OB, = J

OCi = [ 2 co cos ( arc tg-

= [/2 co cos ( arc tg - ) —

BiCt = f 2 co sin ( arc tg-

l-/2 co cos ( arc tg - ) — r(

[/'À w sin ( arc tg -

| 2 K co sin ( arc tg -'j = \Z 2 co cos ( arc tg — ) —

K sin(arctg-j — cos (arc tg-

avec

- = 1,10; Iv = 0,0215; rt = 1,12.

On lire de cette équation

au lieu de la valeur théorique 1,27. On voit que 1,21 est compris entre les valeurs théoriques de \ et de co ; or, on sait que les Anciens étaient plus symétriques que nous ; la symétrie des formes, si remarquable dans leurs figurations d éphèbes,

POINTS DE VUE GÉNÉRAUX

implique une symétrie énergétique entre la droite et la gauche ; leur ç devait être égal à leur oj ; d’ailleurs leurs temples sont symétriques par rapport à un plan vertical.

L’éducation de l’œil des constructeurs de l’Erechteïon était encore plus parfaite. Le déport des lignes au sommet n’est que 0,177 pied anglais pour une hauteur de 21,55 pieds anglais, ce qui donne à Iv la valeur :

Les colonnes corinthiennes du temple de Jupiter Olympien nous donnent

D’ailleurs, dans ce dernier temple, les colonnes sont verticales, ce qui indique que les constructeurs étaient moins sensibles à l’illusion de Zôllner.

L’état de ce temple ne nous permet pas de connaître la courbure de l’architrave, de sorte que nous ne pouvons pas calculer o>. Mais nous savons que l’angle a que cette architrave faisait à l’extrémité avec l’horizontale était de

ou 0,00444 radiant,

tandis que dans le Parthénon, cet angle mesuré avec la même unité valait

ou 0,00775 radiant.

Les constructeurs du temple de Jupiter Olympien ont donc moins corrigé que les architectes du Parthénon ; leurs 6 et w étaient moindres.

34. La loi de probabilités. — Pour un mathématicien, il n’existe pas de démonstration satisfaisante de la loi de pro-

habilités : les postulats qu’elle implique, notamment celui qui consiste à considérer, dans la théorie des erreurs, la valeur moyenne comme la plus probable ou, en statistique, le type moyen comme le plus fréquent, sont des laits indémontrables par la mathématique. Cela tient à ce que le principe de la loi de probabilités est au fond une loi psycho-physique. Une propriété commune à toutes les sensations est que la sensibilité in-

versement relative passe par un maximum en fonction de

i. Ce maximum de sensibilité a lieu pour les excitants d éneigie moyenne, comme nous l’avons vu pour la lumièie (§ 4). La moyenne d’un grand nombre d’excitants, d énergies lies différentes, est donc perçue avec plus de précision que ces excitants ; les observations de cette moyenne seront donc concordantes et, comme la concordance des observations est le seul critérium d’objectivité que nous puissions invoquer dans une science positive, nous avons été induits à considérer, même pour des excitants très peu différents, la moyenne comme la valeur la plus probable. Si nous appelons a le nombre de valeurs représentées égales à la moyenne et qui sont autant de manifestations énergétiques bien déterminées, l’intensité de la sensation de cet ensemble est, pour la lumière, dans une première approximation, log a. De même, si nous appelons ijx 2 le nombre des valeurs qui sont affectées de l’écart x 2 par rapport à la moyenne, la sensation de cet ensemble est log ijx*. Puisque la sensation de la précision, qui est log b, diminue à mesure que 1 écart x- grandit pai rapport à la moyenne, c’est-à-dire par rapport à l’écart nul, et quelle augmente à mesure qu'il y a plus de différence entre l’intensité de la sensation de l’ensemble moyen et l’intensité de la sensation de l’ensemble affecté d’un écart x2, nous pouvons écrire :

POINTS DE VUE GÉNÉRAUX

ou encore

ij = a x b ~x‘2

ce qui est une expression simplifiée de la loi de probabilités

ii = N A. e - h-*~ ,

dans laquelle N représente le nombre total des épreuves, h, le paramètre de précision, ir = 3,1416, e = 2,71828. La loi de probabilités est une loi de sensibilité, et, si elle est inapplicable quelque part, ce n’est pas en psycho-physique. C’est la conclusion d’une étude récente d’URBAN, à la fois mathématique et expérimentale, que "la moyenne arithmétique représente bien la valeur la plus probable des résultats de l’observation psycho-physique (*).

35. Application à la critique des tests psychologiques. — Un test est une grandeur arbitrairement choisie qui croît dans le sens ou en sens inverse de la fonction psychologique étudiée et que l’on suppose pouvoir mesurer cette fonction par une proportionnalité directe ou inverse ; c’est une cote que l’on suppose être une mesure.

Pour vérifier que l’on a affaire à une mesure et non à un test, on pourrait essayer de vérifier la binomialité sur les ensembles statistiques des écarts par rapport à la moyenne dans les différentes mesures; si les ensembles sont toujours binomiaux, la mesure n’est pas fonction complexe de la quantité à mesurer ; il y a proportionnalité. Mais cette méthode est très laborieuse.

