiques dans un certain état de la sensibilité défini par le comma pytliagorique.
Les rapports cherchés sont supérieurs à 1,107, et inférieuis à 1,356, rapports figurés respectivement par 1/4 et par 3/4 de circonférence dans le cadran A, sections appréciées comme différentes de la 1/2 circonférence, en vertu du contraste simultané et de la constitution du psychone fixe; ils sont, à fortiori, inférieurs à 1,5, rapport figuré par le cercle complet. Le rapport 1,42 est exclu, puisqu’il est figuré sur le cadran A a gauche de l’origine par une section inférieure au 1/4 de la circonférence. Restent comme seuls rapports possibles : 1,35; 1,2, 1 12* 1,27. Par application du théorème de l’association des variables, ces rapports conviennent à la verticale, à 1 oblique inclinée à droite, à l’horizontale, à l’oblique inclinée à gauche, dont les variations relatives de dépense énergétique par rapport à la dépense au repos affectent ces sens ; dans ces cas, la représentation correcte des arcs, c’est-à-dire des demi-circonférences. est imposée au jugement. Réciproquement, dans les cas où c’est la représentation correcte des longueurs qui est imposée, par exemple, quand il s'agit des rayons du psychide lui-même ou des rayons d’un cercle complet, lequel est toujours vu circulaire et non elliptique, ces rapports conviennent aux arcs délimités par les deux rayons de chacun de ces diamètres.
Les illusions d’optique ne sont pas les mêmes dans la vision
POINTS DE VUE GENERAUX
directe ou dans la vision indirecte avec ou sans mouvements des yeux et de la tête ; on peut s en rendre compte en agrandissant au pantographe un dessin ; de là 1 impossibilité de prévoir l’effet esthétique de la réduction ou de 1 agiandissement d’une œuvre d art, cj u il s agisse de slatuaiie ou de l’exécution d’un plan d’architecture. On peut calculer, dans le cas des mouvements des yeux, les grandeurs apparentes de la verticale, de l’oblique inclinée à droite, de l’horizontale, de l’oblique inclinée à gauche par la même méthode que dans le cas de la vision directe. Le cadran B renferme des rapports plus grands que le cadran A : les seuls rapports possibles pour les grands diamètres sont des rapports plus grands que 1,5, puisque les droites considérées sont plus grandes que piécédemment : en effet, en vertu de la déformation circulaire des droites, celles-ci sont proportionnelles à des arcs, et ceux-ci proportionnels à des logarithmes de rapports; les rappoits cherchés sont donc les rapports (/h/. 59) 1,89 ; 1,68 ; 1,6; 1,8; les seuls qui restent. Le rapport proportionnel au rayon apprécié exactement, toujours égal à 1,225, étant étranger à celte représentation, les grandeurs apparentes varient plus que dans la vision directe, ce qui est contorme à 1 expérience.
Ces nombres, étant des rapports de dépenses énergétiques, ne changent évidemment pas, que l’on considère les dépenses d’un seul appendice ou de deux appendices dans les diflérentes situations : ils s’appliquent donc aussi bien aux rayons qu’aux diamètres.
Nous pouvons résoudre maintenant les deux problèmes essentiels du contraste des formes dans le cas de la vision directe.
I. Déterminer les erreurs normales d'appréciation d’une droite ou d’un angle.
IL Déterminer les corrections nécessaires pour produire l’apparence d’une valeur donnée dans une droite ou dans un angle.
I. Soient r0, ru deux rayons principaux (distants de 45°) et comptés de droite à gauche, à partir de l’horizontale, r un rayon compris entre eux et distant de i\ de l’angle 0 estimé en degrés ; on a :
O) r = rx -f (/o-rO
Soit p, le rayon vu exactement, on a également, en désignant par ï) l’angle compris entre p et i\ :
P = ;’i + Oo — ‘ r') 45 *
Cette équation, résolue par rapport à rt, nous permet de fixer les situations des rayons vus exactement dans la vision directe. Les rayons sont vus exactement à 82° 35 et à 166° 5 à partir de l’horizontale à droite.
Soit P, une droite dont la situation est connue; sa valeur apparente R est donnée par la relation
Réciproquement, connaissant la valeur réelle de P, on a sa valeur apparente R par l’équation :
R = Ri “h (Rq Ri)
La fraction - mérite un nom : c’est l’erreur d’appréciation
d’un rayon quelconque : on lire de l’équation (1) sa valeur :
r £i (r0 — rQ p p + p.45 ’
que nous pouvons écrire :
en désignant respectivement par Iv et Iv les termes constants.
