LA
u tang —
. , CEA qui tend vers zéro avec 1—7, car f(u) ayant une dérivée nulle pour
HO, tend vers zéro avec #, de sorte que la fonction qui
tang — multiplie Æ dans l'intégrale ci-dessus étant continue pour # = 0, on se trouve dans le cas classique de l'intégrale de Porssox. Tout revient done a démontrer que l'intégrale +7
I f 27 sin sin w | 27 |1 —2rcosu + r° (EE cos u |
f(u) du
à aussi une limite nulle, ce qui se voit aisément en la mettant sous la forme
+T DE & Cher) fCu) É Tr)" u PL NT H ———— — He = = du 27 D 2 ICONE u RÉ tang a
car le second facteur qui figure sous le signe Je étant toujours compris
entre O et 1 l'intégrale précédente est plus petite en valeur absolue que
qui tend vers zéro d’après un raisonnement que nous venons de faire. Il est à remarquer que le résultat établi subsiste lorsqu'on suppose seulement que:
Li HOUSE TO a) 70 24
existe et est finie, c’est ce qu'on voit facilement en réunissant, dans les intégrales qui précèdent, les éléments qui correspondent à des valeurs égales et de signe contraire de #. On voit aussi sans peine qu'il n’y a rien de changé si cette limite est égale à + © ou à — co.
Supposons maintenant que la fonction dérivée f'(u) existe dans tout un intervalle et soit continue en un point «, de cet intervalle. Nous
+ : 5 oF allons montrer que, dans ces conditions, la fonction harmonique Ti prend
la valeur f'(u,) au point «,, quel que soit le chemin par lequel on parvient à ce point.
En effet la fonction f’(w) étant finie et continue en , est bornée dans un intervalle fini s —[A, B] enfermant ce point, soit S l'arc complé-
mentaire de s: l'intégrale:
I (1 — r°)2r sin (u — 6) 27 | [1 +7 — 2r cos(u — 6) s
;((u)du
348 P. Fatou.
a pour limite zéro, comme le montre un raisonnement déjà employé, et
l’on a d'autre part
1 le (1 — r?)2r sin (u — 0) f (u) du
278 IIS r°? — 2r cos (u — 0)|
I 1 —7r b I 1 — 7° ; . = u)du Li Li a | + ef: tr cou ol )
l'intégration par parties étant justifiée par ce fait que dans s la fonction f'(u) est bornée et admet son intégrale indéfinie comme fonction primitive. La partie tout intégrée s'évanouit à la limite et l’autre tend vers f'(w,) lorsque le point (r,4@) tend vers le point (1,4,).
En résumé, étant donnée une fonction f'(u) égale à la dérivée d'une fonction continue f(u) de période 27, il est possible de déterminer une fonction harmonique régulière à l’intérieur d’un cercle et satisfaisant aux conditions suivantes:
1°) en tout point d'argument w, de la circonférence, tel que f'(#,) ait une valeur déterminée, finie ou infinie, la fonction harmonique prend la valeur f'(#,) quand on s'approche de ce point suivant le rayon;
2°) en tout point «, pour lequel f'{«) est finie et continue la fonction harmonique prend la valeur f'(w,), quel que soit le chemin suivi.
Remarquons d’ailleurs que f'(w) n'étant pas nécessairement bornée peut n'être pas intégrable, de sorte que la solution de problème de DirICHLET (étendu) que nous venons d’obtenir, ne peut pas toujours se mettre sous la forme d’une intégrale de Poisson.
Les résultats qui précèdent vont nous permettre d'étudier l'intégrale de Poisson lorsque la fonction f(w) est une fonction périodique, bornée et sommable; en effet, d’après un théorème de M. LEBESGUE, pour un ensemble de valeurs de « dont le complémentaire est de mesure nulle, f(u) est la dérivée de son intégrale indéfinie F{u) (on peut supposer F(u)
Te périodique, en retranchant de f(w) la constante a, => [ f(u)du. On
peut alors employer l'intégration par parties et écrire
! On peut évidemment supposer que f(u) présente des infinis ou des discontinuités isolées pourvu qu’elle soit absolument intégrable.
