DEUXIÈME PARTIE

Étude de la série de Taylor sur son cercle de convergence.

1. Considérons une série de TAYLOR dont nous supposerons dans tout ce qui suit le rayon de convergence égal à l'unité; soit

(1) cf =0+u3+...+c,z +...

S1 nous posons:

Cy = A, — Ù,,

dire?

elle se mettra sous la forme

p(G) = Pr, 6) + iQ(r, 8),

(2) PCIOLEEMERE Z (a, cos n0 + b,sin n6)r", Q(r, 0) = — 0, + Z (a, Sin n0 — b, cos n@)r”.

Les coefficients a, et b, sont donnés par les formules: !

= 3; J PC,60%, NE AS b, ——" | Q(r,6)d8, (3) AS ET de sk P(r, 0) cos n0d0 — a off Q(r, 0) sin 1040 I +r . +r b, — = J P(r, 8)sin n0d0 — miel — Q(r, 0) cos n0d0

dans lesquelles on donne à > une valeur plus petite que 1. Si, lorsque r tend vers 1, P(r,0) et Q(r,6) tendent uniformément vers f(4) et g(@) (fonctions continues de #), autrement dit si la série de TayLor f(3) est uniformément continue à l’intérieur de son cercle de convergence et sur le cercle, on peut écrire, en faisant tendre 7 vers l’unité dans les formules (3):

do — 3x J 1640, Fo b, =. J —9(6)d6, “ Ce d °f(e) cos n0dO = — ï (6) sin 0 d6, Tv Lu Le d oi Do î 0 Fr TRE

ce qui revient à dire que P(r,@), Q(r, 6) sont exprimables à l'aide de la formule de Poisson:

t 1 —7r° AE 27 Le 1 — 2r cos (u — Ü) + ur

I 1I—7r° 6,9 | TEE) 90 ee

366 P. Fatou.

et l’on voit aussi que, dans ce cas, l'étude de la convergence de la série de Tavyror sur son cercle de convergence est ramenée à l'étude de séries de Fourier correspondant aux fonctions f(u) et g(u).

Mais nous allons voir que les formules (4) et (4) sont applicables dans des cas beaucoup plus étendus que celui dont nous venons de parler.”

Supposons simplement que w(3) soit bornée à l’intérieur de son cercle de convergence, mais ne faisons à priori aucune hypothèse sur l'existence de valeurs limites de @(;) pour les points du cercle. Nous allons voir que les formules (4) et (4’) sont encore applicables.

Il est un peu plus commode de supposer €, = ©, nous aurons alors

Considérons également la série de TAYLOR:

(5) put. pa = feba,

Elle représente une fonction de 3; qui reste bornée à l'intérieur du cercle de convergence; qui en outre, est uniformément continue à l’intérieur du cercle de convergence et sur ce cercle, comme il résulte de l'inégalité:

(6) [2G)— 9") = fa eh tar

M désignant le module maximum de —

Si donc on pose Ds) = U(r, 0) + iV(r, 6)

on pourra exprimer U et V par les formules:

I 1I—7r re 1 I —-2r cos (u — 0) + APRES

I I — 7° ee 27 1 — 2r cos (u — 6) + ns E(u)du,

* Comptes Rendus, février 1905.

h(u) et kw) étant des fonctions continues de #. Mais, en appliquant l'inégalité (6) aux points du cercle de convergence, on voit immédiatement que Au) et Æ(u) sont des fonctions de « à nombres dérivés bornés. Elles admettent donc une dérivée pour un ensemble de valeurs de #, dont le complémentaire est de mesure nulle.

Mais nous avons les relations:

Pr, g= 7, U(r ,0 Q{r, 200.