(') « Die psychophysischen Massmethoden als Grundlagen empirischer Messungen » (Archiv fur die gesammle Psychologie . Leipzig, Engelmann, 1909, XV Band, 3 et 4 Heft).

Les méthodes dont je viens d’esquisser brièvement la théorie et de développer quelques applications, permettront, vraisemblablement dans un grand nombre de problèmes psychologiques, de savoir si un test est une mesure. Je choisirai un exemple dans l’étude de l’habitude. Supposons (ce qui n’est pas le cas) que nous n’ayons sur cette fonction aucune donnée théorique Q. Il est notoire que si l’on répète un certain nombre de fois le même acte, les temps d’association des éléments de cet acte vont diminuant, quand le nombre des répétitions augmente, jusqu’à une certaine limite, à partir de laquelle ces temps ne changent plus. La décroissance des temps d’association mesure-t-elle l’habitude? Le test « temps d’association » est-il une mesure, c’est-à-dire est-il inversement proportionnel à l’accroissement de la fonction habitude? Exécutons et calculons un grand nombre d’expériences sur les habitudes motrice, visuelle, auditive avec ce test. Si l’on appelle ij les temps observés dans ces diverses évolutions et x le nombre des répétitions, toutes les expériences, quelles ressortent de la psychologie humaine ou de la psychologie animale, sont bien représentées par des équations de la forme

Comme l’habitude d’une opération entraîne un accroissement de rendement dans l'unité de temps de cette opération, pour que des temps décroissants soient une mesure de l’habitude, il faut qu'ils soient proportionnels à une dépense qui

décroît. Or, si l’on porte en ordonnées * , qui sont des nombres remarquables de fractions décroissantes de temps et aussi d’une énergie décroissante dans l unité de temps, et en abscisses la suite des nombres, et si on interpole la courbe (fîg. 76), on retombe sur une équation de la forme

(i) Voir notre étude Mémoire et Habitude, § 8.

POINTS DE VUE GÉNÉRAUX

avec

Nous pouvons conclure que les temps sont bien proportionnels à une dépense d’énergie décroissante dans l’unité de temps (ce que l’on peut d’ailleurs expérimentalement vérifier) et l’on a bien avec ce test une mesure de l’habitude.

36. Applications à la physique générale. — Le seul moyen de démontrer la fécondité de ces méthodes intuitives était d’en poursuivre l’application à des problèmes classiques, à des problèmes actuels plus ou moins résolus et à des problèmes nouveaux.

J’ai appliqué (*) au problème balistique l’interpolation des valeurs remarquables de la fonction impliquée par ce problème (différences entre des énergies à puissance constante et à force constante) : on retrouve la parabole du tir. J ai considéré la formule complète du pendule; les temps (^-J

calculés pour des amplitudes données ( ^ - ) avec des lon-

(') Voir Psycho-biologie et Énergétique, pp. 87 et suiv.

gueurs variables r du pendule coïncident avec la formule

la mécanique rationnelle le problème d’un jet d’eau soutenant un poids, en négligeant l’épanouissement de la veine; il s’agit de relations d'énergie à puissance constante, celle du jet d’eau, et d’énergie à force constante, celle du poids, en fonction du temps; les rendements fournis immédiatement par les nombres remarquables concordent avec ceux que l’on déduit d’une analyse compliquée. L’équation célèbre de Van der Waals, qui exprime d’une manière approchée la compressibilité des gaz réels en fonction de la température et que l’on atteindrait d’ailleurs par les évolutions des nombres remarquables des pressions, se calcule immédiatement en écrivant qu’à partir du point critique les énergies motrices du fluide deviennent résistantes et réciproquement et en interpolant les nombres remarquables.

Le résultat le plus important de la découverte de la radioactivité est d’avoir imposé à l’attention des physiciens la considération de vitesses énormes et d’avoir provoqué des généralisations de la mécanique classique. Il est bien certain que les postulats de celte science, l’indépendance de la masse par rapport à la vitesse, la proportionnalité de la force à l’accélération et à la masse, etc., ne sont que de premières approximations. Notre deuxième théorème fondamental permet de calculer les valeurs remarquables des fonctions qui relient ces quantités aussi foin qu'on le veut; on peut interpoler ensuite. Les formules de la dynamique des électrons par lesquelles Max Abraham calcule les variations de la masse transversale et de la masse longitudinale en fonction de la vitesse, formules vérifiées par les expériences de Kaufmann pour la masse transversale, et l’interpolation des valeurs de la fonction des nombres remarquables des masses dynamiques

déduite de la théorie des fonctions elliptiques. J’ai traité par

et des vitesses croissant vers

dent rigoureusement.