+T +r +r Var : 1 oH., AT ER HT, f(u)du = De | Fu) du — f Fri F(u)du;”
LA 7 7r
on voit alors que pour tous les points #, où f(x) est la dérivée de F{u), l'intégrale de Poissox tend vers f(u,), quand » tend vers 1, @ restant égal à w, (c. a. d. lorsqu'on chemine suivant un rayon). Réciproquement d'ailleurs, si la fonction harmonique F'{r, 4), régulière à l'intérieur du cercle de rayon 1, y reste plus petite en module qu’un nombre fixe, et si l’on a:
lim F(r,0)— f(0) [sauf peut être pour un enni semble de mesure nulle de valeurs de 4] la fonction F est celle qui est donnée par l'intégrale de Poisson. En effet: soit r < R < 1. Nous avons
; R°=r Fr ; Ô) —= 2% a ER; u) k? Tes 2hRr cos ire Ü) de
Laissant > et © fixes, faisons tendre À vers l’unité; la fonction sous le signe
ï reste inférieure en valeur absolue à un nombre positif fixe, et tend VIS - Le =. f(u), [sauf pour un ensemble de mesure nulle]. 1 +r*—2r cos (0 — u)
Nous sommes donc en droit d'appliquer le théorème de M. LEBESGUE sur
l'interversion des signes lim et Le ,* et nous pouvons écrire: : I Fr, 6) ne J Au) du.
Aïnsi, le problème de DrricHzer dans le cas du cercle (avec le sens élargi que nous lui attribuons) n’a qu’une solution, si l’on assujettit la fonction harmonique inconnue à être bornée à l’intérieur du cercle. Des considérations analogues vont nous permettre de donner, en passant, une démonstration simple d’une identité importante, se rattachant à la multiplication des séries de FOURIER.
! Nous appelons A, ce que devient H quand où y remplace u par (u — 0): H,
est donc fonction de r,0,u.
? Leçons sur l'intégration et les fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars 1904),
page II4.
300 P. Fatou.
Nous avons:
Le]
F(r,0)= Zr'(a,cosnô + b,sinng) (r<1)
les a, et b, étant les coefficients de la série de Fourier de (4). . . , 7 . LT Multiplions les deux membres de cette égalité par Fr, 4) et intégrons de —7 à +7; il est permis d'intégrer terme à terme, car la série du
second membre est uniformément convergente si 7 < 1; on à ainsi:
ee —T As |T Ms: | nor + > are JT F(r,0)cosn0d0 + b,r = Fr, 0) sin n0dO Or on a évidemment:
He HS 0)cosnvdi == QT", 1 0 = Fr, 0) sin n0dO — b,r",
La formule précédente devient donc:
k JE F°(r, 0)d0 = 24 + > (aie b?)r°*.
Faisons tendre » vers 1; d'après ce qui a été dit plus haut, le premier
membre tend vers:
Il en résulte que la série de puissances de r, à coefficients positifs, qui figure au second membre, reste convergente pour 7 — 1, car dans le cas contraire elle deviendrait infinie pour » tendant vers 1; l'application du second théorème d'ABEL sur les séries de puissances nous donne alors:
+7 = = J FH6)d0 = 2 + (a +0)
égalité qui remonte à PARSEVAL et sur laquelle M. Hurwirz est revenu dans un article récent des Mathematische Annalen; : elle est démontrée ici sous la seule condition que (9) soit une fonction bornée, sommable au sens de M. LeBEsGuEs. Essayons d'étendre ce résultat au cas où la fonction f(w) est une fonction non bornée dont le carré est intégrable; ayant choisi dessnombres 4, ; 4, ..., 0, ... croissant de o à : + ©;,! nous regardons f(w) comme la limite des fonctions f(u),f,(u), …., f,(u),.… égales à zéro dans l’ensemble mesurable E,||f (u)| > 1, | et à f(uw) pour les autres valeurs de w; nous considérons également les intégrales de Poisson F(r, 64). F,(r, 0)... correspondant à fu), f.(u),.... Quand {, tend vers l'infini,
+T +T +T 1f f,tu)du tend vers J f(u)du, et hs fitu)du tend en croissant vers
+r { f'(u)du; de même, pour des valeurs fixes de r et 4, F(r, 0) tend vers
F(r,6) et comme on a toujours
Prd
» RE |, (r, 0) <2 © J fe) | due
tie on peut écrire, d’après un théorème connu sur l'intégration:
+T +T (1) lim f Fi(r,6)d6— [ Fr, 6)&6.
St:
Mais f,(u) étant une fonction bornée, nous avons d’après ce qui précède:
+7 +7 +T ÉFHrs 0e J Fit) du < J F'u)du
d'où, en vertu de l'égalité (1)
Î Fe, 6) d0 < Ÿr'tu)du
c'est à dire:
245 + E (ai + bjr < = 1e f'(u)du
ti
1 Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Functionen (Mathematische Annalen, tome 57, 1903). — Voir aussi SrEkLOrr (Comptes Rendus, 10 nov. 1902): — ParsevAL, sav. étr. (tome [, 1806).
DO P. Fatou.
on en conclut que la série en > du premier membre, devant rester bornée, converge encore pour 7 — 1, et l'on a
+T vo : y f'(u)du > 24 + Z (ay, + b?).
En réalité l'égalité a bien lieu, mais ce point est un peu plus délicat à démontrer. Nous y reviendrons ultérieurement.
