DE

et soit p un diviseur premier de a. On peut supposer que les entiers dd. m,-.. ne sont pas tous divisibles par p, sinon on aurait une égalité de même forme en divisant par p les deux membres de (7). Soit a, le premier coefficient non divisible par p. On peut écrire:

= (a+ +... +) + a+... + ar) + (a + PB +... + (ax +...)

Acta mathematica. 30. Imprimé le 4 décembre 1906. $ 47

310 P. Fatou.

On en déduit que la série (APE RENE 3")(Qu 3" + up ar à une fois ordonnée aura tous ses coefficients divisibles par p: al, = © CTP Van LL PE ©)

(mod p) Ayo + Pan+s F0

et comme par hypothèse on a:

a— © (mod p) et a, +Æo (mod ») on déduit de là de proche en proche,

ÿ—o (mod), r—0 (mod p),

Les coefficients (4, 8,...,À,») ne seraient donc pas premiers dans leur ensemble. Il faut donc que l’on ait p — 1, et par suite a doit être égal à l'unité. Autrement dit B(;) est égal à un facteur constant près à: ÉD e e AE où B,7,...,À sont des entiers. Le produit des modules des zéros de ce A , S I . , 1% L s .

polynôme est égal à + 35 Mais comme d'autre part les pôles de Fo doivent avoir des affixes supérieures ou égales en module à l'unité, puisque le rayon de convergence doit être égal à l'unité, il faut que l’on ait:

À = ha

et que toutes les racines de B(3) aient pour module 1. Mais, d’après un théorème de KRONECKER, un nombre entier algébrique qui a pour module 1, ainsi que tous les nombres conjugués, est une racine de l'unité. Donc B(;) est un polynôme de division du cercle ou un produit de plusieurs

polynômes de cette espèce et la fraction ne pourra par suite se ramener

à la forme

(8) tr

Aïnsi, les seules fractions rationnelles développables en série entière à coeflicients entiers, avec un rayon de convergence égal à 1, sont les fractions rationnelles de la forme (8).

Considérons maintenant une série de TAYLOR dont les coefficients n’ont qu'un nombre limité de valeurs, par exemple o et 1, on à alors

n 2 À ANS TS DS RP Ar HS DE

a;,,À,... étant des entiers croissants. Appelons point singulier isolé d'ordre fini d'une fonction analytique, un point singulier isolé 3, au voisinage duquel on a:

k le GI< IE +

a et À étant des constantes. Cela étant, je dis que la série de TayLor f($) a nécessairement sur son cercle de convergence d’autres points singuliers que des points singuliers isolés d'ordre fini. En effet, s’il n’en était pas ainsi, en multipliant (3) par un polynôme ayant pour zéros les points singuliers en question avec des ordres de multiplicité convenables, on aurait une nouvelle série de TAyLor qui devrait rester bornée à l’intérieur du cercle de rayon 1, et dont les coefficients devraient donc tendre vers zéro. Or ces coefficients n'ayant aussi qu'un nombre limité de valeurs, cela est impossible s’ils ne sont pas constamment nuls à partir d’un certain rang, c'est-à-dire si f(3) n’est pas égale à une fraction rationnelle.

On voit en particulier que f{(3) ne peut pas être algébroïde dans un cercle de rayon plus grand que 1.°

Nous avons, dans ce qui précède, quelques exemples des liaisons qui existent entre la nature arithmétique des coefficients d’une série de TAYLOR et la nature analytique de la fonction qu'elle représente.

Donnons maintenant quelques extensions de la proposition énoncée au début de ce chapitre. Soit D un domaine limité par un contour simple C et dont on puisse faire la représentation conforme sur le cercle (ce qui aura lieu par exemple si © est formé d’arcs réguliers de courbes analytiques) et f(3) une fonction analytique régulière et bornée dans D. En

! Relativement aux séries entières à coefficients entiers, je rappelle que M. Borez a obtenu un résultat très intéressant (v. p. exemple, ses leçons sur les fonctions méromorphes, Paris, Gauthier-Villars, 1003).

