IMPOSSIBILITÉ BU NOMBRE ACTUELLEMENT INFINI

Inspiré des quelques pages de M. Cauchy que l’on a lues plus haut, j’avais inséré dans mon journal les Mondes cette petite dissertation qui fut très-bien accueillie, mais qui suscita aussi une opposition assez vive. Je crois devoir la reproduire ici avec la plus importante des. réponses qu’on lui a faites. On verra avec plaisir que les arguments de mes adversaires n’atteignent pas la rigueur de celte démonstration mathématique du dogme fondamental de la religion naturelle et chrétienne.

Le nombre actuellement infini est-il possible? En ajoutant l’unité à l'unité, ou des groupes d’unités à dès groupes d’unités, peut-on arriver à un nombre actuellement infini? A cette question ainsi posée, le simple bon sens répond sans hésiter non, évidemment non. Puisque chacun des nombres obtenus par des additions successives ne diffère du précédent que par une unité ou un groupe d’unités, il est fini comme lui ; tous ces nombres successifs sont nécessairement finis à la fois, le second par le premier, le troisième par le second, etc., etc. En outre, le résultat de ces snccessions d’unités ajoutées à elles-mêmes, de proche en proche, apparaît très-clairement à l’esprit comme un nombre qui sera pair ou impair, premier ou non premier. Si ce nombre est pair, il ne contiendra pas les nombres impairs, s’il est impair, il ne contiendra pas les nombres pairs qui pourraient naître d’additions nouvelles; s’il est premier, il ne sera pas le dernier des nombres premiers, puisqu’il est démontré dans beaucoup de traités d’arithmétique, dans celui de M. Bertrand, par exemple, p. 66, que la série des nombres premiers est illimitée ; qu’étant donné un nombre premier aussi grand qu’on voudra, on peut immédiatement

en assigner un plus grand encore. Dans tous les cas, qu’il soit pair ou impair, premier ou non premier, ce nombre né de l’addition ne contiendra pas son carré, son cube, sa quatrième puissance, etc.; donc il est impossible qu’il soit infini.

Enfin, si par des additions successives d’unités on est arrivé à un certain terme, on a constitué un certain nombre, il répugne à l’esprit qu’on ne puisse pas réduire ce meme nombre à zéro par des soustractions successives d’unités, en refaisant en sens contraire l’opération primitive. Donc, forcément, ce qui est né de l’addition est réductible à zéro, à une origine, à un point de départ certain, et n’est ni éternel, ni infini. Ces deux idées, nombre et infini , se contredisent, se nient l’une l’autre, nécessairement, essentiellement.

Mais nous n’atteindrions pas pleinement notre but si nous ne révélions pas un caractère vraiment étrange de l'esprit humain. Ce qui suit est de l’histoire, et de l’histoire personnelle. Dans notre jeunesse scientifique, alors que nous avions pour professeurs les Poisson, les Legendre, les Lacroix, etc.; pour condisciples les Stunn, les Ostrogradski, les Jacobi, etc., il nous est arrivé de soumettre à plusieurs de ces mathématiciens la question de la possibilité ou de l’impossibilité du nombre actuellement infini. Or, voici ce qui arrivait : Quand la question posée restait bien à l’état de proposition abstraite ou purement mathématique, quand nous avions réussi à ne laisser rien entrevoir de ses conséquences philosophiques ou religieuses, la réponse était claire, précise, catégorique : Le nombre actuellement infini est impossible ; tout nombre est essentiellement fini. Mais si nous n’avions pas assez écarté l’attention de l’habit que nous portions, alors comme aujourd’hui, si nous n’avions pas suffisamment dissimulé la tendance dogmatique de notre