Dans tous les cas, pour toute fonction bornée ou non bornée, dont le carré est intégrable, la série formée par les carrés des coefficients de sa série de FOURIER est convergente. ?
4. Considérons maintenant la fonction harmonique obtenue en dérivant deux fois l’intéorale de Poisson par rapport à l'argument
CR PM ENT or | 5 f(u)du.
Je vais démontrer que si pour une valeur «, de w, la fonction f(x) admet une dérivée seconde généralisée, c'est à dire si:
Ip Au) + — Au) — 2f(u) 1
lim > (a Au=0 Au? g\ +) on à également:
io (r, te) lim FT Dé ie (u,).
r=1l On verra sans peine qu'on peut, sans restreindre la généralité, supposer U = f(%) = pu) = 0.
L'intégrale précédente, en posant: 4—0o, se met alors aisément sous la forme:
I= = Î re DER +ar-— (1 +r)cosu][f(u) + f(—u)]du,
A=1+7r—2rcosu,
1 . . . Re L Il peut être utile de remarquer que si la série Jay + by est convergente, les
ne Y An b, I séries a” — Sont absolument convergentes pour 4 > -: 4 nn 2
et l’on a
Lin LU — EE
O par hypothèse.
Il s’agit de prouver que cette intégrale tend vers zéro avec 1 —7. Nous poserons encore pour abréger l'écriture:
FQu) + f(— ù) = g(u),
Nous décomposons 7 en plusieurs termes. Soit d’abord
I 4r° sin?
1 = — | H- — q(u)du.
3 À 27 PA g( ) Pour > — 1, le second facteur sous le signe 1 devient: 4 sin° w L4 Sn) on u 4 tang*- 1 ; N . À et comme sin tend vers zéro avec uw, c’est à dire est continue pour uw tang°-
uw — O, on en conclut que:
«; H g(u) d 4 tang” :
‘ 2 tend vers zéro avec 1 —r.
On a d’ailleurs:
4r° sin? u sin® w (Gi —r) (1 +r) —4rcosu 1!
2 FR, F SÈ— ) A (I cos u) A AN tang° = MERE Ce CT PE ae AR A i A A
Acta mathematica. 30. Imprimé le 29 novembre 1906. 45
394 P. Fatou.
de sorte que le terme complémentaire de 1, est plus petit en valeur ab-
solue que:
H FINE du 2T A eo U an + A
qui à pour limite zéro d’après un raisonnement plusieurs fois employé.
On a donc lim Z = 0.
Considérons maintenant le terme
I 47? — 2r(1 + r*) cos D [al . 120 Jy(u)du
pour 7 — 1, le facteur entre parenthèses devient:
Vae PISTE
et nous voyons comme plus haut que l'intégrale T L] u Here u tang* — E tend vers zéro.
Il ne reste donc plus à considérer que l'intégrale
CH à 47? — 2r(1 + r°) cos w 1 < H| eh | | Cr: A? To g(u)du
qui se met aisément sous la forme
(1 — cos u)
et que nous décomposons encore en deux parties correspondant aux deux termes de la parenthèse, Nous aurons d’abord à considérer l'intégrale:
dont on voit de suite que sa limite est nulle. Puis:
2r(E1 —r) sin°u.l. g(u) fal Pate PS du
Or le second facteur reste borné quand 7 tend vers 1, car on a
Ve 2 (I —r)snu
tee [ps rs À ea A ES
AE (t— 7) + 4r sin° >
La quantité élevée au carré est donc plus petit que
sin % : , d'une part —— FT et que (@: si r) ; =; d'autre part, 2r tang —
et reste bornée.
On en déduit que l'intégrale précédente est comparable à
j'ugia
et a par suite pour limite zéro, et notre proposition se trouve complètement démontrée."
Nous pouvons aussi démontrer que si dans un certain intervalle (4, B) la dérivée seconde généralisée ç(w) de f(u) est bornée, et continue en un
! On peut l’exprimer de cette façon: si f(w) est la dérivée seconde généralisée d’une fonction périodique et continue: g(w), on a:
fu) = im(—4,r — 44,7 —...—n"Ayr —...
À, + À, + À, +... étant la série de FoURIER de g(u).
36 P. Fatou.
point «, de cet intervalle, la fonction harmonique + prend au point
(1,4), suivant tous les chemins qui y aboutissent, une valeur limite égale à g(u,). Pour cela il suffit de remarquer comme nous l’avons fait plus haut, que la fonction g(u) est sommable dans l'intervalle AB, et
[ fe tw)diodr
est égal à f(u), à un terme linéaire près, comme le démontre M. LEBESGUE
qu'en outre
dans son mémoire sur les séries trigonométriques. On pourra alors appliquer à l'intégrale
Han F2, EE s'H, “se ! Sa ((u)du = — Fe f(u)du AB
AB
deux intégrations par parties ce qui nous ramènera à l'intégrale
nn H ç(u)du
à laquelle s'applique le raisonnement classique de M. Scawarz. Si l'on remarque que les parties tout intégrées s'évanouissent à la limite et qu'il en est de même de
2H ' se : PTE f(u)du (étendue à l'arc complémentaire de AB)
C(AB) on obtient le résultat annoncé.