DU P'"Fatou.

tous les points de C, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, f(3) prend une valeur déterminée suivant les chemins non tangents à © et l’on pourra par suite appliquer la formule de Caucuay:

Lesanl f(u) F re

(& - Enfin on peut étendre encore la proposition au moyen d'une transformations homographique effectuée sur f(3). S'il existe un nombre À tel que

f(3) — À reste supérieure en module à un nombre positif fixe, la fonction

er sera régulière et bornée à l'intérieur de D, de telle sorte qu'on pourra lui appliquer la proposition précédente; par suite f(3) aura aussi, en général, une valeur déterminée, finie ou infinie, aux points du contour mais il n'est pas certain que la même propriété s'applique à la partie réelle et à la partie imaginaire de f(3) considérées séparément; il faudrait démontrer pour que cela fût vrai, que f(3) ne peut prendre une valeur infinie qu’en un ensemble de mesure nulle de points de contour, et bien que cela paraisse très vraisemblable, nous n'avons pas réussi à en donner une démonstration générale.

n ca ns les points @,,@,.…., a, n

Comme applications considérons la série > + étant des points du segment o--1 de l'axe réel, partout denses, et la série X|4,| étant convergente. C’est un cas particulier des séries étudiées par M. Borez dans sa thèse,” en vue de l'extension de la notion de prolongement analytique. La série que nous considérons définit une fonction analytique qui admet le segment ©— 1 comme ligne singulière essentielle.

Supposons les À, positifs et donnons à ; une valeur, x+iy, y étant

positif. Si l’on pose 3 — a, — 9,6", la partie imaginaire de ç(3) est égale à

+1Y — sn,

et comme on à O<w,<T, le coefficient de à est négatif; donc lorsqu'on reste, par exemple, dans le demi-plan supérieur o(3) reste bornée progective-

E. Borer, Sur quelques points de la théorie des fonctions, première partie (Annales de l’Ecole normale, 1895) et Leçons sur la théorie des fonctions.

ment. On en conclut que tous les points du segment o — 1, sauf ceux d'un ensemble de mesure nulle, sont des points où ç(3) prend, au sens déjà souvent expliqué, une valeur déterminée, ce qui concorde avec les résultats de M. Boret.

Au contraire, la première des fonctions uniformes affectées de coupure qui se soit présentée en analyse, la fonction modulaire, présente une indétermination becaucoup plus complète au voisinage de cette coupure, ainsi qu'il résulte des recherches de RIEMANN et DEDEkIND."

3. Etude de l'intégrale de Poisson lorsque la fonction f(u) qui figure sous le signe He est une fonction non bornée, intégrable en valeur absolue.*

Cette étude peut se faire comme lorsque f(x) est une fonction bornée. Car f(u) étant, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, égale à la dérivée de son intégrale indéfinie, on pourra raisonner exactement de la même manière que lorsque f(w) est bornée, et l’on arrivera aux mêmes conclusions que dans le premier chapitre. Toutefois nous préférons rattacher ce cas à celui où f(w) est bornée, la méthode indirecte que nous emploierons conduisant à quelques résultats nouveaux; nous supposerons que non seulement f(w) est intégrable entre —7 et +7 mais qu'il en est de même de son carré. Posons donc

I 1 —7 be, = [ Re me

et supposons d’abord que f(#) soit une fonction positive, dont le carré est intégrable.

On à vu dans le premier chapitre que si l'on écrit:

PRE Z (a, cos n@ + b, sin 0)r"

1 On pourra lire à ce sujet une lettre d'HERMITE à STIELTIES (17 décembre 1886). — (Correspondance d'HERMITE et de STIELIVES, Paris, Gauthier-Villars 1905, page 196.)

? Nous n'avons pas placé cette étude dans la première partie, parce que nous avons dû nous servir du théorème établi dans le $ 1 de la seconde partie.

314 P. Fatou.

la série 20 + ZE (a + 0?) :

est convergente. Soit Q(r,0) la fonction harmonique conjuguée de P(r, 6)

Q(r, 0) = 6, + Z (a, sinn@ — b,cosn0)r"

et soit:

p(a) = P(r, 0) + iQ(r, 6), Here) On 2:

I +7 Fr = JP’, 6)d8 = 24 + Z (ar + br, RS e = J Q'r, 6140 = 2 + E (a + &pr”, d’où:

Lx co

2 J'en = Eur + nb

et comme la série du second membre converge encore pour 7 = 1, on

voit que +T

J le tre°)l'dé

reste bornée quand > tend vers 1. Il en résulte qu'on ne peut avoir

limg(re")| = + co r=1l

que pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de 4, sinon on démontrerait par un raisonnement analogue à celui qu'emploie M. LEeBEsGUE, ! que l'intégrale qui précède devrait croître indéfiniment.