Il résulte donc du chapitre précédent que pour toutes les valeurs #, de w pour lesquelles les fonctions (uw) et kw) ont des dérivées, les fonctions harmoniques P et Q prennent des valeurs bien déterminées quand le point (r, 0) tend vers le point (1,#,) suivant un chemin non tangent à la circonférence. On pourra, en outre, appliquer les formules (4’), dans lesquelles f(u) et g(u) désignent non plus des fonctions continues, mais des fonctions bornées et sommables qui représentent, en général, la valeur limite de P(r, 0), Q(r,6) pour r— 1. On peut si l’on veut, pour définir ces fonctions avec précision, admettre qu’elles représentent toujours la plus grande limite, ou la plus petite limite des fonctions P et Q pour 7 tendant vers l'unité. Nous ferons en général cette hypothèse.

D'ailleurs ces deux fonctions f et g ne sont pas indépendantes et nous savons qu'elles doivent satisfaire à cette condition que les intégrales:

Î {FE + 5) —F(8 — 5} cote À dé et J'{9(6 + 0 — 910 — 0} coter dé

restent bornées quel que soient € et 6.

Nous voyons aussi que les coefficients 4, et b, tendent vers zéro avec

-, et même que la série n

2e Pb |c: |?

est convergente. Si donc, pour une série de TayLor, de rayon de convergence égal à un, cette condition n’est pas remplie, on peut affirmer

368 P. Fatou.

qu'elle n'est pas bornée, c-est-à-dire qu'elle prend des valeurs infiniment grandes, au voisinage de certains points de son cercle de convergence.

En tout point régulier du cercle de convergence, les fonctions f(u) et glu) ayant des dérivées, leurs séries de Fourier sont convergentes; il en résulte que &(;) est convergente en tout point. régulier de son cercle de convergence.

Aux points #, pour lesquels [f(u)—7f{u,)|,|g(x) —g(u,)| sont les dérivées de leur intégrale indéfinie, c’est-à-dire presque partout, la série est sommable par le procédé de la moyenne arithmétique, ainsi qu'il résulte d’une proposition de M. LxBesGue (C. R. de l'Académie des Sciences, 22 mai 1905).

2. Nous allons donner immédiatement une application de ces générahités en montrant qu'elles permettent d'ajouter un complément intéressant à la célèbre proposition d’EIsExSTEIN, concernant le développement en série des fonctions algébriques.! HERMITE, dans son cours de la Faculté des Sciences, a donné à cette proposition la forme suivante: Si une série de TAYLOR à coefficients rationnels, représente une branche de fonction algébrique, on peut toujours ramener cette série à avoir ses coefficients entiers (sauf le premier), en multipliant la variable par un entier convenable.

Considérons une série de TAYLOR à coefficients entiers; je dis qu’elle ne peut représenter une fonction algébrique que si son rayon de convergence est plus petit que l'unité, à moins qu'elle ne soit égale à une fraction rationnelle dont tous les pôles sont des racines de l'unité.

Supposons en effet que:

y=fG)=c +ci+...+cz +..,

\ > \ ee RENE sont des entiers et où limwVle,

is — 1, satisfasse à une équation algébrique irréductible:

F sera nécessairement à coefficients entiers. Soit P{(;) le coefficient de la plus haute puissance de y dans F; la fonction algébrique u —=y.P(3) naura pas de pôle à distance finie; donc en multipliant le polynôme à coefficients entiers P(3) par la série à coefficients entiers /(3), on obtient

une série de Tayror @(3), de rayon de convergence égal à un et qui doit rester bornée à l'intérieur de son cercle de convergence; il faut pour cela que les coefficients de @(3) tendent vers zéro quand leur rang augmente indéfiniment et comme ces coefficients sont des entiers, cela ne peut se produire que s'ils sont constamment nuls à partir d’un certain rang, et &(3) se réduisant à un polynôme, on voit que f(3) est égale à une fraction rationnelle.

Proposons nous maintenant de déterminer toutes les fractions ration-

nelles A(3) B(3)

développables en série entière en 3, à coefficients entiers, de rayon de convergence égal à un. — A et B sont supposés à coefficients entiers, on suppose en outre qu'ils n'ont pas de diviseur commun. On peut alors

déterminer deux polynômes à coefficients entiers À, et B, tels que l’on ait