Le tableau suivant renferme les valeurs de K et de K pour les quatre demi-quadrants comptés de droite à gauche à partir de l’horizontale.
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
Les grandeurs apparentes des angles sont soumises aux mêmes lois que les grandeurs apparentes des arcs pour un centre muni d’un rayon fixe; elles sont proportionnelles aux grandeurs apparentes des côtés (la représentation des arcs étant supposée correcte), lorsque la représentation des côtés est imposée correcte au jugement ; si a désigne l’angle apparent, a l’angle réel, r et r' les rayons apparents entre lesquels est compris cet angle, on a :
rr + r'
Dans le cas où l’angle est dans un deini-quadrant, on a, en utilisant la relation (1) :
Si l’on se sert des constantes Iv et K' calculées ci-dessus, cette expression est d’un calcul très rapide.
Réciproquement on a pour l’angle réel connaissant sa valeur apparente a :
* = 7+7 = rTr ' ’
II. — Appelons à a', p' les valeurs des rayons et des angles qui donneront à a et o, les valeurs réelles, l’apparence a et p; on a :
Il résulte de (2) que dans le cas où un objet noir sur fond blanc est vu au zénith, /■ -f- r', et par conséquent a, sont plus grands que quand le même objet est vu à l’horizon; c’est bien ce que l’on constate sur les diamètres apparents de cercles noirs sur fond blanc. Réciproquement, quand un objet lumineux sur fond noir est vu au zénith, son diamètre apparent est plus petit qu’à l’horizon. C’est l’illusion bien connue de l’agrandissement apparent de la lune à l’horizon.
On sait que ce diamètre qui est, objectivement, d’environ 31', 5 à l’horizon, dépasse 32' au zénith en raison du rapprochement de l’astre, c’est-à-dire augmente environ dans le rapport de 59 à 60. Les angles étant très petits, le diamètre apparent, suivant que l’astre est au zénith ou à l’horizon, varie donc sensiblement, d’après la formule (2), dans le rap-
port
LÏ2 X 59
1,22; d’où, à l’horizon, un accroissement de
diamètre apparent d’une fraction comprise entre 1/4 et 1/5 : résultat conforme à l’expérience moyenne et que viennent perturber divers phénomènes secondaires.
La même théorie s’appliquerait au soleil et au surbaissement zénithal apparent du ciel étoilé.
Si, considérant la vision indirecte compliquée de mouvements des yeux, on calcule, toujours par application de la formule (2), la valeur apparente a d’un angle de 45° compté à partir du zénith, on a, au zénith, d’après la théorie r — 1,89 et, pour la valeur moyenne des obliques inclinées de 45° à gauche et à droite, r' = 1,74; d’où :
Les instruments indiquent 67°, concordance remarquable, et, comme la représentation correcte de l’angle droit est imposée, un angle complémentaire de 23° ! Si l’on se proposait de fixer au jugé l’arc de 45°, compris entre une ligne d’horizon et une oblique d’un plan zénithal, l’arc apparent serait de 61°, 2, le complément étant de 28°, 8.
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
Suivant le tropisme afférent à chaque couleur, les longueurs d’onde des couleurs complémentaires varieront : c’est une déduction immédiate de la réalité psycho-physique d’un cercle chromatique. Helmholtz trouve pour le rouge, de X = 656w.t(1) un X complémentaire = 492,1 ; donc pour le 1 apport des longueurs d’onde, dans le cas du rouge de la raie C, 1,333;
Von Fret trouve = 1,354. La représentation correcte des
rayons est imposée dans le cercle chromatique ; ce sont donc les angles qui varient : le rouge C est figuré à 1 extrémité du rayon vertical ; le X complémentaire sera donc figuré sui un rayon marquant le rapport 1,35. Il y a concordance i igoureuse. Pour le X = 626, figuré sensiblement à 45° à droite de la verticale, Von Frey trouve un X complémentaire = 484 , le rapport est de 1,29; mais on déduirait des chiffres de Helmholtz un nombre plus petit; la théorie indique 1,2. Pour un jaune X = 573,9, Helmholtz trouve un X complémen-
taire = 482,1 ; le rapport est 1 ,19. Von Frey trouve = 1 ,22.
Le jaune X = 573 est situé à 28°, 8 au-dessous de l’horizontale ; l’arc théorique est 1,21. Les radiations comprises entie X = 566 et X = 492 environ n’ont pas de complémentaires.
Nous avons cherché à interpoler les résultats de Von Frey par une expression de la forme
oxi encore
(y - 525)2 (X 525)2 a2 595)2 (y — 525)2 -f fc* = 0. Faisant passer la courbe par les points
(1) Nous avons transformé en microns les longueurs d’onde évaluées par
Helmholtz en millionnièmes de pouce (0m. 02707).
on obtient pour a- et M les valeurs suivantes : a2 = 1490,31 = 747980 .