Nous aurons l’occasion, tout à l'heure, de tirer plusieurs conséquences intéressantes des propositions des paragraphes 3 et 4.
! Annales de l'École normale, t. 20, p. 491. M. LEBESGUE remarque que g(u) étant bornée, il en est de même du rapport
fu + à) + f(u — a) — 2f(u)
à cause d’une extension, qu'il donne, du théorème des accroissements finis à la dérivée seconde généralisée. Partant de la relation FC + à) + fQu — a) — 2f(u) at il intègre deux fois de suite les deux membres, en intervertissant, comme il est permis,
œ(u) = lim
les signes lim et se On à ainsi le résultat énoncé dans le texte.
Mais faisons voir encore que les résultats obtenus sur les valeurs limites
de la fonction A subsistent lorsqu'on considère, au lieu de chemins nor-
maux à la circonférence, des chemins faisant des angles finis avec celle-ci. Reprenons donc l'intégrale
® 2 4 I | (Sr 22r aitu 0)
[1 +7? — 2r cos (u — 8]
+ 9 à Fi ;((u) du — sa LU 0) et supposant toujours f(0) — f'(o) — o, faisons tendre 4 et 1 —r vers zéro, Ô . : :
en supposant que le rapport y, réste borné et inférieur à A. D'après ce qui a été dit plus haut, l'intégrale
I 1 — 7°? sin % =. 4 f(u)du
1 — 27 cos (0 — uw) + r° I — cos
tend vers zéro quand 1 —7 et # tendent vers zéro. Il suffira donc de considérer:
I 2r sin (u —- Ô) Sin 0 27 ia Hi] ; + 7° — 2r cos (u — 6) I — cos e Jo du.
AE
La quantité entre parenthèse s'écrit;
2r sin (uw — 0) + 25 sin Ÿ — (1 + r°) sin w (1 — cos u)[t + r° — 2r cos (u — )]
2r{sin (u — 4) + sin / — sin | (1 — r} I
a (1 — cos u)[1 +-r°— 2r cos (u — 6)] | 1+7—2rc08 (u — 6) tnng!
Le second terme du second membre donnera lieu à une intégrale tendant vers zéro avec 1 —7, d'après un raisonnement connu. Le premier terme s'écrit:
TN) Ù 0 2r sin — sin Kr(1 — r)sin
2 2 I = 22 I u— 0 ., u Ga Tarte 0 sin — À 810? ——— = 2 2 2
(1 — 7) + 4r sin?
(en valeur absolue)
398 P. Fatou.
il est donc plus petit en valeur absolue, d’une part que:
NN — Ü K sin 2 I EE RU Sin — et d'autre part que:
RTS TON PaTEN .u—0 , u?
4 sin Sin — ; TS AT 14 done, dans tous les cas, il est inférieur à re On en conclut que l’inté-
sin — grale qu'il faut démontrer tendre vers zéro est comparable à celle-ci: +T
HR uw
sin —
dont l’évanouissement à la limite résulte du raisonnement classique de M. SCHWARZ.
Il importe d'ailleurs de remarquer que ce qui précède suppose l'existence de la dérivée de f{w) et non pas seulement de la dérivée généralisée
[tin ÉQu + Au) — f(u — Au) 2 An
5. On pourrait étudier d'une façon analogue la façon dont se comportent au voisinage de la circonférence les dérivées du premier et du second ordre de Fr, 4) par rapport à la variable 7; mais ce qui sera plus intéressant pour nous, ce sera l'étude de la fonction harmonique conjuguée de Æ', et représentant la partie imaginaire de la série de TayLor dont F° serait la partie réelle; cette fonction ®(r, 4) est définie, à une constante additive près, qui reste arbitraire, par la relation: |
HT
O(r, 6) — I 1 2r sin (nu — 6) flu)du.
1 +3? — 2r cos (u — 8)
TT
Supposant d'abord f(#) finie, continue et périodique nous allons rechercher à quelle condition ®(r,6@) tend vers une limite quand > tend vers l’unité, Ô restant fixe, et quelle est cette limite.
Posons:
F0 + t)— F0 — 1) = p(t), t—u —0, 1+Y7— 2rcost— A
nous aurons à étudier ce que devient l'intégrale:
+T I 2r sin té
