M) CNE CA RONDE PE LE

admet une dérivée g'(4), et a précisément pour somme g(4).

Nous pouvons démontrer que réciproquement, si la série (I) est convergente elle est égale à la dérivée de la série (IT).

Pour cela il suffit de modifier légèrement la méthode qu'emploie RIe- MANN pour démontrer ses deux premières propositions générales sur la représentation d'une fonction par une série trigonométrique.

On a d’abord, en vertu du théorème 2 de RIEMANN:

os (PARU a) 790) M

Il suffit done de démontrer que si la série (1) converge et a pour somme F0 ron..à:

26 + a) = AU a) 23)

Or, si l’on pose: :

À, = 4, cos n0 + b, sin n0

on trouve:

4 (0 ) — (0 — 4 sin 4 sin na : Le al ln 2° Pere Soit s le plus grand entier inférieur à : . Considérons la série . sin 4 DA ) On aura

nee,

e étant un nombre positif arbitrairement petit, pour n > p.

! Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe ($ 8,

théorèmes I et 2).

Acta mathematica. 30. Imprimé le 8 décembre 196. 49

3806 P. Fatou.

Si done s est supérieur à p, on aura

Sin ? ee € € € :

Y4( 2) = sr ER E (S1 a < 1).

na (74 Sa Heu 2 s+1 s+1

Considérons ensuite les deux sommes:

Ë i Je in na sin n«œ ) d AN A, = ) et 4, ( Le 1 p+1 (

p restant fixe, la première a pour limite quand a tend vers zéro: ABLE ICE

Quant à la seconde, on en a facilement une limite supérieure en appliquant

sin n&

décroissant quand # augmente et reste positif et inférieur à 1; la série

DR RR nT APRRQRRE

étant supposée convergente, on peut supposer que p ait été choisi assez erand pour que:

A de À,}5 e LENS A5 An soit plus petit en module que <, quel que soit l’entier g. Cette seconde