interrogation, la réponse était vague, incertaine, évasive ; on se défendait d’affirmer l’impossibilité du nombre actuellement infini, quoiqu’elle ne soit en réalité qu’une vérité mathématique élémentaire, quoiqu’elle ne diffère pas au fond de cette proposition d’arithmétique : La suite des nombres premiers est indéfinie. Enfin, si après avoir obtenu la réponse nette et catégorique dont nous parlions tout à l’heure, nous nous échappions à dire : Le nombre actuellement infini est impossible ; donc le nombre des hommes qui ont existé sur la terre est fini, et il y a eu un premier homme sorti forcément des mains d’un Dieu créateur; donc le nombre des révolutions de la terre autour du soleil est fini, et il y a eu une première révolution, et la terre a été lancée dans son orbite par une volonté souveraine; donc, dans tous et chacun des ordres de la nature il y a eu un prototype sans prédécesseurs, et les êtres ne se sont pas éternellement succédé sur la terre, etc., etc.; nous voyions naître tout à coup une contrariété visible, un désir mal déguisé de ressaisir la vérité trop tôt échappée à l’évidence mathématique ; comme si le doute avait pris tout à coup la place d’une conviction qu’on n’avait pas hésité à manifester dans toute sa plénitude.

Que résulte-t-il de cette discussion? D’une part, que les témoignages du Seigneur sont croyables au delà de ce que nous aurions pu désirer, testimonia tua credibilia factâ sunt nimis ; que le dogme capital de la création est un simple corollaire de la science des nombres; que l’athéisme est la négation de l’évidence mathématique, etc. ; de l’autre que l’incrédulité n’est pas dans l’intelligence, mais dans la volonté ou le cœur, qu’elle est par conséquent inexcusable ; qu’elle est moins un malheur qu’une faute.

A cela que répond M. Govi, professeur à l’université de

Turin, physicien exercé et éloquent mais libre penseur *.

« Voyons ce qu’il y a de vrai, de solide, d’incontestable dans le travail du savant écrivain, et ce qu’il y a mis d’hypothétique et de douteux. Et d’abord : qui est-ce qui affirme l’éternité de l’espèce humaine? J’avoue pour ma part que je serais peu flatté de savoir qu’il a fallu à l’homme une suite infinie de siècles pour en arriver là où nous en sommes. Mais si cela était, il faudrait bien l’accepter malgré tout... Par bonheur, la science humaine n’a jamais formulé sérieusement, que je sache, une pareille conclusion, et nos savants répètent à satiété dans leurs livres, que la terre est issue de la grande nébuleuse solaire , qu’elle a été longtemps en fusion et incandescente , qu’elle s’est couverte ensuite et peu à peu de plantes et d’animaux progressivement plus parfaits, et qu’enfin, lorsque tout était prêt pour le recevoir, l’homme a fait son apparition à la surface du globe.

A de très-petites variantes près, voilà ce que l’on a enseigné jusqu’ici, d’après l'hypothèse de Laplace et les travaux de Cuvier. Or il n’y a rien dans tout cela, qui puisse autoriser l’accusation jetée à la face des savants, de vouloir donner à l’homme un arbre généalogique plongeant ses racines dans le sein de l’éternité. (M. Govi sait comme nous que la succession éternelle des êtres est le rêve d’une école qui grandit chaque jour.)

Il se peut bien que des savants extrêmement respectables aient affirmé l’éternité du Monde : mais il y a loin de là à l’éternité de l’espèce humaine. Est-ce que l’auteur des Mondes [sic!), à l’instar du cardinal Gerdil, aurait confondu ensemble deux sens très-distincts d’un seul mot, et pris le Monde dans l’acception vulgaire de la terre habitée par

* Inlorno ad una démonstration? malhemalica sulla recenti apparition* dell' uomo sulla terra. Brochure moitié italienne, moité française. Turin,

les hommes , au lieu de le prendre dans un sens qu’il connait fort bien, et qui répond au mot Cosmos ? Nous ne voudrions pas le croire, mais tout semble hélas ! le prouver.

Dire qu’il y a un nombre actuellement infini, c’est énoncer une proposition dont les termes se contredisent. Qui dit nombre , dit réunion d'unités , ou rapport entre une certaine quantité et une autre qui sert de terme de comparaison , ou qui joue le rôle d'unité . Ces deux définitions du mot nombre se confondent. Or il est impossible qu’en ajoutant des unités à des unités on arrive à l’infini, car la dernière unité qu’on ajoute à un nombre aussi grand que l’on voudra est un terme [finis), qui permet de supposer l’adjonction d’une autre unité ; c’est-à-dire, qui exclut C infinité du nombre.