Mais d'autre part, P(r,@) étant constamment positive, la fonction

analytique est bornée dans C; on en déduit comme

I I pG+1 P+iQ+i

* Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, page 114.

on vient de le voir que, w(3) a, en général! une valeur limite déterminée suivant les rayons et comme cette valeur est en général finie, on voit bien que P(r,0), Q(r,6) ont, sauf pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de Ÿ une valeur limite bien déterminée pour » — 1.?

Posons lim P{r, 6) — f,(6)

pe] dans l’ensemble des valeurs de 4 où cette limite existe. Je dis que l’on à en général:

Pour le démontrer établissons d'abord le lemme suivant:

Si des fonctions positives, bornées sommables: f(x), f(x), ..… tendent vers une fonction bornée ou non f(x) et si

JA (æ)dx

reste, quel que soit n, inférieur à un nombre fixe, la fonction f(x) est intégrable, et l'on a:

J'f(e)d® <lim. inf. ff, (æ)dr.

La fonction f(x) est mesurable. Soit Æ l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a:

Considérons la fonction:

v,(x) = f,(æ) pour l’ensemble des valeurs de ‘ æ telles que: f,(x) <L, o,(x) = f(x) pour l’ensemble des valeurs de x telles que: f(x) > L.

Pour les points de Æ les fonctions w,(x) sont bornées dans leur ensemble et tendent vers f(x), on aura donc

lim fe,(x)dx = rde.

! Pour abréger, nous dirons souvent: »en général», au lieu de »sauf exception pour un ensemble de mesure nulle de points ou de valeurs de la variable.»

? Il résulte de ce raisonnement que si une fonction harmonique est régulière et bornée à l’intérieur d’un cercle, elle pourra être mise sous la forme d’une intégrale de Porssox.

376 P. Fatou.

Mais comme on a toujours dans Æ 6, <f,, on en déduit: JF æ)dæ < lim. inf. J (a) æ)dx < Vim. inf. frs) \dx <k:

Donnons à L des valeurs positives de plus en plus grandes; nous voyons b que l'intégrale [ f(x)dx tend vers une limite finie, qui sera égale à “ f(x)dzx, Ë a

et l’on a bien:

b J'f(x)dx <lim. inf, [ f,(x)dx «a a Si pour. un ensemble de mesure nulle de valeurs de x, f,(x) n'a pas de limite ou a une limite infinie, il n'y a rien à changer à ce qui précède. On peut se rendre compte sur des exemples, que l’on peut avoir

fre )dx < lim. nf. JA (

Je dois cette remarque à M. LeBEsGuk.

Ceci dit, revenons à l'intégrale de Poisson

+rT

et considérons la fonction positive f(u) comme limite de la fonction bornée sommable f,(w), égale à f(u) dans l’ensemble ÆE,[f(u) <1,] et égale à zéro dans l’ensemble complémentaire. On aura:

P,{r, 6) — = 2 J AA (du <= J'Hrtode = re, 6). Mais f,(u) étant bornée, on aura sauf pour un ensemble FÆ, de mesure nulle :

LmP,(r, 0 =Y (0) d’où:

honte 0) = (2

Mais on à f,(0) —f(@) pour tous les points de l'ensemble Æ,. Or l'en-

semble des points communs à tous les ensembles C(E,) a une mesure nulle:

il en est de même de l’ensemble (EF +F,+...+F,+...). On aura donc: Lim. inf. P(r, 0) > f(0)

r=]l sauf dans un ensemble de mesure nulle; et par suite

, . a . ‘ dans l'ensemble des points où P(r,0) a, pour » — 1, une limite: f(8). Mais d'après le lemme que nous venons de démontrer: on a

+T lim.inf. / P(r,6)d0> [ f(0)dé

et comme on a toujours:

TOO ENT on en conclut:

et par suite, en vertu de l'inégalité (9):

J'u-na=

la fonction intéorée étant constamment positive ou nulle (dans l’ensemble complémentaire d’un ensemble de mesure nulle), on conclut de là facilement

(8) = f(0) (en général).