La courbe a donc pour équation
Le calcul des valeurs des y nous donne les résultats sui vants mis en regard des nombres de Von Frey :
y observés
y calculés
Si l’on étudie la courbe
on trouve la forme ci-contre ( fig . 62), en prenant pour origine des axes le point
Les courbes [1] [3] et la courbe fermée n’ont pas de signi fication physiologique.
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
33. Évolution des illusions d’optique : les corrections des architectes du Parthénon. — Les grandeurs relatives des lignes de directions différentes sont appréciées, en général, plus correctement que ne 1 indique la théorie.
D’après le calcul, nous regarderions comme carré un rectangle tel quejy^=J135 (/*£• : d’où une erreur de 4^9
Fig. 62. — Relation entre les longueurs d’onde des couleurs complémentaires.
sur les longueurs, suivant qu’elles sont verticales ou horizontales. Cette erreur peut sembler grande, pourtant Wundt admet : 1 /5, valeur très voisine du nombre que nous calculons.
Il est certain qu’actuellement des observateurs, même médiocrement exercés, font des erreurs beaucoup moindres ; les coefficients
r( == 1,12 s = 1,2 0 = 1,35 co = 1,27
dont sont affectés respectivement les quatre rayons du demicercle OAB ( fig . 64), marqués de ces lettres, n’atteignent pas pour eux leurs valeurs théoriques.
vÇ
Fig. 63. — lin carré apparent, d’après la théorie.
Nous avons fait les expériences suivantes :
On trace un angle droit ayant un côté horizontal ; sur sa
Fig. 64. — Les 4 rayons principaux considérés.
base on place un point p (fig. 65) et l’on demande au sujet de placer le point q sur le côté vertical de façon qu’à vue d’œil
Fig. 65. — Les grandeurs apparentes relatives de l’horizontale et de la verticale.
on ait O q = O p. Dans presque tous les cas, on fait O q <0 p. Nous avons trouvé que cette erreur est en moyenne de 3,42
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
p. 100 (pour des observateurs très attentifs). Si nous prenons pour Tj la valeur 1,12 on trouve pour 0
Notre droite n’étant pas symétrique à notre gauche, si nous plaçons un angle droit de façon que sa bissectrice soit verticale et si nous disposons deux points a et v (fig . 66) de façon que Ou = Op, les longueurs Ou et Op ne semblent pas égales. D’après la théorie, le rapport des longueurs apparentes est
cô 1 ,27 *
Nous avons réalisé l'expérience suivante : on place le point u et on demande à l’observateur de placer le point v de façon
Fig. 6G. — Les grandeurs apparentes relatives des obliques principales.
qu’à vue d’œil il estime que Op = Ou. Au lieu du rapport cidessus nous avons trouvé :
Op 1,29 Ou ~ 1,27*
Il y a eu adaptation pour ces phénomènes, adaptation imposée par la pratique, et nous allons démontrer cette é\olution, en calculant les illusions d’optique des architectes giecs d’après les corrections qu’ils ont fait subir à ceitaines lignes de leurs monuments.
Les colonnes extérieures du Parthénon, des Propylées, du Theseum et de l’Erechtheïon n’ont pas leurs axes perpendiculaires au sol ; les axes sont convergents vers le haut. Des
mesures très exactes de ces inclinaisons (comme de toutes les parties des temples) se trouvent dans Penrose, « Principles of Athenian architecture ».
Les plus remarquables déformations que les architectes ont fait subir aux lignes sont, avec l’inclinaison des colonnes, la courbure de l’architrave et des marches, le renflement médian des colonnes (entasis) ; de sorte que la figure 67 représente (avec un peu d’exagération) schématiquement la forme réelle de la façade d’un temple tel que le Parthénon.
Ces déformations étaient également adoptées sur les côtés.
Fig. 67. — Façade corrigée d‘un temple.
L'entablature et les marches étaient constituées par deux courbes parallèles situées dans des plans verticaux.
Comme le fait observer Penrose, les illusions, auxquelles les Grecs s'efforcaient d’obvier, existent encore pour nous. Nombre d’observateurs, en effet, se plaçant en face du Panthéon, déclarent que les colonnes de cet édifice semblent former éventail ; naturellement les axes sont parfaitement verticaux; les architectes modernes ne se soucient pas d’esthétique expérimentale.
