À, PASSER

ait une valeur finie. Or il est clair que nous pouvons tracer nos courbes : de façon que chacune de nos aires À, soit aussi petite que nous voulons.” Il est d’ailleurs permis de faire telle hypothèse que l’on voudra sur la nature analytique de la fonction y—+,{x), à l'intérieur de l'intervalle (dr 0).

La fonction ç(x) étant ainsi bien définie dans l'intervalle AB, sera intégrable dans AB; en outre elle sera continue: cela est évident pour les points qui n’appartiennent pas à Æ. Soit æ un point de E, x,,x,,..., %,, ..., des points tendant vers æ. Si x, appartient à Æ, on a:

p(x,) = p(x') = + cv.

SI %,%,...5 %,... appartiennent à des intervalles contigus à ÆE, il faut, ou bien qu'ils appartiennent à des intervalles de rang de plus en plus élevés et alors o(x,) tend vers l'©, en vertu de la façon dont nous avons choisi les minima des fonctions &,(x). Si au contraire les x, restent dans des intervalles de rang fini, il faut qu'ils tendent vers l’extrémité de l'un de ces intervalles, et ç(x,) devient encore infini.

Ainsi la fonction w(x), qui est intégrable ne cesse pas d’être continue aux points de Æ, où elle prend la valeur + ©.

* Si l’on choisit, par exemple, des axes tels que les deux asymptotes soient les droites: æ — + 1, l’origine étant le point le plus bas de la courbe, en posant:

ex?

#1 Hire"

on à une courbe telle que l’aire comprise entre elle, ses deux asymptotes et l’axe des æ

Là \} T A C4 LA . .

est égale à LE et peut être rendue aussi petite que l’on veut en choisissant covenable-

ment €,

Séries trigonométriqnes et séries de Taylor. 345

Soit donc Æ un ensemble parfait de mesure nulle de points de la circonférence du cercle C' de rayon 1; nous construisons comme il vient d'être expliqué une fonction continue, périodique, devenant infinie aux points de Æ et sommable, et nous envisageons l'intégrale de Poisson:

1 ‘ 1— 7° RDS | if tudé qui représente bien une fonction harmonique continue sur ©, et prenant la valeur + © aux points de Æ; de plus elle reste positive à l’intérieur de C.

3. Pour aller plus loin dans l'étude de l'intégrale de Poisson prenons la dérivée par rapport à 9 des différents termes des égalités:

I I —7r “x ô) 1 27 Î I — 27 cos CEE 2 EE

=. r'(a, cos nÔ + b, sin nô).

Nous définissons ainsi une nouvelle fonction harmonique:

+T Ra

° I . | id or 27 J [I — 2r cos (Ou) + AO

— À nr'(— a,sinnô + b, cos n6). !

Nous allons démontrer que si en un point #,, la fonction f{w) admet une dérivée finie f’(u,), la fonction . tend vers f'(u,) quand le point (r, 6)

se rapproche indéfiniment du point (1,4#,), suivant le rayon qui y aboutit. Nous donnons donc à @ une valeur constante (on peut prendre 4 — 0) et nous cherchons si l'intégrale:

+7 I (1 — r°)2r sin w F- u)du 27 [I — 2r cos w + p/ )

ré

! La dérivation sous le signe 1 pour r < I se justifie très aisément.

Acta mathematiea. 30. Imprimé le 29 novembre 1906. 44

346 P. Fatou.

tend vers une limite quand » tend vers 1. En faisant f(u) = « (dans (— 7x, +7) la fonction F(r,@) est connue et l’on trouve ainsi que l'inté-

grale précédente a pour valeur:

et tend vers 1 en même temps que r. On conclut de là qu'on peut sans

restreindre la généralité, supposer:

Posant pour abréger l'écriture

D fe

TP rCoS UNE

nous écrirons l'intégrale précédente sous la forme:

+T I 27 sin A: ,[(u)du.

27 I— 2rcosu +r —7T : : 27 sin I Or si dans l'expression on pose 7 — 1, elle devien P Pr cosu- Eire 12 ? L uw” ee

et l'intégrale se réduit à: