IV
La valeur trouvée est donc plus forte que la valeur réelle d’une intensité égale à celle de la source étalon placée à une distance de l’écran égale à la moitié de l’indétermination
On retrouve ce même résultat sensiblement, en partant non plus de la loi de Fechneii, mais de l’équation des expériences de Ïvônig et Brodhun qui peut s'écrire :
log i
1 — cS'2
les constantes a, b, c, étant d’ailleurs très petites :
l’expékience
Pour S <320, on a cS-<l et l’on peut développer en série :
^==1+,SÎ + c,S*-....
lui se limilant au deuxième terme, on aura avec une approximation suffisante :
(2) log i — S [a + ( ac — b) S- — AcS*] .
On se donne deux valeurs de z très voisines : q et z2 qui correspondent respectivement aux sensations S — 1 et S — 1 ; il finit exprimer l’intensité z, répondant à la sensation S, en fonction de z, et de z'2. On a d’après (2) :
log q = (S - 1) [a -f A (S - 1 y - A'(S - 1 )*] , log z2 = (S + 1) [a + A (S + 1)3 - A'(S + 1)*J ;
d’où l’on lire :
log + log 2 =s [a + A(S2 + 3) — A'(S4 -f 10S2 + 5)] ;
ce que l'on peut écrire :
log q -f log z*2
= S [a + AS2 — A S*] -f S [3 A — 5A' — ÎOA'S2].
Or, le premier terme du second membre est précisément log i ; on a donc :
log z = log f/ qz2 — S(3A — 5A' — 10A' S2).
On peut négliger le deuxième terme du second membre, car l’on a :
En raison du caractère symétrique de la courbe S — f(\og z), la perturbation psycho physique est très notable aux très faibles et aux très fortes intensités ; c’est une erreur systématique, minima aux éclairages moyens.
5. — Deuxième interpolation des expériences de Konig et Brodhun. — La formule (5) de M. Louis Bastien (§ 3) a le grand intérêt de faire ressortir la symétrie de la courbe par rapport à un S moyen et de mettre en évidence le maximum de sensibilité inversement relative pour les excitants moyens.
En vue des applications, il y a intérêt à substituer à cette formule son développement en série de Maclaurin, limité à la 3me puissance (9, corrigeant ensuite les coefficients en vue de serrer de plus près les observations.
On tombe ainsi sur des expressions de la forme :
(1) logKz/ = aa; — (te2 -f yæ3 ,
où a, (3, y sont trois constantes positives et qui représentent presque également bien les observations, à partir d’une certaine distance de l’origine.
(!) On peut en effet développer une fonction en série de Maclaurin, lorsque la variable, prenant la valeur 0, la fonction garde un sens. On a alors :
xn
1ÏJ
fnXo).
l’expérience
Courbe Psycho-Physique pour le Blanc (fig. 8).
Interpolation par la formule :
log vulg z = 0,276 + 0,0157 S - 0,0000227 S'2 -f 0,00000002 S3.
Log i
D’après la formule
D'après la courbe expérimentale
Fig. 8. — Courbe psycho-physique pour le blanc.
Courbe Psycho-Physique pour 670 ( fig . 9).
I n terpolation par la formule :
log vu Ig Z = 0,790 -f 0,01638 S — 0,0000292 -f 0,0000000274 S3.
Lo
D’après lu formule
D'après la courbe ex périmentale
A OO 2dO c)00 VoO U-Zo
Fig. 9. — Courbe psycho-physique pour 670 [gu..