Les illusions dont tenaient compte leurs aînés dérivent d’illusions classiques en physiologie des sensations ; les
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
figures de Zôllner ( fig . 68 et fig. 69), et de la figure 70, qui est une combinaison des deux figures 69 : Les grandes lignes
Fig. 68. — L’illusion de Zollner sur les verticales.
horizontales ou verticales paraissent faire avec les obliques qui les touchent ou qui les coupent des angles plus grands qu ils
Fig. 69. — Les illusions de Zollner sur les horizontales.
ne le sont en réalité, quand ils sont aigus , et plus petits, quand ils sont obtus.
Dans la figure 68, suivant que les angles des obliques avec les verticales sont obtus ou aigus; ils paraissent plus petits ou plus grands qu’ils ne sont; en conséquence, les verticales tendent à converger vers le haut. L’illusion disparaît
Fig. 70. — Illusion dérivée des précédentes.
quand l’on voit les obliques en perspective, les angles en avant étant considérés comme égaux aux angles en arrière.
Vus à partir des extrémités des horizontales, les angles des obliques avec celles-ci sont aigus, dans la première figure 69 ;
Fig. 71. — Application des illusions de Zollner aux apparences de la façade d'un temple.
obtus, dans la deuxième figure : d’où, dans le premier cas, à partir du centre de la figure, convergence, dans le deuxième cas, divergence des parallèles horizontales.
Dans la figure 70, ces angles des obliques avec l’horizontale supérieure sont obtus, avec l’horizontale inférieure, aigus;
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
d’où tendance légère des deux parallèles à une concavité dirigée vers le haut.
Considérons les lignes a[ï, 8y ( fig . 71) ; elles sont touchées, la première, par les obliques A£>, Aa, la seconde par les obliques Co, D'f. En vertu de l’illusion, (Jy, aô divergeront en éventail, car les angles A(8y, Aa8 sont obtus ; afb 3y se creuseront avec des concavités dirigées vers le haut, car les angles A(Ja, Aa(3 sont aigus, CSy, Dyo obtus. Pour sauver les apparences d^ l’horizontalité et de la verticalité, il faudra donc faire converger «8, (Jy, vers le haut et donner à a(J et 5y une convexité dirigée vers le haut ; c’est ce qu ont fait les architectes du Parthénon.
Fig. 72. — Calcul de la déformation du carré.
Déformations du carré. — L’étude de la déformation du carré va nous permettre d’étudier toutes les déformations, tous les points pouvant être supposés liés à leurs coordonnées rectangulaires et les rectangles pouvant en outre être décomposés en carrés élémentaires.
Par suite de l'illusion, OB (fig. 72) semble être placé en OB[.
On a, pour l’angle æOB :
tg *OB= ^2 = 1,205 ang tg 1,205 *= 50° 19' 10".
Mais le carré cOaB ne se transforme pas en un rectangle Ci Oa,Bi ; en effet, quelle serait la longueur de la diagonale du rectangle ?
Or, d’autre part, l’oblique doit être amplifiée dans le rapport de 1,12 à 1,27. Elle acquiert donc la longueur (1,414 =| 2) :
Elle est vue trop longue. Il en résulte que le carré est vu sous la forme indiquée ci-contre ( fig . 73).
Fig. 73. — Déformation du carré.
Calculons la distance s dont le point Bi est déporté à gauche de B.
OCi = OB,. ^4 = 1,8 x 0,707 = 1,27.
Appelons K le rapport 5^5++^; - «
C’est à cette illusion que les architectes de Parthénon ont remédié dans la construction des colonnes. Craignant une apparence évasée au sommet, ils ont aminci la colonne à cet
POINTS DE VUE GÉNÉRAUX
endroit; ils ont donc déporté vers l’intérieur les points d’une quantité égale à celle dont leur œil les aurait déportés vers l'extérieur ( fig . 74).
Pour une colonne du Parthénon on a :
e = 20cm, 18 li = 9m, 36 ;
LJf. —
Fig. 74. — La déformation des colonnes.
le coefficient K était donc pour les Anciens :
il est déjà très nettement inférieur au coefficient théorique.
Fig. 75. — La déformation de l'architrave.
Calculons le rapport -. Nous allons nous servir de la cour-
bure de 1 architrave du Parthénon. Pour que la droite ZU (fig. 75) parût horizontale aux Anciens, il fallait que les hauteurs leur parussent augmentées, comme dans les figures de
AC
Zôllner, suivant le rapport — . Or AB = 14, 4 pieds anglais
et BC = 0,25 pied anglais. Le rapport cherché est donc
Théoriquement, ce rapport est -4— = 1,205. Ici encore nous
constatons une évidente éducation de l’œil.
Enfin, déterminons co. — On a ( fig . 72) :