L’expression de nombre infini correspond à quantité finieinfinie : il n’y a aucun passage possible du fini à l’infini, aucun lien , aucun rapport assignable entre le nombre et l’infini. Galilée, Torricelli, Guldin, Cavalieri, Newton, Leibnitz, Rolle, Gerdil et bien d’autres, avaient démontré cela aussi clairement , aussi complètement que Cauchy et l’auteur des Mondes, à peu près avec les mêmes arguments. Quant à l’emploi légitime de l 'infini en mathématique, ce n’est point ici le lieu d’en parler.

Mais dès que le nombre actuellement infini est impossible, faut-il en conclure que l’univers est fini, puisqu’il se compose de la somme des êtres qui le constituent ?

La discussion portée sur ce terrain change d’aspect. 11 faut introduire dans le discours la notion du continu , dont il ne pouvait être question tant qu’il s’agissait de nombres.

' L’infini est continu par sa nature : toute discontinuité le limite , et le transforme en fini. Si donc l’tmïoers est discontinu, il ne peut être infini ; mais si le caractère de la continuité s’y rencontre , celui de l’infinité n’y est plus impossible. Or les êtres dont l’univers se compose ne

forment des unités séparées et distinctes que pour les esprits superficiels, auxquels échappent les liens invisibles, mais réels, qui font de l’ensemble des êtres un tout insécable et continu.

L’espace vide n’est pas une discontinuité, puisque l’action attractive s’y exerce, puisque la lumière et la chaleur s’y propagent : il n’y a pas un lieu de l’espace où quelque puissance n’ait son siège ou ne déploie son action. L'univers n’est point une somme d’unités séparées ou séparables, il n’est point discontinu : il n’est donc pas un nombre , il peut donc être infini. »

Si M. Govi croit m’avoir réfuté, il se trompe évidemment ; il a au contraire affirme de son côté et confirmé par de nouveaux arguments la thèse de Cauchy et la mienne. Par cela même que le nombre actuellement infini est impossible, et puisque l’ensemble des êtres du Monde, du Cosmos, forme nécessairement nombre, le Monde n’est ni infini, ni éternel, et force est d’admettre un Dieu créateur.

Il est vrai qu’il essaye de regagner le terrain perdu, en introduisant dans le discours la notion du continu. L’univers est continu , il peut donc être infini, M. Govi veut dire, il est infini. L’univers est continu , il est insécable ! C’est une affirmation complètement gratuite, pour ne pas dire puérile et fausse. En réalité, rien n’est plus discontinu , plus disséqué que l’univers matériel ; nous avons démontré, M. Cauchy et moi, qu’il n’est en réalité qu’une somme d’atomes simples et actuellement séparés. M. Govi parle de liens invisibles, réels et saisissables par les esprits profonds,- qui font de l’ensemble des êtres un tout insécable et continu-, mais ils ne saura jamais dire quels sont et quels peuvent être ces liens. Il parle de l’espace vide, mais l’espace vide est le néant : M. Cauchy et tous les philosophes dignes de ce nom ne distinguent pas l’espace des corps. L’espace vide de notre

univers ne peut être que l’éther, et l’éther est lui-mème essentiellement discontinu, formé d’atomes situés à distance. M. Govi affirme que Y infini est continu par sa nature ; c’est la plus monstrueuse de toutes les aberrations. Le continu, si tant est qu'ils soit possible, ce qui est fort douteux, ce queM. Cauchy et moi nions, ce que l’expérience repousse, serait formé de parties situées en dehors les unes des autres, se succédant l’une à l’autre : or, la succession, comme le nombre, est la négation de l’infini. D’ailleurs, il ne suffit pas d’avoir prouvé, d’une part, que Yinfini est continu , d’autre part, que l'univers est continu; il faudrait démontrer encore que le continu est infini. M. Govi, certes, n’essayera pas de le faire. Si tant est qu’il admette le continu, par exemple, pour les derniers atomes des corps, il ne lui accordera jamais d’ètre infini. Quel déplorable abus du raisonnement, quel chaos de l’intelligence ; et quelle triste idée nous nous ferions delà civilisation et du progrès si nous nous arrêtions à nous dire que les cerveaux de la plupart des savants du jour sont confus à ce point.