Car chacun des ensembles E(—— ET ES LES :) aura une mesure nulle et

il en sera de même de la somme ss tous ces ensembles. En résumé, si f(#) est une fonction non bornée, positive, dont le carré est sommable, et si l’on considère l'intégrale de Porsson:

+T LE eu Hf(u)du

on a en général: lim P(r, 6) — f(8).

Acta mathematica. 30. Imprimé le 8 décembre 1906. 48

P. Fatou.

(Le on | (ee

Du cas de f(u) > 0, on passe facilement au cas de f(u) <o, et aussi au cas de f(x) bornée supérieurement ou inférieurement.

Si maintenant f(«) n'est bornée ni supérieurement n1 inférieurement on peut la regarder successivement comme limite des fonctions bornées supérieurement, puis comme limite de fonctions bornées inférieurement et définies toujours de la façon suivante: ayant choisi des nombres /,,/,,..., l,,... échelonnés de © à “+ ©, on posera:

1° f,(u)—=f(u) dans l’ensemble E,[f(u) <1,] et f,(u)—0, partout ailleurs;

+7 Pr, 0 = [ Hf,(u)du < P(r, 6)

2°) fi(u) = f(u) dans l’ensemble E;[f(u) > —1,], et f,(uw) = 0 partout

ailleurs ; +r

Pi(r,6 = f Hfu)du> P(r, 6).

On aura alors les inégalités :

lim. inf. P(r, 60) > lim. sup. P, (r, 6),

nn | ræ=l

lim. sup. P(r, 0) < lim. inf. PM(r, 6).

ræ=l r=]l

En appliquant des raisonnements déjà employés, on en déduira facilement:

lim P(r, 6) = f(6)

sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle. ?

Ceci va nous permettre de compléter ce que nous avons dit au sujet de la formule de ParsEvAaLz, dans le cas où l’on considère une fonction non bornée dont le carré est sommable. Nous avons démontré que l’on a:

= J Fu)du > 208 + E(ar + bd).

Mais d'autre part puisque l’on a, en général,

lim P(r, 6) = f(6)

* Indiquons encore brièvement une déduction facile de la méthode employée dans le texte: toute fonction harmonique régulière et limitée inférieurement dans C est la somme d'une intégrale de Poisson et d'une fonction harmonique qui reste positive dans C et qui prend la valeur zéro sur C, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle.

on en déduit en appliquant le lemme établi plus haut:

lim J P°r,6)40> Î Fu)du,

c'est-à-dire:

+ E(a+)> [ f{u)du.

On a donc, dans tous le cas, quand f(#) est une fonction dont le carré est sommable:

Î F'tu)du = 245 + E (ai + b?),

a, , 0, étant les constantes d'EULER-FOURIER attachées à f(u). Soient maintenant deux fonctions périodiques dont le carré soit sommable: f(x) et g(u). On voit aisément que ({f(u) + g(u))* est aussi sommable, et qu'il en est de même de (f(w)—g(u))". Appliquant l'égalité précédente à f + 9 et /— g, comme le fait M. Hurwirz dans le mémoire déjà cité, on obtient par soustraction :

les c,,d, étant les coefficients de la série de Fourier de g(u).”

4. Les méthodes précédentes conduisent également à un résultat intéressant relatif à la convergence des séries trigonométriques données par la loi de leurs coefficients et dont voici l’énoncé: Si na, et nb, tendent vers

I , - ne zéro avec -, l'ensemble des points de divergence de la série:

Z (a, cos nô + b, sin nô)

est de mesure nulle.

Il y aura donc des points de convergence dans tout intervalle. Con-

sidérons en effet la fonction harmonique:

F(r,6) = a, + (a, cos 8 + b, sin 6)r +... + (a,cosnô + b,sin n6)r" +...

1 Voici une conséquence de la formule de PARSEVAL: soïent 4, , b, les constantes de Fourier de f(u); si la série Xn(ai + bi) est convergente, f(u) est développable en série de Fourier sauf peut-être pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de ”;

pratiquement cette proposition ne paraît pas bien utile.