Il est un grand nombre de phénomènes dans lesquels les

POINTS DE VUE GÉNÉRAUX

électrons prennent des accélérations considérables être le cas des accélérations de l'ion positif, ce soleil dont les électrons négatits sont les planètes et qui, avec ceux-ci, lilue la masse atomique (Lorenz). L'interpolation de fonction qui relie la force à l'accélération, combinée avec une expression de la force qui mesure la stabilité des masses atomiques (d'autant plus instables qu elles son p us„u conduit à une relation entre les masses atomiques m e accélérations j des ions positifs qui est veri iee Pa‘ rience et permet de calculer des masses atomiques nouvelles ,

de plus, les quantités ^définissent par leur constance les

lignes, par leurs variations, les colonnes du célèbre tableau

Ici peut se poser une question importante et actuelle, ceMe de l’interprétation mécanique des phénomènes physiques, e t que nous ne pouvons nous représenter que des grandeurs mécaniques, en raison du caractère énergétique de la représentation, c’est-à-dire de l'élément irréductible de notre organisation mentale, il ne résulte pas que toutes les quantités physiques, par exemple, l’électricité et la chaleur, soient identifiables avec les grandeurs de la mécanique classique. L lois impliquent pour notre science des grandeurs mecan q de qualité particulière (éther) : c'est pourquoi on est conduit à rechercher dans la méthode des représentations objectives des équivalents quantitatifs de la qualité. La tempera ui absolue (du volume) est équivalente à une pression particulière dans le thermomètre à gaz à volume constant; ce n est pas une pression ; c'est pourquoi je précise pour la température des nombres équivalents aux nombres remaïquab es des pressions ordinaires dans de certaines limites. Et de l'évolution de ces nombres remarquables résulté un giam. nombre de conséquences vérifiées en thermodynamique. De

(.) Voir notre mémoire « Sur la fonction qui relie aux masses atomiques les accélérations de leurs constituants » ( Association franc /

l'avancement des Sciences. Congrès de Lille, 11)09).

meme, la masse électrique n’est ni la masse matérielle, ni la masse magnétique ; chacune de ses masses doit être caractérisée par des nombres remarquables dans de certaines limites. Dans ces conditions, il n’y a plus lieu de parler d identité entre les grandeurs mécaniques classiques d’une part, et les grandeurs thermiques ou électriques d’autre part ; a fortiori , ne peut-il être question d’identité entre les grandeurs mécaniques et les grandeurs psycho-biologiques ; on ne peut parler que d’équivalence énergétique dans la représentation au double point de vue successif et simultané, l’équivalence au point de vue successif étant une équivalence purement arithmétique, et l’équivalence au point de vue simultané étant définie par l’homogénéité des formules.

A ces points de vue, on peut considérer la méthode des représentations objectives comme un efTort vers l’accomplissement d un projet de Leibniz, projet évidemment irréalisable avant la naissance et le développement de la psychophysique.

« Cette même écriture, disait-il, serait une espèce d’algèbre générale et donnerait le moyen de raisonner en calculant, de sorte qu’au lieu de disputer on pourrait dire : comptons. Et il se trouverait que les erreurs de raisonnement ne seraient que des erreurs de calcul qu’on découvrirait par des épreuves, comme dans l’arithmétique.

« Les hommes trouveraient par là un juge des controverses

véritablement infaillible En tous cas, il importe au moins

de sçavoir que ce qu’on demande n’est pas trouvable par les moyens que nous avons (<). »

(') Leibniz. Die philosophischen Schriften, éd. Gerhardt, t. VII, p. 26.

RÉSUMÉ ET CONCLUSIONS

1. Nous avons interpolé les expériences de Kônig et Brodhun sur la sensation lumineuse et sur les sensations

colorées par deux types de formules qui corrigent la loi de

Fechneh. D’après ces formules, la sensibilité absolue^- e

la sensibilité inversement relative di^ passent chacune par un

maximum en fonction de log i : la première va sans cesse diminuant, la seconde passe par un maximum en fonction de i.

2. Comparant cette fonction avec la fonction photographique, nous avons constaté pour ces fonctions une identité d alluie entre de larges limites. Comme, pour la sensation aussi bien que pour la densité du gélatino-bromure d’argent réduit, il se produit une inversion, nous avons pu induire a 1 identité de forme des deux fonctions mathématiques, les S et les densités étant ou n’étant pas, les unes et les autres, des nombres, suivant les unités de mesures auxquelles on les rapporte.

g. Nous avons proposé une équation empirique généiale, embrassant aussi bien la période de décroissance que la période d’établissement pour la fonction photographique et pour la fonction psycho-physique généralisée, cestà-diie étendue à l’inconscient ; avec cette formule, la fonction S = <?(/) présente un point d’inflexion dans la période d’établissement; ce point représente le zéro de la conscience poui

les sensations lumineuses, lesquelles vérifient dans des limites la loi de Fechner.

4. De cette identité de forme des fonctions photographique et psycho-physique généralisée, résulte la proportionnalité du courant électro-nerveux centripète (allant des récepteurs aux centres) à l’énergie extérieure excitatrice ; nous avons vérifié cette proportionnalité en interpolant les expériences de Waller sur les intensités de ce courant électro-nerveux en fonction de l’intensité lumineuse ; l’identité de forme des fonctions psycho-physique et photographique est donc vérifiée par une de ses conséquences.