Un premier être nécessaire une fois admis, ce premier être nécessaire est nécessairement simple, nécessairement infini, nécessairement immense, nécessairement éternel, le Dieu des chrétiens, celui qui est , qui fut et qui sera. Les rêveries de continu, d’infini de M. Govi, ne sont en réalité que des réminiscences à demi éteintes et défigurées, de l’être infini de nos dogmes chrétiens. Son espace vide continu et infini est l’immensité divine matérialisée ; et l’univers ne forme un tout continu qu’en Dieu qui est l’être de tous les êtres, en qui nous sommes, en qui nous vivons, en qui nous nous mouvons, genre unique et mystérieux dont nous sommes les espèces.

Admettre que le nombre des hommes qui ont existé sur la terre ne peut pas être infini, sans admettre qu’il en est

ainsi du nombre des êtres de l’univers passés et présents, c’est tomber dans une contradiction manifeste, et fouler aux pieds les lois les plus sacrées de la logique.

Mais prenons au moins acte de la confirmation éclatante du récit de la Genèse que M. Govi nous accorde en passant. La terre est issue de la grande nébuleuse solaire ; elle ne contient donc que ce que contenait le soleil incandescent qui l’a abandonnée dans l’espace. Il ne pouvait y avoir dans le soleil, dont la température est peut-être de plusieurs millions de degrés, que fies éléments matériels dissociés ou combinés; la terre, k son origine, n’a donc été formée à son tour que d’éléments matériels, sans organisation et sans vie. En outre, après sa séparation du soleil, elle serait restée longtemps incandescente ; et il ne peut être tombé sur elle des espaces célestes que des éléments purement matériels apportés par les aérolithes. Si donc la vie y est apparue, si elle s’est couverte peu à peu de plantes et d’animaux progressivement plus parfaits ; si, enfin, lorsque tout a été prêt pour le recevoir, l’homme a fait son apparition sur la surface du globe, comment expliquer tout cela autrement que par l’intervention d’un Dieu créateur et le récit de la divine Genèse.

La plus forte ou mieux la seule objection sérieuse que l’on ait faite à ce récit, est qu’il fait apparaître au quatrième jour seulement, les deux flambeaux de la terre, le grand flambeau, le soleil, qui doit présider à ses jours, le petit flambeau, la lune qui doit présider à ses nuits. Si la terre est sortie du soleil, comment le soleil a-t-il pu être crée après elle? La difficulté n’est qu’apparente. 11 ne s’agit pas dans ce passage du soleil considéré comme astre du firmament, mais du soleil flambeau de la terre, luminare majus . Or, après l’émission de l’anneau qui par sa condensation devait former la terre, et en se fractionnant la lune,

le soleil restait à l’état de nébuleuse, il avait encore à se dépouiller des anneaux qui ont donné naissance à Vénus, à Mercure, aux astéroïdes. Il est donc tout naturel qu’il n’ait conquis sa forme actuelle d’astre brillant, qu’il n’ait été pour la terre un flambeau qu’après la solidilication du globe terrestre, la séparation du sol et des eaux, la germination des plantes à laquelle suffisaient la lumière et la chaleur incomplète émises par la nébuleuse solaire.

A l’appui de la récente apparition de l’homme sur la terre, j’avais apporté un calcul mathématique nouveau et très-vraisemblable qui m’avait été offert par M. Faà de Bruno, un des élèves les plus chers et les plus distingués de Cauchy, aujourd’hui professeur à cette même université de Turin ; qu’il me soit permis de le reproduire ici.

« La population du globe s’élève actuellement à près d’un milliard trois cents millions, ainsi répartis :

Europe 275 000 000

Asie 755 000 000

Afrique 200 000 000

Amérique 60 000 000

Australie 3 000 000

Total ..... 1 293 000 090

En outre, d’après les statistiques les plus accréditées, l’augmentation annuelle de la population humaine est d’un deux-centième environ, Si, partant de ces données, on se demande combien il a fallu d’années pour qu’un couple unique que nous supposons être Adam et Eve, ait pu produire le chiffre actuel de la population de la terre, il faudra, d’après la théorie bien connue des progressions, résoudre l’équation :

2 (t H — jjjjÿ) X — 1 300 000 000,

x étant le nombre cherché d’années ; et l’on trouvera x = 11 00 ans.

En tenant compte du déluge qui a brusquement suspendu la marche croissante de la population humaine, ce chiffre 1 100 est vraiment extraordinaire. Ne nous arrêtons pas en si bon chemin.

Si nous admettons à priori que l’augmentation annuelle de la population de la terre est 0,00347 ou T J T environ, on trouvera

Ainsi, en fixant à 3 863 ans l’âge de la race humaine, on ne fait que poser une limite maximum ; car le chiffre 0,00347 est trop petit, même actuellement, et quoique la polygamie soit beaucoup plus restreinte : on peut donc énoncer comme certaine la proposition suivante : U est impossible que la création de l’homme remonte beaucoup au delà de 5 863 ans.

A ceux qui croient à la sainte Écriture et au déluge nous offrons un autre rapprochement tout à fait saisissant. Adoptons pour l’augmentation annuelle de la population le chiffre , 47 » peu éloigné de celui qui représente l’accroissement actuel de la population en France, et rappelons-nous que l’an du monde 1600 Noé sortit de l’arche avec trois garçons et trois filles, on trouve, après 4207 ans :

c’est-à-dire qu’on retombe sur le chiffre net de la population de la terre. Si, en conservant ce même rapport on calcule le chiffre total des hommes qui ont vécu sur la terre depuis le déluge, on trouve ce chiffre énorme :

ou à peu près 296 milliards. Pour se faire une idée de celle immense multitude, il suffira de constater que la France entière, en supposant 6 hommes dans chaque mètre carré, suffirait juste à la contenir à l’aise. File s’est donc admirablement vérifiée la promesse faite par Dieu à Abraham : Multiplicabo semen iuum sicut stellas cœli et sicut arenam qnœ est in littore maris. »

J’avais pris d’ailleurs la précaution de faire mes réserves en ces termes : Dans l’argumentation de M. Faâ de Bruno, iPfaut distinguer deux choses, les données numériques et la méthode. Les données numériques, la population totale du globe, le chiffre de son accroissement annuel, peuvent rester douteuses, tout en différant peu des chiffres véritables; mais il est absolument certain que le chiffre de cette population totale est un nombre fini, que son accroissement annuel est une fraction limitée, et que par conséquent, d’après les règles ou lois mathématiques des progressions, le nombre d’années nécessaire au développement de la population de la terre est lui-même fini et très-voisin de 6 000 ans.

Ce calcul très-concluant, mais très-inoffensif, d’autant plus inoffensif, nous le déclarions nous-mème, que la valeur attribuée au coefficient d’augmentation de la population humaine était une simple supposition, et qu’il fallait considérer moins la lettre de la méthode que son esprit, a bien plus indisposé encore M. Govi. On dirait que nousl’avons frappé à l’endroit sensible. Il s’indigne contre les rapports 4 : 200, 1 ; 227, « qui, dit-il, à certaines époques et dans certaines contrées peuvent être 1 : 4, 1 : 6, 1 ; 100, etc., etc. » Pour rendre l’accroissement de population aussi lent que possible, il ramène l’homme à 1 état sauvage après le déluge. « Que de peines, dit-il, l’humanité n’eut-clle pas à endurer pour s’abriter, pour se défendre, pour subvenir à ses besoins pressants 1 » Cet état sauvage de Noé où le prend-il, de quel droit l'affirme- 1- il? Peut-on méconnaître ainsi les

traditions de tous les peuples et se jouer à ce point de l’intelligence de ses lecteurs ? Après avoir plaisanté sur la foi ardente et la piété de son collègue, cent fois plus mathématicien que lui, il essaye de le rendre ridicule et absurde par une application de ses principes tellement monstrueuse que nous ne pouvons y croire, quoique ce que nous allons citer soit textuellement transcrit de sa brochure, p. 23, ligne 4 et suivanies : « Si ce calculateur à la foi ardente s’étai t'avisé d’appliquer son coefficient 1 : 227 au peuple juif à sa sortie d’Égypte, il y a 3508 ans,... en admettant que des 600000 hommes dont parle l’Écriture, la moitié seulement se maria et eut des enfants; les 300 000 couples, au bout de 3 508 ans, auraient donné -4 trillons 741 billions 132 millions de descendants, tous vivant en l’an de grâce 1863. C’est à peu près -4 000 fois la population actuelle du globe 1 ! I

Et les Juifs ne sont à présent qu’au nombre de 4 millions à peine ! un millionième environ de ce qu’ils devraient être! Pauvre Juifs! Où sont donc allés les autres? Les persécutions ou les conversions ne sauraient suffire pour expliquer le déchet!!! »

Plaisanterie et sarcasmes, quels tristes arguments !

Pourquoi M. Govi, qui emprunte au premier chapitre des Nombres son chiffre de six cent trois mille cinq cent cinquante hommes, ne daigne-t-il pas se rappeler qu’il est dit. dans le chapitre XXV e de ces mêmes Nombres, que deux seulement des compagnons de Moïse sortant d’Égypte, Caleb, fils de Jephone, et Josué, fils de Nun, entrèrent avec lui dans la terre promise, que tous les autres étaient morts dans le désert? Parce qu’il fallait humilier un pieux confrère, et donner une larme au triste sort des Juifs \ Quand on s’oublie à ce point dans un mémoire lu àl’Académie deTurin, on cesse d’être savant, et nous aurions pu nous dispenser de prendre M. Govi au sérieux. Tout cela n’empêche pas

M. Govi de s'applaudir de son triomphe . « Que faut-il conclure de tout cela, s’écrie-t-il? Qu’un homme fort instruit, malgré ses grandes connaissances en mathématiques, peut manquer parfois son but en voulant le dépasser ; que les sciences humaines ne peuvent être d’aucun secours à la foi, et que le meilleur procédé pour arriver à la connaissance de l’origine des hommes, c’est de recueillir et d’étudier patiem- . ment les vestiges qu’on en rencontre dans les entrailles du globe, et dans les langues, les institutions et les monuments du passé. » Les langues, la philologie 1 Elle met pleinement en évidence l’origine commune de tous les peuples ; elle révèle des émigrations de l’Orient en Occident accomplies pendant des milliers d’années. Les institutions et les monuments du passé 1 Les institutions et les monuments de toutes les nations, comme les institutions et les monumeuts de la nation juive qui tiennent le premier rang, attestent éloquemment l’origine récente du genre humain, et à très-peu près la chronologie de la Bible. Les vestiges trouvés dans les entrailles de la terre ! Ils ne témoignent que de leur succession relative, nullement de leur âge absolu. L’unité de temps nécessaire à mesurer l’origine et la durée des dépôts successifs manque et manquera toujours. Mais déjà de grands faits se dégagent de l’obscurité qui enveloppe l’origine des temps. L’àge d’or a précédé les âges de pierre, de bronze, de fer. L’homme, primitivement civilisé, n’est revenu vers la barbarie et n’a connu l’âge de pierre qu’après s’être éloigné du centre de la civilisation première. L’àge de pierre touche à l’âge de bronze, et l’âge de bronze à l’âge de fer. Les œuvres humaines trouvées dans les dépôts géologiques, les cités lacustres, les cavernes osseuses, les monuments celtiques ou druidiques, sont toujours et partout les mêmes ; leur antiquité, par conséquent, est beaucoup moins reculée qu’on ne le prétend.