380 P. Fatou.

Lee] Il est clair que la série Z (a, + b?), est convergente puisque ses termes

. . . es ES z , 2 # sont à partir d'un certain rang inférieurs à -,. Il resulte alors de l'égalité

de Parsevaz que l'intégrale:

reste bornée, quel que soit le nombre r< 1. Il en sera de même de:

Intégrons terme à terme la série qui représente Pr, 4) (il est un peu plus commode de supposer @, —0, pour que l'intégration n'introduise pas de terme apériodique). Nous obtenons ainsi:

. Card S Ga + Do) Ÿ. ( Sin nÔ — — cos n}r°

An b, x . ; : : I et comme — et — sont plus petits à partir d’un certain rang que —, la n n n

série du second membre est absolument et uniformément convergente pour toutes les valeurs de #9, et pour toutes les valeurs de 7 comprises entre © et 1. Œlle est donc continue à l'intérieur du cercle de rayon un et sur le cercle, et l’on peut mettre U sous la forme

+7 I ° 1 —7r° ie 27 1 1 — 2r cos (u — 0) + A), g(u) étant une fonction continue périodique.

Je dis en outre que g(u) est à variation bornée entre — 7 et +7. En effet soient 4,,0,,..., 0, des valeurs croissantes de l'arcument; la somme:

[2(8,)—9(8,)1+ 198) —9(6,)1+ + 19(8-:) —9(6,)] différera aussi peu que l’on veut, en prenant » suffisamment voisin de 1, de la suivante:

Op laquelle est inférieure à: É | P(r,08)|d0, puisque pour r <1, la fonction

Ulr, 4) admet comme dérivée par rapport à 4, la fonction continue P(r, 4). +T Or nous savons que [ | P(r, 4)[d@ reste bornée quand r tend vers 1; la

fonction g(w) est donc à variation totale bornée, donc, en vertu d'un théorème dû à M. LæesesGus,' elle admet une dérivée finie pour un ensemble de valeurs de « dont le complémentaire est de mesure nulle. Or, si en un point #, la fonction continue g(«) admet une dérivée g'(u,), nous savons que la fonction harmonique:

PUMA) U(r, 6)

tend vers une valeur bien déterminée quand le point (7,06) tend vers le point (1,%,) suivant un chemin non tangent à la circonférence.

Pour en déduire la convergence de la série en ce point, 1l suffit d’avoir recours à la proposition suivante, qui est un cas particulier d’une proposition plus générale due à M. PRINGSHEIM: ?

»S1 la série

CÉDÉROM CT : , ER est convergente pour æ<1, et si en outre nc, tend vers zéro avec ss il

faut et il suffit pour que la série soit convergente pour æ = 1, que la valeur de la série tende vers une limite finie quand x tend vers 1, par valeurs réelles plus petites que 1.»

Autrement dit le second théorème d’ABEL a ici une réciproque. Voici comme on peut démontrer ce résultat. Si à partir d’un certain rang ), On à 1 AE le reste de la série correspondant au terme de rang » sera plus petit en

module que:

But &

TP IN IECPIE

< Leçons sur l'intégration let les fonctions primitives (page 128). 2? Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Konvergenzkreise (Münchner Berichte, 38).

382 P. Fatou.

I : : x ième Donnons à x la valeur 1 —-. Les termes qui viennent après le » auront

Q à 2 . LAS Û une somme inférieure à e,, et la somme de ceux qui précèdent:

I 1\” C, +a(i—;) SEAT +a(1—;) | peut se mettre sous la forme o, 20,0, verso, (+ +...+c (a+ + Pipe 2)

0,,0,,-.. désignant des nombres compris entre zéro et un. Le terme

écrit dans la seconde parenthèse peut s’écrire:

olal +2lcl+...+vlec,l

: Le ve, tendant vers zéro avec -, il en est de même de sa valeur moyenne, y 1 . . . . , .

de sorte que, pour que e(: —;) ait une limite, il est nécessaire que

Et Cm eo,

ait la même limite, ce qui établit la proposition.” Soit donc © une valeur de l’argument pour laquelle g(8) admet une dérivée g'(0). Nous aurons:

lim [(a, cos 0 + b, sin 6)r +... + (a, cos nô + b, sin nô)r" + | 4 (0)

donc en vertu du théorème de M. PRINGSHEIM, la série (a, cos 0 + b, sin 0) + ... + (a, cos n0 + b, sin nô) + ... est convergente. CLOS:

Faisons quelques remarques au sujet de ce critère de convergence. D'abord il est clair que la convergence d’une série trigonométrique, en tout point, ne saurait résulter d’une condition de la forme:

Hmo(n)a, = 0, lim g(n)b, = o

Nous avons pour plus de commodité donné à æ une suite dénombrable de valeurs

de la forme 1 —-; il est facile de voir que cette restriction est insignifiante. y

si la fonction positive o(n) est telle que la série Si ss g ,

ce qui à lieu pour ç(n)—n. Il est d’ailleurs possible de former des séries

soit divergente,

trigonométriques pour lesquelles na, et nb, tendent vers zéro et qui ont une infinité dénombrable de points de divergence; tout au plus pourrait-on, peut-être, dans notre énoncé, remplacer les mots: ensemble de mesure nulle, par ensemble dénombrable.

En outre la convergence des séries trigonométriques semble dépendre beaucoup moins de la rapidité de la décroissance des coefficients, que de la régularité avec laquelle ils tendent vers zéro; je ne pense donc que l’on puisse donner de critères de convergence de même nature que celui que nous venons de donner et qui soit beaucoup plus compréhensif. Ce critère s'applique d’ailleurs à toutes les séries trigonométriques obtenues en intégrant terme à terme une série trigonométrique dont les coefficients tendent vers zéro. Voici une conséquence de cette remarque; nous savons que les coefficients d’une série de Fourier tendent toujours vers zéro; en outre, M. LEBESGUE, dans son mémoire déjà cité, a montré, en généralisant un théorème de Du Bois-REyMonD,' qu’une telle série est intégrable terme à terme c'est-à-dire que si

4, + (a, cos 0 + b, sin 6) +... + (a, sin nô + b, sin nô) + .

est la série de Fourier correspondant à (9), on a

( J f0)d8 — Q,(0 — a) + Da = (a, sin #0 — b,cos n0 — a, sin na + b, cos na).

Mais puisque la série 2 = (a, sin nô — b, cos nô) a des points de convergence dans tout intervalle, on peut supposer que Ÿ — a soit un tel point et écrire

simplement:

Jr (8)d8 40 CCE Di = (a, sin n0 — b, cos nÜ);

a I par suite la série De 1 (An sinn0 —b,cosnô) est toujours convergente, et

! Voir aussi l’article déjà cité de M. A. HurwITz.

384 P. Fatou.

c'est à une constante près, la série de Fourier de la fonction continue,

périodique, à variation bornée:

e(6) = J'E(6) — a,]d0 u— J ro

Elle est donc uniformément convergente.

Nous pouvons donc simplifier un peu le résultat précité de M. Le- BESGUE: il est inutile en effet quand on intègre terme à terme une série de Fourier, de retrancher une constante de l'intégrale indéfinie de chaque terme, pour assurer la convergence de la série obtenue.

Faisons encore remarquer que si l’on part d’une série trigonométrique pour laquelle Y(a; + b;) est convergente (et alors en l’intégrant une fois on obtient une série trigonométrique uniformément convergente entre © et 27) on peut affirmer que la fonction harmonique associée à la série proposée:

P(r,0)= Y(a, cos n0 + b, sin n0)r"

se comporte, au point de vue de l’indétermination sur le cercle de convergence, comme les fonctions bornées. C’est ce qui résulte de la démonstration précédente. On peut même ajouter que, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, la série

X (a, cos n0 + b, sin r6)

est sommable par le procédé de la moyenne arithmétique, ainsi que le prouve l'extension qu'a donné M. Feyxr lui-même de son théorème, aux fonctions dérivées.”

Par exemple si l'on a:

aï + b} à | A ner Lee demie («a > 0)

on se trouve en présence d’une série trigonométrique qui est sommable par ce procédé.

Il résulte en effet des recherches de M. FEJER, que la fonction dérivée d’une fonction continue f(w) dans l’ensemble des points où elle existe, est représentable par la série dérivée de la série de FourIER de f(uw), sommée par une double application de la moyenne arithmétique.

Nous avons vu que si limna, — 0, limnb, — 0, la série: (A) (8) = a, + (a, cos 0 + b, sin 8) + ... + (a, cos n0 + b, sin nô) +

est convergente pour toutes les valeurs de 4 pour lesquelles la